skkn một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, Toán học là ngôn ngữ chung của vũ trụ. Toán học là một
môn khoa học đặc biệt quan trọng trong mọi lĩnh vực. Con người chúng ta trong bất
kì hoàn cảnh nào cũng không thể thiếu kiến thức về toán. Nghiên cứu về toán cũng
chính là nghiên cứu một phần của thế giới. Các kiến thức và phương pháp toán học là
công cụ hỗ trợ đắc lực giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực
và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mĩ của người
công dân.
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không
ngừng. Để đào tạo ra những con người nghiên cứu về Toán học thì trước hết phải đào
tạo ra những con người có kiến thức vững vàng về môn Toán. Đây là nhiệm vụ hết
sức quan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo. Do đó đòi hỏi mỗi thầy cô
giáo phải lao động, phải có sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy
học hiệu quả giúp học sinh học và giải quyết bài toán một cách tốt nhất. Phân tích đa
thức thành nhân tử là một nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình toán học
ở trung học cơ sở. Việc nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
không những giúp học sinh làm tốt các bài toán dạng này mà còn là công cụ cần thiết
giúp các em vận dụng tốt vào giải các phương trình, chứng minh…….Đặc biệt giúp
học sinh phát triển tư duy sáng tạo một cách tốt nhất. Qua quá trình dạy toán ở trung
học cơ sở, qua kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi của bản
thân tôi đã hệ thống được một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà
thiết nghĩ mỗi thầy cô giáo dạy toán đều cần trang bị cho học sinh để giúp các em
giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao tư duy toán
học tạo điều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung.
1
1
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán gặp rất nhiều trong toán trung học
cơ sở, nó đa dạng nên khi giải các bài toán trên học sinh phải biết lựa chọn phương
pháp phù hợp đối với từng bài để phân tích đúng và triệt để đến kết quả cuối cùng.
Đối với giáo viên khi dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cần nắm vững các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình.
Đối với học sinh sẽ khắc phục những hạn chế trước đây giúp các em có tinh thần tự
tin học tập bộ môn toán.
Kĩ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài
tập là vấn đề mà giáo viên luôn phải quan tâm. Thông qua bài kiểm tra 15 phút, bài
kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kì cho thấy kĩ năng giải toán và vận dụng kiến thức phân
tích đa thức thành nhân tử là chưa cao. Đây là vấn đề băn khoăn của rất nhiều giáo
viên dạy toán 8, kể cả toán 9. Vì vậy, với bản thân trong những năm dạy học ở toán 8
tôi xây dựng thành “ Một số kinh nghiệm giúp học sinh áp dụng tốt các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán 8 tại trường THCS Lương Thế Vinh
huyện Krông Ana tỉnh Đắk Lắk ”
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
a) Mục tiêu
- Giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực hiện thành thạo các dạng toán liên
quan đến phân tích đa thức thành nhân tử. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
toán của học sinh lớp 8 trong nhà Trường, phát triển chất lượng đại trà và mũi nhọn
của bộ môn.
- Giúp học sinh có khả năng thành thạo khi phân tích đa thức thành nhân tử
- Giúp học sinh yêu thích môn toán hơn, đồng thời phát triển năng lực tự học,
tự nguyên cứu.
b) Nhiệm vụ

2
2
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

- Tìm hiểu các sai lầm phổ biến, những khó khăn của học sinh lớp 8 khi phân
tích đa thức thành nhân tử.
- Phân tích tìm ra được các sai lầm khi giải toán
- Đề xuất các biện pháp để giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử trong giải toán trung học cơ cở.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ đó học sinh biết
vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải toán.
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 8A1, 8A3 trường trung học cơ sở Lương Thế vinh huyện Krông Ana
tỉnh Đắklắk năm học 2017- 2018.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SBT, SGV toán 8, chuẩn kiến thức kĩ
năng, nâng cao và pháp triển toán 8, các tài liệu có liên quan; nghiên cứu qua các quá
trình giải bài tập của học sinh; nghiên cứu qua các bài kiểm tra của học sinh theo từng
đợt; nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
- Phương pháp thống kê toán học.
- Phương pháp điều tra, khảo sát.
- Phương pháp đàm thoại – gợi mở.
- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.
- Phương pháp tác động giáo dục .
- Phương pháp thực nghiệm.
II. PHẦN NỘI DUNG

1. Cơ sở lí luận
Căn cứ công văn hướng dẫn số 04/PGDĐT-TĐKT ngày 06 tháng 01 năm 2015
của Phòng GD-ĐT huyện Krông Ana về việc hướng dẫn viết, đánh giá SKKN từ năm
3
3
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

học 2015- 2016 (Kèm theo Công văn số 232 /PGDĐT-TĐKT ngày 09 tháng11 năm
2017).
Để việc dạy học đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền
đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm
trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo
và tự giác của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự trao đổi qua các đồng
nghiệp, tôi thấy kết quả của học sinh trong khi học mảng kiến thức về phân tích đa
thức thành nhân tử được thể hiện rất rõ qua việc luyện tập trên lớp, bài kiểm tra 15
phút lần một và bài kiểm tra một tiết lần một. Có những bài học sinh trình bày rất tốt,
sáng tạo, tuy nhiên có nhiều bài làm trình bày sơ sài, dư thừa hoặc thiếu sót nhiều,
thậm chí nhiều bài không định hình được cách trình bày…Và sau khi hướng dẫn, tìm
cho các em những mẹo nhớ, những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã
cải thiện được chất lượng bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng
kiến thức này.
Việc dạy học phải bám sát vào chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáo
dục phổ thông để xác định mục tiêu của bài học, chú trọng dạy học nhằm đạt được
các yêu cầu cơ bản và tối thiểu về kiến thức, kĩ năng, đảm bảo không quá tải; mức độ
khai thác sâu kiến thức, kĩ năng phải phù hợp với khả năng tiếp thu kiến thức của học
sinh; sáng tạo về phương pháp dạy học, phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác của
học sinh tạo niềm vui, phấn khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập

cho học sinh; dạy học thể hiện mối quan hệ tích cực giữa giáo viên với học sinh, giữa
học sinh với học sinh, chú trọng đến việc động viên, khuyến khích kịp thời tiến độ
của học sinh trong quá trình học.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì
trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành
tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương
pháp nâng cao để phân tích, đó là:
a) Phương pháp đặt nhân tử chung A.B + A.C = A ( B + C).
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
4
4
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng
đẳng thức.
( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
c) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung
hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.

+ Đặt nhân tử chung cho tồn đa thức.
d) Phối hợp các phương pháp cơ bản
Vận dụng và phát triển kỹ năng là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ
bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
e) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ
người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
Khái niệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như
vậy nếu đa thức có nghiệm là a thì nó chứa nhân tử x- a.
5
5
Giáo viên: Đồn Cơng Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrơngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước của
hệ số tự do.
Thật vậy giả sử đa thức a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an với các hệ số a0 ; a1 ; a2 ;a3
;…….an nguyên, có nghiệm x = a ( a là số nguyên) .
Từ đó suy ra a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an = (x – a) (b0xn-1 + b1xn-2 +…+ bn-1)
Trong đó b0 ; b1 ; b2 ;…….bn-1 nguyên. Hạng tử có bậc thấp nhất của tích ở
vế phải bằng –abn-1, Hạng tử có bậc thấp nhất của vế trái bằng an
Vì vậy –abn-1= an suy ra an chia hết cho a tức a là ước của an
Chú ý khi xét nghiệm nguyên của đa thức, Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự
do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức f(x). f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
a-1

và

f(-1)
a+1

đều

là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
f) Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình thường.
+ Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
g) Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử
h) Phương pháp đặt biến phụ (phương pháp đổi biến)
k) Phương pháp hệ số bất định
Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy ra các hệ số cần tìm trong
sự phân tích đa thức thành nhân tử.
m) Phương pháp xét giá trị riêng
6
6
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhận tử chứa biến của đa
thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Điểm kiểm tra khảo sát đầu năm môn toán các lớp 8A1 và 8A3 kết quả như
sau:
Lớp

Sĩ số

Trên Trung bình

Tỉ lệ %

8A1

27

5

18,5%

8A3

32

10

31,3%

Từ kết quả khảo sát trên thông qua việc điều tra tình hình học tập của các em
học sinh tôi nhận thấy một số thuận lợi như:
+ Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của ban giám hiệu nhà trường.
+ Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp.
+ Nhà trường có tương đối đầy đủ phương tiện trang thiết bị phục vụ cho dạy
học.
Tuy nhiên vẫn còn nhiều khó khăn:
+ Trình độ nhận thức của các em không đồng đều (có nhiều học sinh khá giỏi
nhưng cũng có không ít học sinh yếu kém).
+ Đa số học sinh chưa xác định được mục đích của việc học.
+ Học sinh không có sự ôn luyện hè ở nhà.
+ Học sinh còn chịu ảnh hưởng của bệnh thành tích ở những năm trước không
cần học cũng vẫn lên lớp.
+ Học sinh nhận thức chậm, nhiều em lười học
+ Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử
đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo.
Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?
7
7
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. Suy luận
kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau.
Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. Các em chưa có phương pháp học
tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu kiên nhẫn khi gặp bài toán khó.

+ Một số em hổng kiến thức từ dưới (lên cấp II mà bảng cửu chương chưa
thuộc).
+ Môn đại số 8 lượng kiến thức lớn, trình bày cần logic chặt chẽ nhưng lứa
tuổi các em còn bỡ ngỡ và lập luận hay ngộ nhận, thiếu căn cứ.
+ Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh yếu
kém.
+ Nhiều gia đình kinh tế khó khăn, bố mẹ thường xuyên vào rẫy xa để trồng mía,
trồng sắn... chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập.
Từ những thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sao để các
em học sinh ngày thêm yêu thích môn toán hơn, hình thành cho học sinh kĩ năng giải
toán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo.
Từ những nguyên nhân các yếu tố tác động tôi có thể phân tích các vấn đề về
thực trạng như sau:
+ Đối với học sinh : Có thể nói sau khi học xong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
thì học sinh gặp ngay một dạng toán mới tương đối khó đó là phân tích đa thức thành
nhân tử. Ta đã biết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò rất quan trọng trong việc
giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhưng sự vận dụng của các em phần lớn
chưa tốt, còn nhiều em chưa thuộc chính xác 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Hơn nữa,
một số kĩ năng phục vụ cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như nhân – chia
đơn thức, qui tắc dấu ngoặc, một số công thức về lũy thừa là chưa thành thạo. Chính
vì thế mà kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao.

8
8
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sỏng kin kinh nghim nm hc 2017-2018

i vi giỏo viờn: Cú th trong tit luyn tp, ụn tp v ni dung bi toỏn liờn

quan n phõn tớch a thc thnh nhõn t giỏo viờn cha nm bt c nhng c
im trờn ca hc sinh. Cng cú th hng dn cho hc sinh tng bi c th nhng
cha nh hng cỏch gii chung cho dng toỏn ny.
3. Ni dung v hỡnh thc ca gii phỏp
a. Mc tiờu ca gii phỏp
xut cỏc bin phỏp s phm giỳp hc sinh bit s dng cỏc
phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t vo gii toỏn. Gúp phn nõng cao cht
lng dy hc toỏn lp 8. Tụi ó s dng phi kt hp nhiu phng phỏp dy hc
nh: t vn , m thoi - gi m, trc quan, vn ỏp, kt hp trũ chi tng
thờm ng lc, nim phn khớch i vi cỏc em cỏc em cú th tip thu kin thc
mt cỏch tt nht.
b. Ni dung v cỏch thc thc hin gii phỏp
* Bin phỏp 1: Cng c, khc sõu kin thc c bn.
phõn tớch a thc thnh nhõn t hc sinh phi nm vng cỏc kin thc liờn
quan ó hc. Vỡ vy giỏo viờn phi cng c, khc sõu cho hc sinh của mình
các đơn vị kiến thức cơ bản nh các quy tắc, thành thạo phép
nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia
đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia
hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc
và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
c bit giỏo viờn phi cho hc sinh nắm vững bản chất của việc
phân tích đa thức thành nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là
biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức
khác.

9
9
Giỏo viờn: on Cụng Nam - Trng THCS Lng Th Vinh KrụngAna kLk

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Khi giải một số bài toán đơn giản người ta có thể sử dụng một trong các phương pháp
giải thông thường như:
+ Đặt nhân tử chung.
Ví dụ1: x2 – 2x= x( x–2)
+ Dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: x2 – 2x+ 1= (x–1)2
+ Nhóm nhiều hạng tử (thường thì ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác nhau)
Ví dụ 3: x – 3xy+ 1– 9y2 = (x – 3xy)+ (1– 9y2) =x (1– 3y)+ (1– 3y) (1+3y)
= (1– 3y)(x+ 1+3y)
Tuy nhiên khi thực hành giải toán đòi hỏi chúng ta không những thành thạo các
phương pháp trên mà cần phải biết phối hợp linh hoạt cả ba phương pháp kể trên để
có thể phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
A=

3x 2 + 5y − 3xy − 5x

= ( 3x2 – 3xy) – ( 5x – 5y)

(Nhóm các hạng tử)

= 3x( x–y) –5( x–y)

(Đặt nhân tử chung)

= ( x–y) ( 3x –5)

(Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
B = x - 2y + x2 - 4xy + 4y2
= (x - 2y) + (x2 - 4xy + 4y2)

(Nhóm các hạng tử)

= (x - 2y) + (x - 2y)2

(Dùng hằng đẳng thức)

= (x- 2y) (1 + x - 2y)

(Đặt nhân tử chung)

Vậy muốn các em phối hợp tốt các phương pháp trên giáo viên cần nhắc các em
lưu ý một số bước sau:
+ Ta đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể để từ đó làm đơn giản đa
thức.
10
10
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

+ Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào hay không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải biết
cách nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện

hằng đẳng thức.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
M = x4 +2x3 + x2 - 9x2y2
Nhìn vào biểu thức ta cần dùng phương pháp nào trước để phân tích? Ta thấy các
hạng tử có nhân tử chung là x2
+ Đặt nhân tử chung: x2( x2 +2x + 1- 9y2)
Trong ngoặc có 4 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không
+ Nhóm hạng tử:

M = x2[(x2 - 2x + 1 ) - 9y2 ]

+Dùng hằng đẳng thức: M = x2 [( x - 1)2 - (3 y)2] xem xét hai hạng tử trong
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta
có:

M = x2 (x - 1+ 3y) (x - 1 - 3y)

Vậy để phân tích tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi chúng ta cần
quan sát kĩ bài toán và sử dụng linh hoạt các phương pháp trên giải bài toán một
cách logic và chính xác.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a - a = a( a2- 1 ) = am(a+1)(a-1)
* Biện pháp 2: Cung cấp thêm, mở rog các phương pháp thông thường
cho HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế làm toán nhiều trường hợp chúng ta sử dụng linh hoạt hầu hết tất cả các
phương pháp trên nhưng vẫn chưa đưa đến kết quả mong muốn, do đó chúng ta cần
giúp HS biết thêm một số phương pháp khác khi làm một số bài toán phức tạp hơn đó
là:
+ Phương pháp tách hạng tử.
11

11
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp đặt biến phụ
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể hóa các phương pháp trên ta đi tìm hiểu sâu một số ví dụ sau:
1. Phương pháp tách hạng tử
Ta có thể tách hạng tử tự do thành nhiều hạng tử để từ đó có thể kết hợp với các
hạng tử trong bài toán trở thành hằng đẳng thức,hoặc xuất hiện nhân tử chung với các
hạng tử còn lại để từ đó ta phân tích được bài toán.
Ngoài cách tách hạng tử tự do ta còn có thể tách hạng tử bậc nhất( dùng cách
tách tam thức bậc hai) thành hai hạng tử để nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử
chung.
Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx +c thành nhân tử chung,
ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 7:Phân tích đa thức thành nhân tử:
N = 3x2 + 4x – 7.
Cách 1: N = 3x2 +4x - 4 - 3 (Tách -7 = -4 - 3)
= (3x2 - 3) +(4x- 4)

(Nhóm hạng tử)

= 3(x2 - 1) + 7(x - 1)

(Đặt nhân tử chung)

= 3(x - 1)(x+1)+7(x - 1)

(Dùng hằng đẳng thức)

= (x - 1) (3x+7)

(Đặt nhân tử chung)

12
12
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Cách 2: 3x2 +7x - 3x- 7

(Tách 4x = 7x - 3x

= (3x2 - 3x) + (7x - 7)

(Nhóm hạng tử)

= 3x (x - 1) + 7(x - 1)

(Đặt nhân tử chung)

= (x - 1) (3x+7)

(Đặt nhân tử chung)

Ngoài ra tùy từng bài toán cụ thể ta có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự
do, hạng tử bậc nhất)
2. Phương pháp thêm bớt hạng tử
a) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = x4 + 324 = x4 + 182 = x4 + 182 + 36x2 - 36x2 ( thêm bớt 36x2)
= (x2 + 18)2- (6x)2 ( nhóm hạng tử)
= (x2 + 6x + 18)(x2 - 6x + 18) ( dùng hằng đẳng thức)
b) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) Q = a5 + a + 1
b) P= x7 + x2 + 1
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
a) Q = a5 + a + 1
= a5 + a + 1+ a2 - a2
= (a5 - a2 )+( a2 + a + 1)

( Thêm bớt a2)
( Nhóm hạng tử)

= a 2(a- 1))( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng
thức)
= ( a2 + a + 1)(a3 - a2 + 1)

(Đặt nhân tử chung )

b) P= x7 + x2 + 1
= x7 – x + x2 + x + 1
(Thêm bớt x )
3
3
2
= x(x +1) (x -1)+ (x + x + 1 )
(Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)
3
2
2
= x(x +1)(x-1)(x + x + 1) +(x + x +1) (Nhóm hạng tử dùng hằng đẳng thức)
= (x2 + x + 1 )(x5 – x4 + x2 - x + 1 )
13
13
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Chú ý: Các đa thức dạng x3m+1 + x3n+2 +1 như x7 + x2 + 1, x7 + x5 + 1, x + x5 + 1,
…. Đều chứa nhân tử x2 + x + 1
Phương pháp này khi ta thêm bớt hạng tử giúp chúng ta rất tiện lợi tuy nhiên cần
thông minh để thêm bớt hạng tử phù hợp cho bài toán của mình.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ( phương pháp đổi biến)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12

b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
a) A = (x2 + x+1)( x2 + x+2) – 12
Ta thấy hai hạng tử của nhân tử thứ nhất hơn kém nhau 1đơn vị. Vậy ta có thể
đặt ẩn phụ để đưa bài toán đơn giản hơn.
Đặt t = x2 + x+1 khi đó A = t(t + 1) -12 = t2 + t - 12
Sau đó có thể phân tích t2 + t - 12 = t2 + 4t - 3t - 12 ( tách t = 4t - 3t)
=( t2 + 4t) - (3t + 12) ( nhóm hạng tử)
= t( t + 4) - 3( t + 4) = (t + 4)( t - 3) ( đặt nhân tử chung)
Hay A = (x2 + x+5)( x2 + x - 2)
Ta x2 + x+5= (x+ )2 + ≥ 0 nên không phân tích được nữa
còn x2 + x - 2= (x-1)(x+2)
vậy A = (x2 + x+5)(x -1 )( x+ 2)
b) B= x( x+4)(x+6)(x+10) +128= (x2+ 10x)(x2+10x +24)+128
Đặt x2+10x +12 = y đa thức đã cho có dạng
( y +12) ( y-12) +128 = y2 – 16 =( y +4) ( y-4)
= ( x2+10x +16)( x2+10x +8)
= ( x+2)(x+8)( x2+10x +8)

14
14
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biết, ta đã đứa đa thức bậc bốn đối
với x thành đa thức bậc hai đối với biến y
4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Cho đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1)

Phương pháp:Nếu đa thức (1) có nghiệm thì theo định lí Bơ Zu có m là nghiệm
của (1)thì đa thức chứa nhân tử (x – m) khi đó dùng phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
được dựa vào các phương pháp nêu trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Chú ý: khi xét nghiệm nguyên của đa thức, cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự
do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức f(x). f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
a-1

và

f(-1)
a+1

đều

là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
+ Cũng có thể tìm nghiệm bằng máy tính casio rồi từ đó phân tích đa thức
thành nhân tử.
Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) A(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 .
b) B(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 .

c) C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
a) A = x3 - 5x2 + 8x - 4 xét tổng các hệ số ta thấy
a + b + c +d = 1 +(-5)+ 8+ (-4) = 0 ⇒ x1 = 1
15
15
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

A = (x - 1) (x2 - 4x + 4) (Chia hết cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã có để các em làm tiếp
A= (x - 1) (x - 2)2
b) B = 4x3 - 13x2 + 9x - 18
Ta thấy các ước của 18 là ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18
B(1) = -18 ; B(-1) = -44 vì vậy ±1 không phải là nghiệm của B(x) .
Ta thấy -18/(-3-1); -18/(±6-1); -18/(±9-1); -18/(±18-1) không nguyên nên ; -3; ±6; ±9;
±18 không là nghiệm của B(x)
Ta thấy -44/ (2+1) không nguyên nên 2 không là nghiệm của B(x). Chỉ còn -2 và 3
kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của B(x) do đó ta tách hạng tử để xuất hiện nhân tử
chung là x – 3 như sau:
B = 4x3 - 13x2 + 9x - 18
= 4x3 - 12x2- x2 +3x + 6x - 18
= 4x2(x – 3) – x(x-3) +6 ( x-3)
= ( x – 3) (4x2– x+6 )
Các em có thể lấy đa thức B chia cho x – 3 được thương là (4x2– x+6 ) số dư là 0
Các em cũng có thể dùng máy tính casio tìm nghiệm của B rồi dùng sơ đô hoocne để
phân tích đa thức thành nhân tử.
Ấn như sau:

4 aphal x ^ 3 -13 aphal x ^ 2 + 9 aphal x – 18= 0 shift solve
Nghiệm là x = 3
Ta có sơ đồ hoocne như sau:
4
3
4
3
2
B = 4x - 13x + 9x - 18
= ( x – 3) (4x2– x+6 )
c) C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x – 5

-13
-1

9
6

-18
0

Các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm
nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữa tỉ khác. Ta chứng minh được rằng
16
16
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữa tỉ nếu có phải có dạng p/q trong đó p
là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
Vì vậy ta xét các số ±1/3; ±5/3 thì 1/3 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa
thừa số 3x-1 nên ta tách đa thức có nhân tử chung là 3x- 1 như sau:
C(x) = 3x3 - 7x2 + 17x – 5
= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
= x2( 3x -1) –2x(3x -1) +5(3x -1)
= ( 3x -1) (x2–2x+ 5)
5. Phương pháp dùng hệ số bất định (Đồng nhất hệ số)
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở
hai đa thức phải có hệ số bằng nhau . Chẳng hạn
P(x) = bx2 + 2cx- 3
Q(x) = x2 - 4x - p
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có b = 1 (Hệ số của lũy thừa 2)
2c = -4 ⇒ C = -2
p=3

(Hệ số của lũy thừa 1)
(Hạng tử không đổi)

Ví dụ 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Đa thức 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 có nghiệm x = 2 nên có nhân tử x - 2
Do đó 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)(2x3 + ax2 + bx+ c)
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 =2x4 +( a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c

Suy ra:

 a − 4 = −3
b − 2a = −7



c − 2b = 6

 − 2c = 8

Vậy a = 1, b = -5 , c = - 4
17
17
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Khi đó H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)(2x3 + x2 - 5x- 4)
2x3 + x2 - 5x- 4 = ( x + 1)(2x2 -x- 4)
Do đó: H = 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = ( x - 2)( x + 1)(2x2 - x- 4)
Các ví dụ trên là một trong những bài toán cơ bản dùng phối kết hợp các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó giúp các em nắm bắt được
một số bài toán khó khi phân tích đa thức thành nhân tử. Đồng thời từ đó giúp
HS có công cụ sắc bén để giải quyết các bài toán rút gọn phân thức cũng như giải
phương trình.
6. Phương pháp xét giá trị riêng
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của
đa thức, rồi gán các biến có giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại.
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A= x2 (y – z) + y2( z-x) +z2( x – y)
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
Thử thay x bởi y thì A = y2 (y – z) + y2( z-y) +z2( y – y)= 0
Như vậy A chia hết cho x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì A không đổi ta nói đa thức A có thể
hoán vị vòng quanh x yzx . Do đó nếu A chia hết cho x – y thì cũng chia hết cho
y – z , z – x.do đó A có dạng k (x – y )(y – z )( z – x) và k là hằng số.
Vì A có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y )(y – z )( z – x) cũng
có bậc 3 đối với các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x2 (y – z) + y2( z-x) +z2( x – y) = k (x – y )(y – z )( z – x) đúng với
mọi x, y, z nên ta gán x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y= 1, z= 0 chỉ cần
chúng đôi một khác nhau ta được kết quả như sau:
4.1+1.(-2)+0=k 1.1.(-2)
Suy ra k = -1
18
18
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Vậy A = -1 (x – y )(y – z )( z – x)
* Biện pháp 3: Giúp HS sử dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vào giải toán
Bài 1:Giải phương trình:
a) 6x4 – x3 – 7x2 + x +1 = 0
⇔
⇔
⇔

6x4 – x3 – x2 - 6x 2 + x +1 = 0
x2( 6x 2 – x – 1) – ( 6x 2 - x – 1) = 0
(x2- 1)(2x-1)(3x+1) = 0
1

1
−
2
3

Nghiệm là -1;1; ;

b) x3 – 5x 2+ 8x-4 = 0
Ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình (vì 1-5+8-4=0)
do đó : x 3 – 5x 2+ 8x-4 chia hết cho x-1.
Thực hiện phép chia đa thức được thương x 2- 4x +4
Khi đó x3 – 5x 2+ 8x-4 = 0

⇔

(x-1)(x2- 4x +4) = 0

⇔

(x-1)(x- 2) 2 = 0

Nghiệm của phương trình là 1 và 2
Bài 2:Rút gọn phân thức

A=

B=

B=

4 x 2 − 1 4 xy − 2 y + 2 x − 1
−
2x − 1
2y +1
3x 3 − 7 x 2 + 5x − 1
2x 3 − x 2 − 4x + 3

=

=

(2 x + 1)( 2 x − 1) (2 x − 1)( 2 y + 1)
−
2x − 1
2y +1

= 2

3x 3 − x 2 − 6 x 2 + 2 x + 3x − 1
2 x 3 − 4 x 2 + 3x 2 − 6 x + 2 x + 3

(3 x − 1)( x − 1) 2
3x − 1
=
2
2x + 3
(2 x + 3)( x − 1)

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
19

19
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

M = 2x2 + 4x + 10
Biến đổi M = 2(x+ 1)2 + 8
Vì (x+1)2

≥

≥

0 nên M 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 8 tại x= -1
Bài 4: Chứng minh rằng biểu thức sau chia hết cho 24 với n là số tự nhiên:

N=

n 5 − 5n 3 + 4n
n+2

Giải: Trước tiên ta phân tích : n5- 5n3 + 4n = n( n4 – 5n2+4) = n( n4 – n2 - 4n2+4)
= n[n2( n2 – 1) – 4(n2 – 1)] = n2( n2 – 1)(n2 – 4)
= n(n-1)(n + 1)(n-2)(n+2)

Khi đó:

N=

n(n − 1)( n + 1)( n − 2)( n + 2)
= n(n − 1)( n + 1)( n − 2)
n+2

.

Kết quả của biểu thức trên là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp. Trong 4 số tự
nhiên liên tiếp có 2 số chẵn và 2 số lẻ. Trong hai số chẵn đó, một số chia hết cho 4
nên tích hai số chẵn chia hết cho 8. Trong hai số lẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Từ
đó suy ra tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 hay N chia hết cho 24.
Bài 5: Chứng minh rằng x8n + x4n + 1 Chia hết cho x2n + xn + 1 với mọi số tự nhiên n.
Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
x8n + x4n + 1= x8n + 2 x4n +1 - x4n = (x4n+1)2 – (x2n)2
= (x4n+1– x2n) (x4n+1+ x2n)
= (x4n+1– x2n) (x4n+ 2x2n + 1- x2n)
= (x4n+1– x2n) (x2n + 1- xn) (x2n + 1+ xn)
Vậy x8n + x4n + 1 Chia hết cho x2n + xn + 1
Bài 6: Chứng minh rằng x3m+1 + x3n+2 + 1 Chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên
n, m.
20
20
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Giáo viên hướng dẫn cụ thể như sau:
x3m+1 + x3n+2 + 1= x3m+1 – x + x3n+2 - x2+x2 +x + 1

= x(x3m- 1)+ x2( x3n – 1) + ( x2 +x + 1)
Ta thấy x3m- 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1) , do đó chia hết cho x2 +x + 1
Vậy x3m+1 + x3n+2 + 1 Chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên n, m.
Một số phương pháp và có dạng bài tập tương ứng trên mong sao giúp các em
HS rèn luyện cho mình kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử,
giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bài toán chứng minh.
Tôi đã chú trọng đến nhân tố tác động đến chất lượng giờ dạy tiết học.
* Kỹ năng sư phạm
Khâu tổ chức lớp: Nếu làm tốt khâu này thì rõ ràng hiệu quả tiết dạy sẽ được
nâng cao. Học sinh ra vào lớp theo hướng dẫn của giáo viên, học sinh thực hiện
nghiêm túc theo nội quy trong giờ học; Giáo viên kiểm tra sĩ số, GV bám sát tình
hình học tập của học sinh
Tầm bao quát lớp: Giáo viên có tầm bao quát lớp tốt sẽ nắm bắt tình hình học
tập chung của cả lớp, của từng học sinh. Bên cạnh đó, còn thúc đẩy các em học tập
tích cực hơn.
Biện pháp quản lí học sinh: Thể hiện trong suốt tiết học, quản lí việc làm bài
tập và ý thức học tập của các em.
* Một số nhân tố khác:
Biện pháp xử lí những trường hợp học sinh vi phạm: Đòi hỏi ở giáo, viên
một phong cách chuẩn mực về cả chuyên môn và nhân cách để có những cách xử
sự hợp lí, để học sinh của mình tâm phục, khẩu phục. Giáo viên phải thực sự
nghiêm minh nhưng phải quan tâm, gần gũi với học sinh, đặc biệt là những học
sinh cá biệt. …
* Phương pháp dạy học của giáo viên
Tổ chức hài hòa, nhịp nhàng tiết học: Để hoàn thành mục tiêu của từng tiết
học thì sự phân chia thời gian của từng nội dung, điều khiển tiến trình dạy học
một cách lôgic là cần thiết.
Vận dụng linh hoạt các phương pháp sư phạm: Thực hiện mục tiêu của tiết
dạy: Tùy theo đặc thù kiến thức của mỗi tiết dạy mà giáo viên có phương pháp
21

21
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

riêng cho phù hợp như: vấn đáp tái hiện, vấn đáp minh họa, phát hiện và giải
quyết vấn đề, … đặc biệt vận dụng bản đồ tư duy ở một số tiết dạy.
Củng cố tiết học: Giáo viên củng cố lại kiến thực trọng tâm của tiết học để
học sinh nắm bắt được những kiến thức quan trọng của tiết học.
Ra nhiệm vụ về nhà cho học sinh: Mỗi tiết học giáo viên phải có những yêu
cầu cụ thể cho tiết học sau như: về nhà học bài cũ, chuẩn bị kiến thức mới, ôn tập,
…
* Phương tiện dạy học
Đồ dùng dạy học: Sự chuẩn bị của giáo viên cho mỗi tiết dạy – thước gỗ là
đồ dùng không thể thiếu: Giáo dục học sinh đức tính cẩn thận, tạo ra âm thanh lớn
gây sự chú ý của học sinh, giúp giáo viên dễ dàng ổn định trật tự, lớp học thực sự
nghiêm túc thì thành công của tiết dạy đó rất lớn.
* Một số nhân tố khác
Thứ nhất, giáo viên truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản về
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên.
Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý
thuyết về những bài tập cơ bản, sau đó luyện giải các dạng bài tập cụ thể, đa dạng từ
dễ đến khó trong tiết luyện tập. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và trình bày bài làm
cho học sinh yếu, trung bình vì đây là đối tượng học sinh rất mau quên kiến thức, hay
chán nản và dễ bị mất kiến thức, thờ ơ với phương pháp học tập ở cấp THCS. Đồng
thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để
đảm bảo chất lượng của bài dạy.
Thứ ba, bài tập về về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tuy đa dạng
nhưng với chương trình Sách giáo khoa yêu cầu các dạng bài tập cơ bản, do đó với

mỗi dạng bài tập giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các kiến thức đã áp
dụng, cách trình bày…sau khi giải hoặc hướng dẫn, giáo viên nên chỉ ra một đặc
điểm là mấu chốt của bài toán để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và
áp dụng được với kiến thức cũ.
Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em, tạo tâm
thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn có nhiều em
học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta buồn bực, thất
vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết quả khả quan
hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh, bởi đối với cấp THCS,
lứa tuổi lớp 8 và lớp 9 chưa ổn định..

22
22
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018

Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến thức mới,
củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các mảng kiến
thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh phần nào biết
được mức độ nắm bắt kiến thức của bản thân để điều chỉnh tốt hơn. Thông qua đó,
kịp thời liên hệ với giáo viên chủ nhiệm lớp (nếu không làm công tác chủ nhiệm)
hoặc liên hệ trực tiếp với phụ huynh học sinh (nếu là giáo viên chủ nhiệm) để thông
báo tình hình học tập, chất lượng kiểm tra chủ đề kiến thức đang học để nhắc nhở,
chấn chỉnh các em.
c. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Các biện pháp trên có mối quan hệ chặt chẽ với nhau và tác động qua lại để
đem lại kết quả chung. Khi được giáo viên củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản học
sinh sẽ nắm các kiến thức một cách vững chắc giúp các em dễ dàng hơn cho việc biến

đổi để phân tích đa thức thành nhân tử. Khi được giáo viên cung cấp cho nhiều
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sẽ giúp học sinh linh hoạt hơn khi vận
dụng vào giải các bài toán.
- Giáo viên xây dựng kế hoạch kèm theo những giải pháp cụ thể, sau đó
trình ban giám hiệu nhà trường để xin ý kiến chỉ đạo.
- Giáo viên vận dụng linh hoạt các phương pháp trong từng tiết dạy cụ thể.
- Giáo viên phải nghiêm khắc giáo dục đạo đức, ý thức học cho học sinh.
- Giáo viên cần xác định rõ mục tiêu và kế hoạch cụ thể của từng tiết học.
d. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu phạm vi
và hiệu quả ứng dụng
Theo tôi nghĩ nội dung đề tài SKKN này đã góp phần không nhỏ trong việc
dạy và học. Bởi nó đã cung cấp được cơ bản lượng kiến thức cần thiết về tỉ lệ
thức cho các em học sinh, giúp các em có thể tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời
đòi hỏi mỗi giáo viên chúng ta cũng cần thường xuyên tham khảo tài liệu, tự tích
lũy trang bị thêm cho bản thân vốn kiến thức cơ bản tối thiểu để tự tin hơn mỗi
khi đứng trên bục giảng.
Bản thân tôi đã trực tiếp vận dụng các giải pháp vào các lớp dạy của mình
thì thấy sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại hiệu quả một cách thiết thực.
23
23
Giáo viên: Đoàn Công Nam - Trường THCS Lương Thế Vinh – KrôngAna – ĐắkLắk


Sỏng kin kinh nghim nm hc 2017-2018

Qua kho nghim kt qu qua cỏc nm hc, thỡ sau khi ỏp dng cỏc bin
phỏp ca sỏng kin kinh nghim cht lng ca b mụn tng dn.
Hc sinh hc tp mt cỏch tớch cc, ch ng.
Mi tit hc u cú nhng chuyn bin tớch cc trong vic lnh hi kin
thc, k nng thc thc i vi hc sinh.

Qua thc t ging dy hc kỡ I i s 8 nm hc 2017 - 2018. Sau khi xõy dng
cng chi tit ca sỏng kin kinh nghim c rỳt ra t nm hc 2016 - 2017 tụi
ó vn dng vo cỏc gi dy cỏc lp 8A1, 8A3 ch yu vo cỏc tit luyn tp, ụn
tp. Qua vic kho sỏt chm cha cỏc bi kim tra tụi nhn thy rng t l bi tp hc
sinh gii ỳng tng lờn.C th :
Bi kim tra 15 phỳt s 1: Tng s 59 em
S bi kim tra t trung bỡnh tr lờn l 51 em chim 86,44%. ( nm hc
2015-2016 l 78%) Tuy mi dng li cỏc bi tp ch yu mang tớnh ỏp dng nhng
hiu qu em li cng ó phn ỏnh phn no hng i ỳng.
Bi kim tra chng I : Tng s 59 em
S bi kim tra t trung bỡnh tr lờn l 57 em chim 96,7% ( nm hc 20152016 l 71%) cỏc bi tp ó cú khú, cn suy lun.
Bi kim tra 15 phỳt s 2 : Tng s 59 em
S bi kim tra t trung bỡnh tr lờn l 58 em chim 98,3% ( nm hc 20152016 l 83%) cỏc bi tp ó cú khú, cn suy lun v t duy cao.
Sau khi ỏp dng cỏc bin phỏp trờn, tụi thy hc sinh cú nhiu tin b, cỏc em tip
cn kin thc mt cỏch nh nhng hn, kt qu hc tp ca cỏc em kh thi hn;
hc sinh cú ý thc hn, cn thn hn, trỡnh by mt bi toỏn khoa hc cht ch
hn, c bit cỏc em yờu thớch, hng thỳ hc toỏn hn. Kết quả học tập của
học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi,
24
24
Giỏo viờn: on Cụng Nam - Trng THCS Lng Th Vinh KrụngAna kLk


Sỏng kin kinh nghim nm hc 2017-2018

đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo
các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các
dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả
tốt. Bên cạnh đó các phơng pháp này giúp các em dễ dàng tiếp
cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hình

thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi
học bộ môn toán.
Kt qu ging dy nm hc 2016 2017 sau khi ỏp dng cỏc bin phỏp trờn t
c nh sau:
Lp

S s

Trờn TB

T l %

8A1

37

36

97,2%

8A3

32

28

87,5%

Kt qu ging dy sau nm hc 2017 - 2018 khi ỏp dng cỏc bin phỏp trờn t
c nh sau:

Lp

S s

Trờn TB

T l %

8A1

27

26

96,2%

8A3

32

32

100%

Kt qu mi nhn nm hc 2016 2017 sau khi ỏp dng cỏc bin phỏp trờn
t c 1 hc sinh cụng nhn, 1hc sinh t gii khuyn khớch cp huyn.
Kt qu mi nhn nm hc 2017 2018 sau khi ỏp dng cỏc bin phỏp trờn t
c 1 hc sinh cụng nhn, 1hc sinh t gii nht cp huyn.
Theo tụi ngh ni dung nghiờn cu ca SKKN ny s ỏp ng c lng kin
thc cn thit cho cỏc em hc sinh cú th t hc, t rốn luyn thờm, ng thi i vi

mi giỏo viờn, ó to cho chỳng ta nhiu suy ngh mi ngi t tớch ly thờm cho
bn thõn vn kin thc ngy mt trn vn mi ngy dy tt hn, cú nhiu kinh
nghim, sỏng kin sau ny hay v giỏ tr hn nhng ý tng cú trc.
III. PHN KT LUN, KIN NGH
25
25
Giỏo viờn: on Cụng Nam - Trng THCS Lng Th Vinh KrụngAna kLk