Ôn tập Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng đối với học sinh TB và Yếu

BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU
A. Nguyên hàm – Tích phân
Dạng 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước
Bước 1 : Tìm F(x) =
( ) ( )g x dx G x C= +
∫
(*)
Bước 2 : Dựa vào điều kiện đã cho ta thiết lập phương trình để tìm C
Bước 3 : Thế giá trị của C vừa tìm được vào (*)
Bài tập áp dụng :
1. Tìm nguyên hàm
( )F x
của hàm số
2
1 2
( )
x
f x
x
+
=
thỏa mãn điều kiện
( 1) 3F − =
2. Tìm nguyên hàm
( )F x
của hàm số
( ) cos 3sinf x x x= −
thỏa mãn điều kiện
( ) 0F
π
=

3. Tìm nguyên hàm
( )F x
của hàm số
3 2
2
3 3 5
( )
( 1)
x x x
f x
x
− + −
=
−
, biết rằng
1
(0)
2
F = −
4. Tìm nguyên hàm
( )F x
của hàm số
3 2
( ) 4 3 2f x x x= − +
, biết rằng đồ thị của hàm số
( )F x
đi qua M( - 1; 3 )
Dạng 2 : Tính tích phân bằng cách biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng
( hiệu ) của những hàm số có trong bảng nguyên hàm
Tính các tích phân sau :

1.
4
1
1 2
dx
x
x
 
−
 ÷
 
∫
2.
3
2
0
cos 2xdx
π
∫
3.
4
2 2
0
sin cosx xdx
π
∫
4.
3
3
2

6
3 sin
sin
x
dx
x
π
π
+
∫
5.
1
3
0
x
e dx
∫
6.
1
0
3 (3 6 )
x x x
dx
−
+
∫
7.
ln2
2
0

4
2
x
x
e
dx
e
−
+
∫
8.
9
1
1 3
dx
x x x
 
−
 ÷
 
∫
9.
4
0
sin 3 sin 2x xdx
π
∫
10.
2
0

sin 5 cosx xdx
π
∫
11.
2
0
cos7 cos 2x xdx
π
∫
12.
3
3 2
2
2
3 2 4 3x x x
dx
x
+ − +
∫
13.
4
3
( 2)( 1)
dx
x x− −
∫
14.
3
2
0

3 2x x dx− +
∫
15.
2
3
0
4 5
1
x x
dx
x
+ −
+
∫
16.
3
0
2 1
4 3
x
dx
x
−
+
∫
Dạng 3 : Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng :
[ ]
'

( ) . ( )
b
a
u x u x dx
α
∫
Đặt :
( ) '( )u u x du u x dx= ⇒ =
Đổi cận :

( )
( )
x a u u a
x b u u b
= ⇒ =
= ⇒ =


[ ]
( )( )
1
'
( )
( )
( ) . ( )
1
u bu b
b
u a
a u a

u
u x u x dx u du
α
α
α
α
+
= =
+
∫ ∫

Bài tập : Tính các tích phân sau
1 .
3
0
sin .cosx xdx
π
∫
2.
1
3 4 4
0
(1 )x x dx+
∫
3.
( )
2
2 2
0
4

x x
e e dx+
∫
4.
2
3
0
cos xdx
π
∫
5.
2
2 3
0
1x x dx+
∫
6.
2
0
sin 1 3cosx xdx
π
+
∫
7.
2
2
0
2 1
3
x

dx
x x
+
+ +
∫
8.
3
0
1x xdx+
∫
Dạng :
'( )
( )
b
a
g x
dx
g x
∫
Đặt :
( ) '( )u g x du g x dx= ⇒ =
Đổi cận :

( )
( )
x a u g a
x b u g b
= ⇒ =
= ⇒ =

( )( )
( )
( )
'( ) ( )
ln ln
( ) ( )
g bg b
b
g a
a g a
g x du g b
dx u
g x u g a
= = =
∫ ∫
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1.
2
2
1
2 1
1
x
dx
x x
−
− +
∫
2.
3

0
2sin
2 cos
xdx
x
π
+
∫
3.
2
3
sin cos
sin cos
x x
dx
x x
π
π
+
−
∫
4.
1
0
1
x
x
e
dx
e +

∫
5.
2
0
2 3
dx
x +
∫
6.
2
2
0
sin 2
3cos 1
xdx
x
π
+
∫
7.
2
2 2
0
sin cos
cos 2sin 3
x xdx
x x
π
− +
∫

8.
ln2
0
1
x
dx
dx
e
−
+
∫
 Dạng
1
(ln ).
b
a
f x dx
x
∫
Đặt
1
lnu x du dx
x
= ⇒ =
Đổi cận :

ln
ln
x a u a
x b u b

= ⇒ =
= ⇒ =
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1.
1
ln 1
e
x
dx
x
+
∫
2.
2
3
1
ln 2
e
x
dx
x
+
∫
3.
3
1
ln 1
e
dx
dx

x x +
∫
4.
7
3
1
ln 1
e
dx
x x +
∫

Hướng dẫn :
1. Đặt
ln 1u x
= +
2. Đặt
lnu x
=
3. Đặt
ln 1u x= +
4. Đặt
3
ln 1u x= +

 Dạng
( )
'( )
b
u x

a
e u x dx
∫
Đặt
( ) '( )u u x du u x dx= ⇒ =
Đổi cận :

( )
( )
x a u u a
x b u u b
= ⇒ =
= ⇒ =

( )
( )
( )
'( )
u b
b
u x u
a u a
e u x dx e du=
∫ ∫

Bài tập : Tính các tích phân sau :
1.
2
1
1

0
.
x
x e dx
+
∫
2 .
tan
4
2
0
cos
x
e
dx
x
π
∫
3.
4
2 1
0
x
e dx
+
∫
4.
4
1
x

e
dx
x
−
∫
5.
2
sin2 1
0
cos 2 .
x
x e dx
π
+
∫
6.
1
2
2
1
x
e
dx
x
∫
7.
3
1
2 1 2
0

(3 2)
x x
e x dx
+ +
+
∫
8.
2
sin cos
0
(cos sin )
x x
e x x dx
π
+
−
∫
Dạng 4 : Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Tính các tích phân sau :
1.
0
sinx xdx
π
∫
2.
1
2
0
.
x

x e dx
∫
3.
2
1
(2 1)lnx xdx+
∫
4.
2
2
0
cosx xdx
π
∫
Dạng 5 : Tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng dạng 1 :

Hình phẳng giới hạn bởi (C):
( ); 0; ; y f x y x a x b= = = =
có diện tích là

( )
b
a
S f x dx=
∫
Chú ý :
+ Nếu đề bài không đề cập đến hai đường thẳng
x
= a và

x
= b thì ta phải tìm
chúng bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm của (C) và
Ox
+ Nếu trong đoạn
[ ]
;a b
phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm thì dấu
của
( )f x
không đổi trên đoạn
[ ]
;a b
. Do đó ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài
dấu tích phân
+ Nếu trong đoạn
[ ]
;a b
phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm
( )
1 2 1 2
,x x x x<
thì ta chia đoạn thành ba đoạn nhỏ và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài
dấu tích phân
Cụ thể :
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
x x
b b

a a x x
f x dx f x dx f x dx f x dx= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài tập :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a.
3 2
1 2
3 3
y x x= − + −
, trục hoành ,
0x =
và
2x =
b.
4 2
; y x x Ox= −
c.
1; ; 2
x
y e Ox x= − =
d.
ln ; ; y x Ox x e= =
 Hình phẳng dạng 2 :


Hình phẳng giới hạn bởi (C):
( );( ') : ( ); ; y f x C y g x x a x b= = = =
có diện
tích là

( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a.
3
( ) : 3 1; 1C y x x y= − + =
b.
( ) : ln ; ( ) : 1; 1C y x d y x= = =
c.
3
( ) : 12C y x x= −
và
2
y x=
d.
3
( ) : 1C y x= = −
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng – 2
Dạng 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay
Khi quay quanh
Ox
hình phẳng (H) tạo bởi các đường
(C) :
( ); 0; ; y f x y x a x b= = = =
ta được vật thể tròn xoay có thể tích được
tính bởi công thức sau :

2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
Bài tập : Tính vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
quanh trục hoành
a.
2
2 4 ; ; 1; 2y x x Ox x x= − = − =
b.
2
; 0; 0; 1
2
y y x x
x
= = = =
−
c.
2
2 ; 1y x y= − =