SKKN Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số

1

Nguyễn Thị Mỹ Hạnh – THPT Phan Đình Phùng
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc giải một bài toán là một quá trình phân tích, tìm tòi dựa trên hiểu biết
của người giải toán, thử hết cách này cách khác, trong khi có người lại có thể
tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh
gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà
người giải toán phải trải qua để đi đến lời giải thỏa đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo
hướng hoạt động hóa người học với phương châm “Học tập trong hoạt động
và bằng hoạt động”. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu
của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THPT qua nghiên
cứu nội dung chương trình và qua thực tế giảng dạy, tôi thấy: trong chương
trình Toán lớp 10 SGK mới, phần đầu của lượng giác ở THPT đã được đưa
xuống dạy cuối lớp 10. Cách làm này được xem là tránh dồn dập toàn bộ nội
dung lượng giác trong một năm học. Học sinh từ chổ mới chỉ được làm quen
với một số đẳng thức lượng giác đơn giản thông qua các bài toán hình học thì
nay phải tiếp cận với hệ thống kiến thức mới hết sức trừu tượng và phong
phú, nên bước đầu các em sẽ không tránh phải cảm giác e ngại, né tránh các
bài toán về biến đổi lượng giác, bởi các em thấy nó tương đối “xa lạ” so với
những bài toán đại số mà các em gặp từ trước đến nay. Việc biến bài toán đại
số thành bài toán lượng giác hay “lượng giác hóa bài toán đại số” sẽ ít nhiều
gúp các em thấy các kiến thức lượng giác gần gủi hơn, lí thú hơn, từ đó tiếp
cận các bài toán lượng giác được dễ dàng hơn.
Các bài toán đại số có thể sử dụng phương pháp lượng giác hóa thì rất
nhiều, tuy nhiên trong phạm vi kiến thức của học sinh lớp 10, tôi nhận thấy
lớp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng

thức sử dụng phương pháp này là khá lí thú. Để giúp học sinh thấy được
những mặt ưu việt của phương pháp lượng giác hóa và nâng cao hiệu quả của
việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán đại số, đồng thời hiểu một cách sâu
sắc hơn kiến thức về lượng giác, tôi chọn đề tài “Dùng phương pháp lượng
giác hóa để giải một số bài toán đại số”.
Với đề tài này tôi hi vọng, tôi hi vọng sẽ giúp các em học sinh không bỡ
ngỡ khi gặp các bài toán lượng giác, có được các hướng triển khai khác nhau
khi gặp bài toán đại số, thấy được mối liên hệ mật thiết, qua lại giữa các phân
môn của Toán học với nhau. Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện giải quyết vấn đề, rèn luyện
khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiển, rèn luyện nếp nghĩ
khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt
nhất.

2

1.2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đề tài tập trung vào ngiên cứu làm sáng tỏ việc dùng phương pháp lượng
giác hóa để giải các bài toán đại số.
1.3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu, sử dụng chương trình Sách giáo khoa THPT và một số tài
liệu tham khảo.
1.4. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán
đại số nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán theo yêu cầu đổi mới
chương trình SGK hiện nay.
1.5. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
Từ tiềm năng SGK, áp dụng các phương pháp dạy học và sử dụng các
phương tiện hiện có, nếu giáo viên quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán được cải thiện.

1.6. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:
- Hệ thống hóa các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện
kỹ năng toán học cho học sinh.
- Hệ thống hóa các kiến thức và ví dụ về giải các bài toán đại số bằng
phương pháp lượng giác hóa.
- Thực nghiệm sư phạm để xét tính khả thi và hiệu quả đề tài.
1.7. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng các phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách lý luận dạy
học, các tài liệu về tâm lí học, giáo dục học, toán học, logic học về những vấn
đề liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu thực tiển: Khảo sát tình hình dạy học môn Toán ở trường
THPT X trên địa bàn Hà Tĩnh.
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng
học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả đề tài.
1.8. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
- Về lý luận: Đã đưa ra được hệ thống các kiến thức cơ sở và các dấu
hiệu sư dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải bài toán đại số.
- Về thực tiển: Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học.



3


2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. CƠ SỞ KHOA HỌC
- Phần lượng giác được trình bày trong chương trình Toán THPT ở

cuối lớp 10, đầu lớp 11. Nội dung kiến thức của nó tương đối trừu tượng
và mới mẻ đối với học sinh. Tuy nhiên nó lại có ý nghĩa rất quan trọng
trong việc rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh.
- Trên thực tế, hầu hết giáo viên khi dạy phần lượng giác đều chỉ chú
trọng dạy phần kiến thức ở SGK, chưa nêu được ý nghĩa của nó và mối
liên hệ của lượng giác với các phần khác của Toán THPT, làm cho học
sinh có phần hạn chế trong việc tiếp nhận kiến thức của nội dung này. Vì
vậy đề tài của tôi tập trung vào nghiên cứu sử dụng lượng giác hóa để giải
các bài toán đại số.
2.2. ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG
2.2.1. Mục tiêu đánh giá
Nắm khả năng tiếp thu kiến thức lượng giác của học sinh.
2.2.2. Công cụ và nội dung đánh giá
Trước khi áp dụng đề tài vào dạy học tôi đã khảo sát chất lượng học tập
của học sinh (năng lực khá) bằng các bài tập:
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác:
a) 3)sin(cossin3)1(tansin
2
 xxxxx b)
x
xxx
2
sin
6
2sin4)cot(tan3  .
Bài 2. Giải các phương trình và hệ phương trình:
a)
23
134 xxx  b)








2)1)(1(
111
22
yx
xyyx
.
2.2.3. Kết quả thu được
Tôi đã thực hiện khảo sát ở 2 lớp 11A2 và 11A4, mỗi lớp gồm 20 HS khá
và kết quả thu được:
- Lớp 11A2: có 8/20 em đạt điểm 5 trở lên chiếm tỉ lệ: 40%
- Lớp 11A4: có 7/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 35%
Qua kết quả đó tôi thấy:
- Số lượng học sinh không giải được bài tập 2 rất nhiều, trong đó: chưa
có nguồn kiến thức và kỹ năng cần thiết và không định hướng được
phương pháp giải là chủ yếu.
- Đa số còn lúng túng trong việc ứng dụng, khai thác và mở rộng các
kiến thức về lượng giác.

4

2.3. CÁC GIẢI PHÁP
2.3.1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Nếu
11




a
thì tồn tại duy nhất
x
với -
2
2


 x sao cho
ax

sin
và
tồn tại duy nhất
y
với



y0 sao cho
a
y

cos
.
2. Nếu
10



a
thì tồn tại duy nhất
x
với
2
0

 x sao cho
ax

sin
và tồn
tại duy nhất
y
với
2
0

 y sao cho
a
y

cos
.
3. Với mỗi số thực
a
luôn tồn tại duy nhất
x

với
2
2


 x sao cho
a
x

tan
.
4. Nếu các số thực
a
và
b
thỏa mãn hệ thức 1
22
ba thì tồn tại duy nhất
t
với

20


t
sao cho
t
a
cos


và
tb sin

.
5. Các hệ thức lượng trong tam giác.
6. Các công thức biến đổi lượng giác đã học.
2.3.2. ĐẶC ĐIỂM NHẬN DẠNG VÀ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI
1. Nếu 1x thì đặt



;0,cos  ttx hoặc







2
;
2
,sin

ttx .
2. Nếu )0(,  RRx thì đặt



;0,cos  ttRx

hoặc
sin , ; .
2 2
x R t t
 
 
  
 
 

3. Nếu 1x thì đặt







2
3
;()
2
;0,
cos
1



t
t

x .
4. Nếu 0 Rx thì đặt ]
2
3
;()
2
;0[,
cos



 t
t
R
x .
5. Nếu 1
22
 yx thì đặt
]2;0[,
sin
cos







t
ty

tx
.
6. Nếu )0(
222
 RRyx thì đặt
]2;0[,
sin
cos







t
tRy
tRx
.
7. Nếu )0()()(
222
 RRbyax thì đặt
]2;0[,
sin
cos








t
tRby
tRax
.
8. Nếu )0,(1
2
2
2
2
 ba
b
y
a
x
thì đặt
]2;0[,
sin
cos







t
tby
tax

.
9. Nếu )0,,()()(
222




RbaR
b
y
a
x


thì đặt

5

cos
, [0;2 ].
sin
x aR t
t
y bR t



 




 

.
10. Nếu trong bài toán có xuất hiện biểu thức 1
2
x thì đặt
)
2
;
2
(,tan


 ttx .
11. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức )0(
22
 RRx thì đặt
)
2
;
2
(,tan


 ttRx .
12. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức )0,()(
22
 babax thì đặt
)

2
;
2
(,tan


 tt
a
b
x .
13. Nếu trong bài toán xuất hiện
x
không ràng buộc bởi điều kiện gì ta
cũng có thể đặt )
2
;
2
(,tan


 ttx .
14. Nếu trong bài toán có xuất hiện một hay nhiều biểu thức có dạng:
,
31
3
,
1
1
,
1

2
,
1
,
1
2
2
2
2
2
x
xx
x
x
x
x
xy
yx
xy
yx









thì ta cũng có thể đặt


tan

x

và

tan

y , )
2
;
2
(,



 .
15. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn:
1



cabcab
thì tồn tại tam giác
ABC để
2
tan,
2
tan,

2
tan
C
c
B
b
A
a  .
16. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn:
abccba



thì tồn tại tam giác
ABC để CcBbAa tan,tan,tan



.
17. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn: (*)
222
bccba

 thì tồn tại tam
giác ABC có 3 cạnh thỏa mãn điều kiện (*) và dể dàng tính được góc A
thông qua định lý hàm số Cos.
18. Nếu cba ,, là 3 số thực dương thỏa mãn: 1,,

cba và
abccba 21

222
 thì tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
CcBbAa cos,cos,cos



.
2.3.3. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
2.3.3.1. CÁC VÍ DỤ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1. Giải phương trình: )121(11
22
xxx  .
Lời giải
Điều kiện:
11



x
.
Đặt ]
2
;
2
[,sin


 ttx , phương trình trở thành:

6

2 2
1 1 sin sin (1 2 1 sin )
1 cos sin (1 2cos )
2 cos sin sin 2
2
t t t
t t t
t
t t
    
   
  

3
2 cos 2sin cos
2 2 2
3 2
cos (sin ) 0
2 2 2
t t t
t t
 
  

cos 0
1
2
6

2
3 2
1
sin
2
2 2
t
t
x
t
x
t












  














Vậy phương trình có hai nghiệm
1

x
và
2
1
x .
Ví dụ 2. Giải phương trình:
)1(2
)1(
2
1
1
2
222
2
xx
x
x
x
x






.
Lời giải
Đặt
,
tan
t
x

với






 0;
4
),
2
;
2
(

tt , phương trình trở thành:

)tan1(tan2
)1(tan
tan2
1tan
1tan
2
222
2
tt
t
t
t
t







3
3
6
2
1
sin
0sin2sin2sin4
0)
)sin21(sin2
1

sin2
1
1(
cos
1
2coscossin2
1
cossin2
1
cos
1
23
2






xtt
ttt
tt
tt
tttttt


Vậy phương trình có 1 nghiệm
3
3
x .

Ví dụ 3. Giải phương trình: xxxx 310442623
2

(Đề thi ĐH khối B – 2011)
Lời giải
Điều kiện:
22



x
.
Đặt
tx cos2

, phương trình trở thành:

7


2
2 2
3 2 2cos 6 2 2cos 4 4 4cos 10 6cos
3 2 cos 6 2 sin 8 sin 16sin 4cos
2 2 2 2
t t t t
t t t t
t
      
    

2 2
4(4sin 4 sin cos cos ) 3 2(2 sin cos ) 0
2 2 2 2 2 2
(2 sin cos )(8 sin 4 cos 3 2) 0
2 2 2 2
t t t t t t
t t t t
     
    

2 sin cos 0
2 2
8 sin 4 cos 3 2 0( )
2 2
t t
t t
VN

 




  



2
1 4 3 6

tan cos cos
2 2 2 5 5 5
t t
t x
        

Vậy phương trình có 1 nghiệm
6
5
x
 

Ví dụ 4. Giải phương trình:
(3 2 2) ( 2 1) 3.
x x
   

Lời giải
Ta có:
12
1
12


và 223)12(
2
 , do đó đặt: )0(,)12(2  tt
x

phương trình trở thành:

2 3
1 1
4 3 4 3 0
2 2
t t t
t
     

Dễ thấy hàm số
2
1
34)(
3
 tttf là hàm đồng biến trên );
2
1
(  nên
1,0)(



ttf , do đó phương trình vô nghiệm trên );1[


Với
10


t

, đặt )
2
;0(,cos

 uut , ta được phương trình:

3
1 2
1 2
1 2
1
4cos 3cos 0
2
1
cos3
2
cos log 2cos
9 9 9
5 5 5
cos log 2cos
9 9 9
7 7 7
cos log 2cos
9 9 9
u u
u
u t x
u t x
u t x
  

  
  



  
 
  
  
  
  
  
     
  
  
  
  
  
  

Vậy phương trình có 3 nghiệm:

8

.
9
7
cos2log,
9
5

cos2log,
9
cos2log
212121




 xxx
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1. 23
3
 xxx
2.


2332
12)1()1(11 xxxx 
3. 22
1
2



x
x
x
4.
23

134 xxx 
5.
)
3
3
1(2
1
11
2



x
x
.
2.3.3.2. CÁC VÍ DỤ VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:







31
11
2
2
xy

yx
.
Lời giải
Điều kiện:





11
11
y
x
.
Với điều kiện đó, ta đặt ];0[,cos],;0[,cos






vvyuux . Hệ trở
thành
2
2
cos sin 1
cos 1 cos 1
cos sin 3
cos 1 cos 3
u v

u v
v u
v u

  
  
 

 
 
   




cos 3 sin 3cos sin 4 (*)
u u v v    
Mặt khác,
4)sin)(cos13()cos)(sin31(sincos3sin3cos
2222
 vvuuvvuu
Do đó,


















































2
3
cos
2
1
cos
4
3
cos
0cos
4
1
cos
0cos
3
1
tan
0cos
3tan
0cos

3
1
cos
sin
3
cos
sin
(*)
2
2
2
2
v
u
v
v
u
u
v
v
u
u
v
v
u
u













2
3
2
1
y
x


9

Thử lại ta thấy









2
3

2
1
y
x
thỏa mãn hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm:









2
3
2
1
y
x
.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:












y
x
x
x
y
y
2
2
1
2
1
2

Lời giải
Đặt:
))
2
;
2
(,(
tan
tan








vu
vy
ux
, hệ trở thành:

























uuvv
vvuu
vu
uv
v
u
u
u
v
v
sincoscossin2
sincoscossin2
tan2sin
tan2sin
tan
tan1
tan2
tan
tan1
tan2
2
2

Nếu
0sin

u
thì
0sin


v
và ngược lại nên )0;0( là 1 nghiệm của hệ.
Nếu
0sin

u
thì
0sin

v
, từ hệ ta suy ra vu sin,sin cùng dấu và
vuvu
u
v
v
u
 sinsin
sin
sin
sin
sin

Với
v
u

, ta suy ra










4
4
02cos12cos1
2
1
cos
2


u
u
uuu







1
1
yx
yx

Thử lại ta thấy 3 nghiệm trên đều thỏa mãn hệ.
Vậy hệ có 3 nghiệm: )1;1(),1;1(),0;0(


.
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:







xxyxy
yxxxy
1212
13122
2
3

(Đề thi HSG Đắc Lak 2010)
Lời giải

10

Từ phương trình (1):
3
2 2 1 3 1
y x x x y

    


)1()(
1)1(22
33
xfyf
xxyy



Với tttf 
3
2)( là hàm đồng biến trên R, từ đó suy ra xy  1
Thay vào phương trình thứ 2 ta có: (*)112121
2
xxxxx 
Đặt: );0(,cos



ttx , phương trình (*) trở thành:
ttttt cos1cos1cos21cos2cos1
2

2 sin cos2 2cos sin
2
t
t t t
  

cos2 sin 2 2 sin
2
t
t t  
sin(2 ) sin
4 2
t
t

  
3
cos
2 2
3
10
4 2
3
10
2 2 2 cos
4 2 20
t
x
t k
t
t
t k y



 

 


  



   




    





Vậy phương trình có nghiệm:









20
3

cos2
10
3
cos


y
x

Bài tập tự luyện
Giải các hệ phương trình sau:
1.







2)1)(1(
111
22
yx
xyyx

2.








34
4
11
2
2
2
y
y
x
yxx

3.







11212
111
22
22
xyyx
xyyx

4.












y
x
x
x
y
y
2
2
1
2
1
2

2.3.3.3. CÁC VÍ DỤ VỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

11

Ví dụ 8. Chứng minh BĐT Bunhiacopski cho hai số:

2 2 2 2 2
( ) ( )( ), , , , .
ax by a b x y a b x y
     


Lời giải
Có nhiều cách để chứng minh BĐT này, tuy nhiên sử dụng lượng giác hóa
để chứng minh theo tôi vẩn là một hướng đi hay. Sau đây là lời giải:
 Nếu 0
22
 ba hoặc 0
22
 yx , BĐT hiển nhiên đúng.
 Nếu 0
22
 ba và 0
22
 yx , khi đó ta có:
















1)()(
1)()(
2
22
2
22
2
22
2
22
yx
y
yx
x
ba
b
ba
a

Đặt ])2;0[,(
sin
cos
sin
cos
22
22

22
22















vu
vyxy
vyxx
ubab
ubaa

Ta cần chứng minh BĐT:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )(cos cos sin sin ) ( )( )
a b x y u v u v a b x y
     
2

cos ( ) 1.(*)
u v  
(*) luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 9. Chứng minh rằng với mọi số thực ba, ta có:

2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22





ba
abba

Lời giải
Đặt )
2
;
2
(,,tan,tan


 vvvbua
Khi đó:

)tan1)(tan1(
)tantan1)(tan(tan
)1)(1(
)1)((
2222
vu
vuvu
ba
abba
A









)(2sin
2
1
coscos
)cos()sin(
coscos
22
22
vu
vu
vuvu

vu




Suy ra,
2
1
2
1
 A
Vậy ta có điều phải chứng minh.

12

Ví dụ 10. Chứng minh rằng nếu 1x thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta
có:
(1 ) (1 ) 2 .
n n n
x x
   

Lời giải
Vì 1x nên có thể đặt
t
x
cos

, với );0(



t . Bất đẳng thức (1) được
viết thành

nnn
tt 2)cos1()cos1( 

nnnn
nnnnn
tt
tt
2)
2
sin
2
(cos2
2
2
sin2
2
cos2
22
22



Mặt khác,
2
2
0



t
nên: 1
2
cos0 
t
và 1
2
sin0 
t

Do đó,
2
sin
2
sin,
2
cos
2
cos
2222
tttt
nn

1
2
sin
2
cos

2
sin
2
cos
2222

tttt
nn

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 11. Cho
,
x y
là các số thực dương thỏa mãn 1


yx . Chứng minh
2
1711
2
2
2
2

y
y
x
x
Lời giải
Ta có, 1)()(

22
 yxyx và
y
x
,
là các số thực dương, do đó ta có thể
đặt
cos ,
x t

sin
y t
 với
(0; ).
2
t


Ta cần chứng minh BĐT:
4 4
4 4
1 1 17
cos sin
cos sin 2
t t
t t
    

Thật vậy,

4 4
4 4
2 2
4
2
4
1
(cos sin )(1 )
cos sin
16
(1 2sin cos )(1 )
sin 2
sin 2 16
(1 )(1 ).
2 sin 2
VT t t
t t
t t
t
t
t
  
  
  

Do 12sin0
2
 t nên
2
1

2
2sin
1
2

t
và 17
2
sin
16
1
4

t
.
Từ đó suy ra
17
.
2
VT 

13

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 12. Cho cba ,, là các số thực dương thỏa mãn
1



cabcab

. Chứng
minh rằng 10
1
3
11
2
22






c
c
b
b
a
a
.
Lời giải
Vì cba ,, là các số thực dương và
1



cabcab
nên luôn tồn tại tam giác
ABC sao cho
2

tan;
2
tan;
2
tan
C
c
B
b
A
a  .
Khi đó:
2
2
tan
1
2
sin ,
1 2
1 tan
2
A
a
A
A
a
 



2
2
tan
1
2
sin
1 2
1 tan
2
B
b
B
B
b
 


,

2
sin
1
2
C
c
c


.
Ta cần chứng minh: 10

2
sin3sin
2
1
sin
2
1

C
BA
102
2
sin6sinsin 
C
BA .
Thật vậy,
2sin cos 6sin
2 2 2
A B A B C
VT
 
 
2cos cos 6sin
2 2 2
C A B C

 
2 2 2 2
2cos 6sin (2 6 )(sin cos ) 2 10
2 2 2 2

C C C C
      .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 13. Cho cba ,, là các số dương thỏa mãn
bcaabc



. Chứng minh
rằng
3
10
1
3
1
2
1
2
222






c
b
a
.
Lời giải

Ta có, 1
11

b
c
b
aacbcaabc .
Khi đó ta có thể đặt
2
tan,
2
tan
1
,
2
tan
C
c
B
b
A
a  với CBA ,, là 3 góc của
một tam giác. Bất đẳng thức trở thành

14


2 2 2
2 2 3 10
3

1 tan 1 cot 1 tan
2 2 2
A B C
  
  

2 2 2
10
2cos 2sin 3cos
2 2 2 3
A B C
   
2
10
(1 cos ) (1 cos ) 3(1 sin )
2 3
C
A B
      


2
1
cos cos 3sin
2 3
C
A B
   

2

1
2sin cos 3sin
2 2 2 3
C A B C

  

2 2
(3sin cos ) sin 0
2 2 2
C A B A B
 
   
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 14 (Đề thi ĐH khối A-2009). Cho
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn
yzzyxx 3)(



. Chứng minh rằng

333
)(5))()((3)()( zyxzzyyxzxyx  .

Lời giải
Đặt: yxcxzbzya






,, .
Khi đó cba ,, là 3 số dương và
2
,
2
,
2
cba
z
bca
y
acb
x








 .

( ) 3
x x y z yz
  

( )( ) 3( )( )
4 4
b c a a b c a c b a b c
       
 
2 2 2 2 2 2
2 3( 2 )
b bc c a a bc b c
       
2 2 2
a b c bc
   

Với điều kiện đó ta có thể coi cba ,, là 3 cạnh của tam giác ABC với

0
222
60
2
1
2
cos 

 A
bc

acb
A
Ta cần chứng minh:

3 3 3
3 5
b c abc a
  
2 2 3
( )( ) 3 5
b c b bc c abc a
     
2 3
( ) 3 5
a b c abc a
   
2
( ) 3 5
a b c bc a
   
ARCBRCBAR
2222
sin20sinsin12)sin(sinsin4 

15

15sinsin12)sin(sin32  CBCB
Mặt khác, 3
2
cos2

2
cos
2
sin2sinsin 



ACBCB
CB

4
3
4
)sin(sin
sinsin
2



CB
CB
Từ đó suy ra, 15sinsin12)sin(sin32  CBCB
Đây chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 15. Cho 3 số không âm cba ,, thỏa mãn: 4
222
 abccba . Chứng
minh rằng:
2





abccba

Lời gải
Vì cba ,,
0

và 4
222
 abccba nên 2,,0


cba .
Đặt CcBbAa cos2,cos2,cos2



với
2
,,.0

 CBA , ta có:




C
B
A

CBACBA 1coscoscos2coscoscos
222

Khi đó:

CBA
CBA
CBACBA
abccba
coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin
2coscoscos8)coscos(cos2
2







Mặt khác:

2
sin
))cos(1

2
sin2(
2
1
))cos(cos(
2
1
))cos()(cos(
2
1
coscos
2
2
C
BA
C
BAC
BABABA





Chứng minh tương tự ta có:
2
sincoscos,
2
sincoscos
22
B

AC
A
CB  .
Từ đó suy ra: CBA
CBA
coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin  .
Vậy ta có điều phải chứng minh.

16

Ví dụ 16. Cho
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn:
xyz
z
y
x




. Chứng
minh rằng
2
33
111
222





 z
z
y
y
x
x
.
Lời giải
Vì
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn
xyz
z
y
x




nên tồn tại tam giác
ABC sao cho CzByAx tan,tan,tan



.
Khi đó,
2 2 2 2
tan
sin , sin , sin
1 1 tan 1 1
x A y z
A B C
x A y z
   
   
.
Ta cần chứng minh
2
33
sinsinsin  CBA .
Thật vậy,
2
sin2
2
cos
2

sin2sinsin
BABABA
BA






0
0
60
sin sin60 2sin
2
C
C

 
0
0
60
sin sin sin sin60 2(sin sin )
2 2
A B C
A B C
 
     

0
60 4 3

4sin
4 2
A B C  
 
3 3
sin sin sin
2
A B C    .
Đây chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 17: (Đề thi ĐH khối B năm 2008). Cho
y
x
,
là hai số thực thay đổi thỏa
mãn 1
22
 yx . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
2
221
)6(2
yxy
xyx
P



.
(Đề thi ĐH khối B năm 2008)
Lời giải

Đặt:
]2;0[
cos
sin







t
ty
tx
, ta có
2
2
2(cos 6sin cos ) cos2 6sin 2 1
1 2sin cos 2sin 2 sin 2 cos2
t t t t t
P
t t t t t
  
 
   

12sin62cos)2cos2sin2(







ttttP
PtPtP 212cos)1(2sin)6(







Đây là 1 phương trình đối với ẩn
t
, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

     
2 2 2
2
6 1 1 2 3 18 0 6 3
P P P P P P
            


17

Vậy,
3

MaxP

khi
3
10
( 0),
1
10
x
xy
y

 





 




6


MinP
khi
3
13
( 0).
2

13
x
xy
y

 





 



Ví dụ 18. Cho
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn
xyzzyx
1111
 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2 1
1 1 1
y

x z
P
x y z

   
  

Lời giải
Vì
xyzzyx
1111
 nên tồn tại tam giác ABC để
z
C
y
B
x
A
1
tan,
1
tan,
1
tan  .
Ta có,
1
1
1
2
1

2







z
z
y
y
x
x
P

2
2 2 2
2
2 2
2 2
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1
tan tan 1 tan
1 tan 1 tan 1 tan
sin 2 sin 2 cos 2

2sin cos( ) 1 2sin
1 1
2(sin cos( )) cos ( ) 1
2 2
1 1 3 3
2(sin cos( )) sin ( ) .
2 2 2 2
y
x
z
x y z
A B C
A B C
A B C
C A B C
C A B A B
C A B A B

  
  

  
  
  
   
      
       

Vậy,
2

3
MaxP khi

























3
12
5

cot
12
5
tantantan
3
1
tan
2
1
sin
2
z
yx
BA
C
C
BA


.
Ví dụ 19. Cho
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn 1




zyx . Tìm GTLN
của biểu thức
xyz
xyz
xzy
y
yzx
x
P





 .

18

Lời giải
Ta có,
xyz
x y
P
x yz y xz z xy
  
  
1 1
1 1 1
xy
z

yz xz xy
x y z
  
  
.
Theo giả thiết
y
xz
x
yz
x
zy
z
xy
z
xy
y
xz
zyx  .1
, do đó tồn tại tam
giác ABC sao cho
z
xyC
y
zxB
x
yzA

2
tan,

2
tan,
2
tan
.
Khi đó,
2
tan1
2
tan
2
tan1
1
2
tan1
1
222
C
C
BA
P








2 2

1
cos cos sin
2 2 2
1
1 (cos cos sin ).
2
A B
C
A B C
  
   

Mặt khác,
3 3
cos cos sin sin 2cos cos 2sin cos
3 2 2 2 2
3 3
2cos 2cos 4cos 4cos 2 3.
2 2 4 6
C C
A B A B
A B C
C A B C
A B
 

 

 
 

    
   

    

Vậy 31MaxP khi
3
6
2
.
3
3
C
A B
A B
C
A B C






 


 




 
 
 



  



Bài tập tự luyện
1. Cho 3 số dương cba ,, thỏa mãn : 4
222
 abccba . CMR :
3



cba
.
1. Cho
z
y
x
,
,
là các số dương thỏa mãn :
xyz
z
y

x



. CMR :
4
9
1
1
1
1
1
2
222





 zyx
.
2. Cho
z
y
x
,
,
là các số dương thỏa mãn : 1




zxyzxy . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức :
222
111 z
z
y
y
x
x
P





 .

19

3. Cho 3 số không âm cba ,, thỏa mãn :
abccba



. Chứng minh rằng :
32
1
1
1

1
1
1
222

cba
.
4. Cho
y
x
,
là các số thực thỏa mãn : 1
22
 yx . Chứng minh rằng :
1
4
1
66
 yx .
5. Chứng minh rằng với mọi số thực
z
y
x
,
,
tùy ý ta có :
222222
111111 xz
xz
zy

zy
yx
yx








.
6. Chứng minh rằng :


2)1)(1(311
2222
 baababba .
2.4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Sau khi thử nghiệm dạy nội dung này cho 20 học sinh khá ở 2 lớp 11A2,
11A4 tôi đã tiến hành làm bài kiểm tra với cấu trúc đề gồm 2 câu phương
trình lượng giác ở mức độ thi Đại học, 1 câu giải hệ phương trình, 1 câu
chứng minh bất đẳng thức có thể giải được bằng phương pháp lượng giác hóa.
Kết quả thu được như sau:
Lớp 11A2 : có 20/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 100%, trong đó có
5 em đạt điểm giỏi.
Lớp 11A4 : có 20/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 100%, trong đó có
3 em đạt điểm giỏi.
Như vậy căn cứ vào kết quả trên ta thấy đề tài bước đầu đã phát huy tác
dụng. Học sinh bước đầu đã biết cách vận dụng phương pháp lượng giác hóa

vào giải toán, hiểu được mối liên hệ giữa các phân môn của toán học.











20

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết quả đạt được
Đề tài trình bày việc sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một
số bài toán đại số, tập trung vào giải quyết dạng toán: Giải phương trình,
giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức.
Đã trình bày đầy đủ các dạng mà có thể lượng giác hóa được, giúp học
sinh nhận dạng và sử dụng phép biến đổi phù hợp.
Đã nêu hệ thống các ví dụ minh họa và các bài tập tự luyện. Thông qua
lời giải cho mỗi ví dụ ta thấy rằng có nhiều bài toán đại số khi sử dụng
phương pháp lượng giác hóa sẻ cho lời giải rất đẹp, gọn gàng, dể hiểu và
nhanh chóng, một số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của phương
pháp. Đặc biệt khi tôi dạy thử nghiệm nội dung này cho đội tuyển học sinh
giỏi thì nhiều em tỏ ra thích thú khi được tiếp cận phương pháp mới này.
Tuy nhiên phương pháp này không phải là chìa khóa để giải tất cả các bài
toán đại số mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một số dạng bài toán
nhất định cho nên chỉ nên xem phương pháp này như là một phương pháp

bổ trợ mà thôi. Tôi tin tưởng rằng nếu học sinh vận dụng tốt phương pháp
này thì việc giải toán đại số sẻ thuận lợi hơn rất nhiều.
Đề tài đã thông qua tổ chuyên môn, đã được tổ chuyên môn đánh giá
cao và coi đây là tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học,
Cao đẳng
Với những kết quả đạt được trong đề tài, tôi hy vọng rằng đề tài sẽ là
tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và
luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng.
Đề tài là kinh nghiệm, tâm huyết của các nhân thông qua một số tài
liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Rất mong
hội đồng khoa học góp ý để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng
phong phú và hữu hiệu hơn.
3.3 . Kiến nghị và đề xuất
- Phương pháp lượng giác hóa được trình bày trong đề tài này chỉ phù
hợp với học sinh có học lực khá trở lên do đó chỉ xem nó như là tài liệu
tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và
luyện thi Đại học, Cao đẳng, không nên giảng dạy đại trà cho tất cả học
sinh.
- Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng
dạy cho học sinh, tôi mong muốn rằng nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt
thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu được đến tay những
giáo viên và học sinh yêu thích môn toán.



21