phương pháp thế vi giải bài toán vận tải

Bài 2. Ph ơng pháp thế vị giải bài toán vận tải
+ Tìm P.á tối u là một p.á cực biên.
+ Sử dụng PP lặp: X
0
-> X
1
-> X
2
-> -> X
*
.
I. Ph ơng pháp tìm ph ơng án cực biên ban đầu
+ Chọn ô để phân hàng trớc?
+ Xác định lợng hàng phân vào ô đã đợc chọn?
1. Chọn ô để phân hàng
Mục đích: Phơng án cực biên tìm đợc gần với p.á tối u .
a) Qui tắc c ớc phí bé nhất : Ưu tiên phân hàng cho ô có cớc
phí nhỏ hơn trong số các ô còn có khả năng nhận hàng.
b) Qui tắc Fogels :
+ Tính chênh lệch c ớc phí cho các hàng và các cột, bằng cớc
phí nhỏ thứ hai trừ đi cớc phí nhỏ nhất, chỉ tính đối với các ô
còn có khả năng nhận hàng.
+ Ưu tiên phân phối hàng vào hàng hay cột có chênh lệch c -
ớc phí cao hơn, vào ô có cớc phí nhỏ hơn.
2. Xác định l ợng hàng phân vào ô đã đ ợc chọn
Mục đích : Phơng án nhận đợc là p.á cực biên (cơ bản).
+ Lợng hàng phân vào mỗi ô đã đợc chọn là l ợng hàng tối
đa có thể đợc.
Ví dụ 1. Sử dụng qui tắc cớc phí bé nhất tìm p.án cơ bản.
+
+

T
P
40 60 100 70
80 7 12 11 14
50 11 10 9 18
50 15 9 13 11
90 5 17 16 8
;X
0
=
0 10 50 20
0 0 50 0
0 50 0 0
40 0 0 50
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
VÝ dô 2. Sö dông qui t¾c Fogels t×m p.¸n c¬ b¶n.
T
P
40 60 100 70
80 7 12 11 14
50 11 10 9 18
50 15 9 13 11
90 5 17 16 8
+
T

P
40 60 100 70
T
P
40 60 100 70
80 7 12
[10]
11
[50]
14
[20]
50 11 10 9
[50]
18
50 15 9
[50]
13 11
90 5
[40]
17 16 8
[50]
80 7
[40]
12
\
11
[40]
14
\
4,1,1,1,1!!!

50 11
\
10
\
9
[50]
18
\
1,1,1,1!!!
50 15
\
9
[50]
13
\
11
\
2,2,4!!!
90 5
\
17
[10]
16
[10]
8
[70]
3,8,1,1!!!
2!!! 1,1,1,2,
5!!!
2,2,2,2,5!

!!
3,3!!!
Một vài chú ý:
Cùng chênh lệch cớc phí thì u tiên cớc phí bé hơn, cùng c-
ớc phí thì u tiên lợng hàng lớn hơn.
Trong Fogels, khi chỉ còn 1 hàng hay 1 cột cha kết thúc
thì không cần tính chênh lệch cớc phí nữa mà áp dụng
theo qui tắc cớc phí.
II. Tiêu chuẩn tối u của ph ơng án cơ bản
(Sử dụng tiêu chuẩn của định lý đối ngẫu II cho bài toán qhtt).
1. Bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải
Xét một ví dụ đơn giản: Bài toán có m = 2, n = 3.
T
P
b
1
b
2
b
3
a
1
c
11
c
12
c
13
X =

232221
131211
xxx
xxx
a
2
c
21
c
22
c
23
Bài toán gốc:
f(x) = c
11
x
11
+ c
12
x
12
+ c
13

x
13
+ c
21
x
21
+ c
22
x
22
+ c
23
x
23
min
u
1
| x
11
+ x
12
+ x
13
= a
1
u
2
| x
21
+ x

22
+ x
23
= a
2
v
1
| x
11
+ x
21
= b
1
v
2
| x
12
+ x
22
= b
2
v
3
| x
13
+ x
23
= b
3
x

ij
0
.,1;,1 njmi ==
Bài toán đối ngẫu:
g(u, v) = a
1
u
1
+ a
2
u
2
+ b
1
v
1
+ b
2
v
2
+ b
3
v
3
max
u
1
+ v
1
c

11
u
2
+ v
1
c
21
u
1
+ v
2
c
12
u
2
+ v
2
c
22
u
1
+ v
3
c
13
u
2
+ v
3
c

23
T
P
b
1
b
2
b
3
a
1
c
11
c
12
c
13
u
1
a
2
c
21
c
22
c
23
u
2
v

1
v
2
v
3
Tr ờng hợp tổng quát:
Bài toán gốc
.,1;,1 0
),1(
),1(
min )(
1
1
1 1
njmix
njbx
miax
xcxf
ij
j
m
i
ij
i
n
j
ij
n
j
m

i
ijij
==
==
==
=



=
=
= =
Bài toán đối ngẫu:
.,1;,1 u
max ),(
i
1 1
njmicv
vbuavug
ijj
m
i
n
j
jjii
==+
+=

= =
Các cặp điều kiện đối ngẫu:

x
ij
0 và u
i
+ v
j
c
ij

.,1;,1 njmi ==
2. Hệ thống thế vị
a) Định nghĩa . Cho X = (x
ij
)
mxn
là một p.á của bài toán vận
tải.
m + n số (U, V) = (u
1
, u
2
, , u
m
, v
1
, v
2
, , v
n
) đợc gọi là hệ

thống thế vị trong đó u
1
, u
2
, , u
m
là các thế vị hàng và v
1
,
v
2
, , v
n
là các thế vị cột, tơng ứng với p.á X nếu chúng thỏa
mãn điều kiện:
u
i
+ v
j
= c
ij
nếu x
ij
> 0 ((i, j) là ô chọn).
b) Qui tắc tính hệ thống thế vị (U, V) .
Chỉ áp dụng cho X là p.á cực biên.
+ Xác định hệ ô chọn cơ sở S (m + n - 1 ô chọn (thật và giả)
không chứa vòng).
+ (U, V) đợc xác định từ hệ m + n - 1 pt đltt:
{u

i
+ v
j
= c
ij
(i, j) S. (*)
+ Chỉ cần xác định một nghiệm riêng của (*):
Chọn một thế vị tự do: u
1
= 0.
Theo các ô chọn (i, j) S, đã biết 1 trong 2 thế vị để tìm
thế vị còn lại : v
j
= c
ij
- u
i
; u
i
= c
ij
- v
j
.
Ví dụ.
T
P
120 110 90 50
u
1

+ v
1
= 7
u
1
+ v
3
= 10
u
2
+ v
2
= 9
100 7
[40]
5 10
[60]
13
u
1
=
70 14 9
[70]
18 20
u
2
=
80 6 3 6
[30]
8

[50]
u
3
=
120 10
[80]
5
[40]
15 7
u
4
=
v
1
= v
2
= v
3
= v
4
=
+
T
P
120 110 90 50
u
1
+ v
1
= 7

u
1
+ v
3
= 10
u
2
+ v
2
= 9
100 7
[40]
5 10
[60]
13
u
1
=0
70 14 9
[70]
18 20
u
2
=7
80 6 3 6
[30]
8
[50]
u
3

=-4
120 10
[80]
5
[40]
15 7
u
4
=3
v
1
=7 v
2
= 2 v
3
=10 v
4
=12
3. Tiêu chuẩn tối u của ph ơng án cơ bản
Cho X
0
là một p.á cơ bản với tập ô chọn cơ sở S
0
và (U, V)
là hệ thống thế vị tơng ứng. Với mỗi ô (i, j) ta đặt:

ij
= u
i
+ v

j
- c
ij
gọi là số kiểm tra của ô (i, j). Tại các ô chọn (i, j) S
0
thì
ij
=
0.
Nếu
ij
0 i, j thì X
0
là p.á tối u.
Chứng minh.
ij
0 i, j suy ra u
i
+ v
j
c
ij
i, j. Điều này
chứng tỏ (U, V) là p.á của bt đối ngẫu. Tại các ô chọn cơ sở
(i, j) S
0
thì
ij
= 0. Điều này có nghĩa nếu x
0

ij
> 0 thì u
i
+ v
j
=
c
ij
. X
0
và (U, V) thoả mãn định lý đối ngẫu II.
Chú ý.
+ Chỉ tính đợc (U, V) đối với p.á cơ bản và đã xác định hệ
thống ô chọn cơ sở S của nó.
+ Khi tính
ij
chỉ cần tính cho các ô loại.
Ví dụ 1. P.á không suy biến
T
P
120 110 90 50
100 7
[40]
5 10
[60]
13
u
1
=0
70 14 9

[70]
18 20
u
2
=7
80 6 3 6
[30]
8
[50]
u
3
=-4
120 10
[80]
5
[40]
15 17
u
4
=3
v
1
= 7 v
2
=2 v
3
=10 v
4
=12
Ví dụ 2. P.á suy biến

T
P
90 90 80 70
110 6
[60]
10
[50]
9 10
u
1
=
80 13 12 9
[80]
8
u
2
=
100 8
[30]
7 10 12
[70]
u
3
=
40 5 11
[40]
10 13
u
4
=

v
1
= v
2
= v
3
= v
4
=
Chú ý. Tiêu chuẩn tối u chỉ là điều kiện đủ. Nếu tiêu chuẩn
tối u không thoả mãn thì cha có câu kết luận p.á không tối u.
III. Cải tiến (điều chỉnh) ph ơng án
1.Bổ đề 1. X
0
là một p.á của bt. V là một vòng bất kỳ trên
bảng vt.
q = q
0
= min {x
0
ij
: (i, j) V
C
}.
0 q.
Ma trận X() đợc xác định bởi công thức:
0
0
0

ỡ
ù
- ẻ
ù
ù
ù
ù
= + ẻ
ớ
ù
ù
ù
ẽ
ù
ù
ợ
:( , ) ,
( ) :( , ) ,
:( , ) .
ij c
ij ij L
ij
x i j V
x x i j V
x i j V
X() cũng là p.á của bài toán và ta có:
f(X
0

) - f(X()) = (
ẻ ẻ
-
ồ ồ
( , ) ( , )
c L
ij ij
i j V i j V
c c
) (*)
Nhận xét: Nếu vế phải (*) > 0 thì f(X
1
) < f(X
0
) hay X
1
tốt hơn X
0
.
c
11
x
11
c
12
(1)
[x
12
+]
c

13
(2)
[x
13
-]
c
14
x
14
c
21
x
21
c
22
x
22
c
23
x
23
c
24
x
24
c
31
x
31
c

32
x
32
c
33
(3)
[x
33
+]
c
34
(4)
[x
34
-]
c
41
x
41
c
42
(6)
[x
42
-]
c
43
x
43
c

44
(5)
[x
44
+]
2. Bổ đề 2. Cho X
0
, S
0
và (U, V). (i
0
, j
0
) S
0
. V tạo bởi (i
0
, j
0
) và
một số ô chọn thuôc S
0
trong đó (i
0
, j
0
) là ô số 1. Khi đó ta có:
( , ) ( , )
c L
ij ij

i j V i j V
c c
ẻ ẻ
-
ồ ồ
=
i0j0
(*).
Chứng minh. Giả sử V = {(i
0
, j
0
), (i
0
, j
1
), (i
1
, j
1
), , (i
k
, j
k
), (i
k
, j
0
)}
Vế trái (*) = - c

i0j0
+ c
i0j1
- c
i1j1
+ - c
ikjk
+ c
ikj0
=
= - c
i0j0
+ u
i0
+ v
j1
- u
i1
- v
j1
+ - u
ik
- v
jk
+ u
ik
+ v
j0
=
= u

i0
+ v
j0
- c
i0j0
=
i0j0
.
3. Hệ quả (ý nghĩa kinh tế của
ij
).
Cho X
0
, S
0
, (U, V). (i
0
, j
0
) S
0
. V tạo bởi ô (i
0
, j
0
) và một số ô
chọn thuộc S
0
trong đó (i
0

, j
0
) là ô số 1. X() c xỏc nh
theo b 1.
0
1 0
0
:( , ) ,
( ) :( , ) ,
:( , ) .
ij c
ij ij L
ij
x i j V
x x i j V
x i j V


ỡ
ù
- ẻ
ù
ù
ù
ù
= + ẻ
ớ
ù
ù
ù

ẽ
ù
ù
ợ
trong ú 0 q = q
0
.
thì X() có tổng c ớc phí vận chuyển giảm đi so với X
0
là
0 0
i j

.
f(X() = f(X
0
) -
0 0
i j

Đặt
q = q
0
= min{x
0
ij
: (i, j) V
c
}
và p.á X

1
đợc xác định bởi:
0
1 0
0
:( , ) ,
:( , ) ,
:( , ) .
ij c
ij ij l
ij
x q i j V
x x q i j V
x i j V




= +





Ta có:
f(X
0
) - f(X
1
) = q

i0j0
.
4. Qui tắc cải tiến p.á cơ bản v h ụ chn c s
(X
0
, S
0
) > (X
1
, S
1
)
Chọn ô điều chỉnh là ô loại (i
0
, j
0
)S
0
có
0 0
i j

> 0 (max).
Lập vòng đ / c V gồm ô đ/c và một số ô của S
0
trong đó ô
đ/c là ô số 1 (số lẻ).
Xác định lợng đ/c
q = q
0

= min{x
0
ij
: (i, j) V
c
} =
1 1
0
i j
x
}.
đạt tại (i
1
, j
1
)S
0
.
Thực hiện đ/c và xác định X
1
= X(q) ( = q):
0
1 0
0
:( , ) ,
:( , ) ,
:( , ) .
ij c
ij ij l
ij

x q i j V
x x q i j V
x i j V




= +





S
1
= S
0
\ {(i
1
, j
1
)}{(i
0
, j
0
)}
5.Qui tắc điều chỉnh ph ơng án không cơ bản
Cho X
0
không cơ bản (tập ô chọn có chứa vòng). Không kiểm

tra tối u nhờ (U, V).
+ Giai đoạn 1. Đc X
0
X
1
(cơ bản) : f(X
1
) f(X
0
).
+ Giai đoạn 2. Đc p.á cơ bản X
1
X
*
là p.án tối u.
Nội dung của giai đoạn 1:
+ Lập vòng đ/c V gồm một số ô chọn của X
0
.
+ Đánh số thứ tự trên V sao cho tổng c ớc phí của các ô chẵn
không nhỏ hơn tổng c ớc phí của các ô lẻ (Bổ đề 1) .
+ Xác định
q = min{x
ij
: (i, j) V
C
}.
+ Điều chỉnh hàng theo qui tắc đ/c p.á cơ bản.
Sau đ/c, ít nhất mất đi 1 ô chọn và vòng V bị phá. Nếu p.á mới
nhận đợc cha cơ bản thì lại lập vòng mới và thực hiện nh trên.

Ví dụ. (m = 4, n = 4; m + n - 1 = 7) (f min)
T
P
30 60 100 50
Bảng 1.
60 9 (4)
[10]
12
[10]
6 (1)
[40]
14 q = min{60, 10} = 10
80 10
(3)[10]
13 11
(2)[60]
7
[10]
30 12
[10]
15 16 10
[20]
70 8 14
[50]
11 9
[20]
+
T
P
30 60 100 50

Bảng 2.
60 9 12
[10]
6
[50]
14
80 10
[20]
13 11
[50]
7
[10]
30 12
[10]
15 16 10
[20]
70 8 14
[50]
11 9
[20]
+
9 12 6 14 Bảng 2.
[10] [50]
10 (4)
[20]
13 11
[50]
7 (1)
[10]
q = min{20, 20} = 20

12
(3)[10]
15 16 10 (2)
[20]
8 14
[50]
11 9
[20]
+
9 12
[10]
6
[50]
14 B¶ng 3.
10 13 11
[50]
7
[30]
12
[30]
15 16 10
8 14
[50]
11 9
[20]
+
9 12 (6)
[10]
6 (1)
[50]

14 B¶ng 3.
10 13 11 (2)
[50]
7 (3)
[30]
q = 10
12
[30]
15 16 10
8 14 (5)
[50]
11 9 (4)
[20]
+
9 12 6
[60]
14 B¶ng 4.
10 13 11
[40]
7
[40]
12
[30]
15 16 10
8 14
[60]
11 9
[10]
§¬c P.¸n c¬ b¶n suy biÕn (6 « chän).
§Ó kiÓm tra tèi u ta thªm 1 « chän gi¶: (1,1):

9 (2)
[0]
12
-
6 (3)
[60]
14
-
u
1
= 0
10
+4
13
-
11 (4)
[40]
7 (5)
[40]
u
2
= 5
12
[30]
15
-
16
-
10
-

u
3
= 3
8 (1)
+8[*]
14
[60]
11
+2
9 (6)
[10]
u
4
= 7
v
1
= 9 v
2
= 7 v
3
= 6 v
4
= 2 q = 0.
+
9 12 6
[60]
14 u
1
=
10 13 11

[40]
7
[40]
u
2
=
12
[30]
15 16 10 u
3
=
8
[0]
14
[60]
11 9
[10]
u
4
=
v
1
= v
2
= v
3
= v
4
=
+

9
-
12
-
6
[60]
14
-
u
1
= 0
10
-
13
-
11
[40]
7
[40]
u
2
= 5
12 (2)
[30]
15 (1)
+3[*]
16
+1
10
+3

u
3
= 11
8 (3)
[0]
14 (4)
[60]
11
+2
9
[10]
u
4
= 7
v
1
= 1 v
2
= 7 v
3
= 6 v
4
= 2 q = 30.
+
9
-
12
-
6
[60]

14
-
u
1
= 0
10
-
13
-
11 (4)
[40]
7 (3)
[40]
u
2
= 5
12
-
15
[30]
16
-
10
0
u
3
= 8
8
[30]
14

[30]
11 (1)
+2[*]
9 (2)
[10]
u
4
= 7
v
1
= 1 v
2
= 7 v
3
= 6 v
4
= 2 q = 10.
+
9
-
12
-
6
[60]
14
-
u
1
= 0
10

-
13 (1)
+1[*]
11 (2)
[30]
7
[50]
u
2
= 5
12
-
15
[30]
16
-
10
-
u
3
= 6
8
[30]
14 (4)
[30]
11 (3)
[10]
9
-
u

4
= 5
v
1
= 3 v
2
= 9 v
3
= 6 v
4
= 2 q = 30.
+
9
-
12
-
6
[60]
14
-
u
1
= 0
10
-
13
[30]
11
-
7

[50]
u
2
= 4
12
-
15
[30]
16
-
10
-
u
3
= 6
8
[30]
14
[0]
11
[40]
9
-
u
4
= 5
v
1
= 3 v
2

= 9 v
3
= 6 v
4
= 3
IV. Nội dung của thuật toán thế vị
B ớc chuẩn bị . Tìm X
0
, S
0
:
+ Tìm (mới) theo qui tắc cớc phí hoặc Fogels.
+ Đc từ phơng án không cực biên X
0
đã cho tr ớc .
Với mỗi b ớc lặp thứ k : Kiểm tra (X
k
, S
k
) (k = 0, 1, 2, )
B ớc 1 . Tính (U, V) và các
ij
.
B ớc 2 . Kiểm tra tiêu chuẩn tối u.
B ớc 3 . Cải tiến (X
k
, S
k
) (X
k+1

, S
k+1
). Sau đó quay lại B ớc 1 .
Ví dụ 1. Tìm p.á tối u của bài toán sau:
T
P
60 40 100 50
35 9

12 16 7
70 11 8 13 5
65 6 14 10 12
80 15 5 17 3
+ Dùng qt Fogels để tìm P.án X
0
. Lập bảng phân phối hàng:
T
P
60 40 100 50
35 9

12 16 7
70 11 8 13 5
65 6 14 10 12
80 15 5 17 3
Bảng 0.
T
P
60 40 100 50
35 9

\
12
\
16
\
7
[35]
2,5!
70 11
\
8
\
13 5
\
3,3,8!
[70]
65 6
[60]
14
\
10
[5]
12
\
4,2,2!
80 15
\
5
[40]
17

[25]
3
[15]
2,2,14!
3! 3,3! 3,3! 2,2!
B¶ng 1. §ñ « chän ( 7 )
T
P
60 40 100 50
U
35 9

12 16 7
[35]
u
1
= 4
70 11 8 13
[70]
5 u
2
=-4
65 6
[60]
14 10
[5]
12 u
3
=-7
80 15 5

[40]
17
[25]
3
[15]
u
4
=0
V v
1
=13 v
2
=5 v
3
=17 v
4
=3
(m + n 1 = 7).–
B¶ng 1.
T
P
60 40 100 50
U
35 9

12 16 7
[35]
u
1
= 0

70 11 8 13
[70]
5
u
2
= -8
65 6
[60]
14 10
[5]
12
u
3
= -11
80 15 5
[40]
17
[25]
3
[15]
u
4
= -4
V v
1
= 17 v
2
= 9 v
3
= 21 v

4
= 7
B¶ng 1.
T
P
60 40 100 50
U
35 9
+8
12
-
16
+5
7
[35]
0
70 11
-
8
-
13
[70]
5
-
-8
65 6
[60]
14
-
10

[5]
12
-
-11
80 15
-
5
[40]
17
[25]
3
[15]
-4
V 17 9 21 7
B¶ng 1.
T
P
60 40 100 50
U
35 9 (1)
+8[*]
12
-
16
+5
7 (6)
[35]
0
70 11
-

8
-
13
[70]
5
-
-8
65 6
(2)[60]
14
-
10 (3)
[5]
12
-
-11
80 15
-
5
[40]
17
(4)[25]
3 (5)
[15]
-4
V 17 9 21 7
q = min{60, 25, 35} = 25 = x
43
.
B¶ng 2.

T
P
60 40 100 50
U
35 9
[25]
12 16 7
[10]
u
1
=
70 11 8 13
[70]
5 u
2
=
65 6
[35]
14 10
[30]
12 u
3
=
80 15 5
[40]
17 3
[40]
u
4
=

V v
1
= v
2
= v
3
= v
4
=
B¶ng 2.
T
P
60 40 100 50
U
35 9
[25]
12 16 7
[10]
0
70 11 8 13
[70]
5
0
65 6
[35]
14 10
[30]
12
-3
80 15 5

[40]
17 3
[40]
-4
V 9 9 13 7
B¶ng 2.
T
P
60 40 100 50
U
35 9
[25]
12
-
16
-
7
[10]
0
70 11
-
8
+1
13
[70]
5
+2
0
65 6
[35]

14
-
10
[30]
12
-
-3
80 15
-
5
[40]
17
-
3
[40]
-4
V 9 9 13 7
B¶ng 2.
T
P
60 40 100 50
U
35 9 (3)
[25]
12
-
16
-
7 (2)
[10]

0
70 11
-
8
+1
13 (6)
[70]
5 (1)
+2[*]
0
65 6 (4)
[35]
14
-
10
(5)[30]
12
-
-3
80 15
-
5
[40]
17
-
3
[40]
-4
V 9 9 13 7
q = min{10, 35, 70} = 10 = x

14
.
B¶ng 3.
T
P
60 40 100 50
U
35 9
[35]
12 16 7
70 11 8 13
[60]
5
[10]
65 6
[25]
14 10
[40]
12
80 15 5
[40]
17 3
[40]
V
B¶ng 3.
T
P
60 40 100 50
U
35 9

[35]
12
-
16
-
7
-
0
70 11
-
8
-
13
[60]
5
[10]
0
65 6
[25]
14
-
10
[40]
12
-
-3
80 15
-
5
[40]

17
-
3
[40]
-2
V 9 7 13 5
T.to¸n dõng sau 3 b íc lÆp v× ∆
ij
≤ 0, ∀ i, j. P.¸n cùc biªn tèi u:
X
*
=
35 0 0 0
0 0 60 10
25 0 40 0
0 40 0 40
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
; f
min
= 2015.
9
[70]
11
[10]
8

-
14
-
u
1
= 0 B¶ng 1.
13
-
7
[20]
15
-
6
[100]
u
2
= -4
16
-
10
[40]
9
-
15
-
u
3
= -1
12
+2

16
[10]
11
[60]
10
+5[*]
u
4
= 5
v
1
= 9 v
2
= 11 v
3
= 6 v
4
= 10
9
[70]
11
[10]
8 - 14 -
u
1
= 0
B¶ng 1
13 - 7 (3)
[20]
15 - 6 (2)

[100]
u
2
= - 4
16 - 10
[40]
9 - 15 -
u
3
= -1
q = min{100, 10} = 10
12
+2
16
(4)[10]
11
[60]
10 (1)
+5[*]
u
4
= 5
v
1
= 9 v
2
= 11 v
3
= 6 v
4

= 10
9
[70]
11
[10]
8 14 u
1
= B¶ng 2.
13 7
[30]
15 6
[90]
u
2
=
16 10
[40]
9 15 u
3
=
12 16 11
[60]
10
[10]
u
4
=
v
1
= v

2
= v
3
= v
4
=
9
[70]
11
[10]
8
+3[*]
14
-
u
1
= 0 B¶ng 2.
13
-
7
[30]
15
-
6
[90]
u
2
= -4
16
-

10
[40]
9
+1
15
-
u
3
= -1
12
-
16
-
11
[60]
10
[10]
u
4
= 0
v
1
= 9 v
2
= 11 v
3
= 11 v
4
= 10
9

[70]
11 (2)
[10]
8 (1)
+3 [*]
14 -
u
1
= 0
B¶ng 2.
13 - 7
(3)[30]
15 - 6 (4)
[90]
u
2
= - 4
q = min{10, 90, 60} = 10
16 - 10
[40]
9
+1
15 -
u
3
= -1
12 - 16 - 11 (6)
[60]
10 (5)
[10]

u
4
= 0
v
1
= 9 v
2
= 11 v
3
= 11 v
4
= 10
+
9

11 8 14 u
1
= B¶ng 3.
13 7 15 6 u
2
=
16 10 9 15 u
3
=
12 16 11 10 u
4
=
v
1
= v

2
= v
3
= v
4
=
+
9
[70]
11 8
[10]
14 u
1
= 0 B¶ng 3.
13 7
[40]
15 6
[80]
u
2
= -1
16 10
[40]
9 15 u
3
= 2
12 16 11
[50]
10
[20]

u
4
= 3
v
1
= 9 v
2
= 8 v
3
= 8 v
4
= 7
+
9
[70]
11
-
8
[10]
14
-
u
1
= 0 B¶ng 3.
13
-
7
[40]
15
-

6
[80]
u
2
= -1
16
-
10
[40]
9
+1
15
-
u
3
= 2
12
0
16
-
11
[50]
10
[20]
u
4
= 3
v
1
= 9 v

2
= 8 v
3
= 8 v
4
= 7
+
9
[70]
11 - 8
[10]
14 - u
1
= 0 B¶ng 3.
13 - 7 (3)
[40]
15 - 6 (4)
[80]
u
2
= -1
16 - 10
(2)[40]
9 (1)
+1[*]
15 - u
3
= 2 q = min{40, 80, 50} = 40.
12 - 16 - 11 10 (5) u
4

= 3
(6)[50] [20]
v
1
= 9 v
2
= 8 v
3
= 8 v
4
= 7
+
9
[70]
11 8
[10]
14 u
1
= Bảng 4.
13 7
[80]
15 6
[40]
u
2
=
16 10 9
[40]
15 u
3

=
12 16 11
[10]
10
[60]
u
4
=
v
1
= v
2
= v
3
= v
4
=
+
9
[70]
11
-
8
[10]
14
-
u
1
= 0 Bảng 4.
13

-
7
[80]
15
-
6
[40]
u
2
= -1
X
*
=














601000
04000
400800

010070
;
16
-
10
-
9
[40]
15
-
u
3
= 1
12
0
16
-
11
[10]
10
[60]
u
4
= 3
v
1
= 9 v
2
= 8 v
3

= 8 v
4
= 7
+ Thuật toán dừng sau 4 bớc lặp vì
ij
0 i, j. P.á tối u:
X
*
=














601000
04000
400800
010070
f
min
= 9ì70 + 8ì10 + 7ì80 + 6ì40 + 9ì40 + 11ì10 + 10ì60 =

2580.
V. Hiện t ợng suy biến và tập ph ơng án tối u
1. Hiện t ợng suy biến
+ X
0
bị suy biến, để có S
0
ta phải thêm ô chọn giả.
+ q = min{x
ij
: (i, j) V
c
} = x
i1j1
= x
i2j2
.
+ q = 0 (V
c
có ô chọn giả).
2. Tập ph ơng án tối u
+
ij
< 0 ô loại (i, j) S
*
thì X
*
là duy nhất .
+ Tồn tại ô loại (i
0

, j
0
) ) S
*
có
i0j0
= 0 và nếu chọn (i
0
, j
0
)
làm ô đ/c thì q > 0. Trờng hợp này bt có vô số p.á tối u.
Thực hiện đ/c với 0 q ta nhận đợc X() là các p.á tối
u.
Ví dụ 2. Giải bài toán vận tải:
T
P
70 95 50 100
50 13 12 10 11
85 9 8 7 12
70 6 14 13 10
110 15 11 9 7
+ Phân phối hàng theo qui tắc c ớc phí :
T
P
70 95 50 100
50 13
/
12
[50]

10
/
11
/
85 9
/
8
[35]
7
[50]
12
/
70 6
[70]
14
/
13
/
10
/
110 15
/
11
[10]
9
/
7
[100]
+ Xác định S
0

(thêm (3, 4).
13 12 10 11 u
1
= Bảng 1.
[50]
9 8
[35]
7
[50]
12
u
2
=
6
[70]
14 13 10
[0 ]
u
3
=
15 11
[10]
9 7
[100]
u
4
=
v
1
= v

2
= v
3
= v
4
=
+
13
-
12
[50]
10
+1
11
-
u
1
= 0
B¶ng 1.
9
-
8
[35]
7
[50]
12
-
u
2
= - 4

6
[70]
14
0
13
0
10
[0]
u
3
= 2
15
-
11
[10]
9
+1
7
[100]
u
4
= -1
v
1
= 4 v
2
= 12 v
3
= 11 v
4

= 8
+
13
-
12
(2)[50]
10 (1)
+1[*]
11
-
u
1
= 0
B¶ng 1.
9
-
8
(3)[35]
7 (4)
[50]
12
-
u
2
= - 4
6
[70]
14
0
13

0
10
[0]
u
3
= 2
q = min{50, 50} = 50
15
-
11
[10]
9
+1
7
[100]
u
4
= -1
Lo¹i « (2)
v
1
= 4 v
2
= 12 v
3
= 11 v
4
= 8
+
13 12 10

[50]
11
u
1
=
B¶ng 2.
9 8
[85]
7
[0]
12
u
2
=
6 14 13 10 u
3
=