Một số tình huống xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động hình thành định lý và một số bài tập trong việc dạy toán ở trường phổ thông

Lời nói đầu
Trong giảng dạy môn Toán ở trờng PT việc dự kiến các Hoạt động học tập của học
sinh trong tiết học là một thành tố không thể thiếu đợc theo quan điểm dạy học ĐMPP. Mỗi
HĐ học tập là một tình huống gợi động cơ học tập. Một HĐ học tập thờng gồm nhiều HĐ
thành phần với mục đích riêng. Thực hiện xong các HĐ thành phần thì mục đích chung của
cả HĐ cũng đợc thực hiện.
Giáo viên cần hình dung cách tổ chức HĐ học tập của học sinh nh thế nào (giao bài
tập cho cá nhân hay theo nhóm, giảI quyết bài toán gắn với thực tế hay hớng dẫn học sinh
suy lận từng bớc dẫn đến mục tiêu bài toán). Giáo viên phảI suy nghĩ công phu về các khả
năng diễn biến các HĐ, dự kiến các giảI pháp điều chỉnh để đảm bảo thời gian.
Về mặt kĩ thuật, cần coi trọng việc chuẩn bị các câu hỏi. Với mỗi HĐ cần có một số
câu hỏi then chốt, xoáy sâu vào trọng tâm, nhằm vào những mục đích nhận thức xác định,
đặc biệt là những phần trọng tâm, trên cơ sở đó khi lên lớp sẽ phát triển thêm những câu
hỏi phụ, tuỳ theo diễn biến của đối tợng học sinh. Tránh khuynh hớng hình thức dặt câu hỏi
quá dễ hoặc quá khó đối với học sinh, câu hỏi phảI có yêu cầu cao về nhận thức.
Để tổ chức các HĐ của học sinh đạt đợc theo yêu cầu bài giảng, một bớc quyết
định thành (bại) mục tiêu bài giảng đó là việc xác định động cơ và gợi động cơ cho các
HĐ. Do đó giáo viên cần chuẩn bị công phu không những về nội dung bài giảng mà phảI
đặt ra các tình huống gợi động cơ và các tình huống giải quyết vấn đề.
Chính vì lý do đó, tôI đa ra một số tình huống xác định động cơ và gợi động cơ cho
HĐ hình thành đinh lý và một số bài tập trong giảng dạy môn Toán ở trờng PT và đó cũng
chính là nộ dung của bài tiểu luận này.

1
Ví dụ 1
Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động khi dạy định lý cosin trong tam giác.
HĐ1: Đặt vấn đề
Trong thực tế khi cần phảI đo khoảng cách giữa hai điểm B và C mà không thể đo trực tiếp
đợc vì giữa hai điểm đó có chớng ngại, nh: một đầm lầy, một cánh rừng,(Hình 1.1)
Để có thể đo đợc khoảng cách BC trong những trờng
hợp đó, ngời ta thờng chon một điểm A sao cho từ A có

thể nhìn thấy B, C và ta có thể đo đợc các khoảng cách
AB = c, AC = b và góc BAC. Làm đợc nh vậy tam giác
ABC hoàn toàn đợc xác định bởi hai cạnh và góc xen
giữa. Khi đó khoảng cách AB sẽ đợc tính nh thế nào?
HĐ2: Gợi động cơ giảI quyết bài toán sau
Bài toán 1. Cho tam giác ABC biết AC = b, AB = c và
góc A. Tính cạnh a = BC (hình 1.2)
GV. Góc A là góc của hai vectơ nào?
HS. A là góc của hai vectơ
( , )AB AC
uuur uuur
.
GV. Trong các phép tính vectơ phép tính nào liên quan
tới cos
( , )AB AC
uuur uuur
?
HS. Phép tính tích vô hớng
. . . ( , )AB AC AB AC cos AB AC=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

GV. Có thể biểu diễn
BC
uuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur

nh thế nào?
HS.
BC AC AB=
uuur uuur uuur
(1)
GV. Từ (1) hãy bình phơng vô hớng để đợc công thức tính a = BC.
HS. (1)
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 .BC AC AB AC AB = +
uuur uuur uuur uuur uuur

2 2 2
2 .cosa b c bc A = +
GV. Nh vậy chúng ta đã có công thức để tính cạnh cha biết của một tam giác theo hai
cạnh đã biết và cosin của góc xen giữa. Ta gọi công thức này là định lý cosin trong tam
giác.
Định lý. Với mọi tam giác ABC, ta có
2
Hình 1.1
C
B
A
A
B C
A
B
C
Hình 1.2
2 2 2
2 2 2

2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= +
= +
= +
GV. Đặc biệt Khi tam giác ABC là tam giác vuông, chẳng hạn A = 90
0
, định lý cosin trở thàh
định lý quen thuộc nào?
HS. Ta có định lý Pitago
2 2 2
a b c= +
Do đó ta có thể nói định lý Pitago chỉ là một trờng hợp riêng của định lý cosin.
Ví dụ 2:
Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động giảI quyết bài toán sau và hình thành bài
toán tổng quát.
Bài toán 2.1 : Cho
ABC

vài M là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác; AM, BM, CM lần
lợt cắt BC, CA, AB tại A

, B

, C

.
Chứng minh rằng:
1
MA MB MC
AA BB CC

+ + =

(1)
HĐ1: Gợi động giảI quyết bài toán 2.1
HĐTP1. Phân tích bài toán, xét các trờng hợp riêng
GV. Hãy xét bài toán trên với đoạn thẳng AB (hình 2.1).
HS. Khi đó M là điểm bất kỳ trên đoạn AB và ta có: B

A

, B


A, C



M
GV. Hãy kiểm tra đẳng thức (1) có đúng không?
HS. Ta có:
1
MA MB MC MB MA MM
AA BB CC AB AB CM

+ + = + + =

GV. Điều này chứng tỏ bài toán trên vẫn đúng khi
ABC

chỉ là đoạn thẳng.
HĐTP2. Gợi động cơ hình thành lời giảI bài toán 2.1.
GV. Bài toán đã cho thuộc dạng nào?
HS. Chứng minh đẳng thức hình học.
GV. Ta có thể sử dụng phơng pháp nào?
HS. Ta có thể sử dụng một trong các PP sau:
Biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tơng đơng, xuát phát từ một đẳng thức đúng biến
đổi tơng đơng với đẳng thức cần chứng minh
3
M
B
A
Hình 2.1
K
H
A'
M
C
B
A
Hình 2.2
GV. Hãy xuất phát từ đẳng thức đúng chứng minh bài toán?
HS. Ta có:
MBC

ABC
S
MA MH
AA AK S

= =

Hoàn toàn tơng tự, ta có:
;
MAC
MAB
ABC ABC
S
SMB MC
BB S CC S

= =

Do đó VT(1) =
MA MB MC
AA BB CC

+ +

=
MBC
ABC
S
S
1

MAC
MAB
ABC ABC
S
S
S S
+ + =

ĐPCM
HĐTP3: Gợi động cơ hình thành bài toán tổng quát.
GV. Ta có tam giác, tứ diện lần lợt là các đơn hình trong mặt phẳng và trong không gian,
do đó ta có bài toán tơng tự trong không gian.
Bài toán tổng quát
Bài toán 2.2: Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kỳ thuộc miền trong của tứ diện. Gọi A

,
B

, C

, D

, lần lợt là giao điểm của AM, BM, CM, DM với các mặt phẳng (BCD), (ACD),
(ABD), (ABC)
Chứng minh rằng:
1
MA MB MC MD
AA BB CC DD

+ + + =

(2)
HĐTP4: Gợi động cơ giảI quyết bài toán tổng quát.
Gọi K, H lần lợt là hình chiếu của M, A trên
mp(BCD). Hoàn toàn tơng tự ta có:
;
;
MBCD MACD
ABCD ABCD
MABC
MBAD
ABCD ABCD
V V
MA MH MB
AA AK V BB V
V
VMC MD
CC V DD V

= = =


= =

Do đó:
VT(2) =
MA MB MC MD
AA BB CC DD

+ + +

=
1
MBCD MACD MABC
MBAD
ABCD ABCD ABCD ABC D
V V V
V
V V V V
+ + + =
ĐPCM
Nh vậy bài toán đợc giảI quyết.
Ví dụ 3
4
K
H
A'
M
D
C
B
A
Hình 2.3
K
H
A'
M
D
C
B

A
Hình 2.3
C
Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động giảI quyết bài toán sau và hình thành bài
toán tổng quát.
Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác.
Đặt S
A
= S
MBC
, S
B
= S
MAC
, S
C
= S
MAB
Chứng minh rằng:
. . . 0
A B C
S MA S MB S MC+ + =
uuur uuur uuuur r
HĐ1: Gợi động giảI quyết bài toán 3.1
HĐTP1: Định hớng phân tích, xét các trờng hợp riêng của bài toán.
* Khi tam giác ABC là đoạn thẳng AB, lúc đó
M là điểm bất kỳ thuộc đoạn AB
* Khi đó S
Â
= MB, S

B
= MA và ta có:
.
MA
MA MA
MB
=
uuur uuur

. . 0 . . 0
B A
MB MA MA MA S MA S MA + = + =
uuur uuur uuur uuur
ĐPCM
Nh vậy khi tam giác ABC là đoạn thẳng AB thì bài toán 3.1 vẫn đúng.
HĐTP2. Gợi động cơ giảI quyết bài toán 3.1. (hình 3.2 )
* Dựng hình bình hành ANMP.
* Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên đ-
ờng thảng MC.
GV. Hãy biểu diến vectơ
MA
uuur
qua hai vectơ

MB
uuur
và
MC
uuuur
.

HS. Ta có:
. .MA MN MP x MB y MC= + = +
uuur uuuur uuur uuur uuuur
(*)
Trong đó:

MAC
B
MBC A
S
SMN AP AH
x
MB MB BK S S
= = = = =
Hoàn toàn tơng tự ta có:
C
A
S
y
S
=
Thay x và y vào (*) ta đợc:
. . . . . . 0
C
B
A B C
A A
S
S
MA x MB y MC MB S MA S MB S MC

S S
= + = + + =
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur r


ĐPCM
Vậy bài toán 3.1 đợc chứng minh.
HĐTP3. Khai thác các trờng hợp riêng.
GV. Từ bài toán 3.1 ta có lớp các bài toán tơng tự, cụ thể nh sau:
Bài toán 3.1.1: Khi M

G (trọng tâm tam giác ABC). Khi đó
1
3
A B C ABC
S S S S = = =
Và do đó ta có:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
Bài toán 3.1.2: Khi M

O, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
*
(tan tan ). (tan tan ). (tan tan ). 0B C OA C A OB A C OC+ + + + + =
uuur uuur uuur r
5
B
M
A

Hình 3.1
H
K
N
P
M
C
B
A
Hình 3.2
*
sin 2 . sin 2 . 2 . 0A OA B OB sin C OC+ + =
uuur uuur uuur r
Bài toán 3.1.3: Khi M

I, tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:
*
sin . s in . sin . 0A IA B IB C IC+ + =
uur uur uur r
*
. . . 0BC IA AC IB AB IC+ + =
uur uur uur r
Bài toán 3.1.3: Khi M

H, trực tâm tam giác ABC
Ta có:
*
tan . tan . tan . 0A HA B HB C HC+ + =
uuur uuur uuur r

*
. . . 0
cos cos cos
BC AC AB
HA HB HC
A B C
+ + =
uuur uuur uuur r
Nh vậy từ bài toán 3.1 ta có một lớp các bài toán tơng tự.
Việc chứng minh các bài toán trên là hoàn toàn tơng tự nh bài toán 3.1.
GV. Hãy xét khi M thuộc miền ngoài tram giác ABC?
HS.
* Dựng hình bình hành APMN (hình 3.3).
Gọi K, H lần lợt là hình chiếu A, B trên MC.
Ta có:
MA xMB yMC= +
uuur uuur uuuur
(2)
Trong đó:
B
A
SMP AN AK
x
MB MB BH S
= = = =

Hoàn toàn tơng tự ta có:
C
A
S

y
S
=
Thay x và y vào (2) ta có:
. . . 0
A B C
S MA S MB S MC + + =
uuur uuur uuuur r
(3)
Nh vậy khi M thuộc miền ngoài tam giác ABC ta có đẳng
thức (3).
Tóm lại ta có thể phát biểu bài toán tổng quát nh sau:
Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC và M là điểm bất kỳ trong mặt phảng (M
, ,A B C
và
không nằm trên các đờng thẳng chứa các cạnh tam giác).
Ký hiệu:
, ,
A MBC B MAC C MAB
S S S S S S= = =

( )
A
Sng M

=



( )

B
Sng M

=



( )
C
Sng M

=


Chứng minh rằng:
( ). . ( ) . ( ) . 0
A A B B C C
Sng M S MA Sng M S MB Sng M S MC+ + =
uuur uuur uuuur r
HĐ2. Gợi động cơ hình thành bài toán tổng quát trong không gian.
GV. Ta có tam giác, tứ diện lần lợt là các đơn hình trong mặt phẳng và trong không gian,
do đó ta có bài toán tơng tự trong không gian.
6
K
H
N
C
M
B
P

A
Hình 3.3
-1 nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc BAC
1 các trờng hợp còn lại
-1 nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc ABC
1 các trờng hợp còn lại
-1 nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc ACB
1 các trờng hợp còn lại
Bài toán tổng quát
Bài toán 3.2: Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kỳ trong không gian (M

A, B, C, D và
không thuộc các mặt của tứ diiện).
Ký hiệu:
, , ,
A MBCD B MACD C MABD D MABC
V V V V V V V V= = = =
( )
A
Sng M

=


( )
B
Sng M

=

( )
C
Sng M

=


( )
D
Sng M

=


Chứng minh rằng:
( ). . ( ). . ( ). . ( ). . 0
A A B B C C D D
Sng M V MA Sng M V MB Sng M V MC Sng M V MD+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur r
(3.2)
GV: Gợi động cơ giảI quyết bài toán 3.2.
HĐTP1: Xét khi M thuộc miền trong của khối tứ diện.
Khi đó đẳng thức cần chứng minh (3.2) trở thành đẳng thức sau:
. . . . 0
A B C D
V MA V MB V MC V MD+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur r
(3.2.1)
GV. Hoàn toàn tơng tự nh trong mặt phẳng ta dựng hình hộp APTS.EQMR (hình 3.2.1)

Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên mặt phẳng (MCD).
GV. Hãy biểu diễn vectơ
MA
uuur
qua các vectơ
, ,MB MC MD
uuur uuuur uuuur
.
HS. Ta có:
. . .MA MR MT MQ x MB y MC z MD= + + = + +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur
(*)
Trong đó:
B
A
VMR AP AH
x
MB MB BK V
= = = =
Hoàn toàn tơng tự ta có:
,
C
D
A A
V
V
y z
V V
= =
Thay x, y, z vào (*) ta đợc:

. . .
C
B D
A A A
V
V V
MA MB MC MD
V V V
=
uuur uuur uuuur uuuur
. . . . 0
A B C D
V MA V MB V MC V MD + + + =
uuur uuur uuuur uuuur r
Nh vậy trong trờng hợp M thuộc miền trong khối tứ diện thì bài toán đợc chứng minh.
7
-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD)
1 các trờng hợp còn lại của điểm M
-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (BAC), (BAD), (BCD)
1 các trờng hợp còn lại của điểm M
-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (CAB), (CBD), (CAD)
1 các trờng hợp còn lại của điểm M
-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (DAC), (DAB), (DBC)
1 các trờng hợp còn lại của điểm M
K
H
T
S
R
Q

P
D
C
B
A
M
Hình 3.2.1
E
HĐTP2: Khi M thuộc miền ngoài khối tứ diện làm tơng tự nh bài toán trong mặt phẳng.
Nh vậy bài toán 3.2 đợc chứng minh.
Hết
8