một số mô hình của môi trường liên tục

Chương 5
Một số mô hình của môi
trường liên tục
Nội dung: Trong chương này trình bày một số mô
hình của môi trường liên tục: Mô hình vật rắn, mô
hình chất lỏng (khí); đây là các phương trình xác
định mô tả bản chất của từng môi trường cụ thể.
5.1. Môi trường đàn hồi tuyến tính
5.1.1. Định luật Hooke mở rộng
Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính, liên hệ giữa ứng suất và
biến dạng là tuyến tính:
ij ijmn mn
C
σ ε
=
(5.1)
(4.1) gọi là định luật Hooke mở rộng, các hệ số Cijmn gọi
là các hằng số đàn hồi nếu như môi trường đàn hồi là
thuần nhất (đồng chất).
Nếu thêm giả thiết môi trường là đẳng hướng nữa thì
tenxơ Cijmn chỉ còn hai hằng số độc lập.
Định luật Hooke mở rộng cho môi trường đẳng hướng
2
ij ij ij
σ λθδ µε
= +
(5.2)
5.1.1. Định luật Hooke mở rộng (tiếp)
Viết cụ thể (4.2):
( )
( )

( )
11 11 22 33 11 11
22 11 22 33 22 22
33 11 22 33 33 33
12 12
23 23
13 13
2 2
2 2
2 2
2
2
2
σ λ ε ε ε µε λθ µε
σ λ ε ε ε µε λθ µε
σ λ ε ε ε µε λθ µε
σ µε
σ µε
σ µε
= + + + = +
= + + + = +
= + + + = +
=
=
=
11 22 33mm
θ ε ε ε ε
= = + +
λ, μ gọi là các hằng số Lamé.
5.1.1. Định luật Hooke mở rộng (tiếp)

Giải ngược lại:
1 3
2 2 (3 2 )
ij ij ij
λ
ε σ σδ
µ µ λ µ
= −
+
(3 2 )
E
µ λ µ
λ µ
+
=
+
Đặt:
(5.3)
2( )
λ
ν
λ µ
=
+
Mô đun đàn hồi Young
Hệ số Poisson
Khi đó (5.3) trở thành:
1 3
1
ij ij ij

E
ν ν
ε σ σδ
ν
+
 
= −
 ÷
+
 
(5.4)
5.1.2. Đặt bài toán của lý thuyết đàn hồi
2
2
w
ij j
j j
i
u
K
x t
σ
ρ ρ ρ
∂ ∂
+ = =
∂ ∂
Xét môi trường đàn hồi tuyến tính, đẳng hướng
- Phương trình chuyển động:
- Định luật Hooke:
2

ij ij ij
σ λθδ µε
= +
- Hệ thức Cauchy:
1
2
j
i
ij
j i
u
u
x x
ε
 
∂
∂
= +
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
Ngoài ra phải bổ sung các điều kiện biên
5.1.2. Đặt bài toán lý thuyết đàn hồi (tiếp)
- Nếu trên biên cho chuyển vị:
b
u u=
r r
- Nếu trên biên cho lực mặt:
n

T = Σ
r
r
Hay:
ij j i
n
σ
= Σ
- Cho hỗn hợp: phần biên Su cho chuyển vị, phần biên Sσ
cho lực mặt.
5.1.2. Đặt bài toán lý thuyết đàn hồi (tiếp)
1. Giải bài toán theo chuyển vị:
Ta viết pt chuyển động theo chuyển vị, bằng cách sử
dụng hệ thức Cauchy viết định luật Hooke theo chuyển vị rồi
đưa vào pt chuyển động, ta được:
2 2
2
2
( )
j j
i
j
i j i i
u u
u
K
x x x x t
λ µ µ ρ ρ
∂ ∂
∂

+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(5.5)
Hay:
2
2
( )
u
grad div u u K
t
λ µ µ ρ ρ
∂
+ + ∆ + =
∂
r
r
r r
(5.5’)
(5.5) hay (5.5’) gọi là pt Lamê.
5.1.2. Đặt bài toán lý thuyết đàn hồi (tiếp)
2. Giải bài toán theo ứng suất (bài toán tĩnh):
Sáu thành phần ứng suất thỏa mãn pt cân bằng, đó là
bài toán siêu tĩnh, ta phải dùng đến pt tương thích biến
dạng. Nhờ định luật Hooke và pt cân bằng, ta viết các pt
tương thích theo các thành phần ứng suất:
2
3
0
1 1
j

i m
ij ij
i j j i m
K
K K
x x x x x
σ νρ
σ ρ δ
ν ν
 
∂
∂ ∂
∂
∆ + + + + =
 ÷
 ÷
+ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂
 
(5.6)
(5.6) gọi là pt Beltrami – Michell.
5.2. Môi trường chất lỏng và chất khí
lý tưởng
5.2.1. Chất lỏng (khí) lý tưởng nén được
Đó là môi trường, trong đó hàm hao tán bằng không và sức
kháng trượt của nó bằng không với mọi biến dạng và tốc độ
biến dạng tại mọi thời điểm, tức là:
1 2 3
p
σ σ σ
= = = −

Nên:
n
T pn
= −
r
r
(5.7)
(5.8)
Khi đó, pt chuyển động trở thành:
dv
K grad p
dt
ρ ρ
= −
r
r
(5.9)
5.2.1. Chất lỏng (khí) lý tưởng nén được
Pt (5.9) có thể viết lại:
(5.10)
(5.10) gọi là phương trình động lực Euler.
(5.10) kết hợp với pt liên tục cho ta hệ 4 pt đạo hàm riêng
chứa 5 ẩn vi, p, ρ.
2
1 1
2
v
grad v v rot v grad p K
t
ρ

∂
+ − × + =
∂
r
r
r r
5.2.2. Chất lỏng lý tưởng không nén được
Đó là chất lỏng lý tưởng, mật độ của mỗi phần tử của nó
không đổi theo thời gian.
Phương trình chuyển động Euler và điều kiện không nén
được:
(5.11)
Ta được hệ kín 4 pt đạo hàm riêng, 4 ẩn vi, p.
0
1
0
dv
K grad p
dt
ρ
− + =
r
r
0div v
=
r
(5.12)
5.2.3. Chất lỏng lý tưởng barôtrôp
Đó là chất lỏng nén được, áp suất p của nó là hàm xác định
của mật độ:

(5.13)
( )p p
ρ
=
Hệ gồm phương trình chuyển động (4.10) và phương trình
liên tục, sẽ được khép kín bởi phương trình thứ năm (5.13).
5.2.4. Khí lý tưởng
Đó là khí lý tưởng tuân theo pt trạng thái Claperon:
(5.14)
p R T
ρ
=
Hệ kín các phương trình bao gồm: (5.14), pt chuyển động
Euler (5.9), pt liên tục, và pt năng lượng:
0
V
dT
C kdiv grad T pdivv
dt
ρ
− + =
r
(5.15)
Cho ta hệ 6 pt, chứa 6 ẩn vi, p, ρ, T.
5.3. Chất lỏng nhớt tuyến tính
5.3.1. Phương trình xác định của chất lỏng
nhớt. Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton
ij ij ij
p
σ δ τ

= − +
Liên hệ giữa áp suất, tỷ khối và nhiệt độ:
( , )p p T
ρ
=
(5.16)
(5.17)
Tenxơ ứng suất có dạng:
- Chất lỏng Stokes:
( )
ij ij ij
f
τ ε
=
&
- Chất lỏng Newton:
ij ijmn mn
K
τ ε
=
&
* *
2
ij ij ij ij
p
σ δ λ θδ µ ε
= − + +
&
&
ii

divv
θ ε
= =
r
&
&
(5.18)
Nếu chất lỏng Newton thuần nhất, đẳng hướng, (5.16) trở
thành:
- Các hằng số nhớt phụ thuộc vào nhiệt độ
* *
,
λ µ
5.3.2. Cách đặt bài toán của chất lỏng Newton
0
i
i
d v
dt x
ρ
ρ
∂
+ =
∂
- Phương trình chuyển động:
(1)
- Phương trình liên tục:
- Phương trình năng lượng:
1 1
j

ij ij
j
c
du
dt x
σ ε
ρ ρ
∂
= −
∂
&
ij j
j
i
dv
K
x dt
σ
ρ ρ
∂
+ =
∂
(2)
(3)
5.3.2. Cách đặt bài toán của chất lỏng Newton
* *
2
ij ij ij ij
p
σ δ λ θδ µ ε

= − + +
&
&
- Phương trình trạng thái:
(4)
- Phương trình xác định chất lỏng Newton:
- Định luật truyền nhiệt Fourier:
j
j
T
c k
x
∂
=−
∂
( , )p p T
ρ
=
(5)
(6)
- Phương trình trạng thái Calori:
( , )u u T
ρ
=
(7)
- Hệ thức Cauchy:
1
2
j
i

ij
j i
v
v
x x
ε
 
∂
∂
= +
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
&
(8)
1. Phương trình Navier-Stokes của chất lỏng
nhớt nén được
Viết pt chuyển động theo các thành phần vận tốc, bằng
cách thay các hệ thức (4), (8) vào pt (2):
* * *
( )
j
j j
j j
dv
p
K v
dt x x
θ

ρ ρ λ µ µ
∂ ∂
=− + + + + ∆
∂ ∂
&
(5.19) là pt Navier-Stokes, viết dưới dạng vectơ:
(5.19)
* * *
( )
dv
gradp K grad divv v
dt
ρ ρ λ µ µ
= − + + + + ∆
r
r
r r
(5.19’)
Pt (5.19) cùng với phương trình liên tục (1) lập thành hệ
kín chứa 5 ẩn.
2. Phương trình chuyển động của chất lỏng
nhớt không nén được
•
Phương trình liên tục có dạng:
*
j
j j
j
dv
p

K v
dt x
ρ ρ µ
∂
=− + + ∆
∂
Phương trình Navier-Stokes có dạng:
(5.20)
0divv
=
r
(5.21)
Các phương trình này tạo thành hệ kin 4 pt chứa 4 ẩn.
2. Phương trình chuyển động của chất lỏng
nhớt không nén được
•
Nếu độ nhớt của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ, thì pt
chuyển động có dạng:
* *
1
*
*
1
1
2
1
0,
j
j j ij
j i

j
j
dv
p T
K v
dt x x
v
d
x dT
ν ν ε
ρ
µ
ν
ρ
∂ ∂
=− + + ∆ +
∂ ∂
∂
 
= =
 ÷
∂
 
&
(5.22)
Phương trình năng lượng với định luật truyền nhiệt Fourier:
1/2
*
2
;

ij ij
V V
dT k
a T a
dt C C
ν
ε ε
ρ
 
= ∆ + =
 ÷
 
& &
(5.23)
Các pt (5.22) và (5.23) lập thành hệ kín gồm 5 pt chứa 5
ẩn là vi, p, T.
The end