ôn tập bất phương trình mũ và logarit

www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An


Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
Câu a:
+txđ:
2
560xx−+>

1
0
2
x −
>
12x
⇔
<<; x > 3
x – 3
0≠
+ (1)
2
3333
(1) 3
1
log ( 5 6) log log 3 log
22
xx

x
xx x
−−
−
⇔−+= +−= ⇔

2( 2)( 3) ( 1) 3xx xx⇔− −=−− (2)
+ nếu 1 <x <2: (2)
5
2(2)(3)(1)(3)
3
xx xx x⇔ − −=−− −⇔=

+ nếu x >3: (2)
2( 2)( 3) 9 1)( 3) 3xx xx x⇔− −=−−⇔= loại
+ Kết luận pt có nghiệm
5
3
x
=

Câu b:
+ điều kiện
1
23
x
o
+
−> (*)
+ pt tương đương:

(
)
11
222 2
log 4 4 log 2 log (2 3) log 2 (2 3)
xxx xx++
+
=+ −= −
42240 2 0
xx x
t⇔− −=⇔=> thì:
2
240tt
−
−= t =-1 loại; t =4
Vậy
24 2
x
x=⇔= thoả mãn (*)
Câu c: pt tương đương với:
(
)
(
)
2222
22
log 2 2 4 log 2
x
xmm xmxm−+ − = + −

⇔
2222
224 2
x
xmmxmxm−+ − = + − (1)

22
20xmxm+− > (2)
+ (1)
22
(1)22 0xmxmm⇔−−+ − =
(3)
có 2 nghiệm:
1, 2
1xm=− +
và 2m

22 2 2
12
1( 1)4 1xx m m⇒+ >⇔−++ >⇔ 0m
<
(*)

2
5
m >

+ từ (3)
22
2(1)2

x
mmxm⇔− =+ −
nên (2) trở thành

( 1)2 0(2 1)2 0mx m x m m x m++− >⇔ +− > (4)
với
2
1(2 1)( 1)2 0 2 10xm m m m mm=−+⇒ + −+− >⇒− − +>
-1<m<
1
2
(*)(*)
Khi x=2m
⇒
thay vào (4):
2
(2 1)2 2 0 4 0 0mmm m m
+
−>⇔ >⇒≠

Kết hợp với (*) và (*)(*) ta có -1 <m < 0;
21
52
m
<
< thì yêu cầu của bài toán
được thoả mãn.
Bài 2: câu a

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng

_________________________________________________________________

Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An


+ bpt tng ng:
2
aaa
1
log ( log x) log (log x) log 2
2
aa
+
2
aaa
1
log log x log x log 2
2
a





3
a
1
log log x log 2
a
a

(*)
+ nu 0 <a< 1
32
aa
1
(*) 0 log x 2 0<log x 2 a 1
4
x< <
+nu a > 1
2
aa
(*) log x 8 log x 2 x a
+ kt lun 0 <a < 1 bpt cú nghim
2
1ax

<
a >1 bpt cú nghim
2
x
a
Cõu b:
+iu kin:
0x >

22 2
31 101xx x x+> + <<<
+ vi 0 <x <1
22
311311xx+<+=
(
)
+<=
22
22
log x 3 1 log 1 0x v
22
log x<log 1=0
VT < 0

nghim ca bpt 0 <x <1
Bài 27: Một số phơng pháp giải phơng trình bất
phơng trình lôgarít (tiếp theo)

3. Phơng pháp đặt ẩn phụ
a. Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau
. x
lgx
=
2xlg3xlg2
2
10
+

. Log

2
x
x2 14log
16x
x
3
+ 40log
4x
x
= 0
. Tìm m để phơng trình:
3xlogxlog
2
2
1
2
2
+
= m(log
4
x
2
3) có nghiệm x
[32,+
).
Giải: Câu
: Đổi sang cơ số 2.
+
0
xlog2

xlog
2
1
.40
xlog4
xlog3.14
1xlog
xlog2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+



www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
_________________________________________________________________

Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An


+ Đặt log
2
x = t Phơng trình:

t
2
t20
t
4
t42
1
t
t2
+
+
+


= 0
Điều kiện: t
1; -2 ; -4
-10t (2t
2
3t 2) = 0 t = 0; t = -
2
1
; t = 2 thoả mãn điều kiện trên.
+ t = 0
x =1; t = -
2
1
x =
2
1

; t = 2 x = 4
Kết quả: x =
2
1
; 1;4
Câu : đk: x > 0; lg hoá 2 vế ta có
lg
2
x = 2lg
2
x 3lgx + 2 lg
2
x 3lgx + 2 = 0
+ Đặt lgx = t
t
2
3t + 2 = 0 t = 1; t = 2




==
=
=
100x2xlg
10x1xlg

Câu y: Đổi sang cơ số 2 ta có
(
) 3xlog2xlog

2
2
2
= m(log
2
x-3) đặt log
2
x = t
3t2t
2
= m(t-3) theo điều kiện x 32 t 5.

()
(
)
()()



=

23tm3t2t
103tm
2
22

+ Vì t
5 t 3 > 0 từ (1) m 0
+ (2)
(t+1)(t-3) = m

2
(t-3)
2
t+1 = m
2
(t-3)
t =
1
m
1m3
2
2

+
theo yêu cầu bài toán t 5
1
m
1m3
2
2

+
5
1
m
m26
2
2

0 1 < m
2
3 và do m 0.

1 < m 3 thì phơng trình đã cho có nghiệm x [32;+)
b. Ví dụ 2: Giải các bất phơng trình sau:
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
_________________________________________________________________

Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An


. Log
x
2log
2x
2.log
2
4x > 1
. Log
3
(x+2) > log
x2
9
. Tìm a để bất phơng trình sau nghiệm x.
3x2x
2logalogx
2
a
2

2
2
+
+
< 1
Giải
Câu : TXĐ : x > 0; x
1; x
2
1
đổi sang cơ số 2.
+ Ta có:
xlog1
1
.
xlog
1
22
+
> 1 đặt log
2
x = t
-
()
t1t
t2
+
+
> 1
()

0
1tt
t2
2
>
+


-
2
< t < -1; 0 < t<
2
vậy -
2
< log
2
x

< -1 2
2
< x < 2
-1
.
Và 0 < log
2
x <
2
1 < x < 2
2
.

Kết luận nghiệm của phơng trình





<<
<<
2
2
1
2x1
2
1
x2

Câu
: đk:





>
1x
2x
; đổi ra cơ số 3 ta có.
log
3
(x+2) >

()
2xlog
2
3
+
đặt log
3
(x+2) = t.
Bất phơng trình trở thành: t >
t
2

t
2t
2

>0 -
2
< t < 0; t >
2

+




>>
<<<<

2

2
10x2lg
1x100xlg2
là nghiệm của bất phơng trình
Câu
: + Điều kiện a > 0; a 1.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
_________________________________________________________________

Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An


+ Nhận thấy x
2
+ 2x -3 < 0 với x vì a = -1; = 1-3 < 0
+ Vậy bất phơng trình tơng đơng: x
2
log
2
a
2
+ log
a
2
> -x
2
+ 2x 3
x
2
(2log

2
a + 1) = 0 log
2
a = -
2
1
a = 2
2
1

=
2
1

Thì (1) trở thành : - 2x +
alog
1
2
+ 3 > 0 -2x + 1 > 0
x <
2
1
không nghiệm với x không thoả mãn
+ Để (1) thoả mãn với
x
()()



<++=

>+
032log1alog21'
01alog2
a2
2

- Giải: 2log
2
a + 1 > 0 log
2
a > -
2
1
a > 2
2
1

=
2
2

- giải: 1 (2log
2
a + 1) (log
a
2
+ 3) < 0 đặt log
2
a = t
1 (2 t + 1)

+ 3
t
1
< 0
1 2 6t -
t
1
- 3 < 0 6t + 4 +
t
1
> 0

t
1t4t6
2
++
>0 t 0 log
2
a > 0 a > 1
Kết hợp 2 kết quả: a> 1 vậy a > 1 thì bất phơng trình đúng
x.
4. Chú ý:
a. Ta có dạng phơng trình: log
g(x)

[f(x)] = a
(
)
()
() ()
[]





=

>
a
xgxf
1xg
0xg

Ví dụng giải phơng trình: log
x+1
(x
2
-x+1)
2
= 2.

()
()

+=+
+
>+
2
2
2
1x1xx
11x
01x

()( )





=+

>
0x2x2x
0x
1x
2
2
2
x = 2.

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
_________________________________________________________________

Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An


b. Với bất phơng trình ta có dạng: log
a
(f(x)) log
a
(g(x))

()()()()
[]
() ()





>>
>

0xg;0xf
1a;0a
0xgxf1a

Đã đợc nêu nên ở ví dụng trong bài ôn tập đầu tiên (vấn đề tập xác định
của hàm số)
Ví dụ: giải bất phơng trình: log

2
xx3
(3-x) > 1 = log
2
xx3
(3x-x
2
)

()( )







>
>+

>
0x3
0xx3x31xx3
1xx3
0xx3
22
2
2

()( )

<
>++


<
<
3x
01x3x3x4x
2
53
x
3x0
22


2
53
< x < 1 ;
2
53 +
< x < 3 ;

5. Phơng pháp tham số: Coi một bộ phận của ẩn là tham số:
a. Ví dụ 1 giải phơng trình sau.
(x+2)log
3
2
(x+1) + 4(x+1) log
3
(x+1) 16 = 0
Giải: ĐK x + 1 > 0
x + 2 > 0 vậy
Đặt log
3
(x+1) = t phơng trình trở thành:
(x+2)t
2
+ 4(x+1)t 16 = 0
= 4(x+1)
2
+ 16(x+2) = 4(x+3)
2

t
12
=
()()
2x
3x21x2
+
++
= -4;

2x
4
+

+ t = -4
log
3
(x+1) = -4 x = -
81
80
> -1 thoả mãn
+ t =
2x
4
+
log
3
(x+1) =
2x
4
+
có x = 2 là nghiệm và log
3
(x+1) là hàm đồng
biến;
2x
4
+
là hàm nghịch biến nên phơng trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất x = 2.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng

_________________________________________________________________

Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An


+ Kết luận: Phơng trình trên có 2 nghiệm x = -
81
80
và x = 2
b. Ví dụ 2: Giải bất phơng trình sau: (x+1)
xlog
2
2
1
+ (2x+5)
2
1
log
x + 6 0
Giải: + ĐK x > 0

2
1
log x = -log
2
x vậy bất phơng trình trở thành
(x+1)log
2
2
x (2x+5)log

2
x + 6 0 đặt log
2
x = t
(x+1)t
2
(2x+5)t + 6 0 đặt log
2
x = t
(x+1)t
2
(2x+5)t + 6 0 do x > 0 x + 1 > 0
Tam thức vế trái của bất phơng trình có:
= (2x+5)
2
24(x+1) = (2x-1)
2

t
12
=
()
()
1x2
1x25x2
+
+
= 2;
1x
3

+

+ Bất phơng trình trở thành: (x+1) (t-2) (t-
1x
3
+
) 0.
(log
2
x-2)[(x+1)log
2
x-3] 0 (*)
+ Mà log
2
x 2 0 x 4 dấu cảu log
2
x 2 nh dấu của x 4 thay log
2
x-
2 bằng x 4
+ y = (x+1)log
2
x-3 có y = log
2
x + (x+1)log
2
x 3 cùng dấu với x 2 bpt (*)
tơng đơng với bất phơng trình (x-4)(x-2)
0

4x
2x
kết hợp với điều kiện x
> 0
+ Kết luận nghiệm của bpt là





<
4x
2x0

6. Phơng pháp chọn: Cách làm giống nh phơng pháp chọn với phơng trình bất
phơng trình mũ
a. Ví dụ giải phơng trình: ĐK x > 5
lg(x
2
6x + 5) = lg(x-1)+6-x
Giải:
lg(x-1)(x-5) = lg(x-1) + 6-x
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
_________________________________________________________________

Trn Vn Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An

lg(x-5) = 6-x
nhận thấy x = 6 là nghiệm và là nghiệm duy nhất vì hàm y = lg(x-5) đồng biến khi
x > 5 (cơ số 10>1) và hàm y = 6-x là nghịch biến vì a = -1 < 0
2 đồ thị chỉ cắt
nhau đúng 1 lần.
7. Bài tập: Giải các phơng trình bất phơng trình sau:
1. log
2
x + 2log
7
x = 2+log
2
x.log
7
x
2. log
4
(x- 1x
2
). log
5
(x+ 1x
2

) = log
20
(x- 1x
2

)
3. x
log
2
x+4
32
4. log
3
2
(x+1) + (x-5)log
3
(x+1) 2x + 6 = 0
5. 3
xlog
2

+ x
3log
2

= 6
6.2log
3
(cõtg) = log
2
cosx
7.
xlogxlog
6

2
6
x6 + 12
8. log
5
x = log
7
(x+2)