ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH TOÁN HỌC 3 DÀNH CHO HỆ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VẬT LÝ

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 4
1.1. Đường cong trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4. Tích phân đường trong không gian . . . . 9
1.3. Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4. Tích phân đường loại hai trong không gian 12
1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân
đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. TÍCH PHÂN MẶT 22
2.1. Khái niệm về mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Cách tính tích phân mặt loại một . . . . . 26
2.4. Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2. Cách tính tích phân mặt loại hai . . . . . 29
Mục lục 3
2.4.3. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4. Công thức Gauss - Ostrogradski . . . . . . 35

Chương 3. ÁNH XẠ KHẢ VI 39
3.1. Cấu trúc không gian Banach - Mêtric trong R
n
. 39
3.1.1. Không gian Mêtric . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2. Sự hội tụ trong không gian mêtric . . . . . 40
3.1.3. Lân cận của một điểm . . . . . . . . . . . 40
3.1.4. Tập hợp mở và tập hợp đóng . . . . . . . 41
3.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . 42
3.2.2. Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . 44
3.2.3. Không gian các ánh xạ tuyến tính . . . . . 45
3.3. Ánh xạ khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1. Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 49
Chương 4. GIẢI TÍCH VECTƠ 57
4.1. Lý thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1. Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2. Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.3. Dạng véctơ của công thức Ostrogradski . . 59
4.1.4. Dạng véctơ của công thức Stokes . . . . . 59
4.1.5. Trường thế . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2. Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1. Khái niệm về dạng vi phân . . . . . . . . . 61
4.2.2. Biểu diễn tọa độ của dạng vi phân trên R
n
61
4.2.3. Thay biến trong dạng vi phân . . . . . . . 61
4.2.4. Vi phân ngoài dạng vi phân . . . . . . . . 62
Chương 1

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Mục tiêu
- Nắm được các kiến thức cơ bản về tích phân đường để học các
môn tiếp theo. Nắm được thế nào là tích phân đường loại
một, cách tính tích phân đường loại một? Tích phân đường
loại hai, cách tính tích phân đường loại hai?
- So sánh và rút ra được mối liên hệ giữa tích phân đường loại
một và tích phân đường loại hai.
- Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bài
toán phức tạp hơn về tích phân đường.
- Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng phát
hiện và giải quyết vấn đề.
1.1. Đường cong trong R
n
Cho x(t), y(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó tập
các điểm
L = {(x(t), y(t)); t ∈ [a, b]}
gọi là một đường cong (liên tục) trong mặt phẳng Oxy.
Ký hiệu A = (x(a), y(a)); B = (x(b), y(b)). Khi đó nếu t biến
thiên từ a tới b (ký hiệu t : a → b) thì A gọi là điểm đầu, B là
điểm cuối. Hệ

x = x(t)
y = y(t), t ∈ [a, b]
(1.1)
1.1. Đường cong trong R
n
5
gọi là phương trình tham số của đường cong L. Trong một số
trường hợp, có thể cho L dưới dạng

y = y(x), x : a → b hoặc x = x(y), y : c → d
Đường cong gọi là trơn nếu các hàm x(t), y(t) có các đạo hàm liên
tục không đồng thời bị triệt tiêu tại mọi t ∈ [a, b]. Đường cong
gọi là trơn từng khúc nếu nó gồm một số hữu hạn cung trơn.
Một đường cong gọi là khép kín hay đóng nếu các điểm đầu
và cuối trùng nhau. Một đường cong gọi là không có điểm tự cắt
nếu với mọi t
1
= t
2
∈ [a, b] đều có
(x(t
1
), y(t
1
)) = (x(t
2
), y(t
2
))
trừ trường hợp t
1
= a, t
2
= b.
Một đường cong không có điểm tự cắt gọi là chu tuyến.
Một chu tuyến đóng, trơn từng khúc γ giới hạn một miền D
đóng, bị chặn Dγ trong mặt phẳng Oxy. Miền Dγ xác định như
vậy gọi là miền đơn liên.
Nếu từ Dγ bỏ đi một số miền

D
γ
1
, D
γ
2
, . . . , D
γ
n−1
⊂ D
γ
thì
miền D thu được gọi là miền n−liên. Ta quy ước gọi chiều dương
biên của miền D là chiều mà đi trên biên theo chiều đó thì D nằm
về bên trái.
Tương tự, đường cong trong không gian Oxyz có phương trình
tham số là





x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
trong đó x(t), y(t), z(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
Vectơ τ = (x

(t), y


(t), z

(t)) là vectơ tiếp tuyến của đường cong
tại điểm có tọa độ (x(t), y(t), z(t)).
Giả sử L là đường cong trơn hay trơn từng khúc, có phương
trình tham số
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b]
Độ dài s của đường cong L được tính bởi công thức
s =

b
a

x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t)dt
6 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Biểu thức
ds =

x
2
(t) + y
2
(t) + z
2

(t)dt
được gọi là vi phân cung. Ta có
ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
1.2. Tích phân đường loại một
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số f(M) = f(x, y) xác định trên một cung phẳng

AB. Chia cung

AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A
0
=
A, A
1
, A
2
, . . . , A
n
= B. Gọi độ dài cung A
i−1
A
i
là ∆s

i
. Trên cung
A
i−1
A
i
lấy một điểm tùy ý M
i
(ζ
i
, η
i
).
Nếu khi cho n → ∞ sao cho max ∆s
i
→ 0, tổng
n

i=1
f(M
i
)∆s
i
dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia
cung AB và cách chọn điểm M
i
trên cung A
i−1
A
i

, thì giới hạn đó
được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x, y) dọc theo
cung AB và được ký hiệu là


AB
f(x, y)ds
Nếu tích phân ấy tồn tại thì ta nói rằng hàm số f(x, y) là khả
tích trên

AB
1.2.2. Tính chất
Độ dài cung không phụ thuộc vào hướng của cung, do đó từ
định nghĩa ta có


AB
f(x, y)ds =


BA
f(x, y)ds
Trường hợp f(x, y) = l với (x, y) ∈ L thì


AB
f(x, y)ds =


AB

ds = l
1.2. Tích phân đường loại một 7
Từ định nghĩa ta có tích phân đường loại một có các tính chất
như các tích phân của tích phân xác định.
Tính chất 1. Giả sử L là đường cong trơn hay trơn từng
khúc; f(x, y, z), g(x, y, z) là những hàm khả tích trên L.
Khi đó

L
[f(x, y, z) + g(x, y, z)] ds =

L
f(x, y, z)ds +

L
g(x, y, z)ds;

L
αf(x, y, z)ds = α

L
f(x, y, z)ds
Tính chất 2. Giả sử đường cong trơn hay trơn từng khúc

AB=

AC ∪

CB. Nếu f(x, y, z) là hàm khả tích trên các đường
cong


AC và

CB thì f(x, y, z) cũng khả tích trên

AB và ta có

AB
f(x, y, z)ds =

AC
f(x, y, z)ds +

CB
f(x, y, z)ds
1.2.3. Cách tính
Nếu đường cong L có phương trình
y = g(x), x ∈ [a, b]
trong đó g(x) là một hàm có đạo hàm liên tục trên [a, b] thì


AB
f(x, y)ds =

b
a
f(x, g(x))

1 + g
2

(x)dx
nếu L có phương trình tham số

x = x(t)
y = y(t), a ≤ t ≤ b
trong đó các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục thì


AB
f(x, y)ds =

b
a
f(x(t), y(t))

x
2
(t) + y
2
(t)dt
Ví dụ
8 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
1. Tính tích phân
I
1
=


OB
xdx

OB là cung parabol y = x
2
từ điểm O(0, 0) đến B(2, 4).
Ta có
I
1
=

2
0
x

1 + 4x
2
dx =
1
8

2
0
(1+4x
2
)
1
2
d(1+4x
2
) =
1
12

(17
√
17−1)
2. Tính tích phân
I
2
=

L

x
2
+ y
2
ds
L là đường tròn x
2
+ y
2
= ax
Phương trình của đường tròn có thể viết là

x −
a
2

2
+ y
2
=

a
2
4
vì vậy phương trình tham số của nó là
x =
a
2
(1 + cos t), y =
a
2
sin t), −π ≤ t ≤ π
Do đó
x
2
+ y
2
=
a
2
4
x
2
+ y
2
=
a
2
2
(1 + cos t) = a
2

cos
2
t
2

x
2
+ y
2
= a




cos
t
2




= a cos
t
2
, vì −
π
2
≤
t
2

≤
π
2
I
2
=
a
2
2

π
−π
cos
t
2
dt = a
2

π
0
cos
t
2
dt = 2a
2
sin
t
2
|
π

0
= 2a
2
3. Tính tích phân
I
3
=

L
(x
2
+ y
2
+ z
2
)ds
1.3. Tích phân đường loại hai 9
trong đó L là đường xoắn ốc có phương trình tham số
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π, a, b ≥ 0
Ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
(cos
2

t + sin
2
t) + b
2
t
2
= a
2
+ b
2
t
2
ds =

x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t)dt =

a
2
+ b
2
dt
Do đó
I
3

=

a
2
+ b
2

2π
0
(a
2
+ b
2
t
2
)dt = 2π

a
2
+ b
2

a
2
+
4
3
π
2
b

2

1.2.4. Tích phân đường trong không gian
Nếu đường cong AB nằm trong không gian Oxyz thì hoàn
toàn tương tự trong mặt phẳng, ta cũng có tích phân đường loại
một của hàm f(x, y, z) xác định trên cung AB và có công thức
tính như sau


AB
f(x, y, z)ds =

b
a
f(x(t), y(t), z(t))

x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t)dt
1.3. Tích phân đường loại hai
1.3.1. Định nghĩa
Cho đường cong L từ A đến B trong mặt phẳng Oxy và các
hàm P (x, y), Q(x, y) xác định trên L. Chia cung nhỏ AB thành
n cung nhỏ bởi các điểm A
0
= A, A

1
, A
2
, . . . , A
n
= B. Gọi hình
chiếu của vectơ
−−−−→
A
i−1
A
i
lên hai trục Ox, Oy là ∆x
i
, ∆y
i
; M
i
(ζ
i
, η
i
)
là một điểm tùy ý chọn trên cung A
i−1
A
i
. Nếu khi n → ∞ sao
cho max ∆x
i

→ 0, max ∆y
i
→ 0, tổng
n

i=1
[P (ζ
i
, η
i
)∆x
i
+ Q(ζ
i
, η
i
)∆y
i
]
dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung
AB và cách chọn điểm M
i
trên cung A
i−1
A
i
thì giới hạn đó được
10 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P (x, y), Q(x, y)
dọc theo cung AB và được ký hiệu là



AB
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy) (1.2)
Chú ý : Khác với tích phân đường loại một, trong tích phân
đường loại hai, chiều trên đường lấy tích phân đóng vai trò quan
trọng. Nếu ta đổi chiều trên đường lấy tích phân thì hình chiếu
của vectơ A
i−1
A
i
lên hai trục Ox, Oy đổi dấu, do đó


AB
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy) = −


BA
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy)
1.3.2. Tính chất
Tích phân đường loại hai có các tính chất như tích phân xác
định.
1.3.3. Cách tính
Giả sử cung AB được cho bởi phương trình tham số
x = x(t), y = y(t), t : a → b
các mút A, B ứng với giá trị t
A
, t
B

của tham số.
Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB. Khi đó
ta có


AB
P (x, y)dx =

t
B
t
A
P (x(t), y(t))x

(t)dt


AB
Q(x, y)dy =

t
B
t
A
Q(x(t), y(t))y

(t)dt
vậy



AB
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy) =

t
B
t
A
[P (x(t), y(t))x

(t) + Q(x(t), y(t))y

(t)] dt
(1.3)
Nếu cung AB được cho bởi phương trình y = y(x), a là hoành
độ của A, b là hoành độ của B, ta có


AB
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy) =

b
a
[P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y

(x)] dx
(1.4)
1.3. Tích phân đường loại hai 11
Ví dụ
1. Tính tích phân
I =



L
xdy − ydx
L là đường elip
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
Phương trình tham số của L là x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤
t ≤ 2π, chiều tăng của t ứng với chiều dương của L. Ta có
dx = −a sin tdt, dy = b cos tdt, do đó
I =

2π
0
[a cos t.b cos t −b sin t(−a sin t)] dt =

2π
0
abdt = 2πab
2. Tính
I =



L
(x − y)dx + (x + y)dy
L là đường nói điểm (0, 0) với điểm (1, 1) nếu L là:
- đường y = x
- đường y = x
2
- đường y =
√
x
Ta có
- Trên đường y = x, ta có dy = dx, do đó
I =

1
0
2xdx = 1
- Trên đường y = x
2
, ta có dy = 2dx, do đó
I =

1
0
(x + x
2
+ 2x
3
)dx =


x
2
2
+
x
3
3
+
x
4
2

|
1
0
=
4
3
- Trên đường y =
√
x, ta có x = y
2
, do đó dx = 2ydy, vậy
I =

1
0
(2y
3
− y

2
+ y)dy =

y
4
2
−
y
3
3
+
y
2
2

|
1
0
=
2
3
12 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
3. Tính
I =

L
(2xy − x
2
)dx + (x + y
2

)dy
L là cung của đường parabol y
2
= 1 − x từ điểm A(0, −1)
đến điểm B(0, 1)
Hình 1.1
Trên đường L, ta có x = 1 − y
2
, do đó dx = −2ydy, vì vậy
I =

1
−1
(2y
5
+ 4y
4
− 4y
3
− 4y
2
+ 2y + 1)dy =
= 2

1
0
(4y
4
− 4y
2

+ 1)dy = 2

4
y
5
5
− 4
y
3
3
+ y

|
1
0
=
14
15
1.3.4. Tích phân đường loại hai trong không gian
Cho các hàm ba biến P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định
trên cung đường cong AB có phương trình tham số
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t : a → b
Khi đó tích phân đường loại hai của các hàm P, Q, R trên
cung AB được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và
có công thức tính


AB
P dx + Qdy + Rdz =


b
a
[P (x(t), y(t), z(t))x

(t)+
1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai 13
+Q(x(t), y(t), z(t))y

(t) + R(x(t), y(t), z(t))z

(t)]dt
1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân
đường loại hai
Ký hiệu
−−→
MT là tiếp tuyến với cung đường cong AB tại điểm
M(x, y) theo hướng tăng của cung.
Gọi α là góc giữa trục Ox và
−−→
MT , α = α(x, y) cũng là một
hàm xác định trên AB
Vì
−→
ds = ds(cos α, sin α) = (dx, dy) nên ta có
dx = cos αds, dy = sin αds
Từ đó


AB
P dx + Qdy =



AB
(P cos α + Q sin α)ds
trong công thức này vế trái là tích phân đường loại hai còn vế
phải là tích phân đường loại một.
Cần chú ý rằng, trong công thức dẫn ra ở trên, góc α có liên
quan đến hướng của tiếp tuyến, có nghĩa là liên quan đến hướng
của đường cong.
Công thức trên vẫn còn đúng trong trường hợp (AB) là đường
cong trơn từng khúc.
Dễ thiết lập được công thức tương tự cho tích phân đường lấy
theo đường cong ghềnh. Kết quả ta có công thức

(AB)
P dx + Qdy + Rdz =

(AB)
(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds
trong đó cos α, cos β, cos γ là các cosin chỉ phương của tiếp tuyến
với giả thiết là hướng của nó ứng với hướng của đường cong.
1.5. Công thức Green
• Trong mục này ta sẽ xét trường hợp tích phân đường lấy
theo đường cong kín, nó đóng vai trò khá quan trọng trong
thực tiễn.
14 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Ta xét tích phân

L
(P dx + Qdy)

trong đó L là đường cong Jordan khả trường và được định
hướng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (hình vẽ)
Hình 1.2
Ta xét trong mặt phẳng xOy một miền (D) giới hạn trên và
giới hạn dưới tương ứng bởi các đường cong y = ϕ
2
(x) và
y = ϕ
1
(x) và hai bên sườn bởi các đường thẳng x = a, x = b.
Ta giả thiết rằng các hàm ϕ
1
(x), ϕ
2
(x) liên tục trên [a, b].
Giả sử P (x, y) là một hàm liên tục và có các đạo hàm riêng
liên tục ở trong và cả trên biên của miền (D). Trong những
điều kiện đó, tích phân hai lớp

(D)
∂P
∂y
dxdy
tồn tại và có thể biểu diễn dưới dạng

b
a


ϕ

2
(x)
ϕ
1
(x)
∂P
∂y
dy

dx
Chú ý rằng

ϕ
2
(x)
ϕ
1
(x)
∂P
∂y
dy = P [x, ϕ
2
(x)] − P [x, ϕ
1
(x)]
1.5. Công thức Green 15
ta thu được

(D)
∂P

∂y
dxdy =

b
a
P [x, ϕ
2
(x)]dx −

b
a
P [x, ϕ
1
(x)]dx
Theo định nghĩa của tích phân đường loại hai thì tích phân
thứ nhất ở vế phải của biểu thức trên là tích phân đường
của hàm P (x, y) lấy dọc theo cung (DC) của đường cong
y = ϕ
2
(x), tích phân thứ hai là tích phân của hàm P (x, y)
lấy dọc theo cung (AB) của đường cong y = ϕ
1
(x). Do đó

(D)
∂P
∂y
dxdy =

(DC)

P (x, y)dx −

(AB)
P (x, y)dx
= −

(CD)
P (x, y)dx −

(AB)
P (x, y)dx (1.5)
Chú ý rằng tích phân đường theo x của hàm P (x, y) lấy dọc
theo các đoạn thẳng AD, BC (theo mọi hướng) thì bằng 0.
Do đó ta viết lại 1.5 dưới dạng

(D)
∂P
∂y
dxdy = −

(AB)
P dx−

(BC)
P dx−

(CD)
P dx−

(DA)

P dx
hay

(D)
∂P
∂y
dxdy = −

(L)
P (x, y)dx (1.6)
trong đó (L) là chu tuyến của miền (D).
Bây giờ ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau và giả sử
Q(x, y) là hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
một miền (D) mới có dạng như hình sau.
Bằng lý luận và tính toán tương tự như đã làm đối với P ta
đi đến

(D)
∂Q
∂x
dxdy =

(L)
Q(x, y)dy (1.7)
Cuối cùng chúng ta hãy xét trường hợp miền (D) có dạng
ứng với các điều kiện của công thức 1.6 và cả các điều kiện
của công thức 1.7 (hình vẽ dưới đây)
16 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Hình 1.3
Hình 1.4

Giả sử P (x, y), Q(x, y) là các hàm số liên tục và có các đạo
hàm riêng liên tục ở trong và cả trên biên của miền (D). Khi
đó ta có đồng thời cả hai công thức (1.6) và (1.7). Từ đó dẫn
đến công thức sau đây:

(L)
(P dx + Qdy) =

(D)

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dxdy (1.8)
Hệ thức (1.8) thiết lập mối quan hệ giữa tích phân đường và
tích phân hai lớp. Nó được gọi là công thức Green.
Ví dụ: Tính
I =

L
(xarctgx + y
2
)dx + (x + 2xy + y
2
e
−y
)dy

L là đường tròn x
2
+ y
2
= 2y
1.5. Công thức Green 17
Áp dụng công thức Green, ta có
P = xarctgx + y
2
⇒
∂P
∂y
= 2y
Q = x + 2xy + y
2
e
−y
⇒
∂Q
∂x
= 2y + 1
do đó
I =

D

∂Q
∂x
−
∂P

∂y

dxdy =

D
dxdy = S
S là diện tích của miền D. Vì D là miền tròn có bán kính
bằng 1, nên I = S = π
• Công thức Green cho ta công thức tính diện tích hình phẳng
D nhờ vào tích phân đường loại hai như sau:
Lấy trong (1.8) các hàm P(x, y) = −y, Q(x, y) = x thì
∂P
∂y
=
−1,
∂Q
∂x
= 1
Suy ra: S =
1
2

L
xdy − ydx trong đó S là diện tích miền D.
Ví dụ 1: Tính diện tích ellip với các bán trục a, b.
Giải: Có thể coi ellip có phương trình
x
2
a
2

+
y
2
b
2
= 1 hay dạng
tham số:
x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
Khi đó ta có:
S =
1
2

L
xdy − ydx =
1
2

2π
0
(ab cos
2
t + ab sin
2
t)dt = πab
Ví dụ 2: Tính I =

L
(xarctgx+y
2

)dx+(x+2xy+y
2
e
−y
3
)dy;
L là biên nửa hình tròn cho bởi bất phương trình x
2
+ y
2
≤
2y, x > 0
Giải: Đường L cho trên hình vẽ đó là biên của nửa hình
tròn bán kính là 1. Đặt:
P = xarctgx + y
2
⇒
∂P
∂y
= 2y
18 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Hình 1.5
Q = x + 2xy + y
2
e
−y
3
⇒
∂Q
∂x

= 2y + 1
Vậy:
I =

D

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dxdy =

D
dxdy =
π
2
Ví dụ 3. Tính
J =

C
(xarctgx + y
2
)dx + (x + 2xy + y
2
e
−y
3
)dy

với C là nửa đường tròn bên phải đi từ gốc tọa độ đến
A(0, 2) : x
2
+ y
2
= 2y, x ≥ 0
Giải: Gọi L là đường cong gồm nửa đường tròn C và đoạn
OA. Rõ ràng:
I = J +


AO
(xarctgx + y
2
)dx + (x + 2xy + y
2
e
−y
3
)dy
trong đó I là tích phân của ví dụ 2 ở trên. Đoạn thẳng AO
có phương trình x = 0, 0 ≤ y ≤ 2 ⇒ dx = 0
Áp dụng công thức tính tích phân đường ta có:


AO
(xarctgx+y
2
)dx+(x+2xy +y
2

e
−y
3
)dy =

0
2
y
2
e
−y
3
dy =
= −
1
3

0
2
e
−y
3
d(−y
3
) = −
1
3
e
−y
3

|
0
2
= −
1
3

1
e
8
− 1

Vậy: J =
π
2
+
1
3

1 −
1
e
8

1.5. Công thức Green 19
BÀI TẬP
Bài 1: Tính các tích phân đường
1.

AB

, AB là đoạn thẳng nối hai điểm A(0, 0), B(4, 3)
2.

L
xyds, L là biên của hình chữ nhật
ABCD, A(0, 0), B(4, 0), C(4, 2), D(0, 2)
3.

L
(x
2
+ y
2
)ds, L là biên của hình tam giác OAB, với
O(0, 0), A(1, 1), B(−1, 1)
4.

L
(x
4
3
+ y
4
3
)ds, L là đường axtrôit x
2
3
+ y
2
3

= a
2
3
, (a > 0)
5.

L
xyds, L là cung đường elip
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 nằm trong góc
phần tư thứ nhất.
6.

L
√
2yds, L là đường x = t, y =
1
2
t
2
, z =
1

3
t
3
, 0 ≤ t ≤ 1.
7.

L
xyzds, L là đường x = t, y =
1
3
√
8t
3
, z =
1
2
t
2
, 0 ≤ t ≤ 1.
8.

L
x
2
ds, L là đường x
2
+ y
2
+ z
2

= a
2
, x + y + z = 0, (a > 0)
9.

L
zds, L là đường x
2
+ y
2
= z
2
, y
2
= ax từ điểm (0, 0, 0) đến
điểm (a, a, a
√
2), (a > 0)
Bài 2: Tính các tích phân đường.
1.

ABC
(x − y)
2
dx + (x + y)
2
dy, ABC là đường gấp khúc,
A(0, 0), B(2, 2), C(4, 0)
2.


L
ydx − (y + x
2
)dy, L là cung parabol y = 2x − x
2
nằm ở
trên trục Ox theo chiều kim đồng hồ.
3.

L
(x
2
+ y
2
)dx + (x
2
−y
2
)dy, L là đường y = 1 −|1 − x|, 0 ≤
x ≤ 2.
4.

L
(2a − y)dx + xdy, Là đường x = a(t − sin t), y = a(1 −
cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, (a > 0)
5.

L
(x + y)dx + (x − y)dy, L là đường elip
x

2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 chạy
ngược chiều kim đồng hồ.
20 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Bài 3: Tính trực tiếp các tích phân đường sau rồi kiểm tra lại
bằng công thức Green
1.

L
(2xy − x
2
)dx + (x + y
2
)dy, L là đường kín gồm hai cung
parabol y = x
2
và x = y
2
theo chiều dương.
2.

L
(2x

3
− y
3
)dx + (x
3
+ y
3
)dy, L là đường tròn x
2
+ y
2
= 1
theo chiều dương.
3.

OABO
(x
2
+ y
2
)dx + (x
2
− y
2
)dy, OABO là đường gấp khúc
kín với các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1).
Bài 4: Tính các tích phân đường
1.

ABC

2(x
2
+ y
2
)dx + (4y + 3)xdy, ABC là đường gấp khúc
với các đỉnh A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2)
2.

L
(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy, L là đường tròn x
2
+y
2
= ax
theo chiều dương (a > 0).
3.

L
(xy + e
x
sin x + x + y)dx + (xy − e
−y
+ x − sin y)dy, L là
đường tròn x
2
+ y
2
= 2x theo chiều dương.
Bài 5: Tích phân đường



1 −
y
2
x
2
cos
y
x

dx +

sin
y
x
+
y
x
cos
y
x

dy
có phụ thuộc đường lấy tích phân không? Tính tích phân ấy từ
điểm A(1, π) đến điểm B(2, π) theo một đường không cắt trục
Oy.
Bài 6: Tính các tích phân đường
1.

L

(y
2
− z
2
)dx + 2yzdy − x
2
dz, C là đường x = t, y = t
2
, z =
t
3
, (0 ≤ t ≤ 1) theo chiều tăng của tham số t.
2.

L
ydx + zdy + xdz, L là đường đinh ốc.
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, (0 ≤ t ≤ 2π) theo chiều tăng
của tham số.
1.5. Công thức Green 21
3.

L
(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, L là đường tròn x
2
+
y
2
+ z
2
= a

2
, y = xtgα, theo chiều dương nếu nhìn từ hướng
x > 0
4.

L
zdx+xdy+ydz, L là đường tròn x
2
+y
2
+z
2
= 1, x+z = 1,
theo chiều dương nếu mặt phẳng x + z = 1 được định hướng
bởi vectơ pháp (1, 0, 1).
Chương 2
TÍCH PHÂN MẶT
Mục tiêu
- Giúp sinh viên nắm được các khái niệm cơ bản như mặt cong
trong R
3
, định hướng mặt cong, mặt pháp tuyến, mặt tiếp
tuyến
- Sinh viên nắm được khái niệm về tích phân mặt loại một, tích
phân mặt loại hai và cách tính chúng.
- Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bài
toán phức tạp hơn về tích phân đường.
- Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng phát
hiện và giải quyết vấn đề.
2.1. Khái niệm về mặt cong

Giả sử D là một tập đo được theo Jordan có phần trong
o
D = ∅
trong mặt phẳng R
2
,
γ : D → R
3
(u, v) → γ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
là một ánh xạ liên tục. Ký hiệu S = γ(
o
D) ⊂ R
3
Tập S được gọi là một mặt cong; ánh xạ γ được gọi là một biểu
diễn tham số hay là một phép tham số hóa của mặt cong S, hay
nói cách khác: hệ phương trình:





x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v) (u, v) ∈ D
2.2. Định hướng mặt cong 23
là hệ phương trình tham số của mặt cong S.
Mặt cong S được gọi là mặt cong trơn nếu ánh xạ: γ :
o
D → S
là ánh xạ 1 − 1, khả vi liên tục và


x

u
y

u
z

u
x

v
y

v
z

v

có hạng bằng 2
với ∀(u, v) ∈
o
D
Mặt cong S được gọi là mặt cong trơn từng mảnh nếu miền
D có thể chia thành một số hữu hạn các miền con D
1
, D
2
, , D

k
sao cho
o
D
i
∩
o
D
j
= ∅; D = ∪
k
i=1
D
i
và S
i
= γ(
o
D
i
) là những mặt cong trơn (i = 1, 2, , k)
2.2. Định hướng mặt cong
• Mặt một phía và mặt hai phía
Giả sử S là mặt cong trơn trong R
3
có phương trình tham
số:
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D
trong đó x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) là các hàm khả
vi liên tục trong

o
D và hạng

x

u
y

u
z

u
x

v
y

v
z

v

= 2, (u, v) ∈
o
D
Như vậy tại mỗi điểm M(x, y, z) ∈ S có pháp tuyến xác định
bởi véctơ chỉ phương là:
−→
N =


D(y, z)
D(u, v)
,
D(z, x)
D(u, v)
,
D(x, y)
D(u, v)

=
−→
θ
Khi điểm M(x, y, z) biến thiên liên tục trên mặt S thì pháp
tuyến
−→
N cũng biến thiên liên tục.
Giả sử M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ∈ S là một đường cong kín nằm hoàn
toàn trên mặt cong S, đi qua điểm M
0
.
Ta ký hiệu
−→

n
0
là một vecto pháp tuyến của mặt S, tại M
0
và
−→
n =
−→
n (M) là vecto pháp tuyến của mặt S tại điểm M ∈ l
sao cho
−→
n =
−→
n (M
0
)
24 TÍCH PHÂN MẶT
Hình 2.1
Cho điểm M biến thiên liên tục trên đường cong l bắt đầu
từ điểm M
0
sau đó trở về điểm M
0
. Khi đó vecto pháp tuyến
−→
n (M) cũng biến thiên liên tục bắt đầu từ vị trí
−→
n
0
, khi điểm

M chạy đủ một vòng trên đường cong l, trở về điểm M
0
, thì
vecto
−→
n (M) cũng chạy đủ một vòng, khi trở về điểm M
0
thì
trở thành điểm vecto
−→
n

(M
0
).
Có thể có hai khả năng xảy ra: hoặc
−→
n

(M
0
) =
−→
n (M
0
) =
−→
n
0
,

hoặc
−→
n

(M
0
) = −
−→
n (M
0
) = −
−→
n
0
.
Khả năng thứ hai xảy ra có nghĩa là khi trở về điểm M
0
thì
vecto pháp tuyến đổi hướng. Từ đó ta đi đến phân loại các
mặt cong như sau:
Trường hợp 1: Nếu với bất kỳ điểm M
0
∈ S, với mọi đường
cong kín l nằm hoàn toàn trên mặt S, đi qua điểm M
0
. Cho
điểm M chạy liên tục trên đường cong l bắt đầu từ điểm M
0
,
rồi trở về điểm M

0
, vecto pháp tuyến
−→
n (M), cũng chạy đủ
một vòng, khi trở về điểm M
0
thì
−→
n

(M
0
) =
−→
n
0
. Trong trường
hợp này ta nói mặt cong S là mặt hai phía hay là mặt định
hướng được.
Trường hợp 2:Tồn tại dù chỉ một điểm M
0
∈ S và dù chỉ
một đường cong kín l
0
nằm hoàn toàn trên mặt S, đi qua
điểm M
0
, nếu cho điểm M biến thiên liên tục trên đường
cong l
0

bắt đầu từ điểm M
0
, thì vecto pháp tuyến
−→
n (M)
cũng biến thiên liên tục, nhưng khi trở về điểm M
0
,
−→
n (M)
trở thành vecto
−→
n

(M
0
) = −
−→
n
0
. Trường hợp này, ta nói S
là mặt cong một phía, hay là mặt cong không định hướng
được.
• Định hướng mặt cong
2.3. Tích phân mặt loại 1 25
Giả sử S là mặt cong trơn hai phía. Khi đó tại mỗi điểm M
thuộc mặt S có hai vecto pháp tuyến xác định, ngược chiều
nhau. Nếu ta chọn một hướng của pháp tuyến là hướng dương
thì hướng ngược lại là hướng âm. Ta gọi việc chọn hướng
dương của vecto pháp tuyến là chọn hướng dương của mặt

S. Tại mỗi điểm có hai cách chọn hướng dương của vecto
pháp tuyến nên cũng có hai cách chọn hướng dương của mặt
hai phía.
• Biểu diễn tham số phù hợp với định hướng của mặt
Cho S là mặt cong trơn, hai phía được định hướng dương
bởi pháp tuyến
−→
n của mặt S. Ta xét biểu diễn tham số của
mặt S





x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v) , (u, v) ∈ D
Khi đó vecto
−→
N =

D(y, z)
D(u, v)
,
D(z, x)
D(u, v)
,
D(x, y)
D(u, v)


là vecto pháp tuyến có hướng hoàn toàn xác định của mặt S
tại điểm M có tọa độ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Nếu vecto
−→
N cùng hướng với vecto
−→
n định hướng dương của
mặt S thì ta nói vecto
−→
N =

D(y,z)
D(u,v)
,
D(z,x)
D(u,v)
,
D(x,y)
D(u,v)

phù hợp
với hướng dương của mặt S.
2.3. Tích phân mặt loại 1
2.3.1. Định nghĩa
Cho một mặt cong S và một hàm số f(M) = f(x, y, z) xác
định trên S. Chia S thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích
của các mảnh ấy là ∆S
1
, ∆S
2

, . . . , ∆S
n
. Trong mỗi mảnh ∆S
i
lấy
một điểm tùy ý M
i
(ξ
i
, η
i
, ζ
i
).
Nếu khi n → ∞ sao cho maxd
i
→ 0, d
i
là đường kính của ∆S
i
,
tổng

n
i=1
f(M
i
).∆S
i
dần tới một giới hạn xác định không phụ

26 TÍCH PHÂN MẶT
thuộc cách chia mặt S và cách lấy điểm M
i
trên ∆S
i
thì giới hạn
đó được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x, y, z) trên
mặt S và được ký hiệu là

S
f(x, y, z)dS
Nếu mặt S trơn (tức là liên tục và có pháp tuyến biến thiên
liên tục) và nếu hàm số f(x, y, z) liên tục trên mặt S thì tồn tại
tích phân

S
f(x, y, z)dS.
Nếu mặt S có khối lượng riêng tại M(x, y, z) là ρ(x, y, z) thì
khối lượng của mặt S bằng

S
ρ(x, y, z)dS
Tích phân mặt

S
dS cho ta diện tích của mặt S
Tích phân mặt loại một có các tính chất giống như tích phân
kép.
2.3.2. Cách tính tích phân mặt loại một
Giả sử mặt S được cho bởi phương trình z = z(x, y), trong

đó z(x, y) là một hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng p =
z

x
(x, y), q = z

y
(x, y) liên tục trong một miền đóng giới nội D,
hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy. Cho hàm số f(x, y, z) liên
tục trên mặt S. Chia S thành n miền nhỏ ∆S
1
, ∆S
2
, . . . , ∆S
n
.
M
i
(ξ
i
, η
i
, z(ξ
i
, η
i
)) là một điểm tùy ý chọn trên ∆S
i
. Gọi ∆σ
i

là
hình chiếu của ∆S
i
lên mặt phảng Oxy. Nếu đường kính của ∆S
i
khá nhỏ, có thể xấp xỉ ∆S
i
bởi mảnh ∆T
i
của tiếp diện của mặt
S tại M
i
mà hình chiếu của nó lên mặt phẳng xOy cũng là ∆σ
i
.
Do đó
∆S
i
=

1 + p
2
i
+ q
2
i
.∆σ
i
trong đó p
i

= z

x
(ξ
i
, η
i
), q
i
= z

y
(ξ
i
, η
i
). Vậy
n

i=1
f(M
i
)∆S
i
≈
n

i=1
f(ξ
i

, η
i
, z(ξ
i
, η
i
)).

1 + p
2
i
+ q
2
i
.∆σ
i
Vế phải là tổng tích phân của hàm số
(x, y) → f(x, y, z(x, y)).

1 + z
2
x
(x, y) + z
2
y
(x, y)