Bài tập nâng cao hình học lớp 8 Tập 1 2014

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
• TỨ GIÁC
1.Cho tứ giác ABCD biết số đo của các góc A; B; C; D tỉ lệ thuận với 5;
8; 13 và 10.
a/ Tính số đo các góc của tứ giác ABCD.
b/ Kéo dài hai cạnh AB và DC cắt nhau ở E, kéo dài hai cạnh AD
và BC cắt nhau ở F. Hai tia phân giác của các góc AED và góc AFB cắt
nhau ở O. Phân giác của góc AFB cắt các cạnh CD và AB tại M và N.
Chứng minh O là trung điểm của đoạn MN.
2. Tứ giác ABCD có
∧
B
+
∧
D
= 180
o
, AC là tia phân giác của góc A.
Chứng minh rằng CB = CD.
3. Cho tứ giác ABCD, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, hai
đường thẳng AB và DC cắt nhau tại E. Các tia phân giác của hai góc
AEB và AED cắt nhau tại I.
Tính góc EIF theo góc A và C của tứ giác ABCD.
4. Chứng minh rằng trong một tứ giác thì:
a. Tổng độ dài 2 cạnh đối diện nhỏ hơn tổng độ dài hai đường chéo.
b. Tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác
• HÌNH THANG
1. Cho hình thang ABCD ( AB//CD).
a/ Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng
đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy.

b/ Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của
hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC.
2. Cho hình thang ABCD có đáy CD > đáy AB. CMR:
∧
A
+
∧
B
>
∧
C
+
∧
D


1
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
3. Cho hình thang ABCD có
∧
A
=
∧
B
= 90
o
và BC = AB =
2
AD

. Lấy M thuộc
đáy nhỏ BC. Kẻ Mx ⊥ MA, Mx cắt CD tại N.
Chứng minh rằng: ∆AMN vuông cân.

• HÌNH THANG CÂN
1. Cho ∆ABC cân ở A. Gọi I là một điểm bất kỳ thuộc đường cao AH.
Gọi D là giao điểm của BI và AC. E là giao điểm của CI và AB.
a. CMR: AD = AE
b. Xác định dạng của BECD
c. Xác định vị trí của I để BE = ED = DC
2. Cho ∆ABC đều. M là điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: Độ
dài của các đoạn thẳng MA, MB, MC bằng độ dài các cạnh của 1 tam
giác nào đó.
3. Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy. Tính góc tạo
bởi hai đường chéo hình thang đó
• ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
1. Cho ∆ABC, trên tia BA lấy D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia
CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE
cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: DI =
3
DE
2. Tứ giác ABCD có góc C = 40
o
, góc D = 80
o
, AD = BC. Gọi E, F thứ tự
là trung điểm của AB và CD. Tính góc nhọn tạo bởi đường thẳng FE với
các đường thẳng AD và BC.
3. Cho A, B, C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d (AB > AC). Trên
cùng nửa mặt phẳng bờ là d, vẽ các tam giác đều AMB và BNC. Gọi P,

Q, R, S thứ tự là trung điểm của BM, CM, BN, AN. Chứng minh:
2
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
a. PQRS là hình thang cân.
b. SQ =
2
1
MN
• ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
1. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các
đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10 cm.
2. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d đi qua G cắt các
đoạn thẳng AB,AC. Gọi A’, B’. C’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên
d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’.
3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d nằm ngoài tam
giác ABC. Gọi A’, B’. C’, G’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm
liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’.
• ĐỐI XỨNG TRỤC
1.Cho
∆
ABC , các phân giác BM và CN cắt nhau tại I . Từ A hạ các đường vuông
góc với BM và CN, chúng cắt BC thứ tự ở E và F. Gọi I’ là hình chiếu của I trên
BC. Chứng minh rằng :E và F đối xứng nhau qua I I’.
2. Cho
∆
ABC, Cx là phân giác ngoài của góc C.Trên Cx lấy M( khác C). Chứng
minh rằng : MA + MB > CA + CB
3. Cho góc nhọn xOy và điểm A trong góc đó . Tìm trên Ox điểm B và
trên Oy điểm C sao cho chu vi

∆
ABC là nhỏ nhất.
• HÌNH BÌNH HÀNH
1. Cho tứ giác ABC, gọi E, F là trung điểm của AB và CD; M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm các đoạn AF, CE, BF và DE. C Chứng minh rằng
MNPQ là hình bình hành.
3
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
2. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao
cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm
của DE và AB. Chứng minh rằng:
a. M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB.
b. EMFN là hình bình hành.
3. Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE vuông góc
với AB. Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE;
MF cắt BC tại N.
a. Tứ giác MNCD là hình gì ?
b. Tam giác EMC là tam giác gì ?
c. Chứng minh rằng:
∧
BAD
= 2
∧
AEM
4. Cho hình thang vuông ABCD, có
∧
A
=
∧

B
= 90
o
và AD = 2BC. Kẻ AH
vuông góc với BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD. Chứng
minh rằng: CI ⊥ AI
5. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác.
Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N
lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng: Các
đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui.
• ĐỐI XỨNG TÂM
1. Cho tam giác ABC, H là trực tâm, I là giao điểm các đường trung trực.
K là điểm đối xứng với H qua trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh:
K đối xứng với A qua I.
2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD. Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF.
a. Chứng minh E đối xứng với F qua O
b. Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K.
4
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
Chứng minh rằng: EF = FK; I và K đối xứng với nhau qua O.
3. Cho tam giác ABC. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua C, B' là điểm
đối xứng với B qua A; C' là điểm đối xứng với C qua B. Gọi BM là trung
tuyến của tam giác ABC; B'M' là trung tuyến của tam giác A'B'C'.
a. Chứng minh rằng ABM'M là hình bình hành.
b. Gọi G là giao điểm của BM và B'M'. Chứng minh rằng G là trọng
tâm của hai tam giác ABC và tam giác A'B'C'.
• HÌNH CHỮ NHẬT
1.Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. AH đường cao, trên tia HC

lấy HD = HA, đường vuông góc BC tại D cắt AC ở E .
a/ Chứng minh AE = AB.
b/ Gọi M trung điểm BE . Tính số đo góc AHM ?
2. Cho tam giác ABC vuông tại A và AC = 3AB. Trên cạnh góc vuông
AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Tính
∧
ACB
+
∧
AEB
.
3. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH ⊥ BD. Trung điểm của DH là I. Nối
AI. Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC ở K. Chứng minh
K là trung điểm cạnh BC
4. Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường
chéo BD, trên tia đối của EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK
lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác AHFK là hình chữ nhật
b. AF song song với BD và KH song song với AC
c. Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

5
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
5. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC và CA. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm
các đoạn HA, HB và HC.
a. Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật.
b. Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì tam giác ABC phải là
tam giác gì?

• ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
CHO TRƯỚC
1.Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc cạnh Ox. Một điểm M chạy trên
Oy . Dựng tam giác AMN vuông cân ở A .Tìm tập hợp các đỉnh N.
2. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C chuyển động trên đoạn thẳng đó.
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB , vẽ hai tam giác đều ACE, BCD.
Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn DE
• HÌNH THOI
1. Hình thoi ABCD có
∧
A
= 60
o
. Trên AD và CD lấy các điểm M, N sao
cho AM + CN = AD. Gọi P là điểm đối xứng của N qua BC, MP cắt BC
tại Q. Tứ giác MDCQ là hình gì ? Vì sao ?
2. Cho P là một điểm chuyển động trong tam giác ABC sao cho
∧
PBA
=
∧
PCA
. Hạ PM ⊥ AB; PN ⊥ AC (M ∈ AB; N ∈ AC). Gọi K, S là hai đỉnh
khác của hình thoi KMSN. Chứng minh KS đi qua một điểm cố định.
3. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường
thẳng d
1
và d
2
cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d

1
cắt
các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d
2
cắt các cạnh BC và AD ở
N và Q. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
6
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
• HÌNH VUÔNG
1. Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông
ABCD và ACEF. Gọi Q, N lần lượt là giao điểm các đường chéo của
ABCD và ACEF; M, P lần lượt là trung điểm BC và DF. Chứng minh
rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
2. Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông
ABCD và ACEF. Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF tại E. Chứng
minh rằng DI = IF
3.Cho hình vuông ABCD. Trên CD lấy M. Tia phân giác của
∧
ABM
cắt
AD ở I. Chứng minh rằng BI ≤ 2 MI.
4. Cho hình vuông ABCD. Lấy E thuộc đường chéo AC. Kẻ EF ⊥AD;
EG ⊥ CD
a. Chứng minh rằng EB = FG ; và EB ⊥ FG
b. Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui.
5. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG, vẽ
hình bình hành EAGH. Chứng minh rằng:
a. AK = BC
b. AH ⊥ BC

c. Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui
• ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU
1. Tính số cạnh của một đa giác biết rằng tất cả các góc của đa giác bằng
nhau và tổng của tất cả các góc ngoài với một trong các góc của đa giác
có số đo bằng 468
o
.
2. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MN và
PQ. Chứng minh rằng HK // AE và HK =
4
AE
(M, N, P, Q thứ tự là trung
điểm AB, CD, BC, ED)
7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
3. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của
CD, DE và I là giao điểm của AM và BN.
a. Tính
∧
AIB
b. Tính
∧
OID
(O là tâm của lục giác đều)
• DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT
1.Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 4cm. Trên cạnh AD
dựng tam giác ADE sao cho AE và DE cắt cạnh BC lần lượt tại M và N
và M là trung điểm của đoạn thẳng AE. Tính diện tích tam giác ADE
2.Tính diện tích hình chữ nhật biết rằng trong hình chữ nhật có một diểm

M các
3.Cho hình chữ nhật ABCD, E là điểm tuỳ ý trên AB. Chứng minh rằng:
S
ABCD
= 2S
ECD
.
• DIỆN TÍCH TAM GIÁC
1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, BC = 3cm. Trên DC lấy điểm
M sao cho MC = 2cm, điểm N thuộc cạnh AB. Tính diện tích tam giác
CMN
2. Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G.
So sánh diện tích tam giác GEC và tam giác ABC
3. Một điểm D thuộc cạnh AB của tam giác ABC. Dựng qua D một
đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
4. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Tìm tỉ số
5. a/ Chứng minh rằng các đường trung tuyến của tam giác chia tam giác
thành 6 phần có diện tích bằng nhau.
b/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì S
GAB
= S
GAC
= S
GBC
.
8
ABCD
MCD
S
S

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
6. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Trên cạnh AB, AC, BC và ở
phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABED, ACPQ và BCMN.
Đường cao AH thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABC cắt MN tại F.
Chứng minh:
a/ S
BHFN
= S
ABED
, từ đó suy ra AB
2
= BC.BH
b/ S
HCMF
= S
ACPQ
, từ đó suy ra AC
2
= BC.HC
7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK. Gọi B', C'
là hình chiếu của B, C trên đường thẳng HK. Chứng minh rằng:
a. B'K = C'H
b. S
BKC
+ S
BHC
= S
BB'C’C
• DIỆN TÍCH HÌNH THANG

1. a/Tính diện tích hình thang cân có đường cao h và các đường chéo
vuông góc với nhau.
b/ Hai đường chéo của hình thang cân vuông góc với nhau còn tổng hai
cạnh đáy bằng 2a. Tính diện tích của hình thang.
2. Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia
đối của tia DA lấy điểm K. Đường thẳng ED cắt KB tại O. Chứng minh
rằng diện tích tứ giác ABOD và CEOK bằng nhau.
• DIỆN TÍCH HÌNH THOI
1. Đường chéo của hình thoi bằng 18 cm; 24cm. Tính chu vi hình thoi và
khoảng cách giữa các cạnh song song.
2. Diện tích của một hình thoi là 540dm
2
. Một trong những đường chéo
của nó bằng 4,5dm. Tính khoảng cách giao điểm của các đường chéo đến
các cạnh.

9
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
3.Chứng minh rằng diện tích của một tam giác nội tiếp trong hình bình
hành (tức là tam giác có 3 đỉnh nằm trên các cạnh của tam giác) không
lớn hơn nửa diện tích hình bình hành.
4.Cho hình bình hành ABCD và điểm M cố định trên cạnh BC.N là điểm
tuỳ ý trên cạnh AD. Gọi R là giao điểm của AM, BN; S là giao điểm của
MD và NC. Xác địnhvị trí của N để S
MRNS
đạt giá trị lớn nhất.
5. Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia
đối của tia DA lấy điểm K. Đường thẳng ED cắt KB tại O. Chứng minh
rằng diện tích tứ giác ABOD và CEOK bằng nhau.

• DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
1.Cho hình bình hành ABCD. Từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD tại M
(M nằm giữa C và D). Từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh CB tại điểm N (N
nằm giữa B và C); BM và DN cắt nhau tại I. Biết BM = ND
a/ Chứng minh diện tích tam giác ABM bằng diện tích tam giác AND
b/ Chứng minh IA là phân giác của góc BID
2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA. Nối AQ và RB cắt nhau ở điểm I, nối AQ và
DP cắt nhau ở K, CS cắt DP ở N và CS cắt RB ở M.
a/ Chứng minh tứ giác MNIK là hình bình hành.
b/ Chứng minh
AQ
5
2
KI =
và
DP
5
2
KN =
c/ Chứng minh diện tích hình bình hành MNKI bằng
5
1
diện tích
hình bình hành ABCD.
10
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
• ÔN TẬP HỌC KỲ I
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là

trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I.
a/ Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao?
b/ Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao?
c/ Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AMCK là hình vuông.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 225cm
2
. Lấy điểm E trên
cạnh AD sao cho DE=10cm. Nối EC. Qua C, dựng CF ⊥EC (F thuộc
AB).
a/ Tính S
ABCE
b/Tính S
BCF
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với
BC và CD tại E và F.
a/ Chứng minh
BC
AB
AF
AE
=
b/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh S
ABCD
=2S
AMCN
Bài 4: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ
đường thẳng qua B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song
song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K.
a/ Tứ giác OBKC là hình gì? Vì sao?

b/ Chứng minh rằng AB = OK
c/ Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình
vuông.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và Â = 60
0
. Gọi E, F
theo thứ tự là trung điểm của BC, AD.
a/ Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao?
b/ Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?
11
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
c/ Tính số đo của AÊD.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, kẻ CM ⊥ AB tại M và DN ⊥ BC ở N.
Biết BC = 12cm, CM = 9cm, DN = 15cm. Tính DC.
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4cm, BC = 3cm. Kẻ các
tia phân giác của các góc trong, chúng cắt nhau ở M, N, P, Q.
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
b/ Tính diện tích hình vuông MNPQ.
Bài 8: Cho tam giác đều ABC
a/ Chứng minh 3 đường cao của tam giác đó bằng nhau
b/ Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ điểm D bất kỳ thuộc
miền trong của tam giác đều đó đến các cạnh của tam giác không phụ
thuộc vào vị trí của D.
Bài 9: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH, O là trung
điểm của AH. Tia BO cắt AC tại D, tia CO cắt AB ở E. Tính tỉ số diện
tích tứ giác ADOE và diện tích tam giác ABC.
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD
tại M (M nằm giữa C và D). Từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh CB tại điểm
N (N nằm giữa B và C); BM và DN cắt nhau tại I. Biết BM = ND

a/ Chứng minh diện tích tam giác ABM bằng diện tích tam giác
AND
b/ Chứng minh IA là phân giác của góc BID
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD, DA. Nối AQ và RB cắt nhau ở điểm I, nối AQ
và DP cắt nhau ở K, CS cắt DP ở N và CS cắt RB ở M.
a/ Chứng minh tứ giác MNIK là hình bình hành.
b/ Chứng minh
AQ
5
2
KI
=
và
DP
5
2
KN
=
12
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 8 TẬP I
GV Tôn Nữ Bích Vân
c/ Chứng minh diện tích hình bình hành MNKI bằng
5
1
diện tích
hình bình hành ABCD.
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD và điểm O tùy ý thuộc miền trong của
hình bình hành. Nối OA, OB, OC, OD. Chứng minh: S
OAB

+ S
OCD
= S
OAD
+
S
OBC
13