CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.51 MB, 230 trang )
1
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10
MÔN TOÁN
Tài liệu đƣợc dùng cho học sinh ôn thi vào lớp 10(đặc biệt là khối lớp 9) .
Tài liệu đƣợc biên soạn theo cấu trúc đề thi của Bộ GD&ĐT năm 2015.
Tài liệu đƣợc lƣu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dƣới mọi hình thức!
Nếu chƣa đƣợc sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động up tài liệu thì đều
đƣợc coi là vi phạm nội quy của nhóm.
Tài liệu đã đƣợc bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Th.S Lê – Ngô Thị Thu Ngọc CLB gia sƣ Bắc Giang (Chủ biên).
2. Trƣơng Minh Vƣơng– Trƣờng ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Trƣởng nhóm).
3. Nguyễn Thị Thu – SV Khoa Toán– Trƣờng ĐHSP Thái Nguyên.
4. Lƣu Tuấn Anh – SV Khoa Toán– Trƣờng ĐHSP Thái Nguyên.
5. Lê Tuấn – Trƣờng ĐHCNTT&TT Thái Nguyên
Tuy nhóm mình đã cố gắng hết sức nhƣng cũng không thể tránh đƣợc
những sai xót nhất định.
Rất mong các bạn gửi những phần sai xót về địa chỉ email:
Xin trân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh an toàn, nghiêm túc và đạt hiệu quả:
Thái Nguyên 09/11/2014 Thái Nguyên, ngày 09/11/2014
Chủ biên: Tm.nhóm:
Th.S Lê – Ngô Thị Thu Ngọc Trƣơng Minh Vƣơng:
2
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Tài liệu được soạn thảo theo cấu trúc sau:
PHẦN I
ÔN TẬP THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI CỦA
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHẦN II
ÔN TẬP THEO TƢỜNG DẠNG BÀI TẬP CỤ THỂ
DẠNG CỤ THỂ
PHÂN III
CÁC ĐỀ THI CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I: ÔN TẬP THEO CẤU
TRÚC ĐỀ THI CỦA
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
3
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10:
Câu 1.
(2 điểm)
Căn thức bậc hai:
-Tìm tập xác định.
-Rút gọn, chứng minh.
-Giải phương trình.
Là bài toán có nội dung về rút
gọn, tính giá trị của biểu thức có
chứa căn thức bậc hai; các bài
toán có liên quan (tính giá trị của
biểu thức; chứng minh đẳng thức,
bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất; giải phương trình; tìm
giá trị của biến số để giá trị của
biểu thức thỏa mãn điều kiện cho
trước, )
Câu 2.
(2 điểm)
Hàm số và đồ thị:
- Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, hàm số
bậc hai.
- Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị.
- Phương trình đường thẳng y = ax + b
(a ≠ 0).
Hàm số; các bài toán liên quan
đến tính chất của hàm số, đồ thị
hàm số, sự biến thiên của hàm số,
tương giao giữa các đồ thị,
Câu 3.
(2 điểm)
Hệ phương trình bậc nhất 02
ẩn và phương trình bậc hai
01 ẩn :
-Giải hệ phương trình, phương trình.
-Giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình.
Là bài toán có nội dung về phương
trình, bất phương trình, hệ phương
trình, phương trình nghiệm nguyên
; giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình
4
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
-Những bài toán về hệ thức Vi-et.
Câu 4.
(3,5 điểm)
Hình học :
-Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
-Tỉ số lượng giác.
-Bài toán tổng hợp về đường tròn.
Là bài toán có nội dung về hình
học tổng hợp về tính toán; chứng
minh: hệ thức, song song, vuông
góc, đồng qui, thẳng hàng, tam
giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp, tứ
giác ngoại tiếp; bất đẳng thức; xác
định hình dạng tam giác, tứ giác,
đa giác; xác định vị trí của điểm,
đường thẳng thỏa mãn điều kiện
cho trước; tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất
Câu 5.
(0,5 điểm)
Dành cho cho học sinh giỏi:
-Bất đẳng thức.
-Giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất.
-Quỹ tích phần thuận.
Là bài toán tổng hợp các kiến thức
về đại số hoặc hình học như:
phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, bất đẳng thức,
Câu 1: -Tìm tập xác định.
- Rút gọn chứng minh.
- Giải phương trình.
Lý thuyết căn bản:
Bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ:
2
22
a b a 2ab b
3 3 2 2
a b a b a ab b
5
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
2
22
a b a 2ab b
3 3 2 2
a b a b a ab b
22
a b a b a b
2
222
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b
1. Căn bậc hai
Căn bậc hai số học
- Với số d-ơng a, số
a
đ-ợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đ-ợc gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
2
0x
xa
xa
So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b
2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
AA
Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ng-ời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, A đ-ợc gọi là biểu
thức lấy căn hay biểu thức d-ới dấu căn
-
A
xác định (hay có nghĩa)
A
0
Hằng đẳng thức
2
AA
- Với mọi A ta có
2
AA
- Nh- vậy: +
2
AA
nếu A
0
+
2
AA
nếu A < 0
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai ph-ơng
Định lí: + Với A
0 và B
0 ta có:
A B A B
+ Đặc biệt với A
0 ta có
22
()A A A
Quy tắc khai ph-ơng một tích: Muốn khai ph-ơng một tích của các thừa số không âm, ta có thể
khai ph-ơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các
số d-ới dấu căn với nhau rồi khai ph-ơng kết quả đó
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai ph-ơng
6
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
Định lí: Với mọi A
0 và B > 0 ta có:
AA
B
B
Quy tắc khai ph-ơng một th-ơng: Muốn khai ph-ơng một th-ơng a/b, trong đó a không âm và b
d-ơng ta có thể lần l-ợt khai ph-ơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b d-ơng ta có thể
chia số a cho số b rồi khai ph-ơng kết quả đó.
5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Đ-a thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B
0, ta có
2
A B A B
, tức là
+ Nếu A
0 và B
0 thì
2
A B A B
+ Nếu A < 0 và B
0 thì
2
A B A B
Đ-a thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A
0 và B
0 thì
2
A B A B
+ Nếu A < 0 và B
0 thì
2
A B A B
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B
0 và B
0, ta có
A AB
BB
Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A A B
B
B
- Với các biểu thức A, B, C mà
0A
và
2
AB
, ta có
2
()C C A B
AB
AB
- Với các biểu thức A, B, C mà
0, 0AB
và
AB
, ta có
()C A B
C
AB
AB
6. Căn bậc ba
Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
- Với mọi a thì
3 3 3
3
()a a a
Tính chất
- Với a < b thì
33
ab
- Với mọi a, b thì
3 3 3
.ab a b
7
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
- Với mọi a và
0b
thì
3
3
3
aa
b
b
Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
Căn bậc n
a. Căn bậc n (
2 nN
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số d-ơng là số d-ơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số d-ơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
2k
a
và
2k
a
d. Các phép biến đổi căn thức.
21
.
k
A
xác định với
A
2
.
k
A
xác định với
0A
21
21
k
k
AA
với
A
2
2
k
k
AA
với
A
2 1 2 1
21
kk
k
A B A B
với
A, B
2
22
k
kk
A B A B
với
A, B mà
.0AB
2 1 2 1
21
kk
k
A B A B
với
A, B
22
2
kk
k
A B A B
với
A, B mà
0B
8
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
21
21
21
k
k
k
AA
B
B
víi
A, B mµ B
0
2
2
2
k
k
k
A
A
B
B
víi
A, B mµ B
0,
.0AB
m
n mn
AA
víi
A, mµ
0A
m
m
n
n
AA
víi
A, mµ
0A
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
a.
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A
b. B =
5 + 5
5 - 5
+
5 - 5
5 + 5
c. C = 5.
1
5
+
1
2
. 20 + 5
NG DN GII:
a.
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A
.
2( 3 3) 2( 3 3)
4 2 3 4 4 2 3 4
2( 3 3) 2( 3 3)
3 1 4 3 1 4
22
2( 3 3) 2( 3 3)
39
24 2
42
6
9
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
b. B =
5 + 5
5 - 5
+
5 - 5
5 + 5
=
(5 + 5 )
2
+ (5 - 5 )
2
(5 - 5 )(5 + 5 )
=
25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5
25 - 5
=
60
20
= 3
c. C = 5.
1
5
+
1
2
. 20 + 5 = 5.
5
5
2
+
1
2
. 4.5 + 5
=
5
5
5 +
2
2
5 + 5 = 3 5
Cho biu thc A =
2
1
1
:
1
11
x
x
xxx
a) u kiu thc A
b) c A =
3
1
.
c) ln nht cua biu thc P = A - 9
x
NG DN GII:
u kin
01x
Vu ki
2
1 1 1
:
1
1
x x x
A
x
xx
x
A =
3
1
1 1 3 9
3 2 4
x
xx
x
(thu kin)
Vy
9
4
x
3
1
- 9
x
=
11
9 9 1
x
xx
xx
ng bng thsi cho hai s
11
9 2 9 . 6xx
xx
Suy ra:
6 1 5P
ng thc xy ra khi
11
9
9
xx
x
10
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
V ln nht ca biu thc
5P
khi
1
9
x
1) Cho biu thc
x4
A
x2
ca A khi x = 36
n biu thc
x 4 x 16
B:
x 4 x 4 x 2
(vi
x 0;x 16
)
3) Va biu th ca x
ca biu thc B(A
NG DN GII:
1) Vi x = 36 (Th
36 4 10 5
84
36 2
2) Vi x
0, x :
B =
x( x 4) 4( x 4) x 2
x 16 x 16 x 16
=
(x 16)( x 2) x 2
(x 16)(x 16) x 16
2 4 2 2 2
( 1) . 1 .
16 16 16
22
x x x
BA
x x x
xx
.
( 1)BA
nguyn
16x
c ca 2,
1; 2
T ng:
16x
1
1
2
2
x
17
15
18
14
Kt h
0, 16xx
,
( 1)BA
14; 15; 17; 18x
Bi 4: Cho biểu thức:
yx
xy
xyx
y
yyx
x
P
111))1)((
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
11
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
NG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :;
0;1;0;0 yxyyx
.
(1 ) (1 )
11
x x y y xy x y
P
x y x y
()
11
x y x x y y xy x y
x y x y
11
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1 1 1
11
x x y x y x x
xy
1
x y y y x
y
1 1 1
1
x y y y y
y
.x xy y
Vậy P =
.yxyx
b)
0;1;0;0 yxyyx
P = 2
.yxyx
= 2
111
111
yx
yyx
Ta có: 1 +
1y
11x
04x
x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).
12
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
Bi 5:Cho biểu thức M =
x
x
x
x
xx
x
2
3
3
12
65
92
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x
Z để M
Z.
HNG DN GII:
M =
x
x
x
x
xx
x
2
3
3
12
65
92
a.ĐK
9;4;0 xxx
0,5đ
Rút gọn M =
32
2123392
xx
xxxxx
Biến đổi ta có kết quả: M =
32
2
xx
xx
M =
3
1
23
21
x
x
M
xx
xx
164
4
16
416
1551
351
5
3
1
5 M . b.
xx
x
xx
xx
x
x
Đối chiếu ĐK:
9;4;0 xxx
Vậy x = 16 thì M = 5
c. M =
3
4
1
3
43
3
1
xx
x
x
x
Do M
z
nên
3x
là -ớc của 4
3x
nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta đ-ợc:
49;25;16;4;1 x
vì
4x
49;25;16;1x
13
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
u thc P = (
a
2
-
1
2 a
)
2
. (
a - 1
a + 1
-
a + 1
a - 1
) V
a) n biu thc P
b) P < 0
NG DN GII:
a) P = (
a
2
-
1
2 a
)
2
. (
a - 1
a + 1
-
a + 1
a - 1
) V
2
22
2
2
a 1 a 1 a 1
P ( ) .( )
2
2 a a 1 a 1
a a 1 ( a 1) ( a 1)
P ( ) .
2 a ( a 1)( a 1)
a 1 a 2 a 1 a 2 a 1
P ( ) .
a1
2a
(a 1)4 a 1 a
P
4a
a
Vy P =
1a
a
b) T P < 0
V a > 0
P =
1 - a
a
< 0 1 - a < 0
u thc: Q =
a
a
2
- b
2
- ( 1 +
a
a
2
- b
2
) :
b
a - a
2
- b
2
a) n Q
b) ca Q khi a = 3b
NG DN GII:
a) n:
Q =
a
a
2
- b
2
- ( 1 +
a
a
2
- b
2
) :
b
a - a
2
- b
2
14
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
=
a
a
2
- b
2
-
a
2
- b
2
+ a
a
2
- b
2
.
a - a
2
- b
2
b
=
a
a
2
- b
2
-
b
a
2
- b
2
=
a - b
a
2
- b
2
=
( a - b )
2
(a - b)(a + b)
=
a - b
a + b
b) Q =
3b - b
3b + b
=
2b
4b
=
1
2
Cho biu thc
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
NG DN GII:
a)
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
yxxy
yxxyyxyxyx
xy
yx
yxxy
yx
:
2
.
yxxy
yxyx
xy
yx
xy
:
2
2
xy
yx
yx
xy
xy
yx
15
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
020
2
xyyxyx
.2 xyyx
1
16
162
2
xy
xy
xy
yx
A
min A = 1 khi
4.
16
xy
xy
xy
u thc:
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1
1
223x
.
NG DN GII:
a.
021
02
01
0
x
x
x
x
3
2
1
3
2
1
0
x
x
x
x
x
x
x
b)
3;2;1 xxx
16
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1
1
xx
x
xxx
xx
xxxx
xx
2
2
2
2
2121
213
11
1
xx
xx
x
xx
xx
xx
2
22
.
21
213
1
1
xx
x
x
xx
xx
xx
2
2
.
3
213
1
1
x
x
x
x
x
xxx
21.21
.211
c) Thay
2
12223 x
x
x
P
2
12
122
12
122
12
122
2
2
P
12
12
1
P =
4 8 1 2
( ):( )
4
22
x x x
x
x x x x
-1
:
( 3) 1m x P x
NG DN GII:
a)
2 ( 2)x x x x
17
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
:
0
00
4 0 4
20
x
xx
xx
x
4x
P =
4 8 1 2
( ):( )
4
2 ( 2)
x x x
x
x x x x
1 2( 2)
4 ( 2) 8
:
( 2)( 2) ( 2)
4 8 8 1 2 4
:
( 2)( 2) ( 2)
xx
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
4 8 3
:
( 2)( 2) ( 2)
x x x
x x x x
( x
9)
x > 0 , x
4, 9x
P =
4
3
x
x
b) P = - 1
4
1
3
x
x
K: x > 0,
4, 9xx
)
43
4 3 0
xx
xx
4 ( 2) ( 2)
.
( 2)( 2) 3
4 . ( 2)
(3 )( 2)
4
3
x x x x
x x x
x x x
xx
x
x
18
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
xy
y > 0
:
2
4 3 0yy
a + b + c = 4- 1-3 =0
1
1y
y > 0),
2
3
4
y
y > 0)
3
4
yx
x =
9
16
)
9
16
- 1
c)
( 3) 1m x P x
: x > 0;
4, 9xx
)
4
( 3) 1
3
.4 1
1
4
x
m x x
x
m x x
x
m
x
( Do 4x > 0)
t
1 1 1 1
4 4 4 4 4
xx
x x x x
x >)
11
9x
(
11
4 36
1 1 1 1
4 4 4 36
1 1 5
4 4 18
x
x
x
19
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
51
5
18 4
1
18
4
x
x
m
x
m
x
5
,9
18
mx
( 3) 1m x P x
Cõu 2 . Hm s v th:
- V th hm s bc nht, hm s bc hai.
- Tỡm ta giao im ca 2 th.
- Phng trỡnh ng thng y = ax + b (a 0).
A. KIN THC CN NH:
I. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đ-ợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số
cho tr-ớc và a
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất
sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
0) là một đ-ờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đ-ờng thẳng y = ax, nếu b
0, trùng với đ-ờng thẳng y = ax, nếu b
= 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
0)
B-ớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đ-ợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đ-ợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
20
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
B-ớc 2. Vẽ đ-ờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đ-ợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng
Cho hai đ-ờng thẳng (d): y = ax + b (a
0) và (d ): y = a x + b (a
0). Khi đó
+
'
// '
'
aa
dd
bb
+
' ' 'd d A a a
+
'
'
'
aa
dd
bb
+
' . ' 1d d a a
e. Hệ số góc của đ-ờng thẳng y = ax + b (a
0)
Góc tạo bởi đ-ờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đ-ờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A
là giao điểm của đ-ờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đ-ờng thẳng y = ax
+ b và có tung độ d-ơng
Hệ số góc của đ-ờng thẳng y = ax + b
-Hệ số a trong y = ax + b đ-ợc gọi là hệ số góc của đ-ờng thẳng y = ax +b
II. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a
0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a
0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục
đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía d-ời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Kiến thức bổ xung
21
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đ-ợc tính bởi công thức
22
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
- Tọa độ trung điểm M của AB đ-ợc tính bởi công thức
;
22
A B A B
MM
x x y y
xy
Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a
0) và đ-ờng thẳng y = mx + n (m
0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a
0) và đ-ờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ ph-ơng trình
2
y ax
y mx n
- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của ph-ơng trình ax
2
= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của ph-ơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Một số phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
- Đồ thị (C
1
): y = f(x) + b đ-ợc suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b
đơn vị
- Đồ thị (C
2
): y = f(x + a) đ-ợc suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành
a đơn vị
- Đồ thị (C
3
): y = f(|x|) gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy
- Đồ thị (C
4
): y = |f(x)| gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên d-ới Ox
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên Ox qua Oy.
th bc nht bc hai.
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a
0) và đ-ờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó:
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của ph-ơng trình ax
2
= mx + n (*)
22
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn tốn
- Sè giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ sè nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh (*)
+ NÕu (*) v« nghiƯm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iĨm chung
+ NÕu (*) cã nghiƯm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau
+ NÕu (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt.
B. MT S I GII:
Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P)
2
2yx
và đường thẳng (d)
y=(m-2)x+1 và (d’)y=-x+3 (m là tham số ) . Xác đònh m để (P) ,(d) và (d’) có
điểm chung .
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’):
2x
2
=-x+3
2x
2
+x-3=0 (a+b+c=0)
12
3
1;
2
xx
+Khi x=1 thì y=2
+Khi
3
2
x
thì
9
2
y
Vậy (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
39
1;2 & ;
22
AB
Để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung thì
3
2 ( 2).1 1
1
93
( 2)( ) 1
3
22
m
m
Ad
Bd
m
m
Vậy với m=3 hay m=
1
3
thì (P) ,(d) và (d’) có 1 điểm chung
Bài tập 2: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) :
2
yx
và đường thẳng (d) :
y=mx+1 (m là tham số ).Xác đònh m để :
a) (d) tiếp xúc (P) b)(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .
c) (d) và (P) không có điểm chung .
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x
2
+mx+1=0 (*)
2
4m
a) (d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) có nghiệm kép
2
2
0 4 0
2
m
m
m
b) (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt
23
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn tốn
2
2
0 4 0
2
m
m
m
c) (d) và (P) không có điểm chung khi (*) vô nghiệm
0
2
4 0 2 2mm
Bài tập 3: Cho (P) :
2
2
x
y
và (d) :
3
( 1) ( )
2
m
y m x m R
Xác đònh m để (d) cắt (P)tại 2 điểm A(x
A
; y
A
) ; B(x
B
; y
B
) sao cho :
22
10
AB
xx
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)là :
2
2
2
2
3
2 (*) 2( 1) 3 0
22
1 15 1 15
'0
4 4 2 4
xm
m x x m x m
m m m
Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là x
A
; x
B
Theo Viét ta có :
2( 1)
.3
AB
AB
x x m
x x m
2
22
2
0 2 . 0
4 6 0 2 ( 3) 0
0; 3 3
0; 3 0
A B A B A B
Dox x x x x x
m m m m
m m m
m m m
Vậy với
3
0
m
m
thì (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A;B
Bài tập 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) :
2
2
x
y
, điểm M(0;2).
Đường thẳng (D) đi qua M và không trùng với Oy . Chứng minh rằng (d) cắt (P)tại
2 điểm phân biệt sao cho
90AOB
Giải:
- Vì (D) đi qua M(0;2) và không trùng với Oy nên có dạng y=ax+b
-
()MD
nên: 2=a.0+b
b=2 và (D): y=ax+2
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là :
2
2
2 2 4 0(*)
2
x
ax x ax
Vì phương trình (*) có hệ số a=1 ; c—4 (a.c<0) nên (*) có 2 nghiệm phân biệt
24
TRƢƠNG MINH VƢƠNG Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn tốn
A(x
A
; y
A
) ; B(x
B
; y
B
) Theo hệ thức Viét ta có:
2
.4
AB
AB
x x a
xx
22
44
2 2 2 2
2 2 2 2
Vì ( ) ; ( )
22
0 0 ; 0 0
44
AB
AB
AB
A A A B B B
xx
A P y B P y
xx
OA x y x OB x y x
2
2 2 4 4
2 2 2
2 2 2
44
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4
Ta có OA
4
Vậy : OA vuông tại O
A B A B
A B A B A B A B
AB
AB
x x x x
AB x x y y x x x x
xx
OB x x
OB AB AOB
Câu 3. Hệ phương trình bậc nhất 02 ẩn
và phương trình bậc hai 01 ẩn :
-Giải hệ phương trình, phương trình.
-Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình.
-Những bài tốn về hệ thức Vi-et.
c hai mt n .
A. KIN THC CN NH:
I. §Þnh nghÜa : Ph-¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph-¬ng tr×nh cã d¹ng
2
ax bx c 0
trong ®ã x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tr-íc gäi lµ c¸c hƯ sè vµ
a0
II. C«ng thøc nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh bËc hai :
Ph-¬ng tr×nh bËc hai
2
ax bx c 0(a 0)
25
TRNG MINH VNG Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn toỏn
2
b 4ac
*) Nếu
0
ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
12
bb
x ;x
2a 2a
*) Nếu
0
ph-ơng trình có nghiệm kép :
12
b
xx
2a
*) Nếu
0
ph-ơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Ph-ơng trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)
và
b 2b'
2
' b' ac
*) Nếu
'0
ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
12
b' ' b' '
x ;x
aa
*) Nếu
'0
ph-ơng trình có nghiệm kép :
12
b'
xx
a
*) Nếu
'0
ph-ơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của ph-ơng trình
2
ax bx c 0(a 0)
thì :
12
12
b
xx
a
c
xx
a
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải ph-ơng trình :
2
x Sx P 0
(Điều kiện để có u và v là
2
S 4P 0
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì ph-ơng trình
2
ax bx c 0(a 0)
có hai nghiệm :
12
c
x 1;x
a
