Tóm tắt chương trình Toán ôn thi Đại Học

Trang 1
I- GIẢI TÍCH TỔ HP

1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường
hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một
trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi
cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó,
tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau.
Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách
chọn :
)!kn(!k
!
n
C
k
n



6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào
k chỗ khác nhau số cách :
 

k k k
n n n k
n!
A , A C .P
(n k)!

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò
7. Tam giác Pascal :
1


4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1

3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C

1

1


1

2

1


1

3

3

1


1

4

6

4

1



Tính chất :


Trang 2

k

1n
k
n
1k
n
k
n
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC






8. Nhò thức Newton :
*
n0n
n
11n1
n
0n0
n

n
baC baCbaC)ba( 


a = b = 1 :
0 1 n n
n n n
C C C 2
   

Với a, b  {1, 2, }, ta chứng minh được nhiều
đẳng thức chứa :

n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
*
nn
n
1n1
n
n0
n
n
xC xaCaC)xa( 


Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa
n
n
1
n
0
n
C, ,C,C

bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, a = 1, 2,
- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2,
, a = 1, 2,
- Cho a = 1, 2, ,


2
0
1
0
hay
hay




Chú ý :

* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
k n k k m
n
C a b Kx



Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

m r
k n k k
p q
n
C a b Kc d


Giải hệ pt :





Zq/r
Z
p

/
m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa C,A
k
n
k
n
: đặt điều kiện k, n  N
*
, k 
n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số,
đặt thừa số chung.


Trang 3
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò
(xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp
(bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng
lắp hoặc thiếu trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi
chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính
chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng
đầu (tính từ trái sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :

- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số
chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành
số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1. Chuyển vế : a + b = c  a = c – b; ab = c 










b/ca
0b
0
c
b

Trang 40
đường thẳng trong không gian (d) = (P)  (Q); đường tròn
trong không gian (C) = (P)  (S).
* Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa
độ.

HÀ VĂN CHƯƠNG- PHẠM HỒNG DANH-NGUYỄN
VĂN NHÂN.
(TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN)



Trang 39
2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ số của y trong
(d)); tham số tiêu : p.
(P) : y
2
= – 2px (p > 0) (phương trình không
chính tắc).
tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua
tiêu MF = p/2 – x
M
; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại
M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0  pB
2
=
– 2AC.
(P) : x
2
= 2py (p > 0) (phương trình không chính

tắc).
tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua
tiêu MF = p/2 + y
M
; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại
M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0  pA
2
=
2BC (p : hệ số của y trong (P) đi với A : hệ số của x trong
(d)).
(P) : x
2
= – 2py (p > 0) (phương trình không
chính tắc).
tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua
tiêu MF = p/2 – y
M
; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại
M : phân đôi tọa độ;
(P) tx (d) : Ax + By + C = 0  pA
2
= – 2BC .
CHÚ Ý :
* Cần có quan điểm giải tích khi làm toán hình giải tích :
đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm trong mp M(x
o
,y
o
) : 2 ẩn ;
điểm trong không gian (3 ẩn); đường thẳng trong mp Ax

+ By + C = 0 : 3 ẩn A, B, C - thực ra là 2 ẩn; đường tròn :
3 ẩn a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 ẩn a, b và cần biết dạng ;
(H) : như (E); (P) : 1 ẩn p và cần biết dạng; mp (P) : 4 ẩn
A, B, C, D; mặt cầu (S) : 4 ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D;


Trang 4
a/b = c 





0b
bc
a
;
1n2
1n2
baba




2n
2n
2n 2n
b a
a b a b, a b
a 0



     













a
bbloga,
0a
a
b
ba















b/ca
0b
b/ca
0b
0
c
,
0
b
cab;bcacba
2. Giao nghiệm :














}b,amin{x
bx
a
x
;}b,amax{x
bx
a
x






   


 
 
 







p
x a p qa x b(nếua b)
;

x b
VN(nếua b)
q

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất
phải đặt điều kiện.













22
ba0
0
b
ba,
ba
0
b
ba













2
ba
0
b
0a
0
b
ba

)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab



b.
.

: phá
.
bằng cách bình phương :
2
2
aa  hay bằng đònh
nghóa :

)0anếu(a
)
0
a
nếu
(
a
a






Trang 5
baba;
ba
0
b
ba 








a b b a b
    


b 0
a b b 0hay
a b a b


  

   


0baba
22

c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay
x


0 m / n m m n m n
n
m n m n m n m.n n n n
n n n m n

a 1; a 1/ a ; a .a a
a /a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
 

  
  
      







a
log
nm
a,
)1a0nếu(nm
)
1
a
nếu
(
n
m
aa

d. log : y = log

a
x , x > 0 , 0 < a  1, y  R
y nếu a > 1, y nếu 0 < a < 1,  = log
a
a


log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N (

)
log
a
(M/N) = log
a
M – log
a
N (

)

2
aaa
2
a

MlogMlog2,Mlog2Mlog  ()
log
a
M
3
= 3log
a
M, log
a
c = log
a
b.log
b
c
log
b
c = log
a
c/log
a
b, Mlog
1
Mlog
a
a




log

a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N  M = N

a a
0 M N(nếua 1)
log M log N
M N 0(nếu0 a 1)
  
 
   

Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều
kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền
xác đònh. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :
Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt
a
x2


Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều
kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.

Trang 38
B
1
B
2
= 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x =  a/e; bán
kính qua tiêu : M

nhánh phải MF
1
= ex
M
+ a , MF
2
=
ex
M
– a , M  nhánh trái MF
1
= – ex
M
– a,
MF
2
= –ex
M
+ a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ
(H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0  a

2
A
2
– b
2
B
2
= C
2
> 0; tiệm
cận y = 
a
b
x
hình chữ nhật cơ sở : x =  a, y =  b; c
2
= a
2
+ b
2
.
(H) : 1
b
x
a
y
2
2
2
2

 (pt không chính tắc)
tiêu điểm F
1
(0,–c), F
2
(0,c); đỉnh trục thực A
1
(0,–a),
A
2
(0,a); đỉnh trục ảo B
1
(–b,0), B
2
(b,0); tiêu cự F
1
F
2
= 2c;
độ dài trục thực A
1
A
2
= 2a; độ dài trục ảo B
1
B
1
= 2b; tâm
sai : e = c/a; đường chuẩn : y =  a/e; bán kính qua tiêu :
M  nhánh trên MF

1
= ey
M
+ a, MF
2
= ey
M
– a; M 
nhánh dưới MF
1
= –ey
M
– a, MF
2
= – ey
M
+ a; tiếp tuyến
với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0  a
2
B
2
– b
2
A
2
= C
2
> 0;
tiệm cận x = 

a
b
y
hình chữ nhật cơ sở : y=  a, x =  b; c
2
= a
2
+ b
2
(chú ý
: tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp
chính tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x).
9. Parabol : * Cho F, F  ()
M  (P)  MF = d(M,())
(P) : y
2
= 2px (p > 0) (phương trình chính tắc).
tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua
tiêu MF = p/2 + x
M
; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại
M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0  pB
2
=


Trang 37
7. Elip : * cho F
1
, F

2
, F
2
F
2
= 2c, cho a > c > 0
M  (E)  MF
1
+ MF
2
= 2a.
* (E) :
2
2
2
2
b
y
a
x
 = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F
1
(–c,0),
F
2
(c,0); đỉnh A
1
(–a,0); A
2
(a,0); B

1
(0,–b); B
2
(0,b); tiêu cự :
F
1
F
2
= 2c, trục lớn A
1
A
2
= 2a; trục nhỏ
B
1
B
2
= 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x =  a/e; bk qua
tiêu : MF
1
= a + ex
M
,
MF
2
= a – ex
M
; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E),
(E) tx (d) : Ax + By + C = 0  a
2

A
2
+ b
2
B
2
= C
2
; a
2
= b
2
+
c
2
.
* (E) :
1
a
y
b
x
2
2
2
2

(a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm :
F
1

(0,–c), F
2
(0,c); đỉnh A
1
(0,–a), A
2
(0,a), B
1
(–b,0),
B
2
(b,0), tiêu cự : F
1
F
2
= 2c; trục lớn A
1
A
2
= 2a; trục nhỏ
B
1
B
2
= 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y =  a/e; bán
kính qua tiêu MF
1
= a + ey
M
, MF

2
= a – ey
M
; tiếp tuyến
với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax
+ By + C = 0  a
2
B
2
+ b
2
A
2
= C
2
; a
2
= b
2
+ c
2
(Chú ý :
tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp
chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x).
8. Hypebol :
* Cho F
1
, F
2
, F

2
F
2
= 2c, cho 0 < a < c.
M  (H) 
21
MF
MF

= 2a
(H) :
2
2
2
2
b
y
a
x
 = 1 (pt chính tắc)
tiêu điểm F
1
(–c,0), F
2
(c,0); đỉnh tr.thực A
1
(–a,0),
A
2
(a,0); đỉnh trục ảo

B
1
(0,–b), B
2
(0,b); tiêu cự F
1
F
2
= 2c; độ dài trục thực A
1
A
2
=
2a; độ dài trục ảo


Trang 6
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x
có thêm điều kiện, cho vào miền xác đònh của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu
lượng giác để tìm điều kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B;
bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn
(bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi
dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính
liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) =

0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với  :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
* S = x
1
+ x
2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với
đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :










21
21
x.xP
xxS
0
g

Biết S, P thỏa S
2
– 4P  0, tìm x
1
, x
2
từ pt : X
2
– SX + P
= 0
* Dùng , S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x
1
< 0 < x
2
 P < 0, 0 < x
1
< x
2










0S
0P
0

x
1
< x
2
< 0 








0S
0P
0



Trang 7

* Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với  : x
1
<  <
x
2
 af() < 0
 < x
1
< x
2









2/S
0)(f.a
0
; x
1
< x
2
<  









2/S
0)(f.a
0

 < x
1
<  < x
2

a.f( ) 0
a.f( ) 0
 


 


  

; x
1
<  < x
2
<  









0)(f.a
0
)
(
f
.
a

7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= – b/a , x
1
x

2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3

= – d/a
Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x

3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
=
C
thì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm phương trình : x
3
– Ax
2
+ Bx – C
= 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
 x =   f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a  0) :
3 nghiệm phân biệt 






0)(f
0

2 nghiệm phân biệt 











0)(f
0
0)(f
0

1 nghiệm 
 







= 0
< 0hay
f = 0

 Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách
được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và
(d) : y = m.


Trang 36
* Cho (C) : F(x,y) = x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 thì
P
M
/(C) = F(x
M
, y
M
) = MB.MA = MT
2
= MI
2
– R
2

với MAB :
cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M  (C)  P
M
/(C) = 0 , M
trong (C)  P
M
/(C) < 0, ngoài  > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C
/
) :2(A – A
/
)x + 2(B –
B
/
)y + (C – C
/
) = 0
* (C), (C
/
) ngoài nhau  II
/
> R + R
/
: (có 4 tiếp tuyến
chung); tx ngoài  = R + R
/
(3 tiếp tuyến chung); cắt 
/
RR 
< II

/
< R + R
/
(2 tt chung); tx trong  =
/
RR 
(1 tt
chung là trục đẳng phương) chứa nhau  <
/
RR 
(không
có tt chung).
6. Mặt cầu :
* Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)
2
+ (y
– b
2
) + (z – c)
2
= R
2
.
* (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–

A,–B,–C), bk R =
DCBA
222

* (P) tx (S)  d(I,(P)) = R, cắt  < R, không cắt  > R.
* Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. P
M
/(S) = F (x
M
, y
M
, z
M
); P
M
/(S)
= 0  M  (S), < 0
 M trong (S), > 0  M ngoài (S).
* Mặt đẳng phương của (S) và (S
/
) :
2(A – A
/
)x + 2(B – B
/
)y + 2(C – C
/
)z + (D – D
/

) = 0
* Tương giao giữa (S), (S
/
) : như (C), (C
/
).
* Khi (S), (S
/
) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng
phương.
* Khi (S), (S
/
) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt
đẳng phương.


Trang 35
* (d) chéo (d
/
) , tìm đường  chung () : tìm ]'v,v[n  ; tìm
(P) chứa (d), //
n
; tìm (P
/
) chứa (d
/
), //
n
; () = (P) 
(P

/
).
* (d)  (P), cắt (d
/
)  (d) nằm trong mp  (P), chứa (d
/
).
* (d) qua A, // (P)  (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
* (d) qua A, cắt (d
/
)  (d) nằm trong mp chứa A, chứa
(d
/
).
* (d) cắt (d
/
), // (d
//
)  (d) nằm trong mp chứa (d
/
), // (d
//
).
* (d) qua A,  (d
/
)  (d) nằm trong mp chứa A,  (d
/
).
* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, 
(d), H = (d)  (P).

* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M,  (P) :
H = (d)  (P).
* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q)
chứa (d),  (P);
(d
/
) = (P)  (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương () xuống (P) :
viết pt mp (Q) chứa (d)
// (); (d
/
) = (P)  (Q).
5. Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác đònh bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) :
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

* (C) : x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk
R = CBA
22

* (d) tx (C)  d(I, (d)) = R, cắt  < R, không cắt  > R.

* Tiếp tuyến với (C) tại M(x
o
,y
o
) : phân đôi t/độ trong (C)
:
(x
o
–a)(x–a) + (y
o
–b)(y–b) = R hay x
o
x + y
o
y + A(x
o
+
x) + B(y
o
+ y) + C = 0


Trang 8
 Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m
không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C
m
)
: y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
3 nghiệm 






0y.y
0
CTCĐ
'y


2 nghiệm 





0y.y
0
CTCĐ
'y


1 nghiệm  
y'
 0 






0y.y
0
CTCĐ
'y


c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :






0y
0
uốn
'y

d. So sánh nghiệm với  :
 x = x
o
 f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a  0) : so sánh nghiệm
phương trình bậc 2 f(x) với .
 Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa 
vào BBT.
 Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1
vế : dùng sự tương giao của (C

m
) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
(có m) ,(a > 0) và (Ox)
 < x
1
< x
2
< x
3

y'
CĐ CT
CĐ
0
y .y 0
y( ) 0
x
 





 



 




x
1



Trang 9
x
1
<  < x
2
< x
3












CT

CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0

x
1
< x
2
<  < x
3












CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y

0y.y
0

x
1
< x
2
< x
3
<  
y'
CĐ CT
CT
0
y .y 0
y( ) 0
x
 





 


 


8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :

f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a  0), x  
2 nghiệm 





0
0
)
(
f
, 1 nghiệm 










0)(f
0
0)(f
0

Vô nghiệm   < 0 





0)(f
0

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1
nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a  0) 





0)t(f
0xt
2

t = x
2
 x = 
t

4 nghiệm 








0S
0P
0
; 3 nghiệm 





0S
0
P

2 nghiệm 







02/S
0
0
P
; 1 nghiệm 










02/S
0
0S
0
P



x
1

x
2

x

3



x
1

x
2

x
3



x
1

x
2

x
3



Trang 34
4. Đường thẳng trong không gian :
* Xác đònh bởi 1 điểm M (x
o

, y
o
, z
o
) và 1 vtcp
v
= (a, b,
c) hay 2 pháp vectơ :
'n,n
:
(d) :
c
zz
b
yy
a
xx
:)d(,
ctzz
btyy
at
x
x
ooo
o
o
o















]'n,n[v 
* (AB) :
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
  
 
  

* (d) = (P)  (P
/
) :
0
0
Ax By Cz D
A' x B' y C' z D'
   



   


* (d) qua A, vtcp v thì :
d(M,(d)) =
v
]v,AM[

*  là góc nhọn giữa (d), (d
/
) thì :
cos =
)v,vcos(
/
d
d

*  là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
sin =
)n,vcos(
pd

* (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n :
(d) cắt (P)  n.v  0
(d) // (P)  n.v = 0 và M  (P)
(d)  (P)  n.v = 0 và M  (P)
* (d) qua A, vtcp v ; (d
/
) qua B, vtcp 'v :

(d) cắt (d
/
)  [
'v,v
] 
0
,
AB]'v,v[
= 0
(d) // (d
/
)  [ 'v,v ] = 0 , A  (d
/
)
(d) chéo (d
/
)  [ 'v,v ]  0 , AB]'v,v[  0
(d)  (d
/
)  [
'v,v
] =
0
, A  (d
/
)
* (d) chéo (d
/
) : d(d, d
/

) =
]'v,v[
AB]'v,v[



Trang 33
* (AB) :
AB
A
AB
A
yy
y
y
xx
x
x






* (d) : Ax + By + C = 0 có
)B,A(n;)A,B(v 

* (d) // () : Ax + By + C = 0  (d) : Ax + By +
C


= 0
* (d)  ()  (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn  thì :
cos =
 
/
/
/
d
d
d
d
d
d
n .n
cos( n ,n )
n . n

 
 
 

* d(M,(d)) =
22
MM
BA

C
By
Ax



* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d
/
) : A
/
x + B
/
y
+ C
/
= 0 là :

2/2/
///
22
BA
CyBxA
BA
CByAx






/
d
d
n.n
> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –

/
d
d
n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
, y
o
, z
o
) và 1 pháp vectơ :
n
=
(A, B, C) hay 2 vtcp 'v,v .
(P) : A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o

) = 0
n = [ 'v,v ]
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C).
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)

(P) : x/a + y/b +
z/c = 1
* Cho M(x
o
, y
o
, z
o
), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,(P)) =
222
ooo
CBA
D
Cz
By
Ax



* (P) , (P
/
) tạo góc nhọn  thì : cos

= )n,ncos(

)'P()P(

* (P)  (P
/
) 
)'P()P(
nn  , (P) // (P
/
) 
)'P()P(
n//n


Trang 10
VN   < 0 








0S
0P
0
  < 0 
0
0
P

S








4 nghiệm CSC 





12
21
t3t
t
t
0

Giải hệ pt :









21
21
12
t.tP
ttS
t
9
t

b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t
bằng BBT :
2
t


c. ax
4
+ bx
3
+ cx

2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t
bằng BBT : t  R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t =
x
2
+ (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
b
a
xt

 , t  R.

10. Hệ phương trình bậc 1 :





'cy'bx'a
c

by
ax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c
c
'a
a

D  0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x

 0  D
y
 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P =
xy.
ĐK : S
2
– 4P  0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P  0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x
và y.


Trang 11
(, ) là nghiệm thì (, ) cũng là nghiệm; nghiệm duy
nhất
  =   m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2
phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương

trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :





'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22

Xét y = 0. Xét y  0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để
khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra
x. Có thể xét x = 0, xét x  0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản
của
.,
, log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác
cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB
< 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b  0 : ab
2

b
a



Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c  0 :
3
abc
3
c
b
a



Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.


Trang 32

 










//////
/
b
b
a
a
,
a
a
c
c
,
c
c
b
b
v,v



/ / /
[ v ,v ] v . v .sin( v ,v )

     


//
v,v]v,v[






*
/
vv


 
/
v.v


= 0 ;
/ /
v // v [ v,v ]

   
= 0 ;
///
v,v,v



đồng phẳng

0v].v,v[
///









AC,AB
2
1
S
ABC






AS.AC,AB
6
1
V
ABC.S


/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V 
A, B, C thẳng hàng 
AB // AC

 

*  trong mp : H là trực tâm 







0AC.BH
0BC.AH

H là chân đường cao h
a







BC//BH
0BC.AH

M là chân phân giác trong

A
 MC
AC

AB
MB 
M là chân phân giác ngòai

A
 MC
AC
AB
MB 
I là tâm đường tròn ngoại tiếp  IA = IB = IC.
I là tâm đường tròn nội tiếp  I là chân phân giác
trong

B
của ABM với M là chân phân giác trong

A
của
ABC.
2. Đường thẳng trong mp :
* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
,y
o
) và 1vtcp v = (a,b) hay 1
pháp vectơ (A,B) :
(d) :









b
yy
a
xx
:)d(,
btyy
at
x
x
oo
o
o

(d) : A(x – x
o
) + B(y – y
o
) = 0
* (d) qua A(a, 0); B(0,b) : 1
b
y
a
x


Trang 31
15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trò và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thò :
f < g  a < x < b, f > g 





xb
a
x

f  g  a  x  b , f  g 





bx
a
x

VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1. Tọa độ , vectơ :
* (a,b)  (a
/

, b
/
) = (a  a
/
, b  b
/
)
k(a, b) = (ka, kb)
(a, b) = (a
/
, b
/
) 





/
/
bb
aa

(a, b).(a
/
,b
/
) = aa
/
+ bb

/


22
ba)b,a( 


/
/
/
v.v
cos( v ,v )
v . v

 
 
 


ABAB),yy,xx(AB
ABAB


M chia AB theo tỉ số k 
MB
k
MA




k
1
ky
y
y,
k
1
kx
x
x
BA
M
BA
M





 (k  1)
M : trung điểm AB 
2
y
y
y,
2
x
x
x
BA

M
BA
M




M : trọng tâm ABC 









3
yyy
y
3
x
x
x
x
CBA
M
CBA
M

(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
/

a
b

f

g



Trang 12
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
 (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b
= c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x)

và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x  I, lập BBT của f với x  I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn
nghiệm, có nghiệm x  I :
Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x  I.
f(x)  m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x)  m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC

1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc  đồng
nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M.
Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng
giác ứng với vô số các số thực x + k2.
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các
góc đặc biệt : bội của
6

(
3
1
cung phần tư)
và
4

(
2
1
cung phần tư)
x =  +

n
k
2

:  là 1 góc đại diện, n : số
điểm cách đều trên đường tròn lượng giác.

2. Hàm số lượng giác :

2
 

2


0

+

2


0

2
 



0

A

x+k2


M

cos

chiếu


sin

M

cotg

chiếu xuyên tâm

tg

M



Trang 13
3. Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu  (ưu tiên

không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu ).
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2

(sin lớn = cos nhỏ : không
đổi dấu).
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a  b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra
bậc 1 suy từ công thức nhân ba.
f. Đưa về
2
a
tgt  : đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a,
b thành (a  b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a,
b thành a  b.

5. Phương trình cơ bản : sin = 0 cos = – 1 hay cos
= 1  = k,
sin = 1   =
2

+ k2; sin = –1   = –
2


+ k2,
cos = 0  sin = –1 hay sin = 1   =
2

+ k,
cos = 1   = k2, cos = – 1   =  + k2
sinu = sinv  u = v + k2  u =  – v + k2
cosu = cosv  u =  v + k2
tgu = tgv  u = v + k


Trang 30
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thò có tđx là gốc
tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
= 0; nếu x = a
là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3
nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y
= F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thò có
trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I :
giải hệ 4 pt 4 ẩn :

M N I
M N I
M M
N N
x x 2x

y y 2y
y f(x )
y f(x )
 


 








d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b
: dt  (d) là
(d') : y = –
a
1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d');
giả sử pt có 2 nghiệm x
A
, x
B
, tính tọa độ trung điểm I của
AB theo m; A, B đối xứng qua (d)  I  (d)
 m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm x
A
, x

B
, suy ra
y
A
, y
B
.
14. Tìm điểm M  (C) : y = ax + b +
e
dx
c

có tọa độ
nguyên (a, b, c, d, e  Z) : giải hệ








Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM













Z
edx
c
,x
edx
c
baxy
M
M
M
MM











ccủasốướcedx,Zx
edx
c
baxy
MM
M
MM



Trang 29
iii) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm
đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
1 2

x x
p
2 m


.
iv) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm
đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
1 2
x x
p
2 m


.
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghòch

biến) trên miền x  I : đặt đk để I nằm trong miền đồng
biến (nghòch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt
bậc 2 y
/
= 0 với .
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT
của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thò của f), số nghiệm
= số điểm chung.
b. Với pt mũ, log,
.,
, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi
biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt
bớt đồ thò f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(x
o
, y
o
) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x
o
, y
o
,
m; khử m, được F(x
o
, y
o
) = 0; suy ra M  (C) : F(x, y) = 0;
giới hạn quỹ tích : M tồn tại  m ?


x
o
? (hay y
o
?)
 Nếu x
o
= a thì M  (d) : x = a.
 Nếu y
o
= b thì M  (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1
có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + x
I
, y = Y + y
I
; thế vào hàm số : Y
= F(X), cm :


Trang 14
cotgu = cotgv  u = v + k
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2

 c
2

* Chia 2 vế cho
22
ba  , dùng công thức cộng đưa về
phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt 
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t 1
2 sin u , 2 t 2,sin u.cosu
4 2
 
 
    
 
 

8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2

4 2
t
t sinu cos u sin u , t ,sinu.cos u


 
      
 
 

9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
 
 
       
 
 
2
1 t
t sin u cosu 2sin u , 2 t 2,sin u.cosu
4 2

10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sinu cos u sin u , t ,sin u.cosu



 
      
 
 

11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu
và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu  0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng
công thức
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :


Trang 15
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi –
x.

* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi 
– x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi 
+ x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*






0v
0
u
0vu
22

*















Cv
Cu
Cv
Cu
v
u

*















Bv
Au
BAvu
Bv
A
u

* sinu.cosv = 1 











1vcos
1
u
sin
1vcos
1
u
sin

* sinu.cosv = – 1 












1vcos
1
u
sin
1vcos
1
u
sin

Tương tự cho : sinu.sinv =  1, cosu.cosv =  1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :





)2(nyx
)
1

(
m
)
y
(
F
)
x
(
F
. Dùng công thức đổi + thành
nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :





byx
a
y
x

b. Dạng 2 :





nyx

m
)
y
(
F
).
x
(
F
. Tương tự dạng 1, dùng công
thức đổi nhân thành +.


Trang 28
y
CĐ
.y
CT
=
)x(v).x(v
)x(u).x(u
CT
/
CĐ
/
CT
/
CĐ
/
, dùng Viète với pt y

/
= 0.
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
 Hàm bậc 3 : y = Cx + D
 Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u
/
/ v
/

* y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trò  ab  0, 3 cực trò  ab <
0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn luôn
tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm (nghòch biến) trên R
(luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2

 hàm số đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
.
Ngoài ra ta còn có :
+ x
1
+ x
2
= 2x
0
với x
0
là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (, x
1
)
+ hàm số tăng trên (x
2
, +)
+ hàm số giảm trên (x
1
, x
2
)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

với x
1
< x
2
 hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1

+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)
b. Biện luận sự biến thiên của y =

1bậc
2
bậc

i) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến)
trên từng khỏang xác đònh.
ii) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghòch
biến) trên từng khỏang xác đònh.


Trang 27
 Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của
F; số điểm chung của (C
m
) và (C
/
m
) = số điểm chung của
(C) và (d).
 PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax
2

+ bx + c = 0 (x  ) hay dạng bậc 3 : x =   f(x) = 0 : lập
, xét dấu , giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì  là
nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bò bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :

* f có đúng n cực trò  f
/
đổi dấu n lần.
* f đạt cực đại tại x
o






0)x(f
0)x(f
o
//
o
/

f đạt cực tiểu tại x
o






0)x(f
0)x(f
o
//

o
/

* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò  f có CĐ và CT

/
f

> 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò :
 Bên phải (d) : x =   y
/
= 0 có 2 nghiệm  < x
1
< x
2
.
 Bên trái (d) : x =   y
/
= 0 có 2 nghiệm x
1
< x
2
<  .
 1 bên (Ox) 
0
0
/
f
CD CT

y .y
 







 2 bên (Ox) 
0
0
/
f
CD CT
y .y
 







* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện y
CĐ
.y
CT
< 0 (>0)
có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.).

* Tính y
CĐ
.y
CT
:
 Hàm bậc 3 : y = y
/
(Ax + B) + (Cx

+ D)
y
CĐ
.y
CT
= (Cx
CĐ
+ D).(Cx
CT
+ D), dùng Viète với
pt y
/
= 0.
 Hàm bậc 2/ bậc 1 :
v
u
y 


Trang 16
c. Dạng 3 :






nyx
m
)
y
(
F
/
)
x
(
F
.
Dùng tỉ lệ thức :
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a






 biến đổi phương trình
(1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về
các pt cơ bản.
16. Toán  :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = 
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C  (0, ) ; A/2, B/2, C/2  (0, /2)
A + B  (0, ) ; (A + B)/2  (0, /2) ;
A – B  (– , ) , (A – B)/2  (– /2, /2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý
hàm sin :
a = 2RsinA hay đònh lý hàm cos : a
2
= b
2
+ c
2
–
2bc.cosA
* pr
R
4

abc
Csinab
2
1
ah
2
1
S
a

)cp)(bp)(ap(p 
* Trung tuyến :
222
a
ac2b2
2
1
m 
* Phân giác : ℓ
a
=
c
b
2
A
cosbc2


IV- TÍCH PHÂN

1. Đònh nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f  f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :


Trang 17


dx)x(f
= F(x) + C (C  R)
*


   
 
 
1
u
du u C ; u du C
1
,   – 1

u u
du
ln u C; e du e C;
u
   
 

 Caln/adua

uu


sin udu cosu C
  

;

 Cusinuducos



 Cgucotusin/du
2
;

 Ctguucos/du
2

*   

b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)

*
   


b
a
c
a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0


 

b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(

2. Tích phân từng phần :

udv uv vdu
 
 

Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.




nnnxn
xu:xcosx;xsinx,ex

b.

 xlnu:xlnx
n

c.


 dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx

từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ

3. Các dạng thường gặp :
a.



xcos.xsin
1n2m
: u = sinx.



xsin.xcos
1n2m
: u = cosx.


xcos.xsin
n2m2
: hạ bậc về bậc 1
b.

xcos/xtg
n2m2
: u = tgx (n  0)


xsin/xgcot
n2m2
: u = cotgx (n  0)
c.

chứa a
2
– u

2
: u = asint


chứa u
2
– a
2
: u = a/cost


Trang 26
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Tại M(x
o
, y
o
) : y = f'(x
o
)(x – x
o
) + y
o
.
* Qua M (x
o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M :
(d) : y = k(x – x

o
) + y
o
. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng
k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì
số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp
tuyến).
* // () : y = ax + b : (d) // ()  (d) : y = ax + m. Tìm m
nhờ đk tx.
*  () : y = ax + b (a  0) : (d)  ()  (d) : y =
a
1
 x +
m. Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M  (C
/
) : g(x, y) = 0
sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1,
2, ), M(x
o
,y
o
)  (C
/
)  g(x
o
,y
o
) = 0; (d) qua M : y = k(x
– x

o
) + y
o
; (d) tx (C) :





ky
y
y
C
/
dC
(1). Thế k vào (1) được
phương trình ẩn x, tham số x
o
hay y
o
. Đặt đk để phương
trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến),
tìm được x
o
hay y
o
.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C
/

) :
y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (C
m
) : y = f(x, m) và (C
/
m
) : y = g(x, m) có n
giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt
đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách
được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y =
F(x) và (d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m
) :


Trang 25
(C
/
) : y =
)
x
(
f
: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy
phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox).

(C
/
) : y =
)
x
(
f
: giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy
phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy).

6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)
a/ Điểm cố đònh : M(x
o
, y
o
)  (Cm), m  y
o
= f(x
o
, m),
m  Am + B = 0, m (hay Am
2
+ Bm + C = 0, m) 





0B
0

A
(hay








0C
0B
0
A
). Giải hệ, được M.
b/ Điểm (Cm) không đi qua, m : M(x
o
, y
o
)  (Cm), m
 y
o
 f(x
o
,m), m  y
o
= f(x
o
, m) VN m  Am + B = 0
VN m (hay Am

2
+ Bm + C = 0 VN m) 





0B
0
A
(hay














0
0A
0C
0B
0

A
). Giải hệ , được M.
Chú ý : C
B
A
 VN  B = 0 





VNBCA
0
B

c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n
đường (Cm) qua M(x
o
, y
o
)  y
o
= f(x
o
, m) có n nghiệm
m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại
phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x  , bậc 3,
trùng phương.

7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :

a. (C) : y = f(x), tx (C
/
) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có
nghiệm :





/
C
/
C
/
/
C
C
yy
y
y
. Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp
điểm.


Trang 18


chứa a
2
+ u

2
: u = atgt
d.

)xcos,x(sinR
, R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx  u = cotgx
R đơn giản :
2
x
tgu 






2
/
0
x
2
ặtthử:




0

xặtthử:

e.


nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x

f.




nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1
m
,)bxa(x

g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2



h.

 )dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u 
i.

chứa (a + bx
k
)
m/n
: thử đặt u
n
= a + bx
k
.

4. Tích phân hàm số hữu tỷ :


)x(Q/)x(P
: bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)
n
, ax
2
+ bx + c ( <
0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào
các thừa số của Q :

n
n
2
21
n
)ax(
A

)ax(
A
ax
A
)ax(,
ax
A
ax






















 
atgtặt:)au/(du)0(
cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2

5. Tính diện tích hình phẳng :


Trang 19
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :


b
a
D

dx)x(fS

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở
.; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b]
của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) :


b
a
D
dx)x(g)x(fS

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C
1
) : f
1
(x, y) = 0 , (C
2
) : f
2
(x, y) = 0



/
b
D

a
S f(x) g(x) dx
 






/
b
D
a
S f(y) g(y) dy
 



Với trường hợp ) : nếu biên trên hay biên dưới bò gãy,
ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp ) : nếu biên phải hay biên trái bò gãy,
ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính  theo dx hay dy để  dễ tính toán hay D ít bò
chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thò các hình thường gặp : các hàm cơ
bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm
mũ, hàm
.
.

x=b

x=a

f(x)

g(x)
y=a

f(y)

y=b
g(y)



Trang 24
a < 0 :

d/ y = ax
4
+ bx
2
+ c

a > 0

a < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c  0)

ad - bc > 0 ad - bc < 0

f/ y =
e
dx
cbxax
2


(ad  0)

ad > 0


ad < 0



5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)


ab < 0

ab > 0


y



< 0


y



> 0


y


= 0


x < a


x > a


a

x = a


y < b


y > b


b


y = b



Trang 23
- t c x :khi x và y càng tiến về   thì đường cong càng
gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về   thì đường cong càng gần
đường t c.


* Xét
)x(Q
)
x
(

P
y 
 Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a)  0
 Có tcn khi bậc P  bậc Q : với x  , tìm lim y bằng
cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao
nhất của Q.
 Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có :
)x(Q
)
x
(
P
bax)x(f
1
 , tcx là y = ax + b. Nếu Q = x – , có thể
chia Honer.
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :

c
y ax b
dx e
  

( d  0 )
 a  0, c  0 : có tcđ, tcx
 a = 0, c  0 : có tcn, tcđ.
 c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thò các hàm thường gặp :
a/ y = ax + b :
b/ y = ax

2
+ bx + c
c/ y = ax
3
+ bx
2
+ c + d

a> 0 :



a > 0

a < 0

a = 0
a > 0

a < 0


y


> 0

y



< 0


y


= 0


Trang 20
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) =
0 và biết chọn  hay



trái: x,phải: x,dưới: y,trên: y 

6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :

 


b
a
2
dx)x(fV

b.

 


b
a
2
dy)y(fV


c.


b
a
22
dx)]x(g)x(f[V


d.


b
a
22
dy)]y(g)y(f[V

e.


b

c
2
c
a
2
dx)x(gdx)x(fV


f.


b
c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV



Chú ý : xoay quanh (Ox) :  dx ; xoay quanh (Oy) : 
dy.
a

b

f(x)

a

b

f(y)

b

f(x)

g(x
)

a
f(y)

a

g(y)
b

f(x)

g(x
0)

a

b

a

b

c

f(x)

-
g(x)

b

c
f(y)

-
g(y)

a


Trang 21
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm lim dạng
0
0
, dạng 1

:
a. Phân thức hữu tỷ :

1
1
ax
1
1
axax
Q
P
lim
)x(Q)ax(
)
x
(
P
)
a
x
(
lim)0/0dạng(
)x(Q
)
x
(
P
lim






b. Hàm lg :
1
u
u
sin
limthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)
x
(
f
lim
0uax



c. Hàm chứa căn :
)0/0dạng(
)x(g
)
x
(
f
lim
ax
, dùng lượng liên hiệp :
a
2
– b

2
= (a – b)(a + b) để phá , a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+
ab + b
2
) để phá
3

d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1

) : dùng công thức
e)u1(lim
u/1
0u



2. Đạo hàm :
a. Tìm đạo hàm bằng đònh nghóa :
o
o
o
xx
0
xx

)
x
(
f
)
x
(
f
lim)x('f





Tại điểm x
o
mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng
phía :

.lim)x(f,lim)x(f
o
xx
o
/
o
xx
o
/








Nếu )x(f)x(f
o
/
o
/

 thì f có đạo hàm tại
x
o
.
b. Ý nghóa hình học :
k = tg = f
/
(x
M
)

c. f
/
+ : f  , f
/
– : f 
f
//
+ : f lõm , f

//
– : f lồi
d. f đạt CĐ tại M 





0)x(f
0)x(f
M
//
M
/

f đạt CT tại M 





0)x(f
0)x(f
M
//
M
/

M là điểm uốn của f  f
//

(x
M
) = 0 và f
//
đổi dấu khi qua
x
M
.
M



f(x)


Trang 22
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C
/
= 0, (x

)
/
= x
–1
,
(lnx)
/
= 1/x ,
 
a

1
log x
xlna

 , (e
x
)
/
= e
x

(a
x
)
/
= a
x
.lna, (sinx)
/
= cosx , (cosx)
/
= – sinx, (tgx)
/
=
1/cos
2
x,
(cotgx)
/
= –1/sin

2
x, (ku)
/
= ku
/
, (u v)
/
= u
/
 v
/
, (uv)
/
= u
/
v
+ uv
/
,
(u/v)
/
= (u
/
v – uv
/
)/v
2

* Hàm hợp : (g
o

f)
/
= g
/
[f(x)]

. f
/
(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo
hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]
g(x)
hay f(x) dạng tích,
thương, chứa
n

f. Vi phân : du = u
/
dx
3. Tiệm cận :




y
lim
ax
 x = a : tcđ

b
y
lim
x


 y = b :
tcn



0
)]
b
ax
(
y
[
lim
x




 y = ax + b : tcx

* Vẽ đồ thò có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về   thì đường cong càng gần

đường t c .
x a


y




x






y
b
b
x






y


