công thức lượng giác và phương trình lượng giác

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:

Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc
GTLG
0
0
(0)
30
0
(
6
π
)
45
0
(
4
π
)
60
0
(
3
π
)
90
0
(
2

π
)
Sin
0
1
2
2
2
3
2
1
Cos
1
3
2
2
2
1
2
0
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
( )
( )
+ α + α = ∀α∈
π
 
+ α α = ∀α ≠ ∈
 ÷
 
π

 
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1
1 cotg k ,k Z
sin
Hệ quả:
• sin
2
x = 1-cos
2
x ; cos
2
x = 1- sin
2

x
• tanx=
1
cot x
;
1
cot
tan
x
x
=
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π”
D/. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng:
Với mọi cung có số đo a, b ta có:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b

 tan(a + b) =
tan tan

1 tan .tan
+
−
a b
a b

2. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa ⇒
1
sina.cosa= sin2
2
a
 cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2 sin
2
a
tan2a =
2
2tan
1 tan−
a
a
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3

a
 cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
 cos
2
a =
1 cos2
2
a+

 sin
2
a =
1 cos 2
2
a−

 tg2a =
1 cos 2
1 cos2
a
a
−
+
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:

 sinx =
2
2
1
t
t+
 cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+

 tanx =
2
2
1
t
t−
 cotx =
2
1
2
t
t
−
6. Công thức biến đổi tổng thành tích


a b a b
cosa cos b 2 cos cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
cosa cos b 2 sin sin
2 2
+ −
   
− = −
 ÷  ÷
   

a b a b
sin a sin b 2sin cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
sin a sin b 2 cos sin

2 2
+ −
   
− =
 ÷  ÷
   

sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
π

sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
+
+ = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π


sin( )

cot cot ( , , )
sin .sin
− +
− = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
+ = + = −
a a a cos a
π π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
− = − = − +
a a a cos a
π π

cos sin 2 ( ) 2 sin( )
4 4
− = + = − −
a a cos a a
π π
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]

[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
b a a b a b
• = − + +
• = − − +
• = + + −
• = + − −
1
sinα
2
π
0
π
3
2
π

cosα
0
α
E/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản
DẠNG 1 : sinu = sinv
⇔
2
2
u v k
u v k
= + π


= π − + π

Nếu u, v tính bằng độ thì :
sinu = sinv
⇔
0
0 0
.360
180 .360
u v k
u v k

= +

= − +



 Phương trình sinx = a có nghiệm khi và
chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay
a
≤ 1 và vô
nghiệm khi và chỉ khi
a 1
a 1
< −


>

hay
a
>1.
Các trường hợp đặc biệt :
 sinx = 0
⇔
x = k
π
 sinx = 1
⇔
x =
2
π
+ k
2p
 sinx = – 1
⇔

x = –
2
π
+ k
2p
.
 Cho a ∈ [− 1; 1] thì arcsina là góc α ∈
2 2
π π
 
−
 
 
;
sao cho sinα = a. Khi đó phương
trình sinx = a
⇔
2
2
x arcsin a k.
x arcsina k.
= + π


=π − + π

DẠNG 2 : cosu = cosv
⇔
u =
±

v + k2
π
 Nếu u, v tính bằng độ thì :
cosu = cosv
⇔
u =
±
v + k.360
o
 Phương trình cosx = a có nghiệm khi và
chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay
a
≤ 1 và vô
nghiệm khi và chỉ khi
a 1
a 1
< −


>

hay
a
>1.
 Cho a ∈ [− 1; 1] thì arccosa là góc α ∈
[ ]
;−π π
sao cho cosα = a. Khi đó
phương trình: cosx = a
⇔

2
2
x arccosa k.
x arccosa k.
= + π


= − + π

 Các trường hợp đặc biệt :
 cosx = 0
⇔
x =
2
π
+ k
π
 cosx = 1
⇔
x = k2
π
 cosx = – 1
⇔
x =
π
+ k2
π
DẠNG 3 : tanu = tanv
⇔
u = v + k

π
 Nếu u, v tính bằng độ thì
tanu = tanv
⇔
u = v + k.180
o
 Phương trình tanx = a luôn luôn có nghiệm
với mọi giá trị của a.
 Cho a bất kỳ, ký hiệu arctana là góc thuộc
α ∈
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
sao cho tanα = a.
Khi đó, ph tr tanx = a
⇔

x = arcta + k.π
DẠNG 4 : cotu = cotv
⇔
u = v + k
π
 Nếu u, v tính bằng độ thì
cotu = cotv
⇔
u = v + k.180

o
 Cho a bất kỳ, ký hiệu arccota là góc thuộc
a ∈
( )
π0;
sao cho cotx = a.
Khi đó, ph tr cotx = a
⇔

x = arccota + k.π
2/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số
lượng giác.
Là các phương trình lượng giác có dạng sau:
at
2
+ bt + c = 0 (1) , trong đó t là một trong các
hàm số: sinu; cosu; tanu; cotu.
Với a;b;c
∈
R; a
≠
0. Và u: biểu thức chứa ẩn
(u=u(x)).Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến
điều kiện của ẩn phụ:
+ t=sinu , t=cosu :
1t ≤
+ t=tanu
( )
2
u k

π
π
≠ +
; t=cotu
( )≠u k
π
Giả sử giải tìm được t
1
; t
2
thoả đ/k thì phải
giải tiếp:sinu=t
1
; sinu=t
2
(hoặc cosu=t
1
; cosu=t
2
...)
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx
Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (2)
(a,b,c
, , , 0)R a b c∈ ≠
Phương pháp giải:
Chia hai vế của PT cho
2 2
a b+
,
(1)

⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +

(ĐK để PT (2) có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
)
sin .cos cos .sin sin sin( ) sinx x x
α α β α β
⇔ + = ⇔ + =
Tr
ong đó:
2 2 2 2 2 2
cos ; sin ; sin
a b c
a b a b a b
α α β
= = =
+ + +
4/ Phương trình đẳng cấp bậc hai:
Dạng: a.sin
2
u+b.sinu.cosu+c.cos
2

u = 0 (3) (hoặc
vế phải = d
0)≠

Phương pháp giải:
B1: Xét
2
u k
π
π
= +
có thỏa phương trình không?
B2: Nếu
2
u k
π
π
= +
không thỏa phương trình ta
chia 2 vế của phương trình cho cos
2
u
≠
0. Ta có
PT bậc 2 : atan
2
u+btanu+c = 0 trở về dạng 3
5/ Phương trình lượng giác đối xứng:
Dạng: a(sinx ± cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)
(a,b,c

, , 0)R a b∈ ≠

Phương pháp giải:
Đặt
t =sin cos 2 sin( ) (*)
4
x x x
π
± = ±

(Đ/k :
2t ≤
)
2
1
sin cos
2
−
⇒ = ±
t
x x
. Thế vào
PT (4) ta được phương trình:
2
2
1
.( ) 0 2 2 0
2
−
± + = ⇔ ± + + − =

t
at b c bt at c b
(4
’
)
2
Giải PT (4
’
) ta sẽ tìm được giá trị t thoả đ/k, thế
vào (*) giải tiếp tìm ra nghiệm x của
3