Vài phân phối xác suất thông dụng

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM TP HỒ
CHÍ MINH
KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH –DU LỊCH
BÀI TIỂU LUẬN
MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ĐỀ TÀI: VÀI PHÂN PHỐI XÁC
SUẤT THÔNG DỤNG
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: THẦY LÊ VĨNH THUẬN
LỚP: 04DHQT1
Năm học: 2014 - 2015
DANH SÁCH NHÓM VÀ PHÂN CÔNG
Tìm tại liệu, bài tập, đánh
máy, tổng hợp tài liệu
Tìm tài liệu, đánh máy
Tìm tài liệu, đánh máy
Tìm bài tập
Tìm tài liệu
Tìm tài liệu
Tìm tài liệu
Tìm tài liệu
Tìm tài liệu
Nguyễn Thị Tố Nhi Không gửi tài liệu
2
VÀI PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
PHẦN I: TỔNG HỢP KIẾN THỨC
1. Phân phối nhị thức:
1.1. Phân phối Bernoulli
Xét một phép thử, trong phép thử này ta chỉ qua tâm đến 2
biến cố A và với P(A)=p. Phép thử như thế này còn gọi là
phép thử Bernoulli. Đặt biến ngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối nhị thức tham số p, ký
hiệu X ∼ B(p).
Ta có bảng phân phối xác suất của X ∼ B(p)
X 0 1
P q p
Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ B(p)
i. EX = p.
ii. VarX = pq.
Ví dụ : Trả lời ngẫu nhiên một câu hỏi trắc nghiệm có 4 đáp
án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Gọi biến ngẫu nhiên:
X ∼ B(p); EX = 1/4; VarX = 3/16.
1.2. Phân phối Nhị thức
Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập và cùng phân phối,
3
Đặt X = X1 + · · · + Xn : gọi là số lần A xảy ra trong n lần
thực hiện phép thử. X được gọi là có phân phối Bernoulli
tham số n, p; ký hiệu X ∼ B(n; p).
Ví dụ 1: Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một
cách độc lập, xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7.
Gọi các biến ngẫu nhiên:
X = X1 +X2 +X3, X ∼ B(3; 0, 7). X là số phát trúng mục
tiêu trong 3 phát,
giá trị có thế của X là 0, 1, 2. Xác suất có 2 phát trúng mục
tiêu:


Công thức tính xác suất của X ∼ B(n; p)
Xác suất trong n lần thực hiện phép thử Bernoulli có k lần A
xảy ra

Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ B(n; p)
i. EX = np.
ii. VarX = npq.
iii. np − q ≤ ModX ≤ np − q + 1
Ví dụ 2: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 chỗ khác nhau.
Xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0.3:
a. Tìm xác suất người đó bán được hàng trong một ngày.
b. Mỗi năm người đó bán hàng trong 300 ngày,tìm số ngày
bán được hàng nhiều khả năng nhất trong một năm.
Giải:
a.Gọi x là số nơi bán được hàng trong một ngày,X~B(5;0.3)
=> Xác suất người đó bán được hàng trong một ngày là:
4
%19.838319.0)7.0()3.0(1)0(1)1(
500
5
==−==−=≥ CXPXP
b.Gọi Y là số ngày người đó bán được hàng trong một năm:
Y~B(300;p) ;p=0.8319; q=0.1681
=> Số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất là:
Mod Y=y
0
với: 300.0,8319-0,1681 ≤ y
0
≤
300.0,8319+0,1681
=>y
0
=250
2. Phân phối siêu bội:

Mô hình siêu bội: từ 1 tập có N phần tử gồm
• N
A
phần tử A.
• N − NA phần tử khác phần tử A.
Từ tập N lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử A lẫn trong n
phần tử lấy ra, X gọi là có phân phối siêu bội tham số N, NA,
n, ký hiệu X ∼ H(N, NA, n):
Công thức tính xác suất cho X ∼ H (N, N
A
, n)
Xác suất trong n phần tử lấy ra từ tập N có k phần tử A :
; trong đó
Tính chất. Các đặc trưng của X ∼ H(N, N
A
, n)
i. EX = np ( p =).
ii. Var X = npq.
Ví dụ: Một nhân viên thuế chọn ngẫu nhiên một số tờ khai
thuế từ nhóm những tờ khai thuế đặc thù để kiểm tra . Kinh
nghiệm cho thấy tỉ lệ tờ khai không thích hợp là 30%.
5
a. Nếu chọn 6 tờ khai từ nhóm 100 tờ khai thuế đặc thù mà có
hơn một tờ khai không thích hợp thì nhóm sẽ bị kiểm tra
toàn bộ . Tính xác suất nhóm bị kiểm tra toàn bộ.
b. Số tờ khai tối thiểu không thích hợp là bao nhiêu khi kiểm
tra 18 trong nhóm 400 tờ khai thuế đặc thù để xác suất
nhóm này bị kiểm tra toàn bộ là 0,31.
Gỉải
a Gọi X là số tờ khai không thích hog7p5 trong 6 tờ khai

được kiểm tra :
X~H ( 100; N
A
;6) ; N
A
= p.N=0,3.100=30
=> Xác suất nhóm bị kiểm tra toàn bộ
P(X>1) = 1-P(X=0) - P(X=1) =
5854,01
6
100
5
70
1
.30
6
100
6
70
≈−−
C
CC
C
C
b Gọi Y là số tờ khai không thích hợp khi kiểm tra 18 tờ :
Y~H(400;N
A;
18); N
A
= 0,3.400=120

Gọi x
0
là số tờ khai không thích hơp tối thiểu:
31,0)18(
0
=≤≤ YxP
Vì N=400 khá lớn so với n=18(n<0,05.N)
=>Y~B(18;0,3)
≈
N(5,4 ; 3,78)
Ta có :
P
)19()18(
00
<≤=≤≤ YxPYx
6
85,649,0
9442,1
9,5
)49,0(19,0
9442,1
9,5
31,0
9442,1
9,5
5,0
78,3
5,04,5
78,3
5,04,519

0
0
0
0
0
≈⇔=
−
⇔
==






−
⇔
=






−
−⇔









−−
−








−−
⇔
x
x
x
x
x
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
Vậy x
0
tối thiểu là 7.
3. Phân phối Poisson:
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối
Poisson tham số λ (ký hiệu X ∼ P(λ)) nếu biến ngẫu nhiên X

nhận giá trị k = 0, 1, . . . với:
Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ P(λ)
i. EX = λ.
ii. VarX = λ.
iii. λ − 1 ≤ ModX ≤ λ.
 Chú ý: Biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện A tại
những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng (t1;t2)
thỏa 2 điều sau:
• Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng
(t1;t2) không ảnh hưởng đế xác suất xuất hiện
A trong khoảng thời gian kế tiếp.
• Số lần xuất hiện biến cố A trong 1 khoảng thời
gian bất kỳ tỉ lệ với độ dài của khoảng đó.
 Khi đó biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson
7
Ví dụ: Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận
được 4 đơn đặt hàng. Biết rằng số đơn đặt hàng X mà cơ sở
nhận được trong một tuần là một BNN có phân phối Poisson.
Tính xác suất để cơ sở :
a. Nhận được hơn 5 đơn đặt hàng trong một tuần
b. Nhận được 6 đơn đặt hàng trong hai tuần liên tiếp
Giải:
a. X ~ Poisson. Xác suất phải tính:
P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5)
2149,07851.01
!
4
1
4
5

0
=−=−=
−
=
∑
e
k
k
k
b. Gọi Y là BNN chỉ số đơn đặt hàng của cơ sở trong hai tuần
liên tiếp thì Y ~ Poisson. Xác suất phải tính:
1221.0
!6
8
)6(
8
6
===
−
eYP
4. Phân phối liện tục:
4.1. Phân phối chuẩn
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối
chuẩn tham số µ và σ
2
, ký hiệu X ∼ N (µ; σ
2
), nếu X có hàm
mật độ:
Hàm phân phối xác suất : Phân phối chuẩn có hàm phân phối

xác suất là:
2
2
( )
2
1
2
t
x
e dt
µ
σ
σ π
−
−
−∞
∫
8
 Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên
hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác
suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp.
Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác
suất của phân phối chuẩn như sau:
Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị
hàm phân phối xác
phân phối chuẩn. suất của
phân phối chuẩn.
 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình
chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình
chuông.

Tính chất: Các đặc trưng X~N (
2
,
σµ
)
i. EX=
µ
ii. VarX=
9
iii.
2
σ
ModX=
µ
a. Phân phối chuẩn chuẩn tắc
Z~N(0;1)
⇔
P
{ }
bZa <<
=
)()( ab
ϕϕ
−
Ví dụ: cho Z~N(0;1). Tính P
( )
3.125.0 <<− z
; P
( )
3,1<z

; P(
( )
3,1>z
Giải: *
( )
)25,0()3,1(3,125,0 −−=<<−
ϕϕ
zP
=
( )
50191,009871,04032,0)25,0(3,1 =+=+
ϕϕ
*
( )
)()3,1(3,1 −∞−=>
ϕϕ
zP
= 0,4032 + 0,5 = 0,9032
*P ( z<1,3) =
0968,04032,05,0)3,1()( =−=−+∞
ϕϕ
b. Phân phối chuẩn tổng quát
X~N
( )







−
−






−
=<<⇔
σ
µ
ϕ
σ
µ
ϕσµ
ab
bXaP
)(
)(;
2
Ví dụ: Thời gian X( phút) của một khách hàng chờ được phục
vụ tại một quầy hàng là biến ngẫu nhiên với X~N(4,5; 1,21):
a. Tính tỉ lệ khách mua hàng phải chờ để phục vụ từ 3,5-6
phút ; quá 6 phút
b. Thời gian phải chờ tối thiểu là bao nhiêu ? Nếu không để
quá 5% khách hàng phải chờ phục vụ vượt quá thời gian
đó.
Giải :
Ta có

5,4=
µ
;
1,121,1
2
===
σσ
10
a. P(3,5<X<6) =
)91,0()36,1(
1,1
5,45,3
1,1
5,46
ϕϕϕσ
+=






−
−







−
= 0,41309+ 0,31859 = 0,73168=
73,17%
P(X>6) =
%69,80869,0)36,1(5,0
1,1
5,46
1,1
5,4
==−=






−
−






−∞+
ϕϕϕ
b. Gọi x
0
là lượng thời gian cần tìm , ta có :
P(X>x

0
) =
05,0
1,1
5,4
5,0
1,1
5,4
)(
00
≤






−
−=






−
−+∞
xx
ϕϕϕ

)65,1(45,0
1,1
5,4
0
ϕϕ
=≥






−
⇔
x

315,665,1
1,1
5,4
0
0
≥⇒≥
−
⇔ x
x
Vậy x
0
= 6,315 (phút)
4.2. Phân phối đều
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có

phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là:
Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên có phân phối đều là:
11
Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác
suất của phân phối đều trên [a,b] là:

Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm
phân phối xác suất củaphân phối đều. của
phân phối đều.
Ví dụ: Nếu bạn đến trạm ô tô lúc 10h và biết rằng thời gian ô
tô sẽ xuất hiện tại trạm từ 10h đến 10h30 có phân phối đều thì
xác suất bạn phải chờ ô tô hơn 10 phút là bao nhiêu?
Giải:
Gọi X là số phút tính từ 10h đến 10h30 ô tô sẽ đến trạm
dxXP
∫
=<<⇒
30
10
30
1
)3010(
=
30
1
(30-10) = 2/3
PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Câu 1 : Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01%. Chọn ngẫu
nhiên liên tiếp 5000 hạt. Tính xác suất để:

12
a. Có đúng 2 hạt thóc lép.
b. Có ít nhất 2 hạt thóc lép.
Giải:
Gọi X là số hạt lép trong 5000 hạt.
Ta có: X ~ B(5000; 0,0001)
Do n = 5000 khá lớn và p = 0,0001 khá bé ta dùng xấp xỉ:
X
≈
P(
λ
) với
λ
= 5000. 0,0001 = 0,5
⇒
X ~ P(0,5)
Với P(X=K) =
0,5
.0,5
!
K
e
K
−
a. Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên
liên tiếp 5000 hạt thóc.
 P(A)=P(X=2)=
0,5 2
.0,5
0,0758

2!
e
−
=
b. Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu
nhiên liên tiếp 5000 hạt thóc.
 P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – (
0,5 0
.0,5
0!
e
−
+
0,5 1
.0,5
1!
e
−
) = 0,0902
Câu 2 : Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1
đĩa hỏng. Tính xác suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc
thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng.
Giải:
Gọi X là số đĩa nhạc không hỏng (0
1000
≤≤
X
)
Gọi A là biến cố số đĩa nhạc không hỏng >10
13

Thì
A
là biến cố số đĩa nhạc bị hỏng
8990
≥
P(A)=1- P(
A
)
Vì tỷ lệ số đĩa nhạc bị hỏng = 0,001 là không đổi nên bài
toán tuân theo công thức bernoulli với n=9000 và p=0,001
Mặt khác p quá nhỏ (p<0,05) và n quá lớn nên công thức
bernoulli xấp xỉ công thức poisson với
λ
=np=0,001.9000 = 9
0
!9000
9000
!8999
8999
!8998
8998
!8997
9
!8996
9
!8995
9
!8994
9.
!8993

9
!8992
9
!8991
9
!8990
9
)8990P(X=) AP(
9998 9979
8 99698 99598 99498 9939899298 99198 9909
=++++
++++++=≥
−−−−
−−−−−−−
eeee
eeeeeee
( ) 1 ( ) 1 0 1P A P A⇒ = − = − =
Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn
10 đĩa không hỏng là 1
Câu 3 : Một trường cấp 3 có 900 học sinh. Giả sử trong 1 năm
trung bình mỗi học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1
ngày và khả năng bị bệnh của học sinh phân phối đều các
ngày trong năm. Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao
nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01.
Giải:
Gọi X là số học sinh phải nằm trạm y tế trong 1 ngày X
1
(900; )
365
∈

14
Gọi
λ
là số học sinh bị bệnh trung bình trong 1 ngày
λ
=
900
2,466
365
=
Suy ra: X~P(
λ
)
Với P(X=K) =
2,466
.2,466
!
K
e
K
−
Gọi m là số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho
người bệnh ít hơn 0,01
Suy ra:
2,466
0
.2,466
1 0,01
!
K

m
K
e
K
−
=
− ≤
∑
⇔
2,466
0
.2,466
1 0,01 0,99
!
K
m
K
e
K
−
=
≥ − =
∑
 m=7
Vậy số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người
bệnh ít hơn 0,01 là 7 giường.
Câu 4: Số khách đến mua hàng tại một quầy hàng là ngẫu
nhiên, độc lập, trung bình cứ 3 phút có một người . Năng lực
phục vụ khách của quầy hàng thường xuyên là 2 người
a Có 2 khách hàng trong 30 giây

b Có khách phải chờ quá 2 phút
Giải:
a. Gọi X là số khách hàng đến mua hàng trong 30 giây
X~ P(
λ
) vì trung bình 3 phút có 1 người nên 30 giây
tương ứng với x=1/6
P(X=2)=
!2
6
1
.
2
6
1






e
= 0.0118
b. Gọi Y là số khách hàng đến quầy hàng trong 5 phút
15
Ta có : Y~P(5/3)
=> Xác suất để khách phải chờ quá 2 phút là :
P(X>2) = 1-(P(Y=0) + P(Y=1)+P(Y=2))
= 1- e
5/3

. (1+5/3 +25/18 ) = 1- 0,766 = 0,234=23,4%
16