phương trình mũ và bất phương trình mũ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (324.25 KB, 11 trang )
Phương trình và bất phương trình mũ
181
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:
( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
a
a a
f x g x
< ≠
= ⇔
=
;
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
1
0
f x g x
A x
A x A x
A x
f x g x
=
= ⇔
>
=
2. Phương trình mũ đưa về cùng một cơ số:
2.1. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số:
Bài mẫu.
GPT:
(
)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− = −
(1)
(1)
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2
3
2
5 5
2 2
1 5 3 3 3 3
5 9 3 3
x
x x
x x
− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
Bài tập.
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
;
1 2 2 1
3 18 .2 .3
x x x x
− − +
=
;
17
3
5
7
1
243 2187
9
x
x
x
x
+
−
+
−
= ⋅
;
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− = −
;
3 2 2 3
7 9.5 5 9.7
x x x x
+ = +
;
( )
1
1
5
1 5
1
4 2
2
x
x x
x
+
+
⋅ =
;
3
1
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = −
;
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ = −
;
( )
2
1
2 .3 3
x
x x
+
+
=
;
2 1 1
1 1
3.4 9 6.4 9
3 2
x x x x
+ + +
+ ⋅ = − ⋅
;
1 2 2 1
2 2 2 3 3 3
x x x x x x
− − − −
+ + = + −
;
2.2. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hàm số:
Bài mẫu.
GPT:
2 3
x x
x x
−
=
(1)
(1)
⇔
( )
1
2 3
2
2
1
1
1
2
0
1
2 3 0
6
2
4 2 3
x
x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x x
−
=
=
=
= ⇔ ⇔ ⇔ =
>
= − >
=
= −
Bài tập.
( )
2
4
2
5 4 1
x
x x
−
− + =
;
( )
2
5 6
4 1
x x
x
− +
+ =
;
( )
3
2
x
x
x x
=
(
)
(
)
5 1 1
2 2
2 2
1 1
x x
x x
+ −
=
+ +
;
( )
2
9
3
2 2
2 2 2 2
x
x x x x
−
− + = − +
;
( )
2
4
2 2
1 1
x
x x x x
−
− + = − +
;
( )
1
cos 2 cos 2
2
2 2
x
x x
x x
+
+ = +
;
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
182
3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3:
Bài mẫu.
GPT:
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3.5
x x x x x x
+ − + − + −
+ =
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 5
3 3 4.15 15 5 3 9 4.15 15 25
x x x x x x x x x x x x
+ − + − + − + − + − + −
⋅ + = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⋅
(
)
(
)
(
)
2 2 2
3 5 3 5 3 5
2
9 3 3
3 4 15 0 3 4 15 0; 0
25 5 5
x x x x x x
u u u
+ − + − + −
⇔ + − = ⇔ + − = = >
( )( )
(
)
(
)
2
3 5 1
2
1
5 3 3
3 5 3 0 3 4 0
3 5 5
4
x x
x
u u u x x
x
+ − −
=
⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔
= −
Bài tập.
2 1
3 9 4
x x+ +
+ =
;
3 7
4 2 17 0
x x+ +
+ − =
;
2 2
1 1
5 5 24
x x+ −
− =
;
3
5 5 20 0
x x−
− − =
;
1
4 4 3.2
x x x x
+ +
− =
;
1 1 1
49 35 25
x x x
− =
;
3 1
125 50 2
x x x
+
+ =
;
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0
x x x
− + =
;
1 1 1 2
1
2
25 3.10 2 0
x x x
+ +
+ − =
;
2 2
2 1 2
4 5.2
x x x x
+ − − + −
−
;
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =
;
1
1
1
2
3.2 8.2 4 0
x
x
x
−
−
+
− + =
;
3 3
2
8 2 20 0
x
x x
+
+ − =
;
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =
;
2 3 1 2 1 4 2
2 .9 2.6 4 .3 0
x x x x x− − −
− + =
;
8 18 2.27
x x x
+ =
;
(
)
3
5 2
1
6 12
6
x
x
−
−
= −
;
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
;
2
4 9 7
x
x
= +
;
2 2
2 3.2 32 0
x x+
− + =
;
(
)
3 3
5 9.5 27 5 5 64
x x x x− −
+ + + =
;
( )
3 3 1
2 6.2 2 12.2 1
x x x x− −
− − + =
;
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
;
( ) ( )
4 15 4 15 62
x x
+ + − =
;
( ) ( )( ) ( )
2 3 7 4 3 2 3 4 2 3
x x
+ + + − = +
;
( ) ( )
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =
;
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =
;
( ) ( )
3
3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
;
( ) ( )
3 5 3 5 7.2
x x
x
+ + − =
;
( ) ( )
1
3 5 1 5 1 2
x x
x
+
+ − − =
;
1
5 1 3 5
6 7
14 98
x
x
x
−
− +
+ =
;
(
)
(
)
cos cos
7 4 3 7 4 4
x x
x
+ + − =
;
( ) ( )
2 2
2
1
5 1 2 3 5 1
x x x x
x x
− −
+ −
+ + = −
;
(
)
2 2
3.25 3 10 .5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
;
(
)
9 2 2 3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
;
(
)
(
)
2
3 2 2 1 2 0
x x
x x
− − + − =
;
(
)
(
)
2 2
2 4 4 1 .2 16 0
x x
x x
− −
+ + + − =
;
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
;
GBL:
( ) ( )
3
7 3 5 7 3 5 2
x x
x
m
+
+ + − =
;
( ) ( )
tg tg
5 2 6 5 2 6
x x
m
+ + − =
;
( ) ( )
tg tg
3 2 2 3 2 2
x x
m
+ + − =
;
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ
183
4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích:
Bài mẫu.
GPT:
1
2 3 6 2
x x x+
+ = +
(1)
Đặt
2
3
x
x
a
b
=
=
thì (1)
⇔
( )( )
3
0
1
2 2 1 2 0
log 2
2
x
a
a b ab a b
x
b
=
=
+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇔
=
=
Bài tập.
15 3.5 3 3
x x x
− + =
;
1 2 3
2 3.2 6 2
x x x
+
+ = +
;
1
2 3 6 2
x x x+
+ = +
;
2
1 2
4 .3 3 2. .3 2 6
x x x x
x x x
+
+ + = + +
;
2 2 2
2 5 2 4 8 3 6 13 5
2 2 1 2
x x x x x x
− + − + − +
+ = +
;
( )
2
2
3 3 1 1
2 2 2 2
x x x x− + − −
+ = +
;
4 3 2 5 7
3 3 9 3
x x x
− − −
+ = +
;
2 2 2
3 2 1 1 2
5 5 5 5
x x x x x
− + − + −
+ = +
;
2 2 1
.2 6 12 6 .2 2
x x x
x x x x
+
+ + = + +
;
3 1 3
.3 27 .3 9
x x
x x x x
+
+ = +
;
2 1 3 2 2 3 4 1
.2 2 .2 2
x x x x
x x
+ − + − + −
+ = +
;
( )
2 2
1
2 4
7 7 7 7
x
x x x
+
− + −
+ = +
5. Phương pháp lôgarit hoá:
Dạng 1:
( ) ( )
( )
log log log
u x u x
a a a
a m a m u x m
= ⇔ = ⇔ =
(0 <
a
≠
1)
Dạng 2:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
log log .log
u x v x u x v x
a a a
a b a b u x v x b
= ⇔ = ⇔ =
(0 <
a
,
b
≠
1)
Bài mẫu.
GPT:
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
(1)
(1)
⇔
(
)
3 1
3 2
5 .2 5 2
x
x
x
−
= ⋅
⇔
3
3
5 .2 1
x
x
x
−
−
=
⇔
(
)
3
3
2 2
log 5 .2 log 1
x
x
x
−
−
=
( ) ( )
(
)
2 2
3
1
3 log 5 0 3 log 5 0
x
x x
x x
−
⇔ − + = ⇔ − + =
⇔
5
3 log 2
x x= ∨ = −
Bài tập.
2
4 3
3 25.125
x x
−
=
;
( )
2
3 2
8 36.3
x
x
x
+
+
=
;
2
2
2 .3 1,5
x x x−
=
;
2
4 .6 2.9
x x x
=
;
1
3 .8 36
x
x
x+
=
;
3
2
1
5 .2 4
x
x
x
−
+
=
;
4 tg
2
4
1600
x
x =
;
4
tg
100
x
x =
;
( )
2
25 5
log 5 1 log 7
7
x
x
−
=
6. Phương trình mũ đơn điệu
Dạng 1:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
u x u x u x u x
n
a a a b+ + + =
với
0 , 1
k
a b
< ≠
;
{
}
1 2
Max , , ,
n
a a a b
<
Dạng 2:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
u x u x u x u x
n
a a a b+ + + =
với
0 , 1
k
a b
< ≠
;
{
}
1 2
Min , , ,
n
a a a b
>
Bài 1.
Giải phương trình:
2
3 1 2
x
x
+ =
(1)
(1)
⇔
( )
( )
(
)
3
1
3 1 2 1
2 2
x
x
x
x x
f x
+ = ⇔ = + =
. Do
(
)
3
1
;
2 2
x
x
y y
= =
giảm
nên
(
)
f x
giảm, khi đó
(
)
(
)
(
)
1 2 2
f x f x f x
= ⇔ = ⇔ =
.
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
184
Bài 2.
Giải phương trình:
( ) ( )
( )
4 15 4 15 2 2
x x
x
+ + − =
(1)
(1)
⇔
( )
4 15 4 15
1
2 2 2 2
x x
f x
+ −
= + =
. Ta có
4 15 4 15
1;0 1
2 2 2 2
+ −
> < <
nên
4 15
2 2
x
y
+
=
tăng và
4 15
2 2
x
y
−
=
giảm. Xét 2 khả năng sau:
Nếu
0
x
≥
thì
( )
0
4 15 4 15 4 15
0 1
2 2 2 2 2 2
x x
f x
+ − +
= + > + =
Nếu
0
x
≤
thì
( )
0
4 15 4 15 4 15
0 1
2 2 2 2 2 2
x x
f x
+ − −
= + > + =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3.
Giải phương trình:
2 2
sin cos
2009 2009 cos 2
x x
x
− =
(1)
(1)
⇔
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin 2 cos 2
2009 2009 cos sin 2009 sin 2009 cos
x x x x
x x x x
− = − ⇔ + = +
Đặt
( )
2009
u
f u u
= +
⇒
(
)
f u
tăng nên (1)
⇔
(
)
(
)
2 2
sin cos
f x f x
=
2 2 2 2
cos sin cos sin 0 cos 2 0 ;
4 2
x x x x x x k k
π π
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈
Bài tập dành cho bạn đọc tự giải.
2
4 9 7
x
x
= +
;
2
3 4 5
x
x
− =
;
3 4 5 14 8
x x x x
+ + + =
;
2 2
8 3 2 39
x x
x
− − =
;
( )
1
2 3 6 0,7
x
x x x
+
+ + =
;
15.2 4.7 23,5.10 6.5 4.3
x x x x x
+ = − −
;
2
2 5 29
x
x x
+ =
;
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
x
− + + =
;
( ) ( ) ( )
6 4 2 17 12 2 34 24 2 1
x x x
− + − + − =
;
3 2
1 1 1
5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x
+ + + = + + − + − +
;
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 5
x x x
− + + =
;
2 2
log 3 log 5
x x x+ =
;
( ) ( ) ( )
6 4 2 17 12 2 34 24 2 1
x x x
− + − + − =
;
2 2
log 3 log 7
2
x x x
+ = −
;
(
)
(
)
2
3 2 2 1 2 0
x x
x x
− − + − =
;
( )
(
)
.2 3 2 2 1
x x
x x x
= − + −
;
3
8 .2 2 0
x x
x
−
− + =
;
( ) ( )
2 2
2 4 4 1 2 16 0
x x
x x
− −
+ + + − =
;
( )
2 2
3.25 3 10 5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
;
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + +
;
1
2
2
x
x =
;
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ
185
( )
2 2
1 1
1 0
2 2
x x
a a
a
a a
+ −
− = >
;
( )
9 2 2 3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
;
2 3 5 10
x x x x
+ + =
;
( )
5 3 3 12 14
x
x x x
+ + =
;
( ) ( )
3 2 2 2 1 3
x x
+ = − +
;
( ) ( ) ( )
2 3 4 15 2 3 5
x x x
− + − = −
;
2
2 2 2
log (2 ) log 6 log 4
4 2.3
x x
x− =
;
( ) ( )
2 2
2 3
3 5 7 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
;
(
)
2 2
2
2 2 log 15 2
x x
x x
− +
+ = + −
;
2 2
3 3 2 4
x x x x
+ = +
;
( ) ( ) ( )
2 2
cos2
sin cos cos2
2
2 2 2 2 2 2 1
2
x
x x x
+ − + + − = +
;
3 3 sin 2
tg cotg 2
x
x x+ =
;
sin
cos
x
x
π =
;
( )
1
2 1 1
2 2
x
x x
−
= + + −
;
1
2
2
x
x =
;
2
2 2
1 1 2
1 1
e e
2
x x
x x
x
− −
− = −
;
( )
2
2
1
2 2 1
x x x
x
− −
− = −
;
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
7. Phương trình mũ và phương pháp đánh giá:
7.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi:
Bài mẫu.
2 2 2 2 1
8 7 8 9 8 7 8 9 2
x x
x
x x x x x x x x
+
− + + − − + − + − − − =
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
8 7 8 9 8 7 8 9
x x
VT x x x x x x x x
= − + + − − + − + − − − ≥
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 8 7 8 9 8 7 8 9
x x
x x x x x x x x− + + − − − + − − −
( ) ( )
2 2 1
2
2
2 8 7 8 9 2 16 2.2 2
x
x
x x
x x x x
+
= − + − − − = = =
Phương trình đã cho có nghiệm
⇔
Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức
( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2
8 7 8 9 8 7 8 9
8 7 8 9 8 7 8 9 4
x x x x x x x x
x x x x x x x x
− + + − − = − + − − −
⇔
− + + − − − + − − − =
2
2
2
8 7 4 1
8 9 0
9
8 9 0
x x x
x x
x
x x
− + = = −
⇔ ⇔ − − = ⇔
=
− − =
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
186
7.2. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli:
Cho
t
> 0, khi đó:
( )
( )
1 1 0 1
1 1 0 1
t t
t t
α
α
+ − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥
+ − α ≤ ∀ ≤ α ≤
Bài 1.
Giải phương trình:
3 2 3 2
x x
x
+ = +
Giải
Sử dụng bất đẳng thức
Bernoulli
ta có:
•
Nếu
0 1
x
≤ ≤
thì
( )
( )
3 1 3 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
x x
x x
x x
x x
+ − ≤ ≤ +
⇔
+ − ≤ ≤ +
3 2 3 2
x x
x
⇒ + ≤ +
. Dấu bằng xảy ra
0; 1
x x
⇔ = =
•
Nếu
0
1
x
x
≤
≥
thì
( )
( )
3 1 3 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
x x
x x
x x
x x
+ − ≥ ≥ +
⇔
+ − ≥ ≥ +
3 2 3 2
x x
x
⇒ + ≥ +
. Dấu bằng xảy ra
0; 1
x x
⇔ = =
Kết luận:
Phương trình có đúng hai nghiệm
0; 1
x x
= =
Bài 3.
Giải phương trình:
3 5 6 2
x x
x
+ = +
Giải
•
Nếu
0 1
x
≤ ≤
thì
( )
( )
5 1 5 1 5 4 1
3 1 3 1 3 2 1
x x
x x
x x
x x
+ − ≤ ≤ +
⇔
+ − ≤ ≤ +
5 3 6 2
x x
x
⇒ + ≤ +
. Dấu bằng xảy ra
0; 1
x x
⇔ = =
•
Nếu
0
1
x
x
≤
≥
thì
( )
( )
5 1 5 1 5 4 1
3 1 3 1 3 2 1
x x
x x
x x
x x
+ − ≥ ≥ +
⇔
+ − ≥ ≥ +
5 3 6 2
x x
x
⇒ + ≥ +
. Dấu bằng xảy ra
0; 1
x x
⇔ = =
Kết luận:
Phương trình có đúng hai nghiệm
0; 1
x x
= =
Bài tập.
4 5 6 12 3
x x x
x
+ + = +
;
4 2 4 2
x x
x
+ = +
;
(
)
2
2
27 6 4 1 9
x x
x x= − +
8. Phương trình mũ sử dụng định lý Lagrange:
Định lý Lagrange:
Nếu
f
liên tục trên [
a
,
b
] và có đạo hàm trên (
a
,
b
) thì tồn
tại
x
0
∈
(
a
,
b
) sao cho
( )
(
)
(
)
0
f b f a
f x
b a
−
′
=
−
Bài tập.
2
3.2 7 17
x
x
+
− =
;
2004 2007 2005 2006
x x x x
+ = +
;
3 11 4 10
x x x x
+ = +
;
1
5 2.3
x x
+
=
;
2 2 2
2 12 2.7
x x x x x x
− − −
+ =
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ
187
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Bất phương trình mũ cơ bản:
Sử dụng:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
0
1 0 1
1 0
x x
a
a a
a a
x x x x
a x x
α β
>
> < <
> ⇔ ∨ ⇔
α > β α < β
− α − β >
2. Bất phương trình mũ đưa về cùng một cơ số:
Bài 1.
Giải BPT:
1
1 1
1
4 32
4
x x
x x
−
+ −
≤ ⋅
( )
( )
3 2
2 1
5
1
2
1 1
2 1
3 2
2 2 2 2
1 1
x
x
x
x
x x
x
x
x x
+
−
−
−
+ −
−
+
≤ ⋅ = ⇔ ≤
+ −
⇔
( )
( ) ( )
9 ; 1
9
0
1 1
1 0
x x
x x
x x
x
≤ − >
+
≥ ⇔
− +
− < ≤
Bài 2.
Giải BPT:
( )
2
2
4 2 1 1
x x
x x
−
+ + >
(1)
(1)
⇔
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
4 2 1 1
2 1 0
1
0 1 0
1
2 1 0
0 4 2 1 1
2
1 0
0
x x
x x
x
x x x x
x
x x
x x
x x
x x
+ + >
+ >
>
− > − >
⇔ ⇔
< −
+ <
< + + <
− <
− <
Bài tập.
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
+ + + + +
− − > −
;
1 1
2 2 3 3
x x x x
+ −
+ ≤ +
;
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ ≤ −
;
( ) ( )
1
1
2 1 2 1
x
x
x
+
−
+ ≥ −
;
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < −
;
(
)
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
≥
;
( )
2
2
3
2 2
1 1
x x
x x
+
−
≤ −
;
( ) ( )
3 2
2 2
1 5
1 1
x x
x x
x x x x
+ −
− +
− + > − +
;
2
2 7 3
1 1
x x
x
− +
− <
;
2 2 2
2 1
3 3 2 5
x x x
+ +
+ ≤ ⋅
;
(
)
(
)
72
1 1
3 1
3 3
x x
>
;
2
3 3
log log
2 5 400
x x
⋅ <
;
( )
2
5 6
3 1
x x
x
− +
+ >
;
( )
6
2
8 16 1
x
x x
−
− + <
;
2
lg 2 lg 5
3 3 2
x x+ +
< −
;
lg 3lg 1
1000
x
x x
x
− +
>
;
1
lg
.lg 1
x
x x
<
;
2 lg
10
x
x x
≥
;
2
log
2
x
x
≥
;
1
8 6 9
x x
−
≥ ⋅
;
(
)
(
)
6 3
2 1 1
1 1
2 2
x x x
− + −
<
;
2 1 2 3 2 5 7 5 3
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
− − − − − −
+ − > + −
;
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
188
3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3:
Bài mẫu.
Giải BPT:
2 2 2
2 49 9 14 7 4 0
x x x
⋅ − ⋅ + ⋅ ≥
(1)
(1)
⇔
(
)
(
)
2 2
2
2
2
7
1
1
49 7
2
2 9 7 0 2 9 7 0
4 2
0
0
1
x x
u
x
x
u u
x
x
u
≥
≥
≥
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ⇔ ⇔
=
≤
≤
Bài 2.
Giải BPT:
( )
1 1
1 1
5
1 2
2 2 2 1
3 2 2
x x
x x
− − −
− −
+ <
+ −
+
(1)
( )
( )
1 1
1 1
5
2 2
1
2 1 2 1
3 2 2
x x
x x
− −
− −
⇔ + <
+ −
+
. Đặt
1
1
2 1 1 2
0
2 1 1
x
x
u uv v u
u v
v
−
−
= + > − = −
⇒
+ >
= − > −
(1)
⇔
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
6 4 5
6 5
5
2 2
0 0
3 3 3
v u uv uv
u v uv
u v
u v uv u v uv u v
− + −
+ −
+ < ⇔ < ⇔ <
+ + +
( )
( )
2
2
6 2 4 5
6 5 24
0 0 0 0 1
uv uv uv
uv uv
uv v x
uv uv
− + −
− +
⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ <
Bài tập.
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34 15
x x x x x x
− + − + −
+ ≥ ⋅
;
2 10 3 2 5 1 3 2
5 4 5 5
x x x x
− − − − + −
− ⋅ <
;
2 2 2
1 2 6 2
4 2 52 4
x x x
− − −
+ > +
;
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x+ +
− − <
;
2 1
4 7 5
2
3
5 12 5 4
x
x x+
− ⋅
≤
− ⋅ +
;
4 4
1
8 3 9 9
x x x x
+ +
⋅ + ≥
;
2 4 4
3 8 3 9 9 0
x x x x+ + +
− ⋅ − ⋅ >
;
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−
;
9 3 2 3 9
x x x
− + > −
;
( )
13 5 2 13 12 13 5
x x x
− ≤ + − +
;
( )
2 5 4 5 3 5 3
x x x
+ − − ≤ +
;
( ) ( ) ( )
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
x x x
+ + + − − <
;
4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích:
Bài mẫu.
Giải BPT:
( )
2
2 2
1 1
4 2 2 1
x x x x+ − +
+ ≥ +
(1)
(1)
⇔
2 2 2
2 2 1 2 1
2 2 2 1
x x x x x+ − + +
+ ≥ +
. Đặt
2 2 2
2 2 1 2 1
2 ; 2 2
x x x x x
a b ab
+ − + +
= = ⇒ =
(1)
⇔
( )
1; 1 1
1 0 ( 1) 1 0
1; 1 0
a b x
ab a b a b
a b x
≥ ≤ ≥
+ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ⇔
≤ ≥ ≤
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ
189
Bài tập.
2
1 2
4 3 3 2 3 2 6
x x x x
x x x
+
+ ⋅ + < ⋅ + +
;
(
)
2 2 1 2
4 8 2 4 2 2 2
x x
x x x x x x
+
+ − > + − + ⋅ −
;
2 2 2
2 5 3 2 2 3 2 5 3 4 3
x x
x x x x x x x
− − + > ⋅ − − + ⋅
;
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 9 2 2 8 2 2 9 2 8 16
x x x x
x x x x x x
⋅ + + ⋅ + ≤ + + ⋅ + +
;
5. Bất phương trình mũ đơn điệu
Bài 1.
Giải BPT:
1 1
2 3 6 1
x x x+ +
+ < −
(1)
(1)
⇔
(
)
f x
=
(
)
(
)
(
)
( )
1 1 1
2 3 1 2
6 3 2
x x
x
f+ + < =
⇔
2
x
>
(do
(
)
f x
giảm)
Bài 2.
Giải BPT:
(
)
(
)
1
5 29
2
2 5 10
x
x
+ >
(1)
Nếu
0
x
<
thì
1
x
giảm trên
(
)
; 0
−∞
nên
(
)
1
2
5
x
y =
tăng trên
(
)
; 0
−∞
, khi đó:
( )
(
)
(
)
1
5
2
2 5
x
x
f x = +
tăng trên
(
)
; 0
−∞
và (1)
⇔
( )
( )
29
1 1 0
10
f x f x
> − = ⇔ − < <
Nếu
0
x
>
thì
1
x
giảm trên
(
)
0;
+∞
nên
(
)
1
2
5
x
y =
tăng trên
(
)
0;
+∞
, khi đó:
( )
(
)
(
)
1
5
2
2 5
x
x
f x = +
tăng trên
(
)
0;
+∞
và (1)
⇔
( )
( )
29
1 1
10
f x f x
> = ⇔ >
Bài 3.
Tìm nghiệm
0
x
>
của BPT:
1
6 3 10
2 1
x
x x
+
−
>
−
(1)
(1)
⇔
( ) ( )
1 1 1
10 10 2 6 2 6
6 3 6 3 3
2 1 2 1 2 1 2 1
x x x
x x x x
f x g x
x x x x
+ + +
− −
− > ⇔ − = > ⇔ = > =
− − − −
Nếu
1
3
2
x
< ≤
thì
( )
1
2 6
0 3
2 1
x
x
f x
x
+
−
= ≤ <
−
nên (1) vô nghiệm.
Nếu
1
0
2
x
< <
thì dễ thấy
(
)
(
)
,
f x g x
tăng trên
(
)
1
0;
2
, khi đó ta có:
( ) ( )
(
)
( )
1
0 6 3 3
2
f x f g g x
> = > = >
⇒
Nghiệm của (1) là
1
0
2
x
< <
Nếu
3
x
>
thì dễ thấy
(
)
(
)
,
f x g x
tăng trên
(
)
3;
+∞
, khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
2 6 5
1 1 81 3
2 1 2 1
x
f x g g x
x x
−
= = − < < = <
− −
⇒
(1) vô nghiệm.
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
190
Bài tập.
1
2 2 1
0
2 1
x
x
x
−
− +
≤
−
;
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
−
+ −
≥
−
;
1
1
2 5 3
1
2 3
x x
x x
+
+
− ⋅
<
−
;
(
)
2
3
2
8 1
3
3 2
x
x
x x
−
⋅ > +
−
;
2 2 2 2
1 2
4 2 3 2 2 8 12
x x x x
x x x
+
+ ⋅ + ⋅ > ⋅ + +
;
( )
( )
( )
( )
2
2
2
4 6
4 6
2 2 4 6
2 1 1 0 1
x x
x x
x x
a a a a
− +
− +
− +
+ − ≥ + < <
;
6. Bất phương trình mũ chứa tham số
Bài 1.
Tìm
m
để BPT sau có nghiệm:
2 2 2
sin cos sin
2 3 3
x x x
m+ ≥ ⋅
(1)
(1)
⇔
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2
sin
sin sin
1 2 sin
6
2 1
3 3
3 9 9
x
x x
x
m m
−
+ ≥ ⇔ + ≥
Đặt
[
]
2
sin 0;1
u x= ∈
, ycbt
⇔
( )
(
)
(
)
6
1
3
9 9
u
u
f u m
= + ≥
có nghiệm
[
]
0;1
u ∈
⇔
[ ]
(
)
(
)
0;1
Max 0 4
u
f u f m
∈
= = ≥
Bài 2.
Tìm
m
để BPT sau đúng
∀
x
∈
:
( ) ( )
2
4 1 2 1 0
x x
m m m
+
⋅ + − + − >
(1)
Đặt
2 0
x
u
= >
, khi đó: (1)
⇔
( ) ( )
2
4 1 1 0
mu m u m
+ − + − >
⇔
(
)
2
4 1 4 1
m u u u
+ + > +
⇔
( )
2
4 1
4 1
u
f u m
u u
+
= <
+ +
. Ta có
( )
( )
2
2
2
4 2
0
4 1
u u
f u
u u
− −
′
= <
+ +
[
)
0;u
∀ ∈ +∞
⇒
(
)
f u
giảm trên
[
)
0;
+∞
ycbt
⇔
( )
2
4 1
, 0
4 1
u
f u m u
u u
+
= < ∀ >
+ +
⇔
(
)
(
)
0
Max 0 1
u
f u f m
>
= = ≤
Bài tập.
Tìm
m
để BPT sau có nghiệm:
49 5 7 0
x x
m
− ⋅ + ≤
;
( )
4 2 3 0
x x
m m
− ⋅ + + ≤
;
Tìm
m
để bất phương trình sau đúng
∀
x
> 0:
( ) ( )
3 1 12 2 6 3 0
x x x
m m
+ + − + <
Tìm
m
để BPT sau đúng
∀
x
≤
0:
( )
( ) ( )
1
2 2 1 3 5 3 5 0
x x
x
m m
+
⋅ + + − + + <
Tìm
m
để BPT sau đúng
1
2
x
∀ ≥
:
( )
2 2 2
2 2 2
9 2 1 6 4 0
x x x x x x
m m m
− − −
⋅ − + + ⋅ ≤
www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình mũ
191
www.VNMATH.com
