Khảo sát hàm số ôn thi ĐH

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y
′
. Tìm các điểm mà tại đó y
′
= 0 hoặc y
′
không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
′
(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch
biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
k) l)
m)
n) o) p)
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các
hàm số sau:

a) b) c)
d) e)
Trang 1
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
2
2 4 5y x x= − + +
2
5
4 4
x
y x= + −
2
4 3y x x= − +
3 2
2 2y x x x= − + −
2
(4 )( 1)y x x= − −
3 2
3 4 1y x x x= − + −
4 2
1
2 1
4

y x x= − −
4 2
2 3y x x= − − +
4 2
1 1
2
10 10
y x x= + −
2 1
5
x
y
x
−
=
+
1
2
x
y
x
−
=
−
1
1
1
y
x
= −

−
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
1
3
1
y x
x
= − + −
−
2
4 15 9
3
x x
y
x
− +
=
4 3 2
6 8 3 1y x x x= − + − −
2
2
1

4
x
y
x
−
=
−
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ +
2
2 1x
y
x
−
=
2
3 2
x
y
x x
=
− +

3 2 2y x x= + + −
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
f)
g) h) i)
k) l)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số , m là tham số, có tập xác
đònh D.
•
Hàm số f đồng biến trên D
⇔
y
′

≥
0,
∀
x
∈
D.
•
Hàm số f nghòch biến trên D
⇔
y
′

≤
0,
∀

x
∈
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y
′
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu thì:
•

•

3) Đònh lí về dấu của
tam thức bậc hai :
•
Nếu
∆
< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
•
Nếu
∆
= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = )
•
Nếu
∆
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2

và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)
khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của
tam thức bậc hai với số 0:
•

•

•

5) Để hàm số có độ dài khoảng
đồng biến (nghòch biến) (x
1
;
x
2
) bằng d thì ta thực hiện các
bước sau:
•
Tính y
′
.
•
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:
(1)
•

Biến đổi thành (2)
•
Sử dụng đònh lí Viet đưa (2)
thành phương trình theo m.
•
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc
tập xác đònh) của nó:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 2. Chứng minh rằng các
Trang 2
2 1 3y x x= − − −
2
2y x x= −
2
2y x x= −
sin2
2 2
y x x
 
= − < <
 ÷
 
π π
sin2
2 2
y x x x
 
= − − < <

 ÷
 
π π
( , )y f x m=
y ax bx c
2
' = + +
0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≥

≥ ∀ ∈ ⇔


>




≤


∆
0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<



≤



∆
2
( )g x ax bx c= + +
2
b
a
−
2
( )g x ax bx c= + +
1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


<

∆
1 2
0
0 0
0
x x P
S


>

< < ⇔ >


>

∆
1 2
0 0x x P< < ⇔ <
3 2
y ax bx cx d= + + +
0
0
a

≠

>

∆
1 2
x x d− =
2 2
1 2 1 2
( ) 4x x x x d+ − =
3
5 13y x x= + +
3

2
3 9 1
3
x
y x x= − + +
2 1
2
x
y
x
−
=
+
2
2 3
1
x x
y
x
+ −
=
+
3 sin(3 1)y x x= − +
2
2 1x mx
y
x m
− −
=
−

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó:
a) b) c)
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau
luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó:
a) b) c)
d) e)
f)
Bài 4. Tìm m để hàm số:
a) nghòch biến trên một
khoảng có độ dài bằng 1.
b) nghòch biến trên một
khoảng có độ dài bằng 3.
c) đồng biến trên một
khoảng có độ dài bằng
4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a) đồng biến trên khoảng
(1; +∞).
b) đồng biến trên
khoảng (2; +∞).
c) đồng biến trên khoảng (1;
+∞).
d) đồng biến trong khoảng (–1;
+∞).
e) đồng biến trên khoảng (1;
+∞).
f) nghòch biến trên khoảng .
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

•
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác đònh do đề bài chỉ đònh.
•
Xét dấu f
′
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
•
Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f
′
(x) thì ta đặt h(x) = f
′
(x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h
′
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) b)
Trang 3
5 cot( 1)y x x= − + −
cosy x x= −
sin cos 2 2y x x x= − −

3 2
3 ( 2)y x mx m x m= − + + −
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
x m
y
x m
+
=
−
4mx
y
x m
+
=
+
2
2 1x mx
y
x m
− −
=
−
2 2
2 3
2
x mx m

y
x m
− +
=
−
3 2
3y x x mx m= + + +
3 2
1 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m= − + − +
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + − + +
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
mx
y m
x m
4
( 2)

+
= ≠ ±
+
x m
y
x m
+
=
−
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
2
2 3
2 1
x x m
y
x
− − +
=
+
1
;
2

 
− +∞
 ÷
 
3
sin , 0
6
x
x x x với x− < < >
2 1
sin tan , 0
3 3 2
x x x với x+ > < <
π
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
c) d)
Bài 2. Chứng minh các
bất đẳng thức sau:
a) b)
c)
Bài 3. Chứng minh các
bất đẳng thức sau:
a) b)
c)
Bài 4. Chứng minh các
bất đẳng thức sau:
a) b)
c) d)
Bài 5. Chứng minh các
bất đẳng thức sau:

a) b) c)
HD: a) . Xét hàm số .
b) Xét hàm số .
f(x) đồng biến trong khoảng
và
∈
.
c) Xét hàm số với x > 1.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
•
Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.
•
Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2
). Ta cần chứng minh một hàm số đồng
biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó (C
1
) và (C
2
) giao nhau tại một điểm duy nhất
có hoành độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) b)
c) d)
Bài 2. Giải các phương
trình sau:
a) b)
c)
d)
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a) b)
Bài 4. Giải các hệ
Trang 4
tan , 0
2
x x với x< < <
π
sin tan 2 , 0
2
x x x với x+ > < <
π
tan
, 0
tan 2
a a
với a b
b b
< < < <
π
sin sin , 0
2
a a b b với a b− < − < < <

π
tan tan , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
2
sin , 0
2
x
x với x> < <
π
π
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x x
x x x với x− < < − + >
x x x với xsin cos 1, 0
2
π
+ > < <
1 , 0
x
e x với x> + >
ln(1 ) , 0x x với x+ < >
1
ln(1 ) ln , 0
1
x x với x
x

+ − > >
+
( )
2 2
1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ +
0
tan55 1,4>
0
1 7
sin20
3 20
< <
2 3
log 3 log 4>
0 0 0
tan55 tan(45 10 )= +
1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
3
( ) 3 4f x x x= −
1 1
;
2 2

 
−
 ÷
 
0
1 7
,sin20 ,
3 20
1 1
;
2 2
 
−
 ÷
 
( ) log ( 1)
x
f x x= +
5 5x x+ − =
5 3
1 3 4 0x x x+ − − + =
5 7 16 14x x x x+ − + + + + =
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
5 5 5
1 2 3 0x x x+ + + + + =
ln( 4) 5x x− = −
3 4 5
x x x
+ =

2 3 5 38
x x x
+ + =
3 4 5
1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − <
2
2 7 2 7 35x x x x x+ + + + + <
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
phương trình sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
HD: a, b) Xét hàm số
c) Xét hàm số
d) Xét hàm số f(t) = tant + t
I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x
0
∈ D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) < f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.

Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trò của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm
trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại tại x
0
.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f′ (x
0
) = 0 và
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f′′ (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0

.
b) Nếu f′′ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
Trang 5
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x

+ = + +


+ = + +

+ = + +

3 2
3 2
3 2
2
2
2

x y y y
y z z z
z x x x

= + + −


= + + −

= + + −

3 2
3 2
3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z

= − +


= − +

= − +

x y y x
x y

x y
tan tan
5
2 3
4
,
2 2
π
π π

− = −


+ =


− < <


x y x y
x y
x y
sin sin 3 3
5
, 0
π

− = −



+ =


>


x y y x
x y
x y
sin2 2 sin2 2
2 3
0 ,
2
π
π

− = −


+ =


< <


x y x y
x y
x y
cot cot
5 7 2

0 ,
π
π

− = −

+ =


< <

3 2
( )f t t t t= + +
2
( ) 6 12 8f t t t= − +
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
•
Tìm f
′
(x).
•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
•
Xét dấu f

′
(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trò tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).
•
Tính f
′′
(x) và f
′′
(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f
′′
(x

i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f
′′
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) b) c)
d) e)
f)
Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) b)
c)
d) e) f)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
′
(x
0

) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Chú ý:
•
Hàm số bậc ba có cực trò
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai
nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:
+
+ , trong đó Ax + B là
phần dư trong phép chia y cho y
′
.
•
Hàm số = (aa

′≠
0) có cực trò
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai
nghiệm phân biệt khác .
Trang 6
2 3
3 2y x x= −
3 2
2 2 1y x x x= − + −
3 2
1
4 15
3
y x x x= − + −
4
2
3
2
x
y x= − +
4 2
4 5y x x= − +
4
2
3
2 2
x

y x= − + +
2
3 6
2
x x
y
x
− + +
=
+
2
3 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
2
2 15
3
x x
y
x
− −
=
−
3 4
( 2) ( 1)y x x= − +

2
2
4 2 1
2 3
x x
y
x x
+ −
=
+ −
2
2
3 4 4
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
2
4y x x= −
2
2 5y x x= − +
2
2y x x x= + −
3
2
1y x= +
3

2
2 1
x
y
x
=
+
4
x x
y e e
−
= +
2
5 5 2lny x x x= − + +
2
4siny x x= −
2
ln(1 )y x x= − +
3 2
y ax bx cx d= + + +
3 2
0 0 0 0
( )y x ax bx cx d= + + +
0 0
( )y x Ax B= +
2
' '
ax bx c
y
a x b

+ +
=
+
( )
( )
P x
Q x
'
'
b
a
−
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:
hoặc
•
Khi sử dụng điều kiện cần để
xét hàm số có cực trò cần phải
kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
•
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
đònh lí Vi–et.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a) b)
c)
d)

Bài 2. Tìm m để hàm số:
a) có cực đại, cực tiểu.
b) có cực đại, cực tiểu.
c) đạt cực đại tại x = 2.
d) có
một cực đại
e) đạt cực tiểu khi x = 2.
f) có cực
đại, cực
tiểu.
g) có một giá trò cực đại bằng 0.
Bài 3.Tìm m để các hàm số sau không
có cực trò:
a) b)
c)
d)
Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a) đạt cực tiểu bằng 0 tại x =
0 và đạt cực đại bằng tại x =
b) có đồ thò đi qua gốc toạ độ O
và đạt cực trò bằng –9 tại x = .
c) đạt cực trò bằng –6 tại x = –1.
d) đạt cực trò tại x = 0 và x
= 4.
e) đạt cực đại bằng 5 tại x
= 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a) đạt cực trò tại
hai điểm x
1

, x
2
sao cho: .
Trang 7
0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
=
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
2 2 4
( 1) 1x m m x m

y
x m
+ − − +
=
−
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
4 2
2( 2) 5y mx m x m= − + − + −
1
.
2
x =
2
2 2x mx
y
x m

− +
=
−
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
2
1
x x m
y
x
− +
=
−
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
2
5
3
x mx
y
x

− + +
=
−
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
3 2
y ax bx cx d= + + +
4
27
1
3
4 2
y ax bx c= + +
3
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
−
2

ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
2
2
2
1
ax x b
y
x
+ +
=
+
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = +
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
b) đạt cực trò tại hai điểm x
1
,

x
2
sao cho: .
c) đạt cực
trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho: .
Bài 6. Tìm m để hàm số :
a) có cực đại, cực tiểu và các
giá trò cực đại, cực tiểu cùng
dấu.
b) có cực đại, cực tiểu
và tích các giá trò cực
đại, cực tiểu đạt giá trò
nhỏ nhất.
c) có giá trò cực đại M và giá trò
cực tiểu m thoả .
d) có .
Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số :
a) có hai điểm cực trò là A, B
và .
b) có 3 điểm cực trò là A, B,
C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm.
c) có hai điểm cực trò nằm hai
phía đối với trục tung. Chứng
minh hai điểm cực trò luôn
luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d) có khoảng cách giữa hai điểm

cực trò bằng 10.
e) có hai điểm cực đại và cực
tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x.
f) có hai điểm cực trò và
khoảng cách giữa chúng nhỏ
nhất.
Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số :
a) có hai điểm cực trò cách
đều trục tung.
b) có các điểm cực đại, cực
tiểu đối xứng nhau qua đường
phân giác thứ nhất.
c) có các điểm cực đại, cực
tiểu ở về một phía đối với
đường thẳng (d): .
d) có hai điểm cực trò nằm
ở hai phía đối với đường
thẳng (d): .
Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số :
a) có hai điểm cực trò ở
Trang 8
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
1 2
8x x− ≥
3 2
1 1

( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +
1 2
2 1x x+ =
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
2
3
4
x x m
y
x
− + +

=
−
4M m− =
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
12
CĐ CT
y y− <
3 2
4y x mx= − + −
2
2
900
729
m
AB =
4 2
4y x mx x m= − + +
2
2x mx m
y
x m
+ + −

=
−
2
1
x mx
y
x
+
=
−
2
2 5
1
x mx
y
x
− + +
=
−
2
2 3x x m
y
x m
+ + +
=
−
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
3 2 3
3 4y x mx m= − +

3 2 3
3 4y x mx m= − +
3 2 8 0x y− + =
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
2 3 1 0x y− − =
2
( 1) 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ.
b) có một điểm cực trò
nằm trong góc phần tư
thứ hai và điểm kia
nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
c) có một điểm cực trò
nằm trong góc phần tư
thứ nhất và điểm kia nằm
trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.

d) có hai điểm cực trò nằm
ở hai phía của trục hoành
(tung).
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba .
•
Chia f(x) cho f
′
(x) ta
được: f(x) = Q(x).f
′
(x) + Ax + B.
•
Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trò thì:
⇒
Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y

2
)
nằm trên đường thẳng y = Ax
+ B.
2) Hàm số phân thức .
•
Giả sử (x
0
; y
0
) là điểm
cực trò thì .
•
Giả sử hàm số có cực đại và
cực tiểu thì phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trò
ấy là: .
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a) b) c)
d) e
Bài 2.Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trò của đồ thò hàm số:
a) b)
c) d)
Bài 3. Tìm m để hàm số:
a) có đường thẳng đi
qua hai điểm cực trò
song song với đường thẳng y = –4x + 1.
b) có các điểm cực đại,
cực tiểu của đồ thò nằm

trên đường thẳng y = –4x.
Trang 9
2 2 2
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
2 2 2
( 1) 4mx m x m m
y
x m
− + + +
=
−
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
1 1 1

2 2 2
( )
( )
y f x Ax B
y f x Ax B

= = +

= = +

2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
0
0
0
'( )
'( )
P x
y
Q x
=
'( ) 2

'( )
P x ax b
y
Q x d
+
= =
3 2
2 1y x x x= − − +
2 3
3 2y x x= −
3 2
3 6 8y x x x= − − +
2
2 1
3
x x
y
x
− +
=
+
2
1
2
x x
y
x
− −
=
−

3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
2
6x mx
y
x m
+ −
=
−
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − −
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + −
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
c) có đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu vuông
góc với đường thẳng y = 3x – 7.
d) có các điểm cực đại và
cực tiểu đối xứng nhau qua

đường thẳng (∆): .
1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D ⊂ R).
a)
b)
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng
biến trên [a; b] thì .
b) Nếu hàm số f nghòch
biến trên [a; b] thì .
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
•
Tính f
′
(x).
•
Xét dấu f
′
(x) và lập bảng biến thiên.
•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′

(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).
•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
•
So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của
các hàm số sau:
a) trên [–1; 5] b)
trên [–2; 3]
Trang 10
3 2
7 3y x mx x= + + +
3 2 2

3y x x m x m= − + +
1 5
2 2
y x= −
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M

≤ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m


≥ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a= =
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b= =
{ }
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x= =
{ }
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x= =
2
4 3y x x= + +

3 4
4 3y x x= −
4 2
2 2y x x= + −
2
2y x x= + −
2
1
2 2
x
y
x x
−
=
− +
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
2
1
( 0)y x x
x
= + >

2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ +
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
+ +
= >
+
3 2
2 3 12 1y x x x= + − +
3
3y x x= −
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
c) trên [–3; 2]
d) trên [–2; 2]
e) trên [0; 2]
f) trên [0; 4]
g) trên [0; 2]

h) trên [0; 1]
i) trên [–6; 8]
k)
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.
•
Chứng minh một bất đẳng thức.
•
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở
thành đẳng thức.
Bài 1. Giả sử .
Tìm giá trò lớn
nhất của biểu thức:
.
HD:
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
⇒
P
≤
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y
= z = . Vậy .
Bài 2. Cho D = . Tìm
giá trò nhỏ nhất của biểu thức: .
HD:

⇔

⇒
S
≥
5. Dấu “=”
xảy ra
⇔
x = 1, y = . Vậy minS = 5.
Bài 3. Cho D = . Tìm giá
trò nhỏ nhất của biểu
thức:
.
HD: = .
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
⇔

⇒
P
≥
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x
Trang 11
4 2
2 3y x x= − +
4 2
2 5y x x= − +
3 1
3

x
y
x
−
=
−
1
1
x
y
x
−
=
+
2
4 7 7
2
x x
y
x
+ +
=
+
2
2
1
1
x x
y
x x

− +
=
+ −
2
100y x= −
2 4y x x= + + −
2sin 1
sin 2
x
y
x
−
=
+
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +
2
2sin cos 1y x x= − +
cos2 2sin 1y x x= − −
3 3
sin cosy x x= +
2
4 2
1
1

x
y
x x
−
=
− +
2 2
4 2 5 2 3y x x x x= − + + − +
2 2
4 4 3y x x x x= − + + − +
{ }
( ; ; )/ 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + =
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
= − + +
 ÷
+ + +
 
[ ]
1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + = + + ≥
 ÷
+ + +
 
3
4
1
3
3
min
4
D
P =
5
( ; )/ 0, 0,
4
x y x y x y
 
> > + =
 
 
4 1
4
S
x y

= +
( )
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 
4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
+ + ≥
 ÷
 
1
4
{ }
( ; )/ 0, 0, 1x y x y x y> > + <
2 2
1
1 1
x y
P x y
x y x y

= + + + +
− − +
2 2
1
(1 ) (1 ) 2
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + + + + −
− − +
1 1 1
2
1 1x y x y
+ + −
− − +
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 
− + − + + + + ≥
 ÷
− − +
 
1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ≥

− − +
5
2
1
3
5
2
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
= y = . Vậy minP = .
Bài 4. Cho D = . Tìm giá
trò nhỏ nhất của biểu thức:
.
HD: (1)
Theo bất đẳng
thức Cô–si: (2)
(3)
⇒
P
≥
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = 2. Vậy minP = .
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y
0
là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
Tuỳ theo dạng của hệ trên mà
ta có các điều kiện tương ứng.
Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m

≤
y
0

≤
M (3)
Vì y
0
là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
Bài 1. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) b) c)
d)
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên
tục trên miền D và có .
Khi đó:
1) Hệ phương trình có nghiệm
⇔
m
≤

α

≤
M.
2) Hệ bất phương trình có nghiệm
⇔
M
≥

α
.
3) Hệ bất phương trình có nghiệm
⇔
m
≤

β
.
4) Bất phương trình f(x)
≥

α
đúng
với mọi x
⇔
m
≥

α
.
5) Bất phương trình f(x)
≤

β
đúng với mọi x
⇔
M
≤

β
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) b) c)
Bài 2. Tìm m để các phương
trình sau có nghiệm:
Trang 12
{ }
( ; )/ 0, 0, 4x y x y x y> > + ≥
2 2
2
3 4 2
4
x y
P
x
y
+ +
= +
2
1 1
2
4 8 8 2
x y y x y
P
x
y
 
+
= + + + + +

 ÷
 
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ≥ =
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =
9
2
9
2
0
( ) (1)
(2)
f x y
x D

=

∈


min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
y
x x
+ +
=

− +
2sin cos 3
2cos sin 4
x x
y
x x
+ +
=
− +
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
( )f x
x D

=

∈

α
( )f x
x D

≥

∈

α
( )f x
x D


≤

∈

β
4 4
2 4 2x x− + − =
3 5 6 2
x x
x+ = +
5 5
1
(1 )
16
x x+ − =
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
a)
b)
c) d)
Bài 3. Tìm m để các bất
phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:
a) b)
c)
Bài 4. Cho bất phương trình: .
a) Tìm m để bất phương trình
có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a) có nghiệm. b) có

nghiệm x ∈ [0; 2].
c) nghiệm đúng với mọi x ∈
[0; 1].
Trang 13
2
2 1x x m+ + =
2 2 (2 )(2 )x x x x m− + + − − + =
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =7 2 (7 )(2 )x x x x m− + + − − + =
2
2 1x x m+ + >
2
2 9m x x m+ < +
4
4 0mx x m− + ≥
3 2
2 1 0x x x m− + − + <
3 1mx x m− − ≤ +
( 2) 1m x m x+ − ≥ +
2 2
( 1) 1m x x x x− + ≤ + +
IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
1. Đònh nghóa:
Điểm đgl điểm uốn của đồ thò
hàm số y = f(x) nếu tồn tại một
khoảng (a; b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a; x
0

) và (x
0
; b) tiếp
tuyến của đồ thò tại điểm U nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm
phía dưới đồ thò
2. Tính chất:
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm
cấp hai trên một khoảng chứa
điểm x
0
, f′′(x
0
) = 0 và f′′(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
thì là một điểm uốn của đồ thò hàm
số.
• Đồ thò của hàm số bậc ba (a
≠ 0) luôn có một điểm uốn và
đó là tâm đối xứng của đồ thò.
Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 2. Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a) ; I(1; 2). b) ; I(1; 3)
c) ; I(1; 4)
d) ;
e) ; I(1; 0) f) ; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thò của các
hàm số sau có 3 điểm uốn:
a) b)

Bài 4. Chứng minh đồ thò
của các hàm số sau có
3 điểm uốn thẳng hàng:
a) b)
c)
d) e)
f)
g) h)
i)
Bài 5. Tìm m, n để đồ thò của
các hàm số:
a) có hai điểm uốn
thẳng hàng với điểm
A(1; –2).
b) có điểm uốn ở trên đường
thẳng .
c) có điểm uốn ở trên Ox.
Trang 14
( )
0 0
; ( )U x f x
( )
0 0
; ( )U x f x
3 2
y ax bx cx d= + + +
3 2
6 3 2y x x x= − + +
3 2
3 9 9y x x x= − − +

4 2
6 3y x x= − +
4
2
2 3
4
x
y x= − +
4 3 2
12 48 10y x x x= − + +
5 4
3 5 3 2y x x x= − + −
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
3
2
8
( 1) ( 3)
3 3
x
y m x m x= − + − + + −
3 2
1y mx nx= + +
3 2
2y x mx nx= − + −
2
; 3
3
I
 

−
 ÷
 
3
2
3 2
x
y mx
m
= − + −
3 2
3 4y mx mx= + +
5
4 3
4
(4 3) 5 1
5 3
x
y x m x x= − + + + −
2
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
+
2

2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
2
1
1
x
y
x
+
=
+
2
2
2 3
1
x x
y
x
−
=
+
2
2 1
1

x
y
x
+
=
+
2
1
x
y
x
=
+
2
2
2 5
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
2
2
2 3
3 3
x x
y
x x

−
=
− +
2
2
3
1
x x
y
x
+
=
+
3
2
4 5
x
y
x x
=
− +
4 3 2
2 6 2 1y x x x mx m= − − + + −
3
2
2
3 3
x
y x mx= − − + +
2y x= +

4 2
1
4
y x mx n= − + +
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. Đònh nghóa:
• Đường thẳng đgl đường tiệm cận
đứng của đồ thò hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả
mãn:
; ; ;
• Đường thẳng đgl đường tiệm
cận ngang của đồ thò hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
;
• Đường thẳng đgl đường tiệm
cận xiên của đồ thò hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
;
2. Chú ý:
a) Nếu là hàm số phân thức hữu
tỷ.
• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì
đồ thò có tiệm cận đứng .
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.
• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng
các công thức sau:
hoặc

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a) b)
c)
d) e)
f)
Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a) b)
c)
d) e)
f)
Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a) b)
c)
d) e)
f)
Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a) b)
c)
Trang 15
0
x x=
( )y f x=
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
0

lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
0
y y=
( )y f x=
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
0

lim ( )
x
f x y
→−∞
=
, 0y ax b a= + ≠
( )y f x=
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
= =
0
x x=
[ ]
( )

lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
2 5
1
x
y
x
−
=
−
10 3
1 2
x
y
x
+

=
−
2 3
2
x
y
x
+
=
−
2
4 3
1
x x
y
x
− +
=
+
2
( 2)
1
x
y
x
−
=
−
2
7 4 5

2 3
x x
y
x
+ +
=
−
2
4 5
x
y
x x
=
− +
2
2
9
x
y
x
+
=
−
2
2
4 5
1
x x
y
x

+ +
=
−
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
4
3
4
1
x x
y
x

− +
=
−
2
4y x x= −
2
4 2
9
x
y
x
+
=
−
2
1
4 3
y
x x
=
− +
1
1
x
y x
x
−
=
+
3

2 3
3y x x= −
2
3 2
2
x x
y
x
− +
=
−
2 1
2 1
x
x
y
+
=
−
ln
2
x x
e e
y
−
−
=
2
ln( 5 6)y x x= − +
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng

Bài 5. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a) b) c)
d) e)f)
Bài 6. Tìm m
để đồ thò của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a) b)
Bài 7. Tính diện tích của tam
giác tạo bởi tiệm cận xiên
của đồ thò các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ:
a) b) c)
Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên của
đồ thò các hàm số sau tạo với
các trục toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra:
a) ; S = 8
b) ; S = 8
c) ; S = 16
d) ; S = 4
Bài 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thò
của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:
a) b)
c)
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
• Tìm tập xác đònh của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y′.
Trang 16
y
x m x m
2 2
3

4 2(2 3) 1
=
+ + + −
2
2
2
3 2( 1) 4
x
y
x m x
+
=
+ + +
2
3
2
x
y
x x m
+
=
+ + −
x
y
x m x m
2 2
3
2( 2) 1
−
=

+ + + +
x
y
x m x m
2 2
1
2( 1) 2
−
=
+ − + −
2
3
2 2 1
y
x mx m
=
+ + −
2
(3 2) 2 1
5
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
2
(2 1) 3
2
mx m x m

y
x
+ + + +
=
+
2
3 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
2
3 4
2
x x
y
x
− + −
=
+
2
7
3
x x
y
x
+ −

=
−
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
2
(2 1) 2 3
1
x m x m
y
x
+ − − +
=
+
2
2 2(2 1) 4 5
1
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
2

2 2
1
x mx
y
x
+ −
=
−
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ −
=
+
2
7
3
x x

y
x
+ −
=
−
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm
số.
• Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thò (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y′′.
– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục
toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao
điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể
vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
2. Hàm số bậc ba :
• Tập xác đònh D = R.
• Đồ thò luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
• Các dạng đồ thò:
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân

biệt
⇔ ∆’ = b
2
– 3ac > 0
y’ = 0 có nghiệm kép
⇔ ∆’ = b
2
– 3ac = 0
y’ = 0 vô nghiệm
⇔ ∆’ = b
2
– 3ac < 0
3. Hàm số trùng phương :
• Tập xác đònh D = R.
• Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Các dạng đồ thò:
Trang 17
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
y
x0
I
y
x0
I
y
x
0
I
y

x
0
I
4 2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
4. Hàm số nhất biến :
• Tập xác đònh D = .
• Đồ thò có một tiệm cận đứng là và một tiệm cận ngang là . Giao điểm của
hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
• Các dạng đồ thò:
5. Hàm số hữu tỷ
:
• Tập xác đònh D = .
• Đồ thò có một tiệm cận đứng là
và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
• Các dạng đồ thò:
a.a′ > 0 a.a′ < 0
Trang 18
a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ab < 0
y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
⇔ ab > 0
y
x
0
y
x
0

y
x
0
y
x
0
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
\
d
R
c
 
−
 
 
d
x
c
= −
a
y
c
=
0

ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y
2
( . ' 0, )
' '
ax bx c
y a a tử không chia hết cho mẫu
a x b
+ +
= ≠
+
'
\
'
b
R
a
 
−
 
 
'
'
b
x

a
= −
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y′ = 0 vô nghiệm
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a) b) c)
d) e)
f)
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thò của các hàm số:
a) b)
c)
d) e)
f)
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a) b)
c)
d) e)
f)
Bài 5. Vẽ đồ thò của các hàm số:
a) b) c)
d) e)
f)
Trang 19
0
x

y
0
x
y
3 2
3 9 1y x x x= − − +
3 2
3 3 5y x x x= + + +
3 2
3 2y x x= − + −
2
( 1) (4 )y x x= − −
3
2
1
3 3
x
y x= − +
3 2
3 4 2y x x x= − − − +
4 2
2 1y x x= − −
4 2
4 1y x x= − +
4
2
5
3
2 2
x

y x= − +
2 2
( 1) ( 1)y x x= − +
4 2
2 2y x x= − + +
4 2
2 4 8y x x= − + +
1
2
x
y
x
+
=
+
2 1
1
x
y
x
+
=
−
3
4
x
y
x
−
=

−
1 2
1 2
x
y
x
−
=
+
3 1
3
x
y
x
−
=
−
2
2 1
x
y
x
−
=
+
2
1
1
x x
y

x
+ +
=
+
2
2
1
x x
y
x
+ +
=
−
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
1
1
1
y x
x
= − + +
−
2

1
x
y
x
=
−
2
2
1
x x
y
x
−
=
+
3
3 2y x x= − +
3 2
3 2y x x= − + −
4 2
2 3y x x= − −
1
1
x
y
x
+
=
−
2

2
1
x x
y
x
− +
=
−
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.

2. Đồ thò hàm số bậc ba cắt
trục hoành tại 3 điểm
phân biệt
⇔ Phương trình có 3 nghiệm
phân biệt.
⇔ Hàm số có cực đại, cực
tiểu và .
Bài 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 2. Biện luận theo m số giao
điểm của các đồ thò của
các hàm số sau:
a) b) c)
d) e)
f)
g) h) i)
Bài 3. Tìm m để đồ thò các hàm
số:
a) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt.
b) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt.
c) cắt nhau tại hai điểm
có hoành độ trái dấu.
d) cắt nhau tại hai điểm có
hoành độ trái dấu.
e) cắt nhau tại hai điểm
thuộc hai nhánh khác nhau.
f) cắt trục hoành tại hai điểm

phân biệt có hoành độ dương.
Bài 4. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a) cắt nhau tại ba điểm
phân biệt.
b) cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt.
c) cắt trục hoành tại ba
Trang 20
VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
3 2
0ax bx cx d+ + + =
3 2
y ax bx cx d= + + +
. 0
CĐ CT
y y <
2
3
3
2 2
1
2 2
x
y x
x

y

= − + −




= +


2
2 4
1
2 4
x
y
x
y x x

−
=

 −

= − + +

3
4 3
2
y x x

y x

= −

= − +

4 2
2
1
4 5
y x x
y x


= − +

= −


3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x


= − + −

= − +



2
1
3 1
x
y
x
y x


=

−

= − +

y x x
y m x
3
3 2
( 2)

= − −

= −

3 2
2
3 2

1 13
2 12
x x
y x
y m x

= + −



 

= + +
 ÷

 

3
3
3
( 3)
x
y x
y m x


= − +


= −


2 1
2
2
x
y
x
y x m

+

=

+

= +

1
1
2
x
y
x
y x m

+

=

−


= − +

2
6 3
2
x x
y
x
y x m

− +

=

+

= −

1
3
1
3
y x
x
y mx


= − + +


−

= +

2
3 3
2
4 1
x x
y
x
y mx m

− +

=

−

= − −

y x x
y m x
3
2
2 1
( 1)


= − +


= −


2
( 2) 1
; 1
2
x
y y mx
x
+ −
= = +
+
2
2 3
; 2
1
x x m
y y x m
x
− +
= = +
−
2
; 2
1
mx x m
y y mx
x

+ +
= = +
−
2
4 5
; 2
2
x x
y y mx
x
+ +
= = +
+
2
( 2)
; 3
1
x
y y mx
x
−
= = +
−
2
1
mx x m
y
x
+ +
=

−
3 2
3 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = − +
3 2
3 (1 2 ) 1y mx mx m x= + − − −
2 2
( 1)( 3)y x x mx m= − − + −
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
điểm phân biệt.
d) cắt nhau tại ba
điểm phân biệt.
e) cắt nhau tại ba điểm
phân biệt.
Bài 5. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a) cắt nhau tại bốn điểm
phân biệt.
b) cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.
c) cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.
Bài 6. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a) cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A, B. Khi đó tìm m để
đoạn AB ngắn nhất.
b) cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A, B. Khi đó tìm m để
đoạn AB ngắn nhất.
c) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt A, B. Khi đó
tính AB theo m.

Bài 7. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a) cắt trục hoành tại ba điểm
có hoành độ lập thành một
cấp số cộng.
b) cắt nhau tại ba điểm
A, B, C với B là trung
điểm của đoạn AC.
c) cắt trục hoành tại bốn
điểm có hoành độ lập thành
một cấp số cộng.
d) cắt trục hoành tại
ba điểm có hoành độ
lập thành một cấp số nhân.
e) cắt trục hoành tại ba
điểm có hoành độ lập
thành một cấp số nhân.
Trang 21
3 2 2
2 2 2 1; 2 2y x x x m y x x= + − + − = − +
3 2 2 2
2 3 ; 2 1y x x m x m y x= + − + = +
4 2
2 1;y x x y m= − − =
4 2 3
( 1)y x m m x m= − + +
4 2 2
(2 3) 3y x m x m m= − − + −
3 1
; 2
4

x
y y x m
x
+
= = +
−
4 1
;
2
x
y y x m
x
−
= = − +
−
2
2 4
; 2 2
2
x x
y y mx m
x
− +
= = + −
−
3 2
3 6 8y x mx mx= − + −
3 2
3 9 1; 4y x x x y x m= − − + = +
4 2 2

(2 4)y x m x m= − + +
3 2
( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= − + − − + −
3 2
3 (2 2) 9 192y x m x mx= + + + +
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về
một trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
• Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, … của (C)
có hệ số góc k.
• Dựa vào các tung độ gốc m, b
1
, b
2
, … của d, d
1
, d
2
, …
để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0
• d quay quanh điểm cố đònh M
0
(x
0
; y
0
).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
• Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.
Chú ý:
•
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:
α

≤
x
≤

β
thì ta chỉ vẽ đồ thò (C): y = f(x)
với
α

≤
x
≤

β
.
•
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.
Trang 22
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y

CĐ
y
CT
x
A
c.
y
c.
x
A
c.
y = kx
c.
m
c.
(C)
c.
M
1
M
2
b
1
b
2
d
1
d
d
2

O
y
c.
x
0
d
3
d
1
y
0
c.
0
(C)
c.
M
1
M
2
d
2
m = –∞
m = +∞
m > 0
m = 0
m < 0
d
I
IV
(–)

(+)
M
x
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò.
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a) b)
c) d)
e) f)
Bài 2. Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thò
(C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)
b)
c)
d)
Bài 3. Khảo sát
sự biến thiên và
vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
a)
b)
c)
d)
Bài 4. Khả
o sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:

a)
b)
c)
d)
Bài 5. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ
đồ thò (C) của hàm số. Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò (T). Dùng đồ thò (T) biện luận
theo m số nghiệm của phương trình:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 6. Cho
hàm số .
Trang 23
3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m= − + − + − =
3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m= − + − − + + =
3 3 2
3 1; 3 2 2 0y x x x x m m= − + − − − − =
3 3
3 1; 3 4 0y x x x x m= − + − − + + =
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x

y x x x m= − + + − − + =
4 2 4 2
2 2; 2 2 0y x x x x m= − + − − + =
2
2
5 7
; ( 5) 3 7 0
3
x x
y x m x m
x
− +
= − + + + =
−
2
2
2 4 2
; 2 2( 2) 3 2 0
2 3
x x
y x m x m
x
− +
= − + − + =
+
2
2
1
; ( 1) 2 1 0
x

y m x x
x
+
= − + − =
2
2
2 4
; 2( 1) 4( 1) 0
2 4
x x
y x m x m
x
− +
= − + + + =
−
2
2
2
; 2sin 2 cos 2 0 (0 )
2 1
x
y m m
x
= + − − = ≤ ≤
−
α α α π
2
2 3
; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 )
2

x x
y m m
x
−
= − + + + = ≤ ≤
−
α α α π
2
2
3 3
; cos (3 )cos 3 2 0 (0 )
2
x x
y m m
x
+ +
= + − + − = ≤ ≤
+
α α α π
3 2 3 2
3 6; cos 3cos 6 0y x x x x m= − + − + − =
2
5 7
; 2 (3 7)2 5
3
t t
x x
y m m
x
−

− +
= + + = +
−
2
1
; 2 ( 1)2 1
1
t t
x x
y m m
x
−
+ −
= + − = −
−
2
2
2 5 4
; 2 (5 ) 4 0
1
t t
x x
y e m e m
x
− +
= − + + + =
−
2
2
5 4

; (5 ) 4 0
t t
x x
y e m e
x
− +
= − + + =
2 2 2
3 6 3 6 3 6
( ): ; ( ): ; 2 0
1 1 1
x x x x x x
C y T y m
x x x
− + − + − +
= = − =
− − −
2 2 2
5 4 5 4 5 4
( ): ; ( ): ; 2 0
x x x x x x
C y T y m
x x x
− + − + − +
= = − + =
3 2 3 2 3 2
( ): 3 6; ( ): 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m= − + = − + − + − + =
3 3
3 2 2 2
( ): 2 9 12 4; ( ): 2 9 12 4; 2 9 12 0C y x x x T y x x x x x x m= − + − = − + − − + + =

2 2 2 2
( ): ( 1) (2 ); ( ): ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m= + − = + − + − = + −
2 2
2
1 1
( ): ; ( ): ; ( 1) 2 1 0
x x
C y T y m x x
x
x
+ +
= = − + − =
2
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) vuông góc với đường thẳng .
c) Dùng đồ thò (C), biện luận số nghiệm của phương trình:
Bài 7. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) vuông góc với đường thẳng .
c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Bài 8. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1).
c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thò
Cơ sở của phương pháp: Xét
phương trình bậc ba: (a
≠
0)
(1)
Gọi (C) là đồ thò của hàm
số bậc ba:
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
•
Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm
⇔
(C) và Ox có 1 điểm chung

⇔

•
Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm
⇔
(C) tiếp xúc với Ox
Trang 24
3 0x y− =

2
3 ( 2) 2 0x m x m− + + + =
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
2 0x y− =
2
2 ( 1) 1 0x m x m− + + + =
2
( )
1
x
y f x
x
= =
−
2
(1 ) (1 ) 1 0m x m x− − − + =
3 2
0ax bx cx d+ + + =
3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
CĐ CT
f không có cực trò h a

f có cực trò
h b
y y
( .1 )
2
( .1 )
. 0





>



(C)
A
x
0
O
x
y
(h.1a)
(C)
A
x
0
x
y

(h.1b)
x
1
o
x
2
y
CT
y
CĐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
⇔

•
Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

⇔

Dạng 2: Phương trình bậc ba
có 3 nghiệm cùng dấu
•
Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
⇔

•
Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
⇔

Trang 25
2
( .2)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y


=

(C)
y
CĐ
y
A
x
0
o
x
1
B
x'
0
(y

CT
= f(x
0
) = 0)
x
(H.2)
x"
0
C
x
1
(C)
y
CĐ
y
A
o
x
2
x
(H.3)
y
CĐ
x
0
x'
0
B
2
( .3)

. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y


<

2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x
a f hay ad


<


> >

< <


x

1
x
A
x
B
x
C
C
(C)
y
CĐ
y
A
o
x
2
x
a > 0
y
CT
B
f(0)
x
1
x
A
x
B
x
C

C
(C)
y
CĐ
y
A
o
x
2
x
a < 0
y
CT
B
f(0)
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x
a f hay ad


<



< <

> >


x
1
x
A
x
B
x
C
C
(C)
y
CĐ
y
A
o
x
2
x
a > 0
y
CT
B
f(0)
x
C

x
2
x
1
x
A
x
B
C
(C)
y
CĐ
y
A
o
x
a < 0
y
CT
B
f(0)