Công thức lượng giác và hình học rất hay

Hình học và lượng giác Trang 1/5 Lê Thu - 0977.640.640
Mét sè c«ng thøc lỵng gi¸c vµ tÝnh chÊt h×nh häc
I. HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng:
a) BA
2
= BH.BC (c
2
= c’.a) b) CA
2
= CH.CB (b
2
= b’.a)
c) AH.BC = AB.AC ( a.h = b.c) d) HA
2
= HB.HC (h
2
= b’.c’)
e)
222
111
ACABAH
+=
(
222
111
cbh
+=
)
II. HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c.
a = BC; b = AC; c = AB; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp;
r là bán kính đường tròn nội tiếp; p = (a+b+c)/2: nửa chu vi.

1) Đònh lý hàm sin:
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===
2) Đònh lý hàm cos:
a
2
= b
2
+ c
2
-2bc.cosA ⇒ cosA =
bc
acb
2
222
−+
b
2
= a
2
+ c
2

-2ac.cosB ⇒ cosB =
ac
bca
2
222
−+
c
2
= a
2
+ b
2
-2ab.cosC ⇒ cosC =
ab
cba
2
222
−+
3) Công thức tính độ dài đường trung tuyến (AM = m
a
)
4) Các công thức tính diện tích tam giác.
a) S =
2
1
a.h
a
=
2
1

b.h
b
=
2
1
c.h
c
b) S =
2
1
ab.sinC =
2
1
ac.sinB =
2
1
bc.sinA.
c) S =
R
abc
4
d) S = p.r e) S =
))()(( cpbpapp −−−
( công thức Hê–rông)
5) Một số tính chất trong tam giác:
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến AM, BN, CP là trọng tâm G.
AG =
3
2
AM; BG =

3
2
BN; CG =
3
2
CP
Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng nối từ một đỉnh đến
trung điểm của cạnh đối diện của đỉnh đó.
b) Giao điểm của 3 đường cao là trực tâm H.
c) Giao điểm 3 đường trung trực IM, IN, IP là tâm đường tròn ngoại
tiếp (IA = IB = IC = R).
Đường trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và
vuông góc với đường thẳng đó.
d) Giao điểm của 3 đường phân giác trong AD, BE, CF của 1 tam giác là
tâm đường tròn nội tiếp K. Gọi AT là đường phân giác ngoài của góc A.
A
B
C
H
b
c
c’
b’
a
h
A
B
C
M
b

c
a
m
a
42
222
2
acb
m
a
−
+
=
42
222
2
bca
m
b
−
+
=
42
222
2
cba
m
c
−
+

=
S
ABC
=
2
.
2
. hacb
=
A
B
C
M
N
P
G
A
B
C
M
N
P
I
A
B
D
E
F
K
T

DC
DB
AC
AB
=
⇒
DC
DB
AC
AB
−=
TC
TB
AC
AB
=
⇒
TC
TB
AC
AB
=
Trong tam giác vuông:
sin =
huyen
doi
; cos =
huyen
ke
tan =

ke
doi
; cot =
doi
ke
Thần chú: sin đi học, cos khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây.
Hình học và lượng giác Trang 2/5 Lê Thu - 0977.640.640
BẢNG XÉT DẤU CÁC GÓC PHẦN TƯ
( I ) ( II ) ( III ) ( IV )
sinα
+ +
− −
cosα
+
− −
+
tanα
+
−
+
−
cotα
+
−
+
−
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
1) Cos đối (−α và α):
cos(−α) = cosα
sin(−α) = −sinα

tan(−α) = −tanα
cot(−α) = −cotα
2) Sin bù (π−α và α):
sin(π−α) = sinα
cos(π−α) = −cosα
tan(π−α) = −tanα
cot(π−α) = −cotα
3) Phụ chéo (
−
2
π
α và α):
sin(
−
2
π
α) = cosα
cos(
−
2
π
α) = sinα
tan(
−
2
π
α) = cotα
cot(
−
2

π
α) = tanα
4) Hơn kém π (π+α và α):
sin(π+α) = −sinα
cos(π+α) = −cosα
tan(π+α) = tanα
cot(π+α) = cotα
5) Hơn kém
2
π
(
+
2
π
α và α):
sin(
+
2
π
α) = cosα
cos(
+
2
π
α) = −sinα
tan(
+
2
π
α) = −cotα

cot(
+
2
π
α) = −tanα
6) Hàm tuần hoàn:
sin(α + k2π) = sinα
cos
sin
tan
cot
30
0
(I)
(II)
(III)
(IV)
0
0
(0)
360
0
(2π)
1
30
0
45
0
60
0

90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
210
0
45
0
225
0
240
0
270
0
300
0
315
0
330
0
2
3
2
1

2
1
2
3
1
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1
2
3
−
2
2
−
2
1
−
O
-1
Hình học và lượng giác Trang 3/5 Lê Thu - 0977.640.640
cos(α + k2π) = cosα
tan(α + kπ) = tanα
cot(α + kπ) = cotα

7) Sáu công thức cơ bản:
a) sin
2
α + cos
2
α = 1
b) tanα =
α
α
cos
sin
c) cotα =
α
α
sin
cos

d) tanα.cotα = 1
e)
α
2
cos
1
= 1 + tan
2
α
f)
α
2
sin

1
= 1 + cot
2
α
8) Công thức cộng:
sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a−b) = sina.cosb − cosa.sinb
cos(a+b) = cosa.cosb − sina.sinb
cos(a−b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(a+b) =
ba
ba
tan.tan1
tantan
−
+
tan(a−b) =
ba
ba
tan.tan1
tantan
+
−
Cách nhớ: sin thì sin cos, cos sin
Cos thì cos cos, sin sin dấu trừ.
9) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos
2
a − sin

2
a = 2cos
2
a − 1
=1− 2sin
2
a =(cosa-sina)
(cosa+sina)
tan2a =
a
a
2
tan1
tan2
−
10) Công thức hạ bậc:
sin
2
a =
2
2cos1 a−
cos
2
a =
2
2cos1 a+
tan
2
a =
a

a
2cos1
2cos1
+
−
11) Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina − 4sin
3
a
cos3a = 4cos
3
a − 3cosa
tan3a =
a
aa
2
3
tan31
tantan3
−
−
12) Công thức theo t =tan
2
a
:
sina =
2
1
2
t

t
+
cosa =
2
2
1
1
t
t
+
−
tana =
2
1
2
t
t
−
13) Công thức tích thành tổng:
cosa.cosb=
2
1
[cos(a−b)+cos(a+b)]
sina.sinb=
2
1
[cos(a−b)−cos(a+b)]
sinacosb=
2
1

[sin(a−b)+sin(a+b)]
14) Công thức tổng thành tích:
cosa+cosb = 2cos
2
ba +
cos
2
ba −
cosa−cosb= −2sin
2
ba +
sin
2
ba −
sina+sinb = 2sin
2
ba +
cos
2
ba −
sina−sinb = 2cos
2
ba +
sin
2
ba −
tana+tanb =
ba
ba
cos.cos

)sin( +
tana−tanb =
ba
ba
cos.cos
)sin( −
Cách nhớ: cos cộng cos bằng
hai lần cos cos/ cos trừ cos trừ
hai sin sin/sin cộng sin bằng hai
sin cos/sin trừ sin bằng hai cos
sin// tan mình cộng với tan ta,
bằng sin hai đứa chia cos ta cos
mình/ tan mình trừ với tan ta,
bằng sin hiệu hai đứa chia cos ta
cos mình.
15) Một số công thức khác:
sina + cosa =
2
sin(a+
4
π
)
=
2
cos(a−
4
π
)
sina − cosa =
2

sin(a−
4
π
)
= −
2
cos(a+
4
π
)
sin
4
a+cos
4
a = 1 − 2sin
2
acos
2
a
sin
6
a+cos
6
a = 1 − 3sin
2
acos
2
a
1 + sin2a = (sina + cosa)
2

1 − sin2a = (sina − cosa)
2
|asinx + bcosx| ≤
22
ba +
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
1)Phương trình sinx=a(-1≤a≤1):
• sinx = 0 ⇔ x = kπ
• sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π
• sinx = −1 ⇔ x = −
2
π
+ k2π
• a = ±
2
1
; ±
2
2
; ±
2
3
và a = sint
sinx = sint ⇔




+−=
+=
ππ
π
2
2
ktx
ktx
• a ≠ 0; ±
2
1
; ±
2
2
; ±
2
3
; ±1
sinx= a⇔



+−=
+=
ππ
π
2arcsin
2arcsin
kax
kax

• Phương trình theo độ: π180
0
Cách làm toán:
• sinu = −sinv ⇔ sinu = sin(−v)
• sinu = cosv ⇔ sinu = sin(
2
π
−v)
• sinu= −cosv⇔ sinu = −sin(
2
π
−v)
⇔ sinu = sin(v−
2
π
)
2)Phương trình cosx=a(-
1≤a≤1):
• cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kπ
• cosx = 1 ⇔ x = k2π
• cosx = −1 ⇔ x = π + k2π
• a = ±
2
1
; ±
2
2

; ±
2
3
và a = cost
cosx = cost ⇔



+−=
+=
π
π
2
2
ktx
ktx
• a ≠ 0; ±
2
1
; ±
2
2
; ±
2
3
; ±1
cosx= a⇔




+−=
+=
π
π
2arccos
2arccos
kax
kax
• Phương trình theo độ: π180
0
Cách làm toán:
• cosu = −cosv ⇔ cosu =
cos(π−v)
Hình học và lượng giác Trang 4/5 Lê Thu - 0977.640.640
• cosu = sinv ⇔ cosu = cos(
2
π
−v)
• cosu= −sinv⇔cosu = sin(−v)
⇔ cosu = cos(
2
π
+v)
3)Phương trình tanx= a(a tùy
ỳ):
• a= 0; ±
3
1
; ±1; ±
3

và a = tant
tanx = tant ⇔ x = t + kπ
• a ≠ 0; ±
3
1
; ±1; ±
3
tanx= a⇔ x = arctana + kπ
• Phương trình theo độ: π180
0
Cách làm toán:
• tanu = −tanv ⇔ tanu = tan(−v)
• tanu = cotv ⇔ tanu = tan(
2
π
−v)
• tanu= −cotv⇔ tanu = tan(
2
π
+v)
4)Phương trình cotx= a(a tùy
ỳ):
• a= 0; ±
3
1
; ±1; ±
3
và a = cott
cotx = cott ⇔ x = t + kπ
• a ≠ 0; ±

3
1
; ±1; ±
3
cotx = a ⇔ x = arccota + kπ
• Phương trình theo độ: π180
0
Cách làm toán:
• cotu = −cotv ⇔ cotu = cot(−v)
• cotu = tanv ⇔ cotu = cot(
2
π
−v)
• cotu= −tanv ⇔ cotu = cot(
2
π
+v)
CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC
1) Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng
giác có dạng:
asin
2
x + bsinx + c = 0 (1)
acos
2
x + bcosx + c = 0 (2)
atan
2
x + btanx + c = 0 (3)
acot

2
x + bcotx + c = 0 (4)
Đối với phương trình (1) và (2): đặt t = sinx (hoặc
cosx), điều kiện: −1 ≤ t ≤ 1.
Đối với phương trình (3) và (4): đặt t = tanx (hoặc
cotx), t ∈R
Sau đó đưa về PT bậc 2 theo t, giải được t, thay t
vào và giải x.
 Lưu ý: có thể giải được các phương trình có
bậc cao hơn(3, 4 ) theo cách này.
2) Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:
PT có dạng: asinx ± bcosx = c
Điều kiện để PT có nghiệm: a
2
+ b
2
≥ c
2
Chia 2 vế cho
22
ba +
, ta được:
22
ba
a
+
sinx ±
22
ba
b

+
cosx=
22
ba
c
+
Đặt cosα =
22
ba
a
+
;sinα =
22
ba
b
+
, ta được:
sinxcosα ± cosxsinα =
22
ba
c
+
⇔ sin(x ± α) =
22
ba
c
+
Đây là phương trình cơ bản nên giải được.
3) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx
và cosx:

PT có dạng: a.sin
2
x+ b.sinxcosx+ c.cos
2
x= d.
• Xét cosx = 0 ⇔ sin
2
x = 1 thay vào phương trình
trên, nếu thỏa ta nhận nghiệm: x =
2
π
+ kπ.
• Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
x, ta được:
atan
2
x + btanx + c =
x
d
2
cos
⇔ atan
2
x + btanx + c = d(1 + tan
2
x)
⇔ (a − d)tan
2
x + btanx + c − d = 0

Đây là phương trình bậc hai theo tanx, giải được.
4) Phương trình đối xứng của sinx và cosx:
PT có dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx + cosx =
2
sin(x +
4
π
)
Điều kiện: −
2
≤ t ≤
2
Khi đó: t
2
= (sinx + cosx)
2
= sin
2
x+2sinxcosx+cos
2
x
= 1 + 2sinxcosx ⇒ sinxcosx =
2
1
2
−t
Phương trình đã cho thành: bt
2
+ 2at + 2c − b = 0

Giải pt bậc hai theo t và nhận các nghiệm t
o
thỏa
điều kiện, ta có pt:
2
sin(x+
4
π
) = t
o
(giải được).
 Chú ý:
Nếu pt có dạng: a(sinx−cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx − cosx =
2
sin(x−
4
π
)
Điều kiện: −
2
≤ t ≤
2
Khi đó: t
2
= (sinx − cosx)
2
= sin
2
x−2sinxcosx+cos

2
x
Hình học và lượng giác Trang 5/5 Lê Thu - 0977.640.640
= 1 − 2sinxcosx ⇒ sinxcosx =
2
1
2
t−
Thay vào phương trình và giải tương tự như trên.