Kỹ thuật tính tích phân lớp 12

TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
∫
+−
−
5
3
2
23
12
dx
xx
x
∫
++
b
a
dx
bxax ))((
1
∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx

dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
1
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
∫
++
1
0
22
)3()2(
1
dx

xx
∫
+
−
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
∫
−
+−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
∫
−
3
2

22
4
)1(
dx
x
x
∫
+
−
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
∫
++
−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx

x
∫
+
2
1
4
)1(
1
dx
xx
∫
+
2
0
2
4
1
dx
x
∫
+
1
0
4
1
dx
x
x
dx
xx

∫
+−
2
0
2
22
1
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x
∫
+−
4
2
23
2
1
dx
xxx
∫
+−
++
3
2

3
2
23
333
dx
xx
xx
∫
+
−
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
∫
+
1
0
3
1
1
dx
x
∫
+

+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
∫
+
−
1
0
2
4
1
2
dx
x
x
∫
+
+
1
0
6
4
1

1
dx
x
x
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
xdxx
4
2
0
2
cossin
∫
π
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
dxxx
∫
2
0
54
cossin
π
∫
+
2

0
33
)cos(sin
π
dxx
∫
+
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx
∫
−−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x

∫
−+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
∫
−
2
0
cos2
π
x
dx
∫
+
2
0
sin2
1
π
dx
x
∫
+
2
0
2

3
cos1
sin
π
dx
x
x
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx
∫
−+
4
0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx
∫
+
2
0
cos1

cos
π
dx
x
x
∫
−
2
0
cos2
cos
π
dx
x
x
∫
+
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x
∫
+
2
0
3

cos1
cos
π
dx
x
x
∫
++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx
∫
−
2
3
2
)cos1(
cos
π
π
x
xdx
∫
−
++
+−

2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
∫
4
0
3
π
xdxtg
dxxg
∫
4
6
3
cot
π
π
∫
3
4
4
π
π
xdxtg

∫
+
4
0
1
1
π
dx
tgx
∫
+
4
0
)
4
cos(cos
π
π
xx
dx
∫
++
++
2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx

xx
∫
+
π
2
0
sin1 dxx
∫
++
4
0
13cos3sin2
π
xx
dx
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x
∫
+
++

2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
∫
+
2
0
cos1
3sin
π
dx
x
x
∫
−
2
4
sin2sin
π
π
xx
dx
∫
4
0

2
3
cos
sin
π
dx
x
x
∫
+
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx
∫
π
0
sincos dxxx
∫
−
3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π

dx
xtgx
xx
∫
++
2
0
cossin1
π
xx
dx
∫
+
2
0
1sin2
π
x
dx
∫
2
4
53
sincos
π
π
xdxx
∫
+
4

0
2
cos1
4sin
π
x
xdx
∫
+
2
0
3sin5
π
x
dx
∫
6
6
4
cossin
π
π
xx
dx
∫
+
3
6
)
6

sin(sin
π
π
π
xx
dx
∫
+
3
4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx
∫
3
4
6
2
cos
sin
π
π
x
xdx
dxxtgxtg )

6
(
3
6
π
π
π
∫
+
∫
+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
∫
−
+
0
2
2
)sin2(
2sin
π
x
x

∫
2
0
3
sin
π
dxx
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
∫
+
2
0
12
.2sin
π
dxex
x
dxe
x
x
x
∫
+
+

2
0
cos1
sin1
π
∫
+
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
∫
+−
2
0
2
6sin5sin
2sin
π
xx
xdx
dxxx
∫
−
2

0
2
cos)12(
π
∫
π
0
2
cossin xdxxx
∫
4
0
2
π
xdxxtg
∫
π
0
22
sin xdxe
x
∫
2
0
3sin
cossin
2
π
xdxxe
x

∫
+
4
0
)1ln(
π
dxtgx
∫
+
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx
∫
−+
−
2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫

b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[
π
∈
+) R(x,
22
xa −
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) §Æt t =
n

dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++ xxbax
2
)(
1
Víi (
γβα
++ xx
2
)’ =
k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =
γβα
++ xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax +
1
+) R(x,
22
xa +
) §Æt x =
tgta
, t
]

2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22
ax −
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
+) R
( )
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ; n

i
)
§Æt x = t
k

1.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
2.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
3.
∫
−
+++
2
1
2
1

2
5124)32( xxx
dx
4.
∫
+
2
1
3
1xx
dx
5.
∫
+
2
1
2
2008dxx
6.
∫
+
2
1
2
2008x
dx
7.
∫
+
1

0
22
1 dxxx
8.
∫
−
1
0
32
)1( dxx
9.
∫
+
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.
∫
−
+
2
2
0

1
1
dx
x
x
11.
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
12.
∫
−
2
2
0
32
)1( x
dx
13.
∫
+
1
0
2
1 dxx
14.

∫
−
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
16.
∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
17.
∫

+
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx
18.
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
19.
∫
+
7
0
3 2
3
1 x
dxx

20.
∫
−
3
0
23
10 dxxx
21.

+
1
0
12x
xdx
22.

++
1
0
2
3
1xx
dxx
23.

++
7
2
112x
dx

24.
dxxx

+
1
0
815
31
25.


2
0
5
6
3
cossincos1

xdxxx
26.

+
3ln
0
1
x
e
dx
27.

+++
1
1
2
11 xx
dx
28.

+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
29.


1
4
5
2
8412 dxxx
30.

+
e

dx
x
xx
1
lnln31
31.

+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx

+
4
0
23
2
33.


++
0

1
3
2
)1( dxxex
x
34.

+
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.

+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x

tgx
x
x
36.

+
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
37.

+
3
0
2cos2
cos

x
xdx
38.

+
2
0
2

cos1
cos

x
xdx
39.
dx
x
x

+
+
7
0
3
3
2
40.

+
a
dxax
2
0
22
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

+=

aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22
,
Tính:


2
3
2
3
)(


dxxf
+) TÝnh
∫
−
+

+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã:
∫
−
a
a
dxxf )(
= 0.
VÝ dô: TÝnh:
∫
−
++
1
1
2
)1ln( dxxx
∫
−
++
2
2

2
)1ln(cos
π
π
dxxxx
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
∫
−
a
a
dxxf )(
= 2
∫
a
dxxf
0
)(
VÝ dô: TÝnh
∫
−
+−
1
1
24
1xx
dxx
2
2
2
cos

4 sin
−
+
−
∫
x x
dx
x
π
π
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
∫∫
=
+
−
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1
≠
b>0,
∀
a)

VÝ dô: TÝnh:
∫
−
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x

∫
−
+
2
2
1
5cos3sinsin
π
π
dx
e
xxx
x
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;
2
π

], th×
∫∫
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfxf
VÝ dô: TÝnh
∫
+
2
0
20092009
2009
cossin
sin
π
dx
xx
x
∫
+
2
0
cossin
sin
π

dx
xx
x
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:
∫∫
=
ππ
π
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
VÝ dô: TÝnh
∫
+
π
0
sin1
dx
x
x
∫
+
π
0
cos2
sin
dx
x
xx

Bµi to¸n 6:
∫∫
=−+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(
⇒
∫∫
=−
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
VÝ dô: TÝnh
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
∫
+
4
0

)1ln(4sin
π
dxtgxx
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:

∫∫
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
⇒
∫∫
=
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
VÝ dô: TÝnh
∫
−
π
2008
0
2cos1 dxx
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1.
∫
−

+
−
1
1
2
21
1
dx
x
x
2.
∫
−
+−+−
4
4
4
357
cos
1
π
π
dx
x
xxxx
3.
∫
−
++
1

1
2
)1)(1( xe
dx
x
4.
∫
−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx
5.
∫
−
+
−
2
1
2
1
)

1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0
∫
+
π
7.
∫
−
+
2
2
5
cos1
sin
π
π
dx
x
x
8.
1
)1(1

cot
1
2
1
2
=
+
+
+
∫∫
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tana>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.
∫
−
−
3
3
2
1dxx
2.
∫

+−
2
0
2
34 dxxx
3.
∫
−
2
0
2
dxxx
4.
∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
5.
∫
−
−
π
π
dxxsin1
6.
∫

−+
3
6
22
2cot
π
π
dxxgxtg
7.
∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx
8.
∫
+
π
2
0
cos1 dxx
9.
∫
−
−−+
5
2

)22( dxxx
10.
∫
−
3
0
42 dx
x
11.
∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx