Tài liệu ôn thi ĐH môn Toán

Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình
Và hệ bất phơng trình đại số
Đ1. Hệ phơng trình phơng trình đại số
Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp
1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại
3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia
và ngợc lại
4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trờng hợp, sau đó đặt x = ty
5) Một số hệ phơng trình khác
Các ví dụ
Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình



=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2

a
x y
x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ phơng trình

=+
=+
222
6 ayx
ayx

a) Giải hệ khi a = 2
b) Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ
5) Cho hệ phơng trình





+=+
+=+
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6) Giải hệ phơng trình:

=+
=+
22
22
xy
yx

7) Giải hệ phơng trình:





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m = 6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Ví dụ 2. Giải hệ phơng trình:







+

=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1
TH2 chú ý: x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải hệ phơng trình:





=+
=+
358
152

33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x. y

Đs: (1, 3) và (3/2, 2)
Ví dụ 4. Giải hệ phơng trình:





=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
1
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
HD: từ (2) : - 1 x, y 1 hàm số:
( )
tttf 3
3
=
trên [-1;1] áp dụng vào phơng trình (1)

Ví dụ 5. CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:







+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx

yx
; xét
23
2)( xxxf =
, lập BBT suy ra KQ
Ví dụ 6. Giải hệ phơng trình:





=+
=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Ví dụ 7.





=+
=+
)1(
)1(
2
2

xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ

a = 8
Ví dụ 8. Giải hệ phơng trình:





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD: Rút ra
y
yy
y
x +=
+
=
55
2
; Cô si

52
5
+= y
y
x
;
20
2
x
theo (1)


20
2
x
suy ra x, y
Ví dụ 9.





++=+
=
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung

(1;1) (3/2;1/2)
Ví dụ 10.





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: Từ (1) đặt
2,1 +=+= yvxu
đợc hệ dối xứng với u, -v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)





=
=
495
5626

22
22
yxyx
yxyx
2)





+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)





=++
=++
095
18)3)(2(
2
2

yxx
yxxx
4)





++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử

4 nghiệm
5)





+=
=
mxyx
yxy
26

12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)





=
=
19
2.)(
33
2
yx
yyx
Đặt t = x/y Hệ pt có 2 nghiệm
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
2
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
7)



=++
=++
64
9)2)(2(

2
yxx
yxxx
Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y
8)
2 2 2 2
2 (1)
4
x y x y
x y x y

+ =


+ + =


HD: Đổi biến theo v, u từ phơng trình (1)
9)





=+
=+
22
333
6
191

xxyy
xyx
HD: Đặt x = 1/z thay vào đợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)
10)





+=
=
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x = y V xy = - 1
CM
02
4
=++ xx
vô nghiệm bằng cách tách hàm số

kq: 3 nghiệm
11)

+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
12)





=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế

13)





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y
x
HD nhân 2 vế của (1) với
xy
Đ2. Phơng trình và bất phơng trình phơng trình đại số
Một số dạng phơng trình và bất phơng trình thờng gặp
1) Bất phơng trình bậc hai
Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Phơng pháp hàm số
2) Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

( )
2 2
0
( 0)

A B A B
A B
A B B
A B
A B B A B B
< <
>

>

<

< < < >
3) Phơng trình, bất phơng trình chứa căn thức
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm m để
mxxxx ++++ )64)(3)(1(
2
nghiệm đúng với mọi x
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m - 2
Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm





=+++
+
2)1(2
2

ayxxy
yx
HD:
2 2
2 (1)
( 1) ( 2) 1 (2)
x y
x y a
+
+ = +



TH1: a + 1 0 Hệ vô nghiệm
TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đờng tròn còn (1) là miền gạch chéo: a - 1/2
Ví dụ 3. Giải các phơng trình, bất phơng trình sau
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
3
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
1)
014168
2
++ xxx
2)
xxx 2114 =+
: x = 0
3)
510932)2(2
22
==+ xxxxx

4)
211
22
=++ xxxx
HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22
xxxx
KD 2002
Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm





+
++
012
0910
2
2
mxx
xx
ĐS: m4
Ví dụ 5. Giải bất phơng trình
2212 >+ xxx
HD + / Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
+ / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK
Ví dụ 6. Giải bất phơng trình:

7
2
1
2
2
3
3 +<+
x
x
x
x
HD Đặt
2,
2
1
+= t
x
xt
, AD BĐT cô si suy ra ĐK
Ví dụ 7. Giải bất phơng trình:
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD: + / Xét 2 trờng hợp chú y DK x> = - 1

+ / Trong trờng hợp x 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Ví dụ 8. Cho phơng trình:
mxxxx ++=+ 99
2
. Tìm m để phơng trình có nghiệm
HD: + / Bình phơng 2 vế chú ý ĐK
+ / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t
+ / Sử dụng BBT suy ra KQ
Ví dụ 9. Giải bất phơng trình (KA 2004) :
3
7
3
3
)16(2
2


>+


x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
1)

=+
++
0
12
22
ayx
xyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
ĐS a = - 1 và a = 3
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm:
mxx + 41624

3)
16212244
2
+=++ xxxx
4)
12312 +++ xxx
5)
1212)1(2
22
=+ xxxxx
HD: Đặt
12
2
+= xxt
, coi là phơng trình bậc hai ẩn t
6)
2
2)2()1( xxxxx =++

7)
2
3
1)2(12
+
=++
x
xxxx
8) Cho phơng trình:
mxxxx =++++ 444
a) Giải phơng trình khi m = 6
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
9)
1
1
251
2
<


x
xx
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
4
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
10)
023243
2
=+++ xxx
11) Tìm a để với mọi x:

32)2()(
2
+= axxxf
ĐS a 4 ; a 0
Chuyên đề 3: Lợng giác
Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi lợng giác
Một số dạng phơng trình cơ bản
Phơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lợng giác
Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin
2
x + b. sinx. cosx + c. cos
2
x + d = 0
Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx:
a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x = 0
a. sin
3
x + b. sin

2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x + m = 0
Phơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinxcosx) + b. sinx. cosx + c = 0
Phơng trình đối xứng với tgx, cotgx
Phơng trình đối xứng với sin
2n
x, cos
2n
x
Các ví dụ
Ví dụ 1.
2.cos4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
HD: đặt ĐK x =

/3 + k.

Ví dụ 2.
)1(sin
2

1
3
2
cos
3
cos
22
+=






++






+ xxx

HD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21 =++


ĐS 3 họ nghiệm

Ví dụ 3.
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
=+
x
x
x
x
HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm
Ví dụ 4.
3 3
sin .sin 3 cos .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x x x
x x

+
=

+
ữ ữ

HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = -

/6 + k

Ví dụ 5.
3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x + + =

HD: Biến đổi theo sin và cos đợc
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
=++ xxxx
ĐS x =

/3 + k

Ví dụ 6.
3.tan 6sin 2sin( )
2
tan 2sin 6sin( )
2
y
x y x
y
x y x

+ =

= +


HD: nhân (1) với (2) rút gọn
2 2
tan 4sin
2
y
y=
đặt
2
tan
2
y
t

=
ữ

; t = 0,
3t =
Ví dụ 7.
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos ++=
HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dụ 8.
2

1
5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet trờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
cos cos 2 cos
sin sin 2 sin
T x x nx
T x x nx
= + + +


= + + +

thực hiện rút gọn bằng cách trên
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
5
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Ví dụ 9.
2 2
tan .sin 2.sin 3(cos2 sin .cos )x x x x x x = +
HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2)
Ví dụ 10.
2
9
sin
cos
2
log 4.log
. 2 4
x

x



ữ

=
HD:
4
)(sinlog
2log
.2.log2
2
sin
sin
sin
=
x
x
x
x
Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn.
Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN:
xx
xx
y

24
24
cos2sin.3
sin4cos.3
+
+
=
HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạn

M = 8/5 m = 4/3
Ví dụ 2. Cho phơng trình:
tgxxmx += 1cos.2cos
2
1) Giải phơng trình khi m = 1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]
HD: t = tgx,
0; 3t



; Lập BBT f(t)

ĐS:






+ 1;31)31(m

Ví dụ 3. : Tìm GTLN, GTNN:
xxy 2cossin.2
48
+=
HD: t = cos2x, - 1t1 tìm Max, Min trên 1 đoạn
( )
33,
)1(80 == tttf

ĐS:M = 3, m = 1/27
Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN:
1cos.sinsincos
44
+++= xxxxy
Ví dụ 5. Cho phơng trình:
02sin24cos)cos.(sin2
44
=++++ mxxxx
Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2] ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ 6. Cho phơng trình
3cos2sin
1cossin2
+
++
=
xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a = 1/3

2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
HD: Đa về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 ĐS [ -1/2, 2]
Ví dụ 7. Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, ) :






+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22

xx
x
Bài tập áp dụng
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos = xxxxxx
2)
2cos.3sincos.3sin =+++ xxxx
3)
2 2
5 3
3sin (3 ) 2sin .cos 5sin 0

2 2 2
x x x x



+ + + + =
ữ ữ ữ

4)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2 +=
5)
2
1 cos 2
1 cot 2
sin 2
x
x
x

+ =
HD: Chú ý ĐK

ĐS: x = -

/4 + k

/2
6)
2
cos2 cos (2.tan 1) 2x x x+ =
7)
03cos2cos84cos3
26
=++ xx
8)
1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
=

+

x
x
x
x

9)
02cos2sincossin1
=++++
xxxx
Một số đề thi từ năm 2002
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
6
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của phơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+

+ x
x
xx
x
KA 2002
2) Giải phơng trình
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
1 tan
cos
x x
x
x

+ =
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của phơng trình
2
cot 2 tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
+ =
KB 2003

4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
[ ]
0;14
của phơng trình
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x + =
KB 2003
5) Xác định m để phơng trình
( )
4 4
2 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m+ + + =
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2




(DB 2002)
6) Giải phơng trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
=
(DB 2002)
7) Giải phơng trình

2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x

+ = +
ữ

(DB 2002)
8) Cho phơng trình
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+
a) Giải phơng trình (2) khi
1
3
a =
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
9) Giải phơng trình
2
1
sin
8cos

x
x
=
(DB 2002)
10) Giải phơng trình
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
= +
+
(KA 2003)
11) Giải phơng trình
( )
3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x + + =
(DBKA 2003)
12) Giải phơng trình
( )
2
cos 2 cos 2tan 1 2x x x= =
(DBKA 2003)
13) Giải phơng trình
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x + + =
(DBKB 2003)
14) Giải phơng trình
( )

2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x



ữ

=

(DBKB 2003)
15) Giải phơng trình
2 2 2
sin .tan cos 0
2 4 2
x x
x


=
ữ ữ

(KD 2003)
16) Giải phơng trình
( )

( )
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x
x x

= +
+
(DBKD 2003)
17) Giải phơng trình
2sin 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
(DBKD 2003)
18) Giải phơng trình
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x =
(KB 2004)
19) Giải phơng trình
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x + =
(KB 2004)

Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit
Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình Mũ lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số phơng trình cơ bản.
Khi giải phơng trình về logarit chú ĐK.
Các ví dụ
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
7
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Ví dụ 1. Cho phơng trình:
0121loglog
2
3
2
3
=++ mxx
1) Giải phơng trình khi m = 2
2) Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc
[ ]
3
3;1
HD: m [0;2]
Ví dụ 2.



=+
=+
4loglog2

5)(log
24
22
2
yx
yx
đs (4, 4)
Ví dụ 3.
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx =++
HD: ĐK x>0 Và x1; ĐS x = 2,
332 =x
Ví dụ 4.
xxxx
3535
log.loglog.log +=
HD: Đổi cơ số ĐS: x = 1 và x = 15
Ví dụ 5.

++=+
=
633
)(39
22
3log)(log
22
xyyx
xy
xy
Ví dụ 6.
x
x
=
+
)1(log
3
2
HD: ĐK x> - 1 TH1: - 1<x 0 phơng trình vn
TH2: x>0, đặt y = log
3
(x + 1) Suy ra
1
3
1
3
2
=

+






yy
Ví dụ 7.
32
2
2
23
1
log xx
x
x
=

+
HD: VP 1 với x>0, BBT VT 1 ; Côsi trong lôgagrit

ĐS x = 1
Ví dụ 8.





=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0, 1) (2, 4)
Ví dụ 9. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) :
( )

3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
=+ xmxx
HD: t > = 5;
31
1
31
1,0
2
2
<





=

+
>
m
t
m
m

mm
Ví dụ 10.





=+
=
322
loglog
yx
xy
yxy

HD ĐK x, y>0 và khác 1; BĐ (1) đợc
TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm
TH2:
2
1
y
x =
thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1
Đ2. Bất phơng trình và hệ bất phơng trình Mũ lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu một số bất phơng trình về mũ và logarit
Chú y ĐK
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm:

+
<
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
HD: ĐK x>1; Giải (2) 1<x 2; BBT
( ) ( )
3 3
1
x
f x x

=
ĐS: k > - 5
Ví dụ 2.

06log)1(log2log
2
4
1
2
1
++ xx
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
8
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Ví dụ 3.
xx
xx
22
log
2
3
log
2
1
.2.2

HD: Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2
Ví dụ 4.
1))279.((loglog
3

x
x
Ví dụ 5.

2
2
4
log log ( 2 ) 0x x x


+ <

Ví dụ 6.
06log)52(log)1(
2
1
2
2
1
++++
xxxx
HD: Đặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 trờng hợp t
1
,

t
2

ĐS (0;2] v (x 4)
Ví dụ 7. Giải bất phơng trình
xx
x
22
log

2
3
log
2
1
22
Ví dụ 8. Giải bất phơng trình:
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
>
+
++
x
xx
Ví dụ 9. Giải bất phơng trình:
2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x
<
+
Bài tập áp dụng
1)

x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log +=















2)

( )
)112(log.loglog2
33
2
9
+= xxx
3)
3
3
1
29
2
2
2
2










xx
xx
4)

=
=+
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x, y 1 ĐS: (1, 1) (9, 3)
5)





=+
=+
3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x
6)

=+
=
25
1)
1
(log)(log
22
4
4
1
xy
y
xy
KA 2004 ĐS: (3; 4)
7)
6)22(log).12(log
1
22
=++
+xx
ĐS x = log
2
3
8) Tìm a để hệ sau có nghiệm:

++
>+






+

0)1(
1)32(
2
4
32
log
2
5,0
axax
xx
x
x
HD: a>3/2
9)
3
log log (9 6) 1
x
x

=

10) Giải phơng trình
)2(log)12(log
2
2
2
3
xxxx +=++
11)





=
+=+
+
yx
xyyx
xyx 1
22
22
12)

=+
=+


06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
9
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
13) Tìm m để phơng trình
( )
0loglog4
2
1
2
2
=+ mxx
có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Chuyên đề 5. Tích phân xác định và ứng dụng
Đ1. Phơng pháp tính tích phân
I. Tích phân các hàm số hữu tỉ
Ví dụ : Tính các tích phân sau

1)
;
23
B ;
)1(
.
0
1
2
3
2
9
2


+
=

=
xx
dx
x
dxx
A
2)
;
)1(
B ;
1
.22(

4
2
10
3
2
1
3
2


=
+
+
=
x
dxx
x
dxxx
A
3)
;
)1()3(
B
;
65
).116102(
1
0
22
1

1
2
23


++
=
+
+
=

xx
dx
xx
dxxxx
A
4)
;
23
)47(
B ;
65
).63(
0
1
3
1
1
23
23

+

=
+
++
=
xx
dxx
xxx
dxxxx
A
5)
;
34
B ;
2
2
1
24
2
1
23

++
=
++
=
xx

dx
xxx
dx
A
6)
;
)4(
.
B ;
).14(
1
0
28
3
2
1
34
23


=
+

=
x
dxx
xx
dxxxx
A
7)

;
)1.(
).1(
B ;
)1(
3
1
4
4
2
1
26

+

=
+
=
xx
dxx
xx
dx
A
8)

+
++
=

=

1
0
22
2
4
3
36
5
;
)1)(2(
1322
B ;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxx
A
Bài tập
1) (CĐSP HN 2000):

+
+
=
3
0
2

2
.
1
23
dx
x
x
I
2) (ĐHNL TPHCM 1995)

++
=
1
0
2
65xx
dx
I
3) (ĐHKT TPHCM 1994)

+
=
1
0
3
.
)21(
dx
x
x

I
4) (ĐHNT HN 2000)

++
+++
=
1
0
2
23
92
).1102(
xx
dxxxx
I

5) (ĐHSP TPHCM 2000)

++
+
=
1
0
2
65
).114(
xx
dxx
I
6) (ĐHXD HN 2000)

+
=
1
0
3
1
.3
x
dx
I
7) (ĐH MĐC 1995 )

++
=
1
0
24
34xx
dx
I
8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số
A,B,C để
21
)1(23
333
23
2
+
+

+

=
+
++
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Tính
dx
xx
xx
I .
23
333
3
2

+
++
=
9) (ĐHTM 1995)

+

=
1
0
2
5
1
.
x
dxx
I
10) (ĐH Thái Nguyên 1997)
x
x
dxx
I +=
+

=

x
1
t: HD
1
).1(
2
1
4
2
11) Xác định các hằng số A,B để
1

)1()1(
2
22
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A
x
x
Tính
dx
x
x
I .
)1(
)2(
3
2
2

+
+
=
12) Cho hàm số

32
)1()1(
)(
+
=
xx
x
xf
a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho

+
+

=
+
++
=
11
)2)(1(
)(
2
2
x
dx
E
x
dx
D
xx
CBxAx

dxxf
b) Tính

3
2
)( dxxf
II Tích phân các hàm số lợng giác
Ví dụ : Tính các tích phân sau
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
10
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
1)
3
2
2
0
6
tan .
; B
1 sin cos
cos sin .cos
dx x dx
A
x x
x x x



= =
+ +

2)
3
4
3
0
6
tan .
; B ( cos sin ).
cos 2
x dx
A x x dx
x


= =

3)
dxxx
x
dxxx
A .2cos.sinB ;
cos1
)sin(
2
2
0
2
4

0

=
+
+
=

4)
;
sin1
.cos.
2
0
2

+
=

x
dxxx
A
Bài tập
1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :


+
=
+
=
2

0
4
2
0
4
1cos
.2sin
J va;
sin1
.2sin

x
dxx
x
dxx
I
2) (ĐHSP TPHCM 1995)
Cho
xx
x
xf
cossin
sin
)(
+
=
a) Tìm A,B sao cho

+

+=
xx
xx
BAxf
sincos
sincos
)(
b) Tính

=
3
0
).(

dxxfI
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
a) CMR

+
=
+
2
0
44
4

2
0
44
4
sincos
.sin
sincos
.cos

xx
dxx
xx
dxx
b) Tính

+
=
2
0
44
4
sincos
.cos

xx
dxx
I
4) (ĐHTS 1999) Tính :

+=

2
0
2
.)cos1.(cos.sin

dxxxxI

5) (ĐHTM HN 1995) Tính

=
4
0
4
cos

x
dx
I

6) (HVKTQS 1999):Tính

+
=
4
0
4
3
cos1
.sin.4

x
dxx
I
7) (ĐHNN1 HN Khối B 1998)

+
=
2
0
cos1
.2cos

x
dxx
I
8) (ĐHQGHN Khối A 1997)

+
=
2
0
2
3
cos1
.sin

x
dxx
I
9) (ĐHNN1 HN 1998) Tính

+
++
=
2
6
.
cossin
.2cos2sin1


dx
xx
xx
I
10) (ĐHQG TPHCM 1998)

=
2
0
23
.sin.cos

dxxxI
11) (HVNH TPHCM 2000)

+
=
4
0

2
cos1
.4sin

x
dxx
I
12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số
2
)sin2(
2sin
)(
x
x
xh
+
=
a) Tìm A,B để
x
xB
x
xA
xh
sin2
cos.
)sin2(
cos.
)(
2
+

+
+
=
b) Tính


=
0
2
).(

dxxhI
13) (ĐHBK HN 1998)

+=
2
0
44
).sin.(cos2cos

dxxxxI
14) (HVNH TPHCM 2000)

+
=
3
0
2
cos
).sin(

x
dxxx
I
III. Tích phân các hàm số vô tỉ
Ví dụ : Tính các tích phân sau :
1)

>=+=
a
adxxaxdxxxA
2
0
2
1
0
815
)0(.2.B ;.31.
2)

>
+
==
4
10
222
)0(
)1(
B ; a
xx

dx
dxxaxA
a
3)

++
=
++
=

2
1
0
1
2
)2)(1(
B ;
1
xx
dx
xx
dx
A
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
11
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
4)


++

=

=
0
1
1
2
1
2
2
24
B ;
.1
xx
dx
x
dxx
A
5)

+=
+
=
22
0
2
2
1
2
.1B ;

1.
dxxx
xx
dx
A
6)

+
=
+
=
2
7
0
3
1
0
4
3
12
B ;
1
x
dx
x
dxx
A
7)

++++

+
=

=


3
0
2
3
8
112
)21(
(*)B ;
1 xxx
dxx
xx
dx
A
8)
;
11
1
(*)
0
1
3


+

+
=
x
dx
x
x
A
9)


++==
0
1
2
1
0
2
.22B ;4 dxxxdxxA
10)


=

=
1
2
1
2
2
2

1
2
.
1
B ;
1
dx
x
x
dx
x
x
A
Bài tập
1) (HVNH THCM 2000)

++
=
1
0
2
3
1
.
xx
dxx
I
2) (ĐH BKHN 1995)

=
2
3
2
2
1. xx
dx
I
3) (HVKTQS 1998)


+++
=
1
1
2
11 xx
dx
I
4) (ĐHAN 1999)

+
=
4
7
2
9. xx
dx
I
5) (ĐHQG HN 1998)

+=
1
0
23
.1. dxxxI
6) (ĐHSP2 HN 2000)

+
=
2
1
3
1. xx
dx
I
7) (ĐHXD HN 1996)

+

=
1
0
2
1
).1(
x
dxx
I
8) (ĐHTM 1997)

+
=
7
0
3 2
3
1
.
x
dxx
I
9) (ĐHQG TPHCM 1998)

+
=
1
0
12
.
x
dxx
I
IV. Một số dạng tích phân đặc biệt
Ví dụ1 :Tính các tích phân sau :
1)


=
+

=
6
0
4
0
cossin
cos
B
cossin
sin


xx
xdx
xx
xdx
A
2)
dxxx
ee
dxe
A
xx
x
.2cos.cosB
.
4
0
2
1

0

=
+
=


Ví dụ2 :Tính các tích phân sau
1)


==
1
1
35
.B ;.2cos
2
dxexdxxxA
x


2)


+
=

+

=
2
2
3
2
1
2
1
2
.
cos1
sin
B ;.
1
1
ln.


dx
x
x
dx
x
x
xA
Ví dụ 3 :Tính các tích phân sau

1)

+
=
+
=
2
0
20042004
2004
2
0
4
.
sincos
cos
B ;.
sin1
2sin

dx
xx
x
dx
x
x
A
2)

+

=
+
=

0
2
0
2
.
cos1
sin.
B ;.
cos3
sin.
dx
x
xx
dx
x
xx
A
Bài tập
1) (ĐHPCCC 2000) Tính


+

=
1
1

2
.
21
1
dx
x
I
x
2) (ĐHGT 2000 )Tính



+
=
2
2
2
.
sin4
cos


dx
x
xx
I
3) (ĐHQG HN 1994) Tính

=

0
3
.sin. dxxxI
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính


+
=


dx
x
I
x
.
13
sin
2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính


+
=
1
1
4
.
21
dx
x

I
x
Đ2. ứng dụng của tích phân xác định
Một số kiến thức cần nhớ
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
12
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Nội dung các bài toán về diện tích hình phẳng: 3 bài toán cơ bản.
Bài toán về thể tích tròn xoay.
Các ví dụ
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình phẳng giới hạn bởi
trục ox và đờng
)0(sin2

= xxy
.
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
3,34
2
+=+= xyxxy
.
Bài 3. Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
24
,
4
4
22
x
y
x

y ==
.
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y
2
= 16x và các tiếp tuyến tại A(1;4) B(4; - 8).
Bài 1 Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va0y ;cos.sin
32

==== xxy
2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ; ===
xx
eey
3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va
12
1y ;
2
3
sin21
2


==+==
xx
y

4) (HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
xxxy 3y ;2
2
=+=
5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
22
x; yxy ==
6) (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn bởi
xxxy =+= 3y ;34
2
7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
x
8
y va
8
y ;
2
2
===
x
xy
8) (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
5y ;1
2
+== xxy
9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi hình phía dới (P) : y=ax
2
(a>0) và trên y=ax+2a
10) Tính diện tích giới hạn bởi
34:)(

2
+= xxyP
và 2 tiếp tuyến tại các điểm A(0;-3) và B(3;0)
11) (ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ;)1(
5
==+=
x
exxy
12) Tính diện tích giới hạn bởi
4
0 Oy voi trucx vacosy ;sin
33

== xxy
13) (HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
342:(C) ;0
23
+== xxxyy
và tiếp tuyến với đờng cong
(C) tại điểm có hoành độ x=2
14) (ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
1
4
4
+
=
x
x
y

(C ) và Ox, hai đờng thẳng có phơng trình x=1; x=-1
*****Một số bài tham khảo************
1) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
:)( xyC =
trục Ox và đờng thẳng có phơng trình x=2
2) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2.
2
1
:)(
2
= xyC
trục Ox và 2 đờng thẳng có phơng trình x=1 và x=3
3) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
:)( xyC =
trục Ox và đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x
4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
xyP 2:)(
2
=
và đờng thẳng có phơng trình y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
2
2
1
31:)(P va2:)( yxyxP ==

Bài 2 Thể tích của các vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi






===== 0;
3
;0; yxxtgxyD

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và (P)
y=x
2
-ax (a>0)
3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn xoaydo hình phẳng
{ }
exxyxxyS ===== ;1;0;ln.
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
13
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi
1:)(
2
2
2
2

=+
b
y
a
x
E
khi nó quay quanh Ox
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn bởi y= 4-x
2
; y=x
2
+2 .Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta
đợc một vật thể. Tính thể tích vật thể này
6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi
{ }
xyxyD === ;
2
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D
quay quanh trục Ox
7) (HVKTQS 1995) Tính thể tích do D quay quanh Ox






==++===


xxxxyyD ;

2
;sincos1;0
44
8) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới hạn bởi các đ-
ờng
y=x.e
x
, x=1 , y=0 (0 x 1 )
9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi hình
1
164
)4(
:)(
22
+
yx
E
quay quanh trục Oy
10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn bởi






=
+
==
2
;

1
1
2
2
x
y
x
yD
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox
11)(ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn bởi
{ }
xyxyD 4;)4(
232
===
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox
12) (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số
2
)1.(:)( = xxyC
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C)
c) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh Ox
13) Cho miền (H) giới hạn bởi đờng cong y=sinx và đoạn 0 x của trục Ox . Tính thể tích khối tròn
xoay khi (H) quay quanh
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn
Đ1. Một số Bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng,
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

1.1 Các bài toán chọn số:
* Ví dụ 1: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc:
a/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.
b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt của số 5.
* Ví dụ 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a/ Gồm 8 chữ số từ các số trên.
b/ Gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
* Ví dụ 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó có
hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho :
a/ Số đó chia hết cho 5.
b/ Trong các chữ số đó có mặt của chữ số 0 và 1.
c/ Nhỏ hơn 600000.
* Ví dụ 5: Xét các hoán vị của 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Tính tổng S của tất cả các số tạo thành bởi các hoán vị
này.
* Ví dụ 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau và trong đó tổng của
3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị.
Bài tập
* Bài 1: Từ các chữ số 1,2,5,6,7,8 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao
cho:
a/ Số tạo thành là một số chẵn.
b/ Số tạo thành không có mặt của chữ số 7.
c/ Số tạo thành phải có mặt của chữ số 1 và 5.
d/ Số tạo thành nhỏ hơn 278.
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
14
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
*Bài 2: Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 4 chữ số khác nhau .
*Bài 3: Cho tập
{ }
A 1,2,3,4,5,6,7,8=
a/ Có bao nhiêu tập con X của A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi số 123.
*Bài 4: Cho tập
{ }
A 0,1,2,3,4,5,6,7=
có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A sao
cho: a/ Số tạo thành là một số chẵn.
b/ Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1.
*Bài 5: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại chọn từ 2,3,4,5. Hỏi có bao
nhiêu số nh vậy nếu
a/ 5 chữ số 1 xếp kề nhau.
b/ Các chữ số đợc xếp tuỳ ý.
*Bài 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.
a/ Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên.
b/ Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.
*Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số
1 2 7
a a a
thoả các điều
kiện chữ số
3
a
là số chẵn ,
7
a

không chia hết cho 5, các chữ số
4 5 6
a ;a ;a
đôi một khác nhau.
*Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số :
a/ Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
b/ Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
*Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số đợc viết có một chữ số đợc xuất
hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số nh vậy.
* Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh
rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
1.2 Các bài toán chọn các đối tợng thực tế:
Dạng 1: Tìm số cách chọn các đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 1: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem nh đôi 1 khác
nhau) ngời ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.
a/ Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa đợc chọn tuỳ ý.
b/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.
c/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
* Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, ngời ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học sinh trên đi trực
tuần sao cho trong 3 em đợc chọn luôn có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 4:Một trờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi. Ngời ta cần chọn 3
học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào đợc
chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 5:Trong một môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu trung bình và 15 câu
hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong
mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ không ít hơn 2.
* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ các đỉnh của
H.

a/ Có bao nhiêu tam giác nh vậy.
b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
c/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
d/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H.
Dạng 2: Xếp vị trí các đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho
a/ Bạn C ngồi chính giữa.
b/ Bạn A và E ngồi hai đầu ghế.
* Ví dụ 8: Trong một phòng học có 2 dãy bàn dài, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi. Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10
học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
a/ Các học sinh ngồi tuỳ ý.
b/ Các học sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn.
* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nớc : Việt Nam 3 ngời, Lào 5 ngời, Thái Lan 3 ngời và
Trung Quốc 4 ngời. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho ngời cùng quốc tịch thì
ngồi gần nhau.
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
15
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
* Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Ngời ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho
4 học sinh trờng A và 4 học sinh trờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:
a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.
b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.
Bài tập
* Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho :
a/ Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý.
b/ Phải có 2 nam và 2 nữ.
c/ Phải có ít nhất 1 nữ.
d/ Số học sinh nam không vợt quá 2.
* Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1 lớp trởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên . Hỏi có
mấy cách lập ra ban cán sự lớp.

* Bài 3: Gia đình ông A có 11 ngời bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ông muốn mời 5 ngời đến dự tiệc, trong
đó có cặp vợ chồng có thể cùng đợc mời hoặc không cùng đợc mời. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời.
* Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11
và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất
một em đợc chọn.
* Bài 6: Cho hai đờng thẳng song song. Trên đờng thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đờng thẳng thứ hai có 20
điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác đợc tạo bởi các điểm đã cho.
* Bài 7: Cho đa giác đều
1 2 2n
A A A (n 2,n ) Ơ
nội tiếp đờng tròn tâm O. Biết rằng số các tam giác có các
đỉnh là 3 trong 2n điểm
1 2 2n
A ;A ; ;A
nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
1 2 2n
A ;A ; ;A
. Hãy tìm n.
*Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F đợc xếp vào 6 chỗ ngồi đã đợc ghi số thứ tự trên một bàn dài.
Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:
a/ A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại.
b/ A và B không ngồi cạnh nhau.
*Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn,
6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách
này đợc xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau.
* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Ngời ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 6
học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:
a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.

b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.
Đ2. Các bài toán nhị thức, phơng trình bất phơng trình
Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp
Một số kiến thức cần nhớ
1. Hoỏn v :
( )
. 1 2.1
n
P n n=
2. Chnh hp:
( ) ( )
( )
!
1 1
!
k
n
n
A n n n k
n k
= + =


0
! 1, 1
n
O A= =

0 k n

3. T hp:
( )
!
!. !
k
n
n
C
k n k
=


1 ,0
O
n
C k n=

k n k
n n
C C

=

1
1
k k k
n n n
C C C

+

= +
4. Nh Thc nu tn:
( )
0 0
. . . .
k n
n
k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b

= =
+ = =

Tng cú n+1 s hng .bc ca mi s hng l n-k+k=n
S hng tng quỏt
1
. .
k n k k
k n
T C a b

+
=
Các ví dụ
I. Giải pt, hệ pt, bất phơng trình, hệ bất phơng trình về đại số tổ hợp
*Ví dụ 1. Gii phng trỡnh: a,
1 2 3 2
6. 6. 9 14

x x x
C C C x x+ + =
b,
2 1
5 5 5
25
x x x
C C C

+ + =
*Ví dụ 2. Gii phng trỡnh:
5 6 7
5 2 14
x x x
C C C
=

*Ví dụ 3. Hóy tỡm s nguyờn dong tha mó phng trỡnh
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
16
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
a,
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A

=
ĐS: n=11
b,
2 2 2 3 3 3
. 2 100
n n
n n n n n n
C C C C C C

+ + =
c,
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
*Ví dụ 4.
( )
2 2
72 6 2
x x x x
P A A P+ = +
*Ví dụ 5. Gii h phng trỡnh
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C

A C

+ =

=

ĐS: x=5 ,y=2
*Ví dụ 6. Gii bpt: a)
2
1
2
3
10
n
n
C
n
C
+

b)
( )
3 1
1 1
14 1
n
n n
A C n

+ +

+ < +
ĐS: a)
2
5
3
n



7
) 4
2
b n < <
*Ví dụ 7. Gii bt phng trỡnh:
( )
4
4
143
)
2 ! 4
n
n
A
a
n P
+
<
+

4

3 4
1
24
)
23
n
n
n n
A
b
A C

+


ĐS:
) 9,5 2,5a n < <

)1 5b n
*Ví dụ 8. Gii bt phng trỡnh: a,
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A


b,

2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
+
ĐS: a,
5 11x
b,
4x
Bài tập
1. Giải các phơng trình sau:
1/
+ =
2 2
x 2x
2A 50 A
2/
=
x x x
4 5 6
1 1 1
C C C
2. Tìm k sao cho các số
k k 1 k 2
7 7 7
C ;C ;C

+ +
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
3. Giải các bất phơng trình sau:
1/
4 3 2
n 1 n 1 n 2
5
C C A 0, n
4

< Ơ
2/
3 n 2
n n
A 2C 9n

+
4. Giải các hệ phơng trình sau:
1/
+ =


=

y y
x x
y y
x x
2A 5C 90
5A 2C 80

2/
+
+
=
y y 1 y 1
x 1 x x
C : C : C 6 : 5 : 2
5. Giải các phơng trình sau:
1/
=
2 2
x x x x
P A 72 6(A 2P )
2/
=
x x x
5 6 7
1 2 14
C C C
3/
+ + + +
+ + + =
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149
4/
1 2 3 2
x x x
C 6C 6C 9x 14x+ + =
6. Giải các bất phơng trình sau:

1/


+
<
x 3
x 1
4
x 1 3
C 1
A 14P
2/

<
4 3 2
x 1 x 1 x 2
5
C C A 0
4
3/
+
2 2 3
2x x x
1 6
A A C 10
2 x
4/
2 4 2x 2003
2x 2x 2x
C C C 2 1+ + +

7. Giải các PT và hệ PT sau:
1/
+

=


=

y y 1
x x
y y 1
x x
C C 0
4C 5C 0
2/
+
+ + +
=
m 1 m m 1
n 1 n 1 n 1
C : C : C 5 : 5 : 3
8. Giải bất phơng trình
2
3
5
60
)!(
+
+

+


k
n
n
A
kn
P
với 2 ẩn n, k thuộc N (TNPT 2003 - 2004)
9. Giải hệ phơng trình
2:5:6::
11
1
=
+
+
y
x
y
x
y
x
CCC
(TNPT 2002 - 2003)
10. Giải bất phơng trình
12
20032
2
4

2
2
2
+++
x
xxx
CCC
11. Tìm số n nguyên dơng thoả mãn bất phơng trình
nCA
n
nn
9.2
23
+

ĐS: n = 4, n = 3
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
17
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
12. Tìm số tự nhiên n thoả mãn:
100 2.
333222
=++
n
nnnn
n
nn
CCCCCC
.
Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005)

20052).12 (2.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=+++
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC
II. Tỡm 1 s hng hoc h s ca mt s hng
*Ví dụ 1.Tỡm h s ca s hng cha x
4
trong khai trin
10
1
x
x

+
ữ

*Ví dụ 2. Tỡm s hng x
31
, Trong khai trin
40
2
1
x
x

+
ữ

*Ví dụ 3. Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin
7
3
4
1
x
x

+
ữ

*Ví dụ 4. Trong khai trin
28
3
15
n
x x x

+
ữ

Tỡm s hng khụng cha x bit
1 2
79
n n n
n n n
C C C

+ + =
*Ví dụ 5. Tỡm h s ca s hng cha x
43
trong khai trin
21
5
3 2
1
x
x

+
ữ

*Ví dụ 6. Bit trong khai trin
1
3
n

x


ữ

Cú h s ca s hng th 3 bng 5. Hóy tớnh s hng
ng gia trong khai trin
*Ví dụ 7. Cho khai trin
3
3 2
3
n
x
x

+
ữ

. Bit tng ca ba s hng u itờn trong khai trin bng 631. Tỡm h
s ca s hng cú cha x
5

*Ví dụ 8. Bit tng h s ca ba s hng u tiờn trong khai trin
3
15 28
1
n
x x
x

+
ữ

bng 79 .Tỡm s hng
khụng cha x
*Ví dụ 9. tỡm h s ca
6 2
x y
trong khai trin
10
x
xy
y

+
ữ

*Ví dụ 10. Trong khai trin .
(
)
12
2
3
xy xy+
. Tỡm s hng cha x v y sao cho s m ca x v y l cỏc s
nguyờn dng.
*Ví dụ 11. Tỡm cỏc hng t l s nguyờn trong khai trin
( )
19
3

3 2+
*Ví dụ 12.
a, Cho khai trin
( )
101
1 x+
. Trong cỏc h s ca cỏc s hng .Tỡm h s ln nht
b, Cho khai trin .
( )
30
1 2x+
.Tỡm h s ln nht trong cỏc h s
Bài tập
1. Biết rằng
100
10010
100
)2( xaxaax +++=+

a) CMR: a
2
< a
3
.
b) Với giá trị nào của k thì a
k
< a
k + 1
(0k99)
2. Tìm k thuộc {0, 1, . 2005} sao cho:

k
C
2005
đặt GTLN.
3. Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức:
1262
2
n
2
=+
nnn
APAP
.
4. Tính giá trị của biểu thc
)!1(
3AA
3
n
4
1n
+
+
=
+
n
M
n là số nguyên dơng Biết rằng:
14922
2
4

2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
18
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
5. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x)
2n
.
6. Giả sử
n
n
n
xaxaax +++=+ )21(
10
và
729
10
=+++
n
aaa
.

Tìm n và số lớn nhất trong các số:
n
aaa , ,,
10
7. Giả sử n là số nguyên dơng và
n
n
n
xaaax +++=+ )1(
10

Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho
2492
11 +
==
kkk
aaa
Tính n? ĐS: n = 10
8. Giả sử n là số nguyên dơng và
11
10
11
1110
)2()1( axaaxxx +++=++
. Hãy tính hệ số a
5
ĐS 672
9. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức. Biết:

)3(7
3
1
4
+=
+
+
+
nCC
n
n
n
n
ĐS: 495
10. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức
( )
8
2
)1(1 xx +
.
11. Cú bao nhiờu hng t l s nguyờn trong khai triin
( )
124
4
3 5+
12. Cú bao nhiờu hng t l s nguyn trong khai trin
( )
64

3
4
7 3
13. Khai trin a thc
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
14
0 1 14
1 1 1 P x x x x A A x A x= + + + + + + = + + +
. Tớnh A
9

14. Cho khai trin :
1
3
2
2 2
n
x
x



+
ữ

. Bit
3 1
5
n n

C C=
v s hng th 4 bng 20n .Tựm x v n
15. Trong khai trin :
3
3
n
a b
b a

+
ữ
ữ

tỡm s hng cha a,b cú s m bng nhau
16. Tỡm h s ln nht trong cỏc h s ca khai trin
40
1 2
3 3
x

+
ữ

17. Bit tng cỏc h s trong khai trin
( )
1 2
n
x+
bng 6561. Tỡm h s ca x
4

18. Bit tng cỏc h s trong khai trin
( )
2
1
n
x+
bng 1024 .Tỡm h s ca x
12

19. Tỡm h s x
8
trong khai trin :
5
3
1
n
x
x

+
ữ

Bit
( )
1
4 3
7 3
n n
n n

C C n
+
+ +
= +
III. Chứng minh đẳng thức
*Ví dụ 1.
a, (ĐHBK HN - 1998). Chứng minh rằng:
16 0 15 1 16 2 16 16
16 16 16 16
3 3 3 2C C C C + + =
b, (ĐHYD TP HCM - 2000). Chứng minh rằng:
b
1
,
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C+ + + + =

b
2
,
1 3 5 2 1 0 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C

+ + + + = + + + +
c, Chứng minh rằng:
2005 0 2004 1 2003 2 2 2002 3 3 2005 2005
2005 2005 2005 2005 2005
7 7 .6. 7 .6 . 7 .6 . 6 1C C C C C + + =
*Ví dụ 2.
a, (ĐHAN-CS khối A - 1998). Chứng minh rằng:
2 3 4 2
2.1. 3.2. 4.3. .( 1). ( 1).2 , , 2.
n n
n n n n
C C C n n C n n n n

+ + + + + = Ơ
b, (ĐH Hằng Hải - 1997). Chứng minh rằng:
1 0 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1
.4 . ( 1).4 . ( 2).4 . ( 1) . 4 2 .2 , , 1.
n n n n n n
n n n n n n n n
n C n C n C n C C C C n C n n

+ + + = + + + + >Ơ
*Ví dụ 3.
a, (ĐH Giao thông vận tải - 1996). Chứng minh rằng:
2 3 1
0 1 2
2 2 2 1 ( 1)
2 ( 1)
2 3 1 1
n n

n n
n n n n
C C C C
n n
+
+
+ + =
+ +
b, (ĐH Mở Hà Nội - 1999). CMR:
1
0 1 2
1 1 1 1 2 1
, , 2.
3 6 9 3 3 3( 1)
n
n
n n n n
C C C C n n
n n
+

+ + + + =
+ +
Ơ
*Ví dụ 4.
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
19
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
a, Chng minh
1

1
m m
n m m n
m
C C
n
+
+ +
+
=
b, Cho n,m,k l cỏc s nguyờn dng v
,m n k m
Chng minh:
m k k m k
n m n n k
C C C C


=
c, Cho n nguyờn dng. Chng minh rng:
1 1
2 2 2 2
1
2
n n n
n n n
C C C
+
+
+ =

d, Cho n2 v n nguyờn . Chng minh:
2 2
1n n
C C n
+
= +
e, Cho n2 v n nguyờn .Chng minh:
2 2 2
2 3
1 1 1 1
1
n
n
A A A
+ + + =
=T
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 ! 3 2 ! 2 !

2! 3! !
n
T
n

= + + +
,
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1

T
n n n

= + + + =
ữ ữ ữ


*Ví dụ 5. (S dng tớnh cht:
1
1
k k k
n n n
C C C

+
+ =
)
a, Chng minh
1 2 3
3
3 3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n

+
+ + + =
b, Chng minh :
1 2 3 2 3
2 3

2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
c, Cho
4 k n
.Chng minh rng
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+
+
+ + + + =
d, .Cho
1 m n
.Chng minh rng
1 1 1 1
1 2 1

m m m m m
n n n m m
C C C C C

= + + +
*Ví dụ 6. (Khai trin mt biu thc hoc, hai biu thc bng hai cỏch khỏc nhau sau ú ng nht h s )
a, Chng minh rng:
0 1 1 6 6
6 6 6 6
. . .
k k k k
n n n n
C C C C C C C

+
+ + + =
b, Chng minh:
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1
2

n n
n n n n
C C C C+ + + =
c, Chng minh.
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
0 1
2
1 1

n n
n n
n n n n
C C C C + + =
d, Chng minh rng:
0 1 1 0
. . .
p p p p
n m n m n m n m
C C C C C C C

+
+ + + =
HD: a,
( ) ( )
6
1 . 1
n
x x+ + =
!
( )
6
1
n
x
+
+ =
! so sỏnh
k
x

b,
( ) ( )
0 0
1 . 1
n n
n n
k k k n k
n n
k k
x x C x C x

= =

+ + =
ữ ữ


H s ca x
n
l
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1

n
n n n
C C C+ + +
( )
2

2
2
0
1
n
n
k k
n
k
x C x
=
+ =

H s x
k
l
2
k
n
C

c,
( ) ( )
( )
2
2 2
2
1 . 1 1
n
n n

x x x+ =
d, Xột
( ) ( )
1 1
n m
x x+ +
=! H s ca x
p
,1p <n ,1p<m; Trong khai trin
( )
1
m n
x
+
+
H s ca x
p
l
Bài tập
1. a, (ĐHQG Hà Nội khối D - 1997). Chứng minh rằng:
0 1 2 10 10
10 10 10 10
2C C C C+ + + + =
b, Cho:
0 n Â
. Chứng minh rằng:
0 1 2
( 1) 0
n n
n n n n

C C C C + + =
2. . (ĐHTCKT - Hà Nội - 2000).
Chứng minh rằng:
1 2 3 1
2 3 .2 , , 1
n n
n n n n
C C C nC n n n

+ + + + = Ơ
3. (ĐHKTQD - 2000).
Chứng minh rằng:
1 1 2 2 3 3 1
1.2 2.2 3.2 .3 , , 1
n n n n n
n n n n
C C C nC n n n

+ + + + = Ơ
4. (ĐH Luật Hà Nội - 1997).
Chứng minh rằng:
0 1 2
1 1 1 1 1
( 1)
2 4 6 2 2 2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
+ + + =

+ +
5. (ĐH Đà Nẵng - 2001).
Chứng minh rằng:
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
2 ,
2 3 1 1
n n
n
n n n n
C C C C n
n n
+ +

+ + + + =
+ +
Ơ
6. (ĐH Nông nghiệp - 1999).
Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
20
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Chứng minh rằng:
0 1 2 19
19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 21 420
C C C C + =
7. (Bộ đề tuyển sinh câu IVa, đề 81).

Chứng minh rằng:
1 2 3
1 1 1 ( 1) (2 )!!
1
3 5 7 2 1 (2 1)!!
n
n
n n n n
n
C C C C
n n

+ + + =
+ +
8. (ĐHQG Tp HCM khối D - 1997).
Cho:
4
,
k n
k n





Â
. Chứng minh rằng:
1 2 3 4
4 6 4 4
k k k k k k

n n n n n n
C C C C C C

+ + + + = +
9. Chứng minh rằng:
0 1 1 0
2

k k k k
n n n n n n n
C C C C C C C

+ + + =
Từ đó suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 1 2 100 100
100 100 100 100 200
C C C C C+ + + + =
10. Chứng minh rằng:
a,
9 8 7 6 5 9
10 10 10 10 10 14
4 6 4C C C C C C+ + + + =
b,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 1 2 1999
1999 1999 1999 1999
0C C C C + =

Biên soạn: bùi huy tờng giáo viên trờng thpt nguyễn bỉnh khiêm
21