Đề cương bài giảng học phần đại số cao cấp 1

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1. Nửa nhóm và nhóm 1
1.1. Nửa nhóm 1
1.1.1. Phép toán hai ngôi 1
1.1.2. Nửa nhóm 2
1.2. Nhóm 3
1.2.1. Nhóm 3
1.2.2. Nhóm con 4
1.2.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 6
1.2.4. Nhóm con Sylow 8
1.2.5. ðồng cấu nhóm 8
1.2.6. ðối xứng hoá 11
CHƯƠNG 2. Vành và trường 20
2.1. Vành và miền nguyên 20
2.1.1. Vành 20
2.1.2. Ước của không, miền nguyên 21
2.1.3. Vành con 21
2.1.4. Iñêan và vành thương 22
2.1.5. ðồng cấu 23
2.2. Trường 24
2.2.1. Trường 24
2.2.2. Trường con 24
2.2.3. Trường các thương 25
2.2.4. Trường hữu hạn 26
CHƯƠNG 3. Vành ña thức 31
3.1. Vành ña thức một ẩn 31
3.1.1. Vành ña thức một ẩn 31
3.1.2. Bậc của một ña thức 32
3.1.2. Phép chia với dư 33
3.1.3. Nghiệm của một ña thức 34

3.1.4. Phần tử ñại số và phần tử siêu việt 35
3.2. Vành ña thức nhiều ẩn 36
3.2.1. Vành ña thức nhiều ẩn 36
3.2.2. Bậc 38
3.2.3. ða thức ñối xứng 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO 48






1

CHƯƠNG 1
Nửa nhóm và nhóm
Số tiết:15 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)


*) Mục tiêu:
- Cung cấp và giúp sinh viên hiểu các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số: nửa
nhóm, nhóm, các phương pháp vận dụng các kiến thức này ñể giải toán.
- Vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, từ ñó giúp sinh viên nắm vững các
kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số. Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn về toán ở bậc phổ thông
về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát.
- Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát
hóa, tương tự hóa.
1.1. Nửa nhóm
1.1.1. Phép toán hai ngôi
- ðịnh nghĩa 1: Ta gọi phép toán hai ngôi (hay gọi tắt là phép toán) trong một tập hợp X một

ánh xạ f từ X
×
X ñến X. Giá trị f(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y.
- Chú ý: Người ta hay ký hiệu phép toán hai ngôi bằng hai dấu: “+” và “.” (ñược gọi là phép
cộng và phép nhân). Thông thường ñối với dấu “.” ta thường quy ước bỏ ñi.
Sau ñây trong lý luận tổng quát, ta viết cái hợp thành của x và y là xy, nếu không có lý
do nào khiến ta phải viết khác.
- Ví dụ:
1) Trong tập
ℕ
các số tự nhiên, phép cộng và nhân thông thường hai số tự nhiên là những
phép toán hai ngôi.
Trong tập hợp
ℕ
*
=
ℕ
- {0}, phép hợp thành x
y
của x và y là một phép toán hai ngôi.
2) Trong tập
ℤ
các số nguyên, phép trừ hai số nguyên thông thường là một phép toán hai
ngôi, nhưng trong tập
ℕ
các số tự nhiên phép trừ hai số tự nhiên thông thường không là một
phép toán hai ngôi.
- ðịnh nghĩa 2: Một bộ phận A của X gọi là ổn ñịnh ñối với phép toán hai ngôi trong X nếu
và chỉ nếu xy thuộc A với mọi x, y
∈

A.
Phép toán hai ngôi * xác ñịnh trong bộ phận ổn ñịnh A bởi quan hệ x*y = xy với mọi
x,y
∈
A gọi là cái thu hẹp vào A của phép toán hai ngôi trong X. Hay * là phép toán cảm sinh
trên A bởi phép toán hai ngôi “.” của X. Ta thường ký hiệu phép toán cảm sinh như phép toán
của X.
- ðịnh nghĩa 3: Một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X gọi là kết hợp nếu và chỉ nếu ta
có: (xy)z= x(yz) với mọi x,y,z
∈
X; gọi là giao hoán nếu: xy = yx với mọi x,y
∈
X.
- Ví dụ: Phép nhân, phép cộng trong
ℕ
là kết hợp, giao hoán; nhưng phép mũ hóa trong
ℕ

không kết hợp, không giao hoán.
- ðịnh nghĩa 4: Giả sử cho một phép toán hai ngôi trong tập X. Một phần tử e của X ñược
gọi là ñơn vị trái của phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu:
2

ex x
=
, với mọi
x X
∈
.
Tương tự, một phần tử e của X ñược gọi là ñơn vị phải của phép toán hai ngôi nếu và chỉ nếu:

xe x
=
, với mọi
x X
∈
.
Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là phần tử ñơn vị trái, vừa là phần tử ñơn vị phải
thì e gọi là phần tử ñơn vị (hay phần tử trung lập) của phép toán hai ngôi.
- Ví dụ: Trong ví dụ 1) ở trên, phần tử 0 là phần tử trung lập của phép cộng trong
ℕ
, phần tử
1 là phần tử ñơn vị của phép nhân trong
ℕ
.
- ðịnh lý 1: Nếu một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X có một ñơn vị trái e’ và một ñơn
vị phải e’’, thì e’= e’’.
Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập.

1.1.2. Nửa nhóm
- ðịnh nghĩa 5:
- Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp ñã cho
trong X.
- Một nửa nhóm X có phần tử trung lập ñược gọi là một vị nhóm.
- Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán.
- Một bộ phận ổn ñịnh A của nửa nhóm X, cùng với phép toán cảm sinh trên A ñược gọi
là nửa nhóm con A của nửa nhóm X.
- Ví dụ: Tập hợp
ℕ
cùng với phép toán + các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa
nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử trung lập là 0; Tập hợp

ℕ
cùng với phép toán x
các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử
ñơn vị là 1.
- Chú ý: Cho nửa nhóm X :
- Ta ký hiệu giá trị chung của hai vế của ñẳng thức:
(xy)z = x(yz)
bằng ký hiệu duy nhất xyz, gọi là tích của ba phần tử x, y, z lấy theo thứ tự ñó.
- Cũng như vậy, ta ñặt:
xyzt = (xyz)t
và gọi là tích của bốn phần tử x, y, z, t lấy theo thứ tự ñó.
- Tổng quát, ta ñặt:
x
1
x
2
….x
n-1
x
n
= (x
1
x
2
…x
n-1
)x
n

và gọi là tích của n phần tử x

1
, x
2
, …. x
n
lấy theo thứ tự ñó.
- ðịnh lý 2 (ñịnh lý kết hợp):
Giả sử x
1
, x
2
,….x
n
là n phần tử của một nửa nhóm X (n
≥
3) , thế thì:
x
1
x
2
……x
n
= (x
1
….x
i
)(x
i+1
….x
j

)….(x
m+1
…x
n
) .
- ðịnh nghĩa 6: Trong một nửa nhóm X, lũy thừa n (n là một số tự nhiên khác 0) của một
phần tử a
∈
X là tích của n phần tử ñều bằng a, kí hiệu a
n
.
- Từ ñịnh lý 2, ta có quy tắc:
a
m
.a
n
= a
m+n
, (a
m
)
n
= a
mn
.
3

- Trong trường hợp phép toán hai ngôi trong X ñược ký hiệu là + thì tổng của n phần tử ñều
bằng a gọi là bội của a, ký hiệu na. Quy tắc trên ñược viết thành:
ma + na = (m+n)a, n(ma)= (nm)a.

- ðịnh lý 3: Trong một nửa nhóm giao hoán X, tích:
x
1
x
2
…x
n

không phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử.
- Ví dụ:
1) Tập hợp các số tự nhiên
ℕ
với một trong các phép toán hai ngôi sau: phép cộng, phép
nhân, phép lấy ƯCLN, phép lấy BCNN là một nửa nhóm giao hoán. ðối với phép cộng, phép
nhân
ℕ
còn là một vị nhóm giao hoán.
2) Tập hợp
( )
P X
các bộ phận của một tập X là một vị nhóm giao hoán với mỗi phép toán hai
ngôi là phép giao hai tập hợp và phép hợp hai tập hợp.

1.2. Nhóm
1.2.1. Nhóm
- ðịnh nghĩa 1:
* Nhóm X là một nửa nhóm X có các tính chất sau:
(i) Có phần tử trung lập e.
(ii) Với mọi x
∈

X, có một phần tử x’ sao cho: x’x = xx’ = e
(phần tử x’ gọi là phần tử ñối xứnghay nghịch ñảo của x)
Như vậy, nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử ñều có nghịch ñảo.
* Nếu X là tập hợp hữu hạn thì ta gọi X là một nhóm hữu hạn, số phần tử của nhóm X ñược
gọi là cấp của nhóm X.
* Nếu phép toán hai ngôi trong X giao hoán thì X ñược gọi là nhóm giao hoán hay nhóm
abel.
- Ví dụ:
1) Tập hợp các số nguyên
Z
cùng với phép toán cộng thông thường các số nguyên là một
nhóm, phần tử trung lập là 0, ta gọi là nhóm cộng các số nguyên.
2) Tập hợp các số hữu tỉ khác 0 cùng với phép nhân thông thường các số hữu tỷ là một nhóm,
phần tử ñơn vị là 1, gọi là nhóm nhân các số hữu tỷ khác 0.
3) Nửa nhóm cộng các số tự nhiên
ℕ
không là một nhóm, nửa nhóm nhân các số nguyên
Z

không là một nhóm.
4) Tập hợp S
n
các phép thế của {1, 2, …, n} cùng với tích các phép thế lập thành một nhóm
hữu hạn, không giao hoán với mọi
0
n
≥
.

Ngoài các tính chất của nửa nhóm, nhóm còn có các tính chất sau mà chứng minh

của chúng ñược xem như các bài tập:
- ðịnh lý 1: Mỗi phần tử của nhóm chỉ có một phần tử ñối xứng.
- Chú ý:
4

+ Nếu phép toán hai ngôi của nhóm ký hiệu là dấu . (dấu +) thì phần tử ñối xứng của x ký
hiệu là x
-1
(-x) gọi là phần tử nghịch ñảo (phần tử ñối) của x.
+ Từ ñịnh nghĩa ta có:
(x
-1
)
-1
= x ( hay -(- x) = x ).
+ Nếu nhóm là abel và phép toán của nhóm ký hiệu bằng dấu . (tương ứng dấu +) thì phần
tử xy
-1
= y
-1
x (tương ứng x + (-y) = (-y) + x) ký hiệu là x/y (tương ứng x-y) và gọi là thương
của x trên y (hiệu của x và y).
- ðịnh lý 2 (luật giản ước): Trong một nhóm, ñẳng thức xy = xz ( yx = zx ) kéo theo ñẳng
thức y = z.
- ðịnh lý 3: Trong một nhóm, phương trình ax =b (xa = b) có nghiệm duy nhất x = a
-1
b
(x=ba
-1
).

- ðịnh lý 4: Trong một nhóm, ta có:
(xy)
-1
=y
-1
x
-1

với x, y là hai phần tử bất kỳ của nhóm.
- Chú ý:
* ðịnh lý này mở rộng cho một số nguyên dương n tùy ý nhân tử:
(x
1
x
2
… x
n
)
-1
= x
n
-1
… x
2
-1
x
1
-1
.
ðặc biệt: (a

n
)
-1
= (a
-1
)
n

* Quy ước:
+ Ký hiệu: a
-n
= (a
n
)
-1
, vậy ta có:
a
-n
= (a
n
)
-1
= (a
-1
)
n
.
+ a
0
= e.

* Như vậy, ta ñã ñịnh nghĩa ñược
a
λ
với mọi số nguyên
λ
. Ta vẫn có hai tính chất:

a a a
λ µ λ µ
+
=


( )
a a
λ µ λµ
=
, với mọi
,
λ µ
∈
Z
.
- ðịnh lý 5: Một nửa nhóm X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai ñiều kiện sau ñược thỏa mãn:
(i) X có một ñơn vị trái e
(ii) Với mọi
x X
∈
, có một
'

x X
∈
sao cho
'
x x e
=
.
- Chú ý: Ta cũng ñược ñịnh lý tương tự nếu thay (i) và (ii) bởi phần tử ñơn vị phải và nghịch
ñảo phải.
- ðịnh lý 6: Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm nếu và chỉ nếu các phương trình: ax = b
và ya = b có nghiệm trong X với mọi
,
a b X
∈
.

1.2.2. Nhóm con
- ðịnh nghĩa 2: Một bộ phận ổn ñịnh A của nhóm X là một nhóm con của X nếu A cùng với
phép toán cảm sinh là một nhóm.
- Ví dụ:
+ Nhóm cộng các số nguyên
Z
là một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ
ℚ
.
5

+ Tập con {1,-1} là 1 bộ phận ổn ñịnh của nhóm nhân
Z
, nhưng lại không là 1 nhóm con

của nhóm nhân
Z
.
- ðịnh lý 7: Một bộ phận của một nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các ñiều
kiện sau là thỏa mãn:
(i) Với mọi
,
x y A
∈
thì
xy A
∈

(ii)
e A
∈
, với e là phần tử trung lập của X
(iii) Với mọi
1
,
x A x A
−
∈ ∈
.
- Hệ quả: Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Khi ñó, các ñiều sau là tương
ñương:
(a) A là một nhóm con của X,
(b) Với mọi
, ,
x y A xy A

∈ ∈
và
1
x A
−
∈
,
(c) Với mọi
1
, ,
x y A xy A
−
∈ ∈
.
- Ví dụ:
1) Bộ phận
{ , }
m ma a
= ∈
Z Z
, gồm tất cả các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước là
một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên
Z
.
2) Cho nhóm con X, bộ phận
{ , }
A a
λ
λ
= ∈

Z
gồm các lũy thừa nguyên của phần tử
a X
∈
là
một nhóm con của nhóm X. (ví dụ 1 là trường hợp ñặc biệt của ví dụ 2)
3) Bộ phận {e} chỉ gồm một phần tử trung lập của nhóm X, và bộ phận X là hai nhóm con của
nhóm X. Người ta gọi chúng là những nhóm con tầm thường của nhóm X.
- ðịnh lý 8: Giao một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X.
- Nhận xét: Giả sử U là một bộ phận của nhóm X, khi ñó U chứa trong ít nhất một nhóm con
của X, giao tất cả các nhóm con chứa U của nhóm X là một nhóm con của X, và là nhóm con
nhỏ nhất của X chứa U.
- ðịnh nghĩa 3: Giả sử U là một bộ phận của nhóm X. Nhóm con A nhỏ nhất của X chứa U
gọi là nhóm con sinh ra bởi U. Trong trường hợp A=U thì ta nói U là hệ sinh của X, hay X
ñược sinh ra bởi U.
Nhận xét: Nếu
{ },
U a a X
= ∈
thì dễ dàng thấy nhóm con A sinh ra bởi U có các phần tử là
lũy thừa nguyên của a. Ta gọi A là nhóm con sinh ra bởi a.
- ðịnh nghĩa 4: Một nhóm X gọi là xyclic nếu và chỉ nếu X ñược sinh ra bởi một phần tử
a X
∈
. Phần tử a ñược gọi là phần tử sinh của X.
Như vậy, theo nhận xét trên nhóm X là xyclic nếu và chỉ nếu các phần tử của nó là các lũy
thừa
,a
λ
λ

∈
Z
, của một phần tử
a X
∈
.
- Ví dụ:
1) Xét nhóm phép thế S
3
, mà các phần tử lần lượt là:
1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
; ; ;
1 2 3 2 3 1 3 1 2
e f f
     
= = =
     
     
3 4 5
1 2 3 1 2 3 1 2 3
; ;
2 1 3 3 2 1 1 3 2
f f f
     
= = =
     
     

6

Ta xét A là nhóm con của S
3
sinh ra bởi
1
f
.
Ta có:
2 3
1 2 1
;
f f f e
= =
.
Với mọi
λ
∈
ℤ
, giả sử r là số dư của
λ
cho 3, tức là:
3 ;0 3
q r r
λ
= + ≤ <
.
Ta có:
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
( )

q r q r q r r r
f f f f f f ef f
λ
+
= = = = =
.
Vỉ r chỉ có thể lấy một trong 3 giá trị 0,1,2 nên
1
f
λ
chỉ có thể là một trong 3 phần tử:
0 1 2
1 1 1 1 2
; ;
f e f f f f
= = =
. Do ñó, nhóm con A của S
3
sinh ra bởi
1
f
là:
1 2
{ , , }
A e f f
=

Lập luận tương tự, ta ñược:
+
3

{ , }
e f
là nhóm con sinh ra bởi
3
f
.
+
4
{ , }
e f
là nhóm con sinh ra bởi
4
f
.
+
5
{ , }
e f
là nhóm con sinh ra bởi
5
f
.
+ Nhóm con sinh ra bởi
2
f
trùng với nhóm con sinh ra bởi
1
f
.
Vậy, S

3
không ñược sinh ra bởi bất kỳ phần tử nào của nhóm nên S
3
không là nhóm xyclic,
còn các nhóm con của nhóm S
3
kể trên là những nhóm con xyclic.
2) Nhóm cộng các số nguyên
Z
là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1 và -1. Ngoài hai phần tử
sinh này, nhóm không có phần tử sinh nào khác. Ta thấy:
Z
là nhóm vô hạn, còn các nhóm ở
ví dụ 1 là hữu hạn.
- Nhận xét: Giả sử X là một nhóm, và e là phần tử trung lập của X. Khi ñó:
+ Nếu không có một số nguyên dương nào sao cho a
n
= e thì nhóm con sinh ra bởi a là vô
hạn.
+ Ngược lại, gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho: a
m
= e, lập luận tương tự ví dụ
trên ta có nhóm con sinh ra bởi a có m phần tử là: a
0
= e; a
1
= a, a
2
,…, a
m-1

.
- ðịnh nghĩa 5: Cho a là phần tử bất kỳ của nhóm con X và A là nhóm con sinh ra bởi a.
Phần tử a ñược gọi là có cấp vô hạn khi A vô hạn; trong trường hợp này không có một số
nguyên dương nào sao cho a
n
= e. Phần tử a ñược gọi là có cấp m nếu A có cấp m; trong
trường hợp này m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a
m
=e.

1.2.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương
- Giả sử A là một nhóm con của nhóm X, ta ñịnh nghĩa quan hệ tương ñương
∼
trong tập X
như sau: với mọi
,
x y X
∈
,
x y
∼
nếu và chỉ nếu
1
x y A
−
∈
.
- Bổ ñề 1: Quan hệ
∼
trong X là một quan hệ tương ñương.

- Nhận xét:
+ Do
∼
là một quan hệ tương ñương trên X, nên ta xác ñịnh ñược tập thương
/
X
∼
. Với mỗi
phần tử
x X
∈
, ta kí hiệu lớp tương ñương chứa x là
x
.
7

+ Ta kí hiệu bộ phận của X gồm các phần tử có dạng xa với a chạy khắp A là xA, tức
{ }
xA xa a A
= ∈
.
- Bổ ñề 2:
x xA
=

- ðịnh nghĩa 6: Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X. Tương tự, các
lớp phải Ax của nhóm con A trong X bộ phận mà các phần tử của nó có dạng là ax với
a A
∈
.

- Nhận xét: Cũng như với các lớp trái, ta có thể chứng minh các lớp phải của A là các lớp
tương ñương theo quan hệ tương ñương:
1
x y xy A
−
⇔ ∈
∼
.
* Từ các bổ ñề 1, 2 và các tính chất của tập thương ta suy ra:
- Hệ quả : Giả sử x và y là hai phần tử tùy ý của nhóm X, thế thì:
(i) xA = yA nếu và chỉ nếu
1
x y A
−
∈

(ii)
xA yA
∩ = ∅
nếu và chỉ nếu
1
x y A
−
∉
.
Tập thương của X trên quan hệ tương ñương
∼
gọi là tập thương của nhóm X trên nhóm A, kí
hiệu là X/A. Các phần tử của X/A là các lớp trái xA.
- ðịnh lý 9 (ðịnh lý Lagrănggiơ): Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp của mọi

nhóm con của nó.
- Vì mọi phần tử x của nhóm X sinh ra một nhóm con có cấp bằng cấp của x, nên:
- Hệ quả 1: Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X là ước cấp của X.
- Vì mọi phần tử
x e
≠
của một nhóm X ñều sinh ra một nhóm có cấp không nhỏ hơn 2, nên:
- Hệ quả 2: Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố ñều là xyclic ñược sinh ra bởi một phần tử
bất kỳ khác phần tử trung lập của nhóm.
- ðịnh nghĩa 7: Một nhóm con A của X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu
1
x ax A
−
∈
với mọi
,
a A x X
∈ ∈
.
- ðịnh lý 10: Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc thì:
(i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ
/ /
X A X A
×
ñến
/
X A
.
(ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi:
( , )

xA yA xyA
֏

là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A.
- ðịnh lý sau ñây cho ta biết ñịnh nghĩa tương ñương của nhóm con chuẩn tắc.
- ðịnh lý 11: Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X. Các ñiều sau là tương ñương:
(a) A là nhóm con chuẩn tắc.
(b) xA= Ax với mọi
x A
∈
.
- Nhận xét: Do ñịnh lý trên, nên nếu A là chuẩn tắc thì không phân biệt lớp trái, lớp phải của
A và gọi chung là một lớp của A.
- Ví dụ:
1) Trong một nhóm con X, các nhóm con tầm thường {e} và X là các nhóm con chuẩn tắc.
2) Trong một nhóm abel, mọi nhóm con là chuẩn tắc.
3) Xét nhóm cộng các số nguyên
Z
và nhóm con
n
Z
của
Z
gồm các số nguyên là bội
nguyên của n ñã cho. Vì nhóm cộng các số nguyên là abel, nên
n
Z
là chuẩn tắc, do ñó các
8

lớp trái và các lớp phải của
n
Z
là trùng nhau. Các lớp của
n
Z
ñược ký hiệu là
,x n x
+ ∈
Z Z
.
Quan hệ tương ñương xác ñịnh bởi
n
Z
là:
x y x y n x y
⇔ − ∈ ⇔ −
∼
Z
là bội của n.
Quan hệ này là quan hệ ñồng dư môñun n.
Vậy, nhóm thương
/
n
Z Z
gồm n lớp tương ñương:
/ {0 ,1 , ,( 1) }
n n n n n
= + + − +
Z Z Z Z Z

gọi là nhóm cộng các số nguyên môñun n. Ký hiệu
x n
+
Z
bằng
x
.
- Lấy n=4, hãy lập bảng cộng của
4
ℤ
ℤ
.
4) Trong nhóm các phép thế S
3
ta hãy xét một nhóm con A
3
gồm các phép thế chẵn (2, ví dụ
1). Ta có:
{
}
3 1 2
, ,
eA e f f
=

Vì
1 2 3
,
f f eA

∈
, nên
3 1 3 2 3
eA f A f A
= =
.
Vì các lớp trái của A
3
là các lớp tương ñương, nên chúng thành lập một sự chia lớp của S
3
, vậy
ngoài lớp trái eA
3
ra ta chỉ còn một sự chia lớp trái gồm các phần tử còn lại f
3
, f
4
, f
5
. Ta suy ra
f
3
A
3
= f
4
A
3
= f
5

A
3
={f
3
, f
4
, f
5
}
Cũng bằng lý luận tương tự, ta ñược
A
3
= A
3
e= A
3
f
1
= A
3
f
2
={e, f
1
, f
2
}
A
3
f

3
= A
3
f
4
= A
3
f
5
={f
3
, f
4
, f
5
}
Do ñó, A
3
là chuẩn tắc theo ðịnh lý 11.

1.2.4. Nhóm con Sylow
ðịnh nghĩa 8. Giả sử p là một số nguyên tố.
(i) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p.
(ii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G
vừa là một p- nhóm.
(iii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con Sylow của G nếu H là một p- nhóm con
của G và
n
H p
=

là lũy thừa cao nhất của p chia hết
G
.
Ta có một số kết quả chính:
ðịnh lý 12. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết
G
. Khi ñó tồn
tại một p- nhóm con Sylow của G.
ðể chứng minh ñịnh lý này ta cần bổ ñề sau:
Bổ ñề 3. Giả sử G là một nhóm abel hữu hạn cấp m và p là một số nguyên tố chia hết m. Khi
ñó G chứa một nhóm con cấp p.

1.2.5. ðồng cấu nhóm
- ðịnh nghĩa 9: Một ñồng cấu nhóm là một ánh xạ f từ một nhóm X ñến một nhóm Y sao cho:
9

f(ab)=f(a)f(b)
với mọi
,
a b X
∈
. Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của X.
Một ñồng cấu mà là một ñơn ánh thì gọi là ñơn cấu, một ñồng cấu toàn ánh gọi là một toàn
cấu, một ñồng cấu song ánh gọi là một ñẳng cấu, một tự ñồng cấu song ánh gọi là một tự
ñồng cấu.
Nếu
:
f X Y
→
là một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y thì ta viết


:
f X Y
→
.
Trong trường hợp X, Y là những nửa nhóm ta cũng ñịnh nghĩa ñồng cấu nửa nhóm tương
tự.
- Ví dụ:
1) Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. ðơn ánh chính tắc:
A X
→

a a
֏

là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc.
2) Ánh xạ ñồng nhất của một nhóm X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X.
3) Xét ánh xạ từ nhóm nhân các số thực dương
+
ℝ
ñến nhóm cộng các số thực
ℝ
:
log :
+
→
ℝ ℝ


log

x x
֏

là một ñồng cấu nhóm. ðồng cấu này còn là một song ánh, nên là một ñẳng cấu.
4) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X. Ánh xạ:
: /
h X X A
→


( )
x h x xA
=
֏

là một ñồng cấu, hơn nữa ánh xạ này toàn ánh. Nên ñồng cấu này là một toàn cấu. Ta gọi là
toàn cấu chính tắc.
5) Giả sử X và Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ
X Y
→

x e
֏

với e là phần tử trung lập của X, là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu tầm thường.
6) Nếu
:
f X Y
→
là một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, thì ánh xạ ngược

1
:
f X Y
−
→
cũng là một ñẳng cấu.
- ðịnh nghĩa 10: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, các phần tử
trung lập của X và Y ñược ký hiệu theo thứ tự là e
X
và e
Y
. Ta kí hiệu:
Imf= f(X); Kerf= f
-1
(e
Y
)
và gọi Imf là ảnh của ñồng cấu f, Kerf là hạt nhân của ñồng cấu f.
- ðịnh lý 13: Giả sử X, Y, Z là những nhóm và
:
f X Y
→
và
:
g Y Z
→

là những ñồng cấu.
Thế thì ánh xạ tích:
:
gf X Z
→

cũng là một ñồng cấu. ðặc biệt, tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu.
- ðịnh lý 14: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y.
10

Khi ñó
(i) f(e
X
)=e
Y

(ii) f(x
-1
)=(f(x))
-1
với mọi
x X
∈
.
- ðịnh lý 15: Giả sử
:

f X Y
→
là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, A là một nhóm con
của X, B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Khi ñó
(i) f(A) là một nhóm con của Y
(ii) f
-1
(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X.
- Hệ quả: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y. Thế thì Imf là
nhóm con của Y và Kerf là nhóm con chuẩn tắc của X.
- ðịnh lý 16: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y. Thế thì:
(i) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf= Y
(ii) f là một ñơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf= {e
X
}
- ðịnh lý 17: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm từ một nhóm X ñến một nhóm Y,
: /
p X X Kerf

→
là toàn cấu chính tắc từ nhóm X ñến nhóm thương của X trên hạt nhân của
f. Thế thì:

(i) Có một ñồng cấu duy nhất
: /
f X Kerf Y
→
sao cho tam giác sau
X f Y


p
f



X/Kerf
giao hoán, tức là
f f p
=
.
(ii) ðồng cấu
f
là một ñơn cấu và
Im ( )
f f X
=
.
- Hệ quả: Với mọi ñồng cấu

:
f X Y
→
từ một nhóm X ñến nhóm Y, ta có:
( ) /
f X X Kerf
≃

- Ví dụ:
1) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của X, và
: /
h X X A
→
là một toàn cấu chính tắc.
Khi ñó, Kerf= A.
+ Trong trường hợp A={e} thì h còn là ñơn cấu chính tắc, do ñó h là một ñẳng cấu. Vậy, ta
có:
/{ }
X X e
≃
.
+ Trong trường hợp A= X, khi ñó nhóm thương X/X chỉ có một phần tử là lớp eX, do ñó h
trở thành một ñồng cấu tầm thường.
2) Giả sử f là một ánh xạ từ nhóm cộng các số nguyên
ℤ
ñến nhóm nhân
*
ℂ
các số phức
khác 0 xác ñịnh như sau:

:f
→
ℤ ℂ


2 2
cos sin
k k
k i
n n
π π
+֏

trong ñó n là một số nguyên dương cho trước. Rõ ràng f là một ñồng cấu vì
11

2( ) 2( )
( ) cos sin
k h k h
f h k i
n n
π π
+ +
+ = + =

2 2 2 2
(cos sin )(cos sin ) ( ) ( )
k k h h
i i f k f h
n n n n

π π π π
= + + =

Mặt khác, vì
2 2
(cos sin ) cos 2 sin 2 1
n
k k
i k i k
n n
π π
π π
+ = + =
nên các phần tử của
( )
f
ℤ
là căn
bậc n của ñơn vị cùng với phép nhân các số phức là một nhóm. Xét Kerf, là bộ phận của
ℤ

gồm các số nguyên k sao cho
2 2
cos sin 1
k k
i
n n
π π
+ =

Vậy k là bội của n, do ñó Kerf = n
ℤ
. Theo hệ quả của ðịnh lý 16 ta có
( )f
n
ℤ
ℤ ≃
ℤ

tức là nhóm nhân các căn bậc n của ñơn vị ñẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên mod n.

1.2.6. ðối xứng hoá
Ta ñã biết trong một nhóm, ñẳng thức ab = ac ( hay ba=ca ) kéo theo ñẳng thức b=c.
ðiều này do sự tồn tại phần tử ñối xứng a
-1
của a. Nhưng nếu xét một nửa nhóm, thì ab = ac
chưa chắc ñã kéo theo b=c; ví dụ trong nửa nhóm nhân các số tự nhiên
ℕ
, ta có ñẳng thức
0.2=0.3, nhưng 2
≠
3. Từ ñây ta có khái niệm:
- ðịnh nghĩa 11: Cho một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi trong X. Một phần tử
a
∈
X ñược gọi là phần tử chính quy bên trái (bên phải) nếu với mọi b,c
∈
X sao cho ab=ac
(ba=ca) thì b=c, a gọi là chính quy nếu nó chính quy bên trái và chính quy bên phải.
- ðịnh lý 18: Giả sử X là một nửa nhóm giao hoán có phần tử trung lập e và X

*
là bộ phận
của X gồm những phần tử chính quy của X. Có một vị nhóm giao hoán
X
và một ñơn cấu f từ
X ñến
X
có các tính chất sau:
1) Các phần tử của f(X
*
) có ñối xứng trong
X

2) Các phần tử của
X
có dạng f(a)f(b)
-1
với a
∈
X, b
∈
X
*

- Hệ quả: Nếu tất cả các phần tử của X ñều chính quy thì tất cả các phần tử của
X
ñều có
ñối xứng, do ñó
X
là một nhóm.

- Ứng dụng:
1) Số nguyên: Ta lấy X là vị nhóm các số tự nhiên
ℕ
, phép toán là phép toán cộng thông
thường: mọi phần tử của X là chính quy nên
X
là một nhóm. Ta ký hiệu
X
là
ℤ
; các phần
tử của
ℤ
gọi là số nguyên; phép toán trong
ℤ
ñược xây dựng như trong ñịnh lý 17, gọi là
phép cộng các số nguyên và cũng ký hiệu là + như phép cộng các số tự nhiên. Mỗi phần tử
của
ℤ
ñược viết dưới dạng m – n với
,m n
∈
ℕ
. Nếu
m n
≥
ta có
,
m n p p

− =
là số tự nhiên
sao cho m=n +p. Nếu m<n, ta có m - n= -p, p là số tự nhiên sao cho m+p=n. Vậy các phần tử
của
ℤ
là … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ……
12

2) Số hữu tỉ dương: Lấy
*
ℕ
tập hợp các số tự nhiên khác 0 làm X , phép toán là phép nhân
thông thường các số tự nhiên; mọi phần tử của X là chính quy nên
X
là một nhóm. Trong
trường hợp này
X
ký hiệu là
+
ℚ
và các phần tử của nó ñược gọi là tập hợp các số hữu tỷ
dương. Mỗi phần tử của
+
ℚ
viết dạng
1
pq
−
với
*

,p q ∈
ℕ
, ta còn quy ước viết
1
p
pq
q
−
=
; số
tự nhiên m ñược ñồng nhất với
*
( )
1
m mn
n
n
= ∈
ℕ
. Phép toán trên
+
ℚ
ñược xác ñịnh như sau:
1 2 1 2
1 2 1 2
.
p p p p
q q q q
= .
- Chú ý:

T
ạ
i sao v
ớ
i
ℤ
ta có
{
}
1, 2, 3, , ,
n= ∪ − − − −
ℤ ℕ

Trong khi
ñố
i v
ớ
i
+
ℚ
ta không có
*
1 1 1 1
, , , , ,
2 3 4 n
+
 
= ∪
 
 

ℚ ℕ

T
ậ
p h
ợ
p X trong hai
ñị
nh lý sau ch
ỉ
m
ộ
t v
ị
nhóm nhân giao hoán, và X
*
là b
ộ
ph
ậ
n các
ph
ầ
n t
ử
chính quy c
ủ
a X, ta gi
ả
thi

ế
t X
*
=X. Theo h
ệ
qu
ả
c
ủ
a
ðị
nh lý 17, ta có
X
là m
ộ
t
nhóm, mà các ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng ab
-1
v
ớ
i a,b
X
∈
(

ðị
nh lý 17).
- ðịnh lý 19:
N
ếu với mọi a,b
X
∈
, hoặc phương trình ax=b có nghiệm trong X, hoặc phương
trình bx=a có nghiệm trong X; thế thì
{
}
1
|
X X c c X
−
= ∪ ∈

- ðịnh lý 20: Ngược lại, giả sử:
{
}
1
|
X X c c X
−
= ∪ ∈

Thế thì, với mọi a,b
X
∈
, hoặc phương trình ax=b có nghiệm trong X, hoặc phương trình

bx=a có nghiệm trong X.
Từ hai ñịnh lý trên ta thấy rằng:
Với mọi a,b
∈
ℕ
thì phương trình a+x=b có nghiệm trong
ℕ
, hoặc phương trình
b+x=a có nghiệm trong
ℕ
. Cho nên:
{
}
1, 2, 3, , ,
n= ∪ − − − −
ℤ ℕ

Trong khi ñó, với mọi a,b
*
∈
ℕ
, không phải bao giờ ta cũng có ax=b có nghiệm trong
*
ℕ
, hay bx=a có nghiệm trong
*
ℕ
. Chẳng hạn, a=2, b=3, cả 2x=3 và 3x=2 ñều không có
nghiệm trong
*

ℕ
. Nên ta không có:
*
1 1 1 1
, , , , ,
2 3 4 n
+
 
= ∪
 
 
ℚ ℕ





13

*) Tài liệu học tập
1. Hoàng Xuân Sính (1998), ðại số ñại cương, NXB GD.
2. Bùi Huy Hiền (1996), Bài tập ñại số ñại cương, NXBGD.
3. Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), ðại số ñại cương, NXB GD.

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
Phần: Nửa nhóm
Bài 1.1: Giả sử a và b là hai phần tử của một nửa nhóm X sao cho ab=ba. Chứng minh rằng
(ab)
n
=a

n
b
n
với mọi số tự nhiên
1
n
>
. Nếu a và b là hai phần tử sao cho (ab)
2
=a
2
b
2
thì ta có
suy ra ñược ab=ba hay không?
Bài 1.2: Gọi X là tập hợp thương của
ℤ
trên quan hệ ñồng dư mod n (chI, ð2, 2, ví dụ)
a) Với mỗi cặp (C(a),C(b)) ta cho tương ứng lớp tương ñương C(a+b). Chứng minh như vậy
ta có một ánh xạ từ
X X
×
ñến X.
b) Chứng minh X là một vị nhóm giao hoán ñối với phép toán hai ngôi xác ñịnh ở a)
c) Nếu với mỗi cặp (C(a),C(b)) ta cho tương ứng lớp C(ab), chứng minh lúc ñó X cũng là một
vị nhóm giao hoán.
Bài 1.3: Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý. Xét ánh xạ:
X X X
× →

( , )
x y x
֏

Chứng minh X là một nửa nhóm ñối với phép toán hai ngôi trên? Nửa nhóm ñó có giao hoán
hay không? có phần tử ñơn vị hay không?
Bài 1.4: Gọi X là tập hợp thương
*
×
ℤ ℕ
trên quan hệ tương ñương S xác ñịnh bởi:
aSb khi và chỉ khi ad=bc (chI, §2, bài tập 2). Ta ký hiệu các phần tử C(a,b) của X bằng a/b,
*
,a b
∈ ×
ℤ ℕ
.
a) Với mỗi cặp (a/b,c/d) ta cho tương ứng lớp tương ñương ad+bc/bd. Chứng minh rằng như
vậy ta có một ánh xạ từ
X X
×
ñến X.
b) Chứng minh X là một vị nhóm giao hoán ñối với phép toán hai ngôi ở a).
c) Nếu với mỗi cặp (a/b,c/d) ta cho tương ứng lớp tương ñương ac/bd. Chứng minh lúc ñó X
cũng là một vị nhóm giao hoán.
Bài 1.5: Xét tích ðềcác
n
ℕ
(
1

n
≥
) với
ℕ
là vị nhóm cộng giao hoán các số tự nhiên.
a) Chứng minh
n
ℕ
ta ñã xác ñịnh một quan hệ thứ tự (ch.I, ð2, bài tập 10). Chứng minh nếu
,
n
α β
∈
ℕ
sao cho
α β
<
thì
,
n
α γ β γ γ
+ < + ∀ ∈
ℕ
.

Phần: Nhóm
Bài 1.6: Lập các bảng toán cho các tập hợp gồm hai phần tử, ba phần tử ñể ñược những
nhóm.
Bài 1.7: Thử xem các tập hợp sau ñây với phép toán ñã cho có lập thành một nhóm:
1) Tập hợp các số nguyên với phép cộng.

2) Tập hợp các số hữu tỷ với phép cộng.
14

3) Tập hợp các số thực với phép cộng.
4) Tập hợp các số phức với phép cộng
5) Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên m với phép cộng.
6) Tập hợp các số thực dương với phép nhân.
7) Tập hợp các số thực khác không với phép nhân.
8) Tập hợp các số phức có môñun bằng 1 với phép nhân.
9) Tập hợp các số phức với phép nhân.
10) Tập hợp các số hữu tỷ có dạng 2
n
,
n
∈
ℤ
với phép nhân.
11) Tập hợp các căn bậc n của 1 với phép nhân
12) M={1,-1} với phép nhân.
13) Tập hợp các số thực dương với phép nhân
14) Tập hợp các số thực có dạng
3( , )
a b a b+ ∈
ℤ
với phép cộng
15) Tập hợp các số thực dạng
3( , )
a b a b+ ∈
ℚ
và

2 2
0
a b
+ ≠
với phép nhân.
16) Tập hợp các số phức dạng
( , )
a ib a b
+ ∈
ℤ
với phép cộng
17) Tập hợp các véctơ n chiều của không gian
n
ℝ
với phép cộng véctơ
18) Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phép cộng ma trận.
19) Tập hợp các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép nhân ma trận.
20) Tập hợp các ma trận vuông cấp n có ñịnh thức bằng 1 với phép nhân ma trận.
21) Tập hợp các ma trận vuông cấp n có ñịnh thức bằng
1
±
với phép nhân ma trận.
22) Tập hợp các ña thức (có hệ số thực) với phép cộng các ña thức.
23) Tập hợp gồm ña thức 0 và các ña thức có bậc không quá n ( n là số nguyên
0
n
≥
)
với phép cộng ña thức.
Bài 1.8: Chứng minh rằng mọi nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm nếu và chỉ nếu

luật giản ước thực hiện ñược với mọi phần tử của X.
Bài 1.9: Cho X là một tập hợp tuỳ ý. Ký hiệu Hom(X , X) là tập hợp các ánh xạ từ X ñến X.
Với phép nhân ánh xạ Hom(X, X) có trở thành một nhóm hay không? Chứng minh rằng bộ
phận S(X) của Hom(X, X) gồm các song ánh từ X ñến X là một nhóm với phép nhân ánh xạ.
Tìm cấp của S(X) trong trương hợp X có n phần tử.
Bài 1.10: Cho X là một nhóm với phần tử ñơn vị là e. Chứng minh rằng nếu với mọi
a X
∈
ta
có
2
a e
=
, thì X là aben.
Bài 1.11: Cho những nhóm
( )
I
X
α α
∈
mà phép toán ñều ký hiệu bằng dấu nhân. Chứng minh
rằng tập tích ðềcác
I
X
α
α
∈
∏
với phép toán xác ñịnh như sau:
( ) ( ) ( )

I I I
x y x y
α α α α α α α
∈ ∈ ∈
=

là một nhóm (gọi là tích các nhóm
X
α
).
Bài 1.12: Cho X là một tập hợp khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp trong X, a
là một phần tử của X. Ký hiệu:
{
}
{ }
|
|
aX ax x X
Xa xa x X
= ∈
= ∈

15

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng X là m
ộ

t nhóm khi và ch
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i
a X
∈
ta có aX=Xa=X.
Bài 1.13:
Ch
ứ
ng minh m
ọ
i b
ộ
ph
ậ
n khác r
ỗ
ng
ổ
n
ñị
nh c
ủ
a m
ộ
t nhóm h

ữ
u h
ạ
n X là m
ộ
t nhóm
con c
ủ
a X.
Bài 1.14:
Trong các nhóm
ở
bài 1.7, nhóm nào là nhóm con c
ủ
a nhóm nào?
Bài 1.15:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong nhóm c
ộ
ng các s
ố
nguyên
ℤ
, m
ộ
t b
ộ

ph
ậ
n A c
ủ
a
ℤ
là m
ộ
t
nhóm con c
ủ
a
ℤ
n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u A có d
ạ
ng
,
m m
∈
ℤ ℤ
.
Bài 1.16:
Trong nhóm phép th
ế

S
4
, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các phép th
ế
sau: e, a=(1 2) (3 4), b=(1
3) (2 4) và c=(1 4) (2 3 ) thành l
ậ
p m
ộ
t nhóm con c
ủ
a S
4
. Nhóm con
ñ
ó có aben không?
Bài 1.17:
Cho Y là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a t

ậ
p h
ợ
p X. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng b
ộ
ph
ậ
n S(X,Y) c
ủ
a S(X)
g
ồ
m các song sánh
:
f X X
→
sao cho f(Y)= Y là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a S(X) (bài t
ậ
p 1.9). Tìm
s
ố
ph

ầ
n t
ử
c
ủ
a S(X) trong tr
ườ
ng h
ợ
p X có n ph
ầ
n t
ử
và Y có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
.
Bài 1.18:
Cho A và B là hai b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a m
ộ
t nhóm X . Ta

ñị
nh ngh
ĩ
a
{
}
{ }
1 1
| ,
|
AB ab a A b b
A a a A
− −
= ∈ ∈
= ∈

Ch
ứ
ng minh các
ñẳ
ng th
ứ
c sau:
a) (AB)C=A(BC)
b) (A
-1
)
-1
= A
c) (AB)

-1
=B
-1
A
-1

d) N
ế
u A là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a X thì A
-1
=A.
Bài 1.19:
Cho X là m
ộ
t nhóm và A là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n khác r
ỗ
ng c
ủ
a X. Ch
ứ

ng minh A là m
ộ
t
nhóm con c
ủ
a nhóm X khi và ch
ỉ
khi AA
-1
=A
Bài 1.20:
Cho A là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a nhóm X và
a X
∈
. Ch
ứ
ng minh aA là m
ộ
t nhóm con
c
ủ
a X khi và ch
ỉ
khi a
A
∈

.
Bài 1.21:
Trong m
ộ
t nhóm X ch
ứ
ng minh r
ằ
ng nhóm con sinh ra b
ở
i b
ộ
ph
ậ
n
∅
là nhóm con
t
ầ
m th
ườ
ng {e} v
ớ
i e là ph
ầ
n t
ử
trung l
ậ
p c

ủ
a nhóm.
Bài 1.22:
Gi
ả
s
ử
S là b
ộ
ph
ậ
n khác r
ỗ
ng c
ủ
a m
ộ
t nhóm X. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
nhóm con sinh ra b
ở

i S là các ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng
1 2

n
x x x
v
ớ
i
1 2
, , ,
n
x x x S
∈
ho
ặ
c
1
S
−
∈
. Tìm
nhóm con c
ủ
a nhóm nhân các s

ố
h
ữ
u t
ỷ
d
ươ
ng sinh ra b
ở
i b
ộ
ph
ậ
n các s
ố
nguyên t
ố
.
Bài 1.23:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i nhóm con c
ủ
a nhóm xyclic là m
ộ
t nhóm xyclic.

Bài 1.24:
Cho X là m
ộ
t nhóm v
ớ
i ph
ầ
n t
ử

ñơ
n v
ị
là e,
a X
∈
có c
ấ
p là n. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a
k
= e khi và ch
ỉ
khi k chia h
ế
t cho n.

Bài 1.25:
Cho a,b là hai ph
ầ
n t
ử
tu
ỳ
ý c
ủ
a m
ộ
t nhóm. Ch
ứ
ng minh ab và ba có cùng c
ấ
p.
Bài 1.26:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm xyclic c
ấ
p n và
a X
∈
là m
ộ

t ph
ầ
n t
ử
sinh c
ủ
a nó. Xét ph
ầ
n
t
ử
b = a
k
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) C
ấ
p c
ủ
a b b
ằ
ng n/d,
ở

ñ
ây d là UCLN c
ủ

a k và n.
b) b là ph
ầ
n t
ử
sinh c
ủ
a X khi và ch
ỉ
khi k nguyên t
ố
v
ớ
i n (t
ừ

ñ
ó suy ra s
ố
ph
ầ
n t
ử
sinh c
ủ
a
X)
Bài 1.27:
Gi
ả

s
ử
a,b là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ộ
t nhóm, và gi
ả
s
ử
ta có c
ấ
p c
ủ
a a là r, c
ấ
p c
ủ
a b là
s, v
ớ
i r,s nguyên t
ố
cùng nhau, và thêm n
ữ
a ab = ba. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng ab có c
ấ
p b
ằ
ng rs.
16

Bài 1.28:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i nhóm có c
ấ
p vô h
ạ
n
ñề
u có vô h
ạ
n nhóm con.
Bài 1.29:
Cho X và Y là nh
ữ
ng nhóm xyclic có c

ấ
p m và n. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
X Y
×
là m
ộ
t
nhóm xyclic khi và ch
ỉ
khi m, n nguyên t
ố
cùng nhau.
Bài 1.30:
Cho A là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a m
ộ
t nhóm X. Gi
ả
s
ử
t
ậ
p h

ợ
p th
ươ
ng X/A có hai ph
ầ
n t
ử
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A chu
ẩ
n t
ắ
c.
Bài 1.31:
Trong nhóm các phép th
ế
S
n
, b
ộ
ph
ậ
n A
n
g
ồ

m các phép th
ế
ch
ẵ
n là nhóm con chu
ẩ
n
t
ắ
c c
ủ
a S
n
.
Bài 1.32:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm con xyclic vô h
ạ
n, và
a X
∈
là m
ộ
t ph
ầ

n t
ử
sinh. G
ọ
i A là
nhóm con c
ủ
a X sinh b
ở
i a
3
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các l
ớ
p trái c
ủ
a A b
ằ
ng các l
ớ
p ph
ả
i c
ủ
a A và
các l
ớ

p
ñ
ó b
ằ
ng 3.
Bài 1.33:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm, ta g
ọ
i tâm c
ủ
a nhóm X là b
ộ
ph
ậ
n
{
}
( ) | ,
C X a X ax xa x X
= ∈ = ∀ ∈

Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng C(X)

là m
ộ
t nhóm con giao hoán c
ủ
a X và m
ọ
i nhóm con c
ủ
a C(X) là m
ộ
t
nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ
a X.
Bài 1.34:
Tìm t
ấ
t c
ả
các nhóm con và nhóm con chu
ẩ
n t
ắ

c c
ủ
a nhóm các phép th
ế
S
3
.
Bài 1.35:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm, x và y là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X. Ta g
ọ
i là hoán t
ử
c
ủ
a x và y ph
ầ
n
t

ử
xyx
-1
y
-1
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng nhóm con A sinh ra b
ở
i t
ậ
p h
ợ
p các hoán t
ử
c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n
t
ử
x, y c
ủ

a X là m
ộ
t nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ
a X g
ọ
i là nhóm các hoán t
ử
, và nhóm th
ươ
ng X/A
là aben.
Bài 1.36:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng mu
ố
n cho m
ộ
t nhóm th
ươ
ng X/H c
ủ
a m

ộ
t nhóm X la aben,
ắ
t có
và
ñủ
là nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c H ch
ứ
a nhóm các hoán t
ử
c
ủ
a X.
Bài 1.37:
Tìm nhóm các hoán t
ử
c
ủ
a S
3
Bài 1.38:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m

ọ
i nhóm có c
ấ
p bé h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 5 là aben.
Bài 1.39:
Hãy tìm các nhóm th
ươ
ng c
ủ
a:
a) Nhóm công các s
ố
nguyên là b
ộ
i c
ủ
a 3 trên nhóm con các s
ố
nguyên là b
ộ
i c
ủ
a 15.
b) Nhóm c

ộ
ng các s
ố
nguyên là b
ộ
i c
ủ
a 4 trên nhóm con các s
ố
nguyên là b
ộ
i c
ủ
a 24.
c) Nhóm nhân các s
ố
th
ự
c khác 0 trên nhóm con các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng.
Bài 1.40:
Cho D là t
ậ
p h
ợ

p các
ñườ
ng th
ẳ
ng
∆
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình là y=ax+b
(
0
a
≠
, b là nh
ữ
ng s
ố
th
ự
c). Ánh x
ạ
:
1 1
( , )
D D D
× →

∆ ∆ ∆
֏

Trong
ñ
ó
1 2
, ,
∆ ∆ ∆
l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình là: y=a
1
x+b
1
, y=a
2
x+b
2
, y=a
1
a
2
x+( b
1
+ b

2
) xác
ñị
nh m
ộ
t phép toán hai ngôi trong D.
a) Ch
ứ
ng minh D là m
ộ
t nhóm v
ớ
i phép toán trên.
b) Ánh x
ạ
:
*
: D
a
ϕ
→
∆
ℝ
֏

trong
ñ
ó
*
ℝ

là nhóm nhân các s
ố
th
ự
c khác 0, và
∆
là
ñườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình y=ax+b là
m
ộ
t
ñẳ
ng c
ấ
u.
17

c) Xác
ñị
nh
Ker
ϕ

Bài 1.41:
Cho G

1
,G
2
là nh
ữ
ng nhóm v
ớ
i
ñơ
n v
ị
theo th
ứ
t
ự
là e
1
, e
2
và G là nhóm tích
1 2
G G
×
, A, B là các b
ộ
ph
ậ
n
{
}

{
}
1 2 1 2
;
G e e G
× ×
c
ủ
a G. Xét các ánh x
ạ

1 1
1 2 1
2 2
1 2 1
1 1
1 1 2
2 2
2 1 2
:
( , )
:
( , )
:
( , )
:
( , )
p G G
x x x
p G G

x x x
q G G
x x e
q G G
x e x
→
→
→
→
֏
֏
֏
֏

a) Ch
ứ
ng minh p
1
, p
2
là nh
ữ
ng toàn c
ấ
u. Xác
ñị
nh Ker p
1
và Ker p
2

.
b) Ch
ứ
ng minh q
1
, q
2
là nh
ữ
ng
ñơ
n c
ấ
u. Xác
ñị
nh Im q
1
và Im q
2
. T
ừ

ñ
ó suy ra G
1

ñẳ
ng c
ấ
u

v
ớ
i A, G
2

ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i B.
c) Ch
ứ
ng minh A và B là nh
ữ
ng nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c và AB = BA = G.
Bài 1.42:
Ch
ứ
ng minh m
ọ
i nhóm xyclic h
ữ
u h
ạ
n c

ấ
p n
ñề
u
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhau (
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i
nhóm c
ộ
ng các s
ố
nguyên
ñồ
ng d
ư
mod n)
Bài 1.43:
Ch
ứ
ng minh m
ọ

i nhóm xyclic vô h
ạ
n
ñề
u
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhau (
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm
c
ộ
ng các s
ố
nguyên
ℤ
)
Bài 1.44:
Gi
ả
s
ử
X là m

ộ
t nhóm và Y là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p
ñượ
c trang b
ị
m
ộ
t phép toán. Gi
ả
s
ử
có
m
ộ
t song ánh:
:
f X Y
→

tho
ả
mãn tính ch
ấ
t f(ab)=f(a)f(b) v

ớ
i m
ọ
i
,
a b X
∈
. Ch
ứ
ng minh Y cùng phép toán
ñ
ã cho là
m
ộ
t nhóm; thêm n
ữ
a là aben n
ế
u X aben, là xyclic n
ế
u X xyclic.
Bài 1.45:
Cho X và Y là hai nhóm xyclic có các ph
ầ
n t
ử
sinh t
ươ
ng
ứ

ng là x và y và có c
ấ
p là s
và t.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng quy t
ắ
c
ϕ
cho t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i ph
ầ
n t
ử

x X
α
∈
ph
ầ
n t
ử

( )
k
y Y
α
∈
, trong
ñ
ó k là s
ố
t
ự
nhiên khác 0 cho tr
ướ
c, là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi sk là b
ộ
i c
ủ
a t.
b) N
ế
u sk = mt và
ϕ

là
ñẳ
ng c
ấ
u thì (s, m)= 1.
Bài 1.46:
Cho X là m
ộ
t nhóm giao hoán. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ánh x
ạ

:
k
X X
a a
ϕ
→
֏

V
ớ
i k là m
ộ
t s
ố
nguyên cho tr

ướ
c, là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u. Xác
ñị
nh Ker
ϕ

Bài 1.47:
Cho X là m
ộ
t nhóm. Ánh x
ạ
:
1
:
X X
a a
ϕ
−
→
֏

là m
ộ
t t

ự

ñẳ
ng c
ấ
u c
ủ
a nhóm X khi và ch
ỉ
khi X là aben.
Bài 1.48:
Cho X là m
ộ
t nhóm. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ậ
p h
ợ
p các t
ự

ñẳ
ng c
ấ
u c
ủ
a X cùng v

ớ
i phép
nhân ánh x
ạ
là m
ộ
t nhóm.
18

Bài 1.49:
Gi
ả
s
ử
X, G
1
, G
2
là nh
ữ
ng nhóm,
1 2
G G G
= ×
và
1 2
: , :
f X G g X G
→ →
là nh

ữ
ng
ánh x
ạ
. Xét ánh x
ạ
:
:
( ) ( ( ), ( ))
h X G
x h x f x g x
→
=
֏

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng h là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi f và g là nh
ữ
ng

ñồ
ng c
ấ
u.
Bài 1.50:
Trong t
ậ
p h
ợ
p
3
X
=
ℤ
, v
ớ
i
ℤ
là t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
nguyên, ta xác
ñị
nh m
ộ
t phép toán
hai ngôi nh

ư
sau:
3
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , )( , , ) ( ( 1) , , )
k
k k k l l l k l k l k l
= + − + +

a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng X cùng v
ớ
i phép toán
ñ
ó l
ậ
p thành m
ộ
t nhóm.
b) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng nhóm con A sinh ra b
ở
i ph
ầ

n t
ử
(1,0,0) là chu
ẩ
n t
ắ
c.
c) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng nhóm th
ươ
ng X/A
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm c
ộ
ng các s
ố
ph
ứ
c có d
ạ
ng a+ib v
ớ
i

,a b
∈
ℤ
.
Bài 1.51:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) Nhóm c
ộ
ng các s
ố
th
ự
c
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm nhân các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng.
b) Nhóm c

ộ
ng các s
ố
ph
ứ
c có d
ạ
ng a+ib v
ớ
i a,b nguyên
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm tích
×
ℤ ℤ
trong
ñ
ó
ℤ
là nhóm c
ộ
ng các s
ố
nguyên.
Bài 1.52:
Cho X là m
ộ

t nhóm. V
ớ
i m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

a X
∈
ta xét ánh x
ạ
:
1
:
a
f X X
x a xa
−
→
֏

a) Ch
ứ
ng minh f
a
là m
ộ
t t

ự

ñẳ
ng c
ấ
u c
ủ
a X, g
ọ
i là t
ự ñẳng cấu trong xác ñịnh bởi phần tử a.
b) Chứng minh các tự ñẳng cấu trong lập thành một nhóm con của nhóm các tự ñẳng cấu của
X.
c) Chứng minh một nhóm con H của X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu f
a
(H)=H với mọi tự ñẳng
cấu trong f
a
của X. Vì lí do ñó, các nhóm con chuẩn tắc cũng gọi là các nhóm con bất biến.
Bài 1.53: Chứng minh rằng nếu
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một nhóm hữu hạn X ñến một
nhóm Y thì:
a) Cấp của
a X
∈
chia hết cho cấp của f(a).
b) Cấp của X chia hết cho cấp của f(X).

Bài 1.54: Chứng minh rằng nhóm Y là ảnh ñồng cấu của một nhóm xyclic hữu hạn X khi và
chỉ khi Y là nhóm xyclic và cấp của nó chia hết cấp của X.
Bài 1.55: Hãy tìm tất cả các ñồng cấu từ
a) Một nhóm xyclic cấp n ñến chính nó.
b) Một nhóm xyclic cấp 6 ñến một nhóm xyclic cấp 18.
c) Một nhóm xyclic cấp 18 ñến một nhóm xyclic cấp 6.
Bài 1.56: Chứng minh rằng ngoài ñồng cấu tầm thường ra thì không có một ñồng cấu nào từ
nhóm cộng các số hữu tỷ ñến nhóm cộng các số nguyên.
Bài 1.57: Giả sử
*
ℂ
là nhóm nhân các số phức khác 0, H là tập hợp các số phức của
*
ℂ
nằm
trên trục thực và trục ảo. Chứng minh rằng H là một nhóm con của
*
ℂ
và nhóm thương
*
ℂ
/H
ñẳng cấu với nhóm nhân U các số phức có môñun bằng 1.
19

Bài 1.58: Chứng minh rằng nhóm thương
ℝ
ℤ
(
ℝ

là nhóm cộng các số thực,
ℤ
là nhóm
cộng các số nguyên) ñẳng cấu với nhóm U (bài tập 1.57)
Bài 1.59: Gọi X là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến mà các phần tử là
thực. Hãy chứng minh
a) Nhóm thương của X trên nhóm con các ma trận có ñịnh thức bằng 1 ñẳng cấu với nhóm
nhân các số thực khác 0.
b) Nhóm thương của X trên nhóm con các ma trận có ñịnh thức bằng
1
±
ñẳng cấu với nhóm
nhân các số thực dương.
c) Nhóm thương của X trên nhóm con các ma trận có ñịnh thức dương và một nhóm xyclic
cấp hai.
Bài 1.60: Giả sử X là một vị nhóm nhân sinh bởi một phần tử a có cấp vô hạn, nghĩa là:

{
}
|
n
X a n= ∈
ℕ

Chứng minh vị nhóm
X
(ðịnh lý 17) là nhóm và các phần tử của
X
là:
3 2 1 0 1 2 3

, , , , , , ,
a a a a a a a
− − −
nghĩa là:
{
}
1 2 3
, , ,
X X a a a
− − −
= ∪

20

CHƯƠNG 2
Vành và trường
Số tiết: 15 (Lý thuyết:12 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)


*) Mục tiêu:
- Cung cấp và giúp sinh viên hiểu các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số: vành,
trường, các phương pháp vận dụng các kiến thức này ñể giải toán. Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn
về toán ở bậc phổ thông về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy
trừu tượng khái quát.
- Vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, từ ñó giúp sinh viên nắm vững các
kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số. Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn về toán ở bậc phổ thông
về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát.
- Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát
hóa, tương tự hóa.

2.1. Vành và miền nguyên
2.1.1. Vành
- ðịnh nghĩa 1: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi ñã cho trong X ký
hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các ñiều kiện
sau ñược thoả mãn:
1) X cùng với phép cộng là một nhóm abel,
2) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm,

3) Phép nhân phân phối ñối với phép cộng: với các phần tử tuỳ ý x,y,z
X
∈
ta có
x(y + z)= xy +xz
(y + z)x= yx +zx
- Phần tử trung lập của phép cộng ký hiệu là 0, gọi là phần tử không. Phần tử ñối xứng
(với phép cộng) của phần tử x thì ký hiệu là -x và gọi là phần tử ñối của x.
- Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành X là vành giao hoán.
- Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử ñó gọi là phần tử ñơn vị của X, và
thường ñược ký hiệu là e hay 1.
- Ví dụ:
1) Tập hợp
ℤ
các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông thường lập thành một
vành giao hoán có ñơn vị gọi là vành các số nguyên. Tương tự ta cũng có vành các số hữu tỷ,
vành các số thực, vành các số phức với phép cộng và nhân thông thường.
2) Tập hợp
n
ℤ
ℤ
các số nguyên mod n cùng với phép cộng và phép nhân các số nguyên mod
n là một vành giao hoán có ñơn vị, gọi là vành các số nguyên mod n.
3) Cho X là một nhóm giao hoán mà phép toán ñược ký hiệu là phép cộng. Tập hợp
( , )
E Hom X X
=
các tự ñồng cấu từ X vào X ñược trang bị hai phép toán như sau:
21

- Phép cộng:
( , ) (( )( ) ( ) ( ))
f g f g f g x f x g x
+ + = +
֏
làm cho E là một nhóm cộng giao
hoán với phần tử không là ánh xạ 0, xác ñịnh bởi 0(x)=0 với mọi
x X
∈
, phần tử ñối của f là
–f xác ñịnh bởi (– f)(x)= – f(x) với mọi
x X
∈

- Phép nhân:
( , )
f g fg
֏
. Ta có
( ) ; ( )
g h f gf hf f g h fg fh
+ = + + = +

Vậy, E cùng với hai phép toán ñó lập thành một vành, gọi là vành các tự ñồng cấu nhóm của
nhóm X, vành này có ñơn vị là ñồng cấu ñồng nhất id
X
.
Ngoài các tính chất là một nhóm cộng giao hoán và một nửa nhóm nhân, một vành
còn có các tính chất suy ra từ luật phân phối.
- ðịnh lý 1: Cho X là một vành. Với mọi x,y,z

∈
X ta có:
(i) x(y – z)= xy – xz
(ii) 0x = x0 = 0
(iii) x(– y)= (– x)y = – xy; (–x)( –y)= xy

2.1.2. Ước của không, miền nguyên
- ðịnh nghĩa 2: Giả sử X là một vành giao hoán. Ta nói một phần tử
a X
∈
là bội của một
phần tử
b X
∈
hay a chia hết cho b, ký hiệu
a b
⋮
, nếu có
c X
∈
sao cho a=bc; ta còn nói b là
ước của a hay b chia hết a, ký hiệu
|
b a

Như vậy, theo ðịnh lý 1 ii), mọi phần tử
x X
∈
là ước của 0; nhưng do lạm dụng ngôn
ngữ, người ta ñịnh nghĩa:

- ðịnh nghĩa 3: Phần tử
0
a
≠
ñược gọi là ước của không, nếu có
0
b
≠
sao cho ab=0.
- Ví dụ: Trong vành
6
ℤ
ℤ
thì phần tử
2;3
là các ước của không, do
2.3 6 0
= =

- Chú ý: Trong vành không có ước của không, mọi phần tử khác không ñều là chính quy. Thật
vậy, quan hệ ab=ac tương ñương với quan hệ a(b - c)=0.
- ðịnh nghĩa 4: Ta gọi là miền nguyên, một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có
ñơn vị và không có ước của 0.
- Ví dụ: Vành các số nguyên
ℤ
là một miền nguyên.

2.1.3. Vành con
- ðịnh nghĩa 5: Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X ổn ñịnh ñối với hai phép toán

trong X nghĩa là x + y
A
∈
, x.y
A
∈
. A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai phép
toán cảm sinh trên A là một vành.
- ðịnh lý 2: Giả sử A là một bộ phận ổn ñịnh của vành X. Các ñiều sau là tương ñương:
(a) A là một vành con của X
(b) Với mọi x,y
A
∈
, x + y
A
∈
, xy
A
∈
,– x
A
∈

(c) Với mọi x,y
A
∈
, x – y
A
∈
.

- Ví dụ:
1) Bộ phận {0} chỉ gồm một phần tử 0 và bộ phận X là hai vành con của vành X.
22

2) Bộ phận
m
ℤ
gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một vành con
của vành các số nguyên
ℤ
.
- ðịnh lý 3: Giao của một họ bất kỳ những vành con của một vành X là một vành con của
vành X.

2.1.4. Iñêan và vành thương
- ðịnh nghĩa 6: Ta gọi là iñêan trái (iñêan phải) của một vành X, một vành con A của X thoả
mãn ñiều kiện xa
A
∈
(ax
A
∈
) với mọi x
X
∈
. Một vành con A của X ñược gọi là một iñêan
nếu nó vừa là iñêan trái vừa là iñêan phải của X.
Từ ñịnh nghĩa ta suy ra:
- ðịnh lý 4: Một bộ phận A khác rỗng của một vành X là một iñêan của X nếu và chỉ nếu các
ñiều kiện sau là thoả mãn:

(1)
a b A
− ∈
với mọi a,b
A
∈

(2) xa
A
∈
và ax
A
∈
với mọi a
A
∈
và mọi x
X
∈

- Ví dụ:
1) Bộ phận {0} và bộ phận X là hai iñean của vành X
2) Bộ phận
m
ℤ
gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một iñêan của
vành các số nguyên
ℤ
.
- ðịnh lý 5: Giao của một họ bất kỳ những iñêan của vành X là một iñêan của vành X là một

iñêan của X.

Giả sử U là một bộ phận của một vành X. Thế thì U chứa trong nó ít nhất một iñêan,
cụ thể là X. Theo ðịnh lý 5, giao A của tất cả các iñêan của X chứa U là một iñêan của X,
iñêan này ñược gọi là iñêan sinh bởi U; Nếu
1 2
{ ; ; ; }
n
U a a a
=
thì A ñược gọi là iñêan sinh
bởi các phần tử
1 2
; ; ;
n
a a a
. Iñêan sinh bởi một phần tử gọi là iñêan chính.
- ðịnh lý 6: Giả sử X là một vành giao hoán có ñơn vị và
1 2
; ; ;
n
a a a X
∈
. Bộ phận A của X
gồm các phần tử có dạng
1 1 2 2

n n
x a x a x a
+ + +

với
1 2
; ; ;
n
x x x X
∈
là iñêan của X sinh bởi
1 2
; ; ;
n
a a a
.
Từ ñịnh nghĩa ta suy ra:
- ðịnh lý 7: Nếu X là một vành có ñơn vị và nếu A là một iñêan của X chứa ñơn vị của X thì
A=X.

Bây giờ, ta xét một iñêan của vành A tuỳ ý của vành ña cho X. Vì A là một nhóm con
abel của nhóm cộng X, nhóm thương X/A là một nhóm abel hoàn toàn xác ñịnh (theo ch II,
2.2). Các phần tử của X/A là các lớp khác nhau x+A của A trong X. Ta trang bị cho X/A phép
toán nhân ñể nó trở thành một vành.
- ðịnh lý 8: Nếu A là một iñêan của vành X, thì:
(i) Lớp xy+A chỉ phụ thuộc vào các lớp x+A và y+A mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của
các phần tử ñại diện x, y của các lớp ñó.
23

(ii) X/A cùng với hai phép toán
( , )
( , )
x A y A x y A
x A y A xy A

+ + + +
+ + +
֏
֏

là m
ộ
t vành g
ọ
i là vành th
ươ
ng c
ủ
a X trên A.
- Ví dụ:
Vành th
ương của
ℤ
trên iñêan
n
ℤ
gọi là vành các số nguyên mod n. Phép cộng và
phép nhân trong
n
ℤ
ℤ
xác ñịnh bởi:
( ) ( )
( )( )
x n y n x y n

x n y n xy n
+ + + = + +
+ + = +
ℤ ℤ ℤ
ℤ ℤ ℤ

Ký hi
ệ
u
x n
+
ℤ
b
ằ
ng
x
.

2.1.5. ðồng cấu
- ðịnh nghĩa: Một ñồng cấu (vành) là một ánh xạ từ một vành X ñến một vành Y sao cho
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f a b f a f b
f ab f a f b
+ = +
=

v
ớ
i m

ọ
i
,
a b X
∈
. N
ế
u X=Y thì
ñồ
ng c
ấ
u f
ñượ
c g
ọ
i là t
ự

ñồ
ng c
ấ
u c
ủ
a X. N
ế
u f là
ñơ
n ánh,
toàn ánh, song ánh thì ta g
ọ

i là
ñơ
n c
ấ
u, toàn c
ấ
u,
ñẳ
ng c
ấ
u.
- Ví dụ:
1) Cho
A
là một vành con của vành X, ñơn ánh chính tắc
A X
a a
→
֏

là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc.
2) Ánh xạ ñồng nhất của một vành X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X.
3) Giả sử A là một iñêan của một vành X. Ánh xạ
:
X
h X
A
x x A
→
+

֏

là một ñồng cấu vành từ vành X ñến vành thương X/A. ðồng cấu này ñược gọi còn là một toàn
cấu, và ñược gọi là toàn cấu chính tắc.
4) Giả sử X và Y là hai vành, ánh xạ
0
X Y
x
→
֏

Với 0 là phần tử không của vành Y là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu không.

Dưới ñây chúng ta ñưa ra các ñịnh lý tương tự như trong nhóm mà việc chứng minh tương tự
áp dụng kết quả trong nhóm.
- ðịnh lý 9: Giả sử X, Y, Z là những vành,
: , :
f X Y g Y Z
→ →
là những ñồng cấu vành. Thế
thì ánh xạ tích
:
gf X Z
→

cũng là một ñồng cấu. ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu.
24

- ðịnh lý 10: Giả sử
:

f X Y
→
là một ñồng cấu vành từ vành X ñến vành Y. Thế thì
(i) f(0)=0
(ii) f(- x)= - f(x) với mọi
x X
∈

- ðịnh lý 11: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một vành X ñến một vành Y, A là một
vành con của vành X và B là một iñêan của vành Y. Thế thì:
(i) f(A) là một vành con của Y
(ii) f
-1
(B) là một iñêan của X.
- Hệ quả: Giả sử
:
f X Y
→
là một tự ñồng cấu từ một vành X ñến một vành Y. Thế thì Imf là
một vành con của Y, và Kerf là một iñêan của vành X.
- ðịnh lý 12: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một vành X ñến một vành Y. Thế thì:
(i) f là một ñơn cấu khi và chỉ khi Kerf={0}

(ii) f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf=Y
- ðịnh lý 13: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một vành X ñến một vành Y,
:
X
f X
Kerf
→
là toàn cấu chính tắc từ vành X ñến vành thương của X trên Kerf. Thế thì:
(i) Có một ñồng cấu duy nhất:
:
X
f Y
Kerf
→
sao cho tam giác

X f Y
p
f


X/Kerf

là giao hoán.
(ii) ðồng cầu
f

là một ñơn cấu và Im
f
=f(X).
- Hệ quả: Với mọi ñồng cấu
:
f X Y
→
từ một vành X ñến vành Y, ta có
( )
X
f X
Kerf
≃


2.2. Trường
2.2.1. Trường
- ðịnh nghĩa 1: Ta gọi là trường một miền nguyên X trong ñó mọi phần tử khác không ñều có
một nghịch ñảo trong vị nhóm nhân X.
- Nhận xét: Vậy, một vành giao hoán, có ñơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường khi
và chỉ khi X-{0} là một nhóm ñối với phép nhân của X.
- Ví dụ: Tập hợp các số hữu tỷ
ℚ
cùng với phép cộng và phép nhân các số lập thành một
trường. Ta cũng có trường các số thực
ℝ
và trường các số phức
ℂ
.

2.2.2. Trường con