Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (481.58 KB, 6 trang )
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
(
)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
1
3
2
1 2 3 4
10 35 50 24
dx
x x x x
x x x x
J dx
x x
x
+ + + +
+ + + +
= =
∫ ∫
5 3 1 1 3 7 5 3 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 70
10 35 50 24 4 100 48
7 3
x x x x x dx x x x x x C
− − −
= + + + + = + + + − +
∫
( )
2
7 3 7 41 7 41
dx dx ln 2 5
2 5 2 2 2 5 2 4
x
J x x C
x x
−
= = − = − + +
+ +
∫ ∫
2
2
3
3 7 5 3 3
dx 3 1 3ln 2
2 2 2
x x
J x dx x x x C
x x
− +
= = − + = − + − +
− −
∫ ∫
3 2
2 3 2
4
2 5 7 10 6 2 3
dx 2 3 4 4 6ln 1
1 1 3 2
x x x
J x x dx x x x x C
x x
− + −
= = − + − = − + − − +
− −
∫ ∫
( )
2
2
5
4 9 10 7 13 7 13
dx 2 ln 2 1
2 1 2 2 2 1 2 4
x x
J x dx x x x C
x x
− +
= = − + = − + − +
− −
∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
7 8 9
6
10 10
2 1 1 8
2 3 9 2 1 8
dx 1 1 1 1
7 8 9
1 1
x x
x x
J d x x x x C
x x
− − −
− + − +
− +
= = − = − − − − − − +
− −
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2
7
15 15
2 3 2 4 2 5
3 4 9
dx 2
2 2
x x x
x x x
J d x
x x
− + − + − −
− + −
= = −
− −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
11 12 13 14
1 1 4 5
2 2 2 2
11 4 13 14
x x x x C
− − − −
= − − − − − − + − +
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2
8
30 30
2 1 1 15 1 18
2 5 11 4
dx 1
1 1
x x x
x x x
J d x
x x
+ − + − + +
+ − +
= = +
+ +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
26 27 28 29
1 1 15 18
1 1 1 1
13 27 28 29
x x x x C
− − − −
= − + + + + + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
100 3 100 3 2
9
3 1 3 3 12 3 42 3 60 3
J x x dx x x x x d x
= + − = + + − + + + + +
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
( ) ( ) ( ) ( )
104 103 102 101
3 3 7 3 60 3
12
104 103 17 101
x x x x
C
+ + + +
= − + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 15 2 15
10
1
1 5 2 5 2 14 5 2 49 5 2 5 2
125
J x x dx x x x d x
= − + = + − + + + +
∫ ∫
( ) ( ) ( )
18 17 16
5 2 14 5 2 49 5 2
1
125 18 17 16
x x x
C
+ + +
= − + +
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2 33
2
11
1
3 5 2 1 2 1 8 2 1 13 2 1 2 1
8
J x x x dx x x x d x
= + − − = − + − − − −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
36 35 34
2 1 8 2 1 13 2 1
1
8 36 35 34
x x x
C
− − −
= + − +
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
3 2 3
2
5 5
12
2 3 . 1 dx 2 1 4 1 5 . 1 d 1
J x x x x x x
= + − = − + − + − −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
13 8 3
5 5 5
18 13 8
5 5 5
2 1 4 1 5 1 1
5 1 20 1 25 1
9 13 8
x x x d x
x x x
C
= − + − + − −
− − −
= + + +
∫
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2
4
2
7
13
4
7
3 5 1
dx 2 1 8 2 1 12 2 1 2 1
8
2 1
x x
J x x x d x
x
−
− +
= = + − + + + +
+
∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 3 4
7 7 7
17 10 3
7 7 7
1
2 1 8 2 1 12 2 1
8
7 2 1 7 2 1 7 2 1
136 10 2
x x x dx
x x x
C
−
= + − + + +
+ + +
= − + +
∫
( ) ( ) ( )
( )
13
5
4
9
4
4 5 5 5
9
9
14
9 2 3
1
. 2 3 dx 2 3 2 3
10 130
x
J x x x d x C
+
= + = + + = +
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
4 9
9
10 10 10
5 5
15
4
10
5
3 1
dx 2 3 2 3 2 3
10 6
2 3
x
J x d x x C
x
− −
= = − − = − +
−
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
2 2 2
16
2
dx 1 1
1
x
J x x x dx x dx x x dx
x x
= = − − = − −
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
2 2 2 3 2
2
1 1
1 1 1
3 3
x dx x d x x x C
= − − − = − − +
∫ ∫
3
3 2 4 3 2
17
2
dx 1 1
1
x
J x x x dx x dx x x dx
x x
= = + − = − −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Với tích phân
3 2
17
1
J x x dx
′
= −
∫
ta ñặt
2 2 2
1 1
t x t x tdt xdx
= − ⇒ = − ⇒ =
( ) ( ) ( )
5 3
2 2 5 3 2 2
2 2
17
1 1 1 1
1 1 1
5 3 5 3
J t t dt t t C x x C
′
⇒ = + = + + = − + − +
∫
( ) ( )
5 3
5 2 2
2 2
17
1 1 1
1 1
5 5 3
J x x x C
⇒ = + − + − +
( )( )
18
dx 1 1 1 1 2
ln
2 5 7 2 5 7 5
x
J dx C
x x x x x
−
= = − = +
− + − + +
∫ ∫
( )( )
19
2 2
2 2
dx 1 1 1 1 1 1
arctan arctan
4 4
2 2 6 6
2 6
2 6
x x
J dx C
x x
x x
= = − = − +
+ +
+ +
∫ ∫
( )( )
20
2 2
2 2
dx 1 1 1 1 1 2 1
ln arctan
5 5
2 2 2 3 3
2 3
2 3
x x
J dx C
x
x x
x x
−
= = − = − +
+
− +
− +
∫ ∫
( )( )
2
21
2 2 2
2 2
dx 1 1 7
ln
4 8
7 3 3
3 7
x x x x
J dx C
x x x
x x
−
= = − = +
− − −
− −
∫ ∫
( )( ) ( )
22
2
2 2 2
dx 1 1 1 1 3
arctan arctan
3 2 2 21 21
3 7
3 7 2 3 2
x x
J dx C
x
x x x
= = − = − +
+
+ + +
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
( )( ) ( )
23
2
2 2 2
dx 1 1 1 1 2 1 2
ln arctan
9
36 2 2 9 10 10
2 5
2 5 3 2 2
x x
J dx C
x
x
x x x
−
= = − = − +
+
+
+ − −
∫ ∫
ln 2
24
1
dx
1
x
J
e
=
−
∫
.
ðặt
(
)
2 2
2
2
1 1 2 1
1
x x x
t
t e t e tdt e dx t dx dx dt
t
= − ⇒ = − ⇒ = = + ⇒ =
+
( )
1 1
1
24
1
2
2
1 1
2 2
2arctan 2 arctan 1
4
1
1
e
e e
t
J dt dt t e
t
t t
π
−
− −
⇒ = = = = − −
+
+
∫ ∫
ln 2
2
25
0
dx
1
x
x
e
J
e
=
+
∫
. ðặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx
= + ⇒ = + ⇒ =
(
)
( )
2
3 3
2
25
2 2
2 1
2
2 1 2
3
t t
J dt t dt
t
−
⇒ = = − =
∫ ∫
ln 2
26
0
1dx
x
J e= +
∫
.
ðặt
(
)
2 2
2
2
1 1 2 1
1
x x x
t
t e t e tdt e dxt t dx dx dt
t
= + ⇒ = + ⇒ = = − ⇒ =
−
( )
( )
( )
2
3
3 3
2
26
2 2 2
2
2 2
3 1
2 2 1
2 2 ln 2 3 2 ln
1
1 1
2 2 1
t t
J dt dt t
t
t t
−
−
⇒ = = + = + = − +
+
− −
−
∫ ∫
(
)
( )
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
ln 2
27
0
0 0 0 0
1
1 2
dx 1 dx dx 2 ln 2 2 ln 1 ln18
1 1 1
x
x x
x
x x x
d e
e e
J e
e e e
+
−
= = − = − = − + = −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
(
)
( )
( )
1 1
1
28
0
0 0
2
1 1 1 1
1
29
2 2 2
0
0 0 0 0
1 1 1
30 28
2
0 0 0
d 1
dx 2
ln 1 ln
1
1 1
1 dx
2
1 2 1 2 arctan 1 2 arctan
2
1 1 1
dx 1 1 1 2
dx 1 ln
1
x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x
x x x x
e
e e
J e
e
e e
e
e de
J dx dx e e
e e e
J dx e J
e
e e e e
π
−
−
−
− −
−
+
= = − = − + =
+
+ +
+
= = + = + = + = + −
+ + +
= = − = − = − −
+ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
1
1 1
3 2
31
3 3 2 2 3
0
0 0
1
1
1 1 1 7 1 1
dx 2 dx
3
3 3
x
x x x
x x x x
e
e
e
J e e e e
e e e e e e
− − −
+
+
= = + + = − − − = − + +
∫ ∫
( )
ln 2 ln 2
32
3 3 3
0 0
ln 4
ln 4 ln 4
33
2
0 0
0
dx 1 1
2
dx 1 2
ln 0
4
4 4 2
x
x
x
x
x x x x
J e dx
e e e
d e
e
J
e e e e
−
+
−
= = =
−
= = = =
− − +
∫ ∫
∫ ∫
( )
1
1 1
3 2
2
34
0 0
0
dx 1
1 ln 1
2
1 1
x x
x x x x
x x
e e
J e e dx e x e
e e
− −
− − −
− −
−
= = − + − = + + − +
+ +
∫ ∫
2
1 1 1 1
ln
2 2
2
e
e
e
+
= + − −
( ) ( ) ( )
( )
1 3
2 2
35
1 1
1
1 ln 2 2
dx 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 1
3 3
e
e e
x
J x d x x
x
+
= = + + = + = −
∫ ∫
3
5 2
36
0
1 dx
J x x= +
∫
. ðặt
2
1
t x
= +
36
848
105
J⇒ =
( )
1
6
5 3
37
0
1 dx
J x x= −
∫
. ðặt
3
1
t x
= −
37
1
168
J⇒ =
1
3 2
38
0
1 dx
J x x= −
∫
. ðặt
2
1
t x
= −
38
2
15
J
⇒ =
www.VNMATH.com
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
(
)
( )
( )
1 1 1
39
0 0 0
2
1 1 2
2
40
3 3 2
0 0 1
1
2
1
4 3 2
41
0 0
d 4 3
dx 1 1 1 ln 7 ln 4 2 ln 7
3 ln 4 3 3ln 4 3 3ln 4
4 3 4 3
dx 2 dx 1 1 1 2 1 1 2 1
ln arctan
ln 2 ln 2 6
3 3
4 2 2 1 1 1
2 1 dx
2 2.2 2
4
x
x x
x
x x x
x
x x x
x
J dx
dt t t t
J
t t t
J dx
−
−
+
−
= = − = − = −
+ +
+ + −
= = = = + =
+ + + − +
+
= = + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
1
1
4 3 2
0
2 2.2 2 89
4ln 2 3ln 2 2 ln 2 12 ln 2
x x x
= + + =
∫
1
2
42
0
1 dx
x x
J e e= +
∫
. ðặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx
= + ⇒ = + ⇒ =
( )
1
1
5 3
2 2
42
2
2
2 2
2 1 d
5 3
e
e
t t
J t t t
+
+
⇒ = − = − =
∫
Nguồn: Hocmai.vn
www.VNMATH.com
