phương trình và bất phương trình logarit

Phương trình và bất phương trình Lôgarit

191

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA:
( )
( )
0 1
log
a
m
a
f x m
f x a
< ≠


= ⇔

=



Bài mẫu.
GPT:
(
)
2
3

1
log 3 2 1
2
x
x x
+
− − + =
(1)
(1)
⇔

(
)
3 3
log 3 1 log 3
x x
x x
+ +
− − = +
. Điều kiện:
0 3 1
2 4
3 1 0
x
x
x
< + ≠


⇔ − < <


− − >



(1)
⇔

( )
2
2
3 1 3 3 7 6 1 0
x x x x x
− − = + ⇔ − + − − =
. Xét hai khả năng:
Nếu
2 1
x
− < ≤
thì (1)
⇔

(
]
2
3 5
3 1 0 2;1
2
x x x
− +

+ + = ⇔ = ∈ −

Nếu
1 4
x
< <
thì (1)
⇔

( )
2
9 29
9 13 0 1; 4
2
x x x
−
− + = ⇔ = ∈

Bài tập.

(
)
2
2
log 4 7 2
x x
− + =
;
(
)

2
log 2 3 4 2
x
x x
− − =
;
(
)
2
log 2 4 3 2
x
x x
− + =
;
(
)
(
)
2 2
2
6 8 2 2 3
log log 2 0
x x x x
x x
+ + + +
− =
;
( )
( )
2

4
3 4
2
2
1
log 9 16 2
log 3 4
x
x
x
−
− = +
−

2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ:
( ) ( )
( ) ( )
0 1
log log
0
a a
a
f x g x
f x g x
< ≠

= ⇔

= >


Bài mẫu.
GPT:
(
)
(
)
3
2 2
log 4 1 log 2 6
x x
x
+
+ = + −
(1)
Điều kiện:
3
2
3 3
2 6 0 2 log
4 4
x x
x
+
− > ⇔ > ⇔ >

(1)
⇔

(

)
(
)
(
)
3 3
2 2 2 2
log 4 1 log 2 log 2 6 log 2 2 6
x x x x x+ +
+ = + − = −

⇔

(
)
(
)
(
)
3 2
4 1 2 2 6 7 2 6 2 1 0 2 1 7 2 1 0 2 1 0 0
x x x x x x x x
x
+
+ = − ⇔ ⋅ − ⋅ − = ⇔ − ⋅ + = ⇔ − = ⇔ =

Bài tập.
(
)
(

)
(
)
(
)
2 2 4 2 4 2
2 2 2 2
log 1 log 1 log 1 log 1
x x x x x x x x
+ + + − + = + + + − +
;
(
)
( ) ( )
2
3 1 9
3
log 2 54 log 3 2 log 4
x x x
− + + = −
;
2 1
2
2
2 log log log 9
x x x
+ + =
;
2
2 1

2
2
log 3log log 2
x x x
+ + =
;
2
5 5
5
log log 1
x
x
x
+ =
;
2 4 1
2
log log log 3
x x+ =
;
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương

192

2
2 4
log 1 2 2 log
x x x x
+ = +

;
3 27
3 log 2 4 log
x x x x
+ = +
;
5 1
1
3
log 5 log 5
x
x
+ −
+
=
;
( )
( )
2 3 2
1
2 lg 36 lg 3 3 1 lg 6 2 lg 3 lg 2
3
x x x x x− + + + + = + + +
;
( )
2 lg
1
lg 5 4
x
x

=
−
;
3 1
3
3
log log log 6
x x x
+ + =
;
(
)
(
)
3 9
log 1 log 4 3 4 1
x x x x
+ − = − + −
;
(
)
2 2 2 2
6 1
6
log 5 2 3 log 5 2 3 2
x x x x x x x x
− − − − − = +
;
4 lg 3 lg
x x

− =
;
( )
(
)
lg 5 1 lg 2 1 lg 6
x
x − = + −
;
( )
(
)
1
lg lg 2 lg 1 2 lg 6
2
x x+ + + =
;
(
)
(
)
2 2
log 4.3 6 log 9 6 1
x x
− − − =
;
( )
3 1
3
log 2 log 2 1 0

x x
− + − =
;
2 4 8
11
log log log
2
x x x
+ + =
;
( )
2 1
8
log 2 2 6 log 3 5
x x
− = + −
;
(
)
(
)
3 2
2 2
4 6
log 4 log 4
x x x
x x
+ −
− = −
;

(
)
(
)
3 2
2 2
4 6
log 3 log 3
x x x
x x
+ −
− = −
;
3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ:
Công thức đổi cơ số:

log log
log
log .log log ; log ;
log
m m
b a
m
a b a a
m
b
b c c b a b
a
= = =

Bài mẫu.
GPT:
(
)
(
)
(
)
( )
2 2 2
2 3 6
log 1 log 1 log 1 *
x x x x x x− − + − = − −

Giải
ĐK: Tập các giá trị của
x
thỏa mãn
2
2
1 0
1
1 0
x x
x
x

− − >

⇔ ≥


− ≥



Với
1
x
≥
thì
( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2
2 3 6
* log 1 log 1 log 1
x x x x x x
− −
⇔ + − + − = + −

(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 3 6
log 1 log 1 log 1
x x x x x x

⇔ + − + − = + −

(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 6 3 6
log 6 log 1 log 1 log 1
x x x x x x
⇔ ⋅ + − ⋅ + − = + −

Xét
(
)
2
6
log 1 0
x x
+ − =

⇔

( )
2
2
2
1 0

1 1 1
1 1
x
x x x
x x
− ≥


+ − = ⇔ ⇔ =


− = −


www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình Lôgarit

193

Xét
(
)
(
)
6
log 2
2 2 2
2 3 3 6
log 6.log 1 1 log 1 log 2 1 3x x x x x x+ − = ⇔ + − = ⇔ + − =

Để ý
6
6
log 2
2
log 2
2
1 1
1 3
3
1
x x
x x
−
− − = = =
+ −
nên
( )
6 6
log 2 log 2
1
3 3 1
2
x
−
= + ≥

Bài tập.

2 3

log log 1
x x
+ =
;
3 5
log log lg15
x x+ =
;
4
7
log 2 log 0
6
x
x
− + =
;
2
3 3 2 2
1
log 2 log .log log
4
x
x x
x
− = +
;
2 3
16 4
2
log 14 log 40log 0

x x x
x x x
− + =
;
2
2 4
2 2
2
log log log 1
x
x x
x
⋅ + =
;
(
)
2
2
3
4 4
log 8 14 log 9 1
x x
x x
+ +
− − − =
;
2
3 2
9
9

9
5log log 9 log 2
x
x
x
x x x
+ + =
;
3
3 3 2
3
1 1
log log log
log 2 2
3
x
x
x
x
⋅ − = +
;
( )
5
log 20 log 5 1
x
x
+ =
;
(
)

(
)
2 2
1 2 1 3
log 6 5 1 log 4 4 1 2
x x
x x x x
− −
− + − − + =
;
(
)
(
)
2 2
3 7 2 3
log 4 12 9 log 6 23 21 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
;
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
;
( )

2
log 2.log 6 1
x
x
+ =
;
2 3 3 2
log log log log
x x
=
;
2 2 5 5
log log log log
x x
=
;
(
)
(
)
4 2 2 4
log log log log 2
x x
+ =
;
2 3 4 4 3 2
log log log log log log
x x
=
;

3 5 7 3 5 7
log log log log .log .log
x x x x x x
+ + =

4. ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN ĐIỆU:
Bài mẫu.
GPT:
(
)
2 5
log 1 log
x x
− =
(1)
Đặt
( )
( )
5
2
2
log
5
5 2 1 4 2.2 1 5
log 1
1 2
u
u u u u u u
u
x u

x
x u
x
=


=
 
⇔ ⇒ = + ⇔ + + =
 
 
− =
− =



( )
(
)
(
)
(
)
4 2 1
2 1
5 5 5
u u u
f u
⇔ = + + =
. Ta có:

(
)
f u
giảm và
(
)
2 1
f
=
nên
(
)
(
)
(
)
1 2 2
f u f u f u
= ⇔ = ⇔ =
⇔

25
x
=

Bài tập.

(
)
(

)
2 2
2 3
8 4 3
log 8 7 log 8 8
x x x x
+
+
− − = − −

(
)
2
4 3
log 8 log 3
x x x
− − =
;
(
)
2
3 2
log 3 13 log
x x x
− − =
;
(
)
(
)

3
3 2
log 5 log 4
x x
+ = −
;
(
)
3
2 7
log 1 log
x x
+ =
;
3 2
2 log cot log cos
x x
=
;
(
)
3
3 2
3log 1 2 log
x x x
+ + =
;
( ) ( ) ( )
2 3
2 log 3 log 2 1

x x x x
 
− − + − = +
 

www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương

194

5. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Bài 1.
Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 3
2 log 3 log 2 1
x x x x
 
− − + − = +
 

Giải

Điều kiện:
3
x
>
. Biến đổi phương trình
( ) ( )
2 3

1
log 3 log 2
2
x
x x
x
+
⇔ − + − =
−

Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
1 1
log 3 log 2 0 3
3 ln 2 2 ln 3
f x x x f x x
x x
′
= − + − ⇒ = + > ∀ >
− −

( ) ( )
( )
2
1 3
0
2
2

x
g x g x
x
x
+
′
= ⇒ = − <
−
−
. Như vậy
(
)
f x
đồng biến và
(
)
g x
nghịch
biến nên phương trình
(
)
(
)
f x g x
=
có không quá một nghiệm.
Mặt khác
(
)
(

)
5 2; 5 2
f g
= =
nên
(
)
(
)
f x g x
=
có nghiệm duy nhất
5
x
=
.
Bài 2.
Giải phương trình:
(
)
( )
2 2
2 3
log 1 5 5 log 5 7 2
x x x x
+ − + + − + =

Giải

Đặt

2 2 2
5 5 0 2 5 7
u x x u x x
= − + ≥ ⇒ + = − +
. Khi đó phương trình
( ) ( )
(
)
2
2 3
log 1 log 2 2
f u u u
⇔ = + + + =
.
Ta có
( )
( )
( )
2
2
1
0
1 ln 2
2 ln 3
u
f u
u
u
′
= + >

+
+
(
)
f u
⇒
đồng biến. Khi đó
( ) ( )
( )
2 2
2 1 1 5 5 1 5 4 0
f u f u f u x x x x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + =
1
4
x
x
=

⇔

=


Bài 3.
Tìm
m
để phương trình
( )
(

)
2 1 2
1 ln 1 0
2 2 1
m mx
x
mx m
+ −
− − =
− +
có nghiệm.
Giải

Nếu
0
m
=
thì hiển nhiên phương trình vô nghiệm.
Xét
0
m
≠
. Đặt
( )
2 1 1
2
u
u m x x
m
= − ⇔ − =

. Khi đó phương trình trở thành
(
)
(
)
1 1
ln 1 0 ln 2
2 1 1
u u u
u m
m u u
+ +
− = ⇔ =
− −
. Xét hàm số
( )
(
)
1
ln ; 1 1
1
u
f u u u
u
+
= − < <
−

Ta có
( )

(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
2 1
1 2 1
2 4
ln ; 0
1 1
1
1
1 1
u
u u u
f u f u
u u
u
u
u u
+
+ −
′ ′′
= + = ⋅ + = >
− +

−
−
− −

(
)
f u
′
⇒
tăng mà
(
)
0 0
f
′
=
nên phương trình
(
)
0
f u
′
=
có nghiệm duy nhất
0
u
=
và hàm
(
)

y f u
=
đạt cực tiểu tại
0
x
=
. Lập bảng biến thiên suy ra
phương trình có nghiệm
0
m
⇔ >

www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình Lôgarit

195

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Bài mẫu.
GBPT:
( )
1
3
2
1
3
1 1
log 1
log 2 3 1

x
x x
>
+
− +
(1)
(1)
⇔
( )
( )
( )
2
1 1
2
3 3
2 2
1 1
3 3
2
2
1 1
3 3
1
log 2 3 1 0 log 1
0
2 3 1 1 1
2
3
0 log 2 3 1 log 1 1 2 3 1 1 1
2

2 3 1 1 1
5
log 2 3 1 log 1 0
x x x
x
x x x
x x x x x x x
x x x
x
x x x


− + > > +
< <


− + < < +







< − + < + ⇔ > − + > + ⇔ < <









− + > + >
>



− + < + <



Bài tập.

2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
;
( )
(
)
( )
2
2 2
2 2
log 3
1

1
log 1 log 1
x
x x x x
+
+ >
− + − +
;
(
)
(
)
1 5
5
log 1 log 2
x x
+ ≤ −
;
(
)
log 3 2 1
x
x
− >
;
3
log 2
8 2
x
x

> −
−
;
2
2
1
log
2
3
x
x
x
≤
−
;
(
)
2
log 9 1 1
x
x x
− − − ≥
;
( ) ( )
2
2 1
4
log 2 8 log 2 5
x x
− − − ≥

;
3 9
log 2 log 2
x x
− >

;
7
7
2 log log 4
x x
− >
;
3
2 4
3log 4log 2
x x
− >
;
2 2
4
1 1
1 log log
4
x
x
+ − >
;
(
)

( ) ( )
2
2 2
log 3 1
2
1 log 3 1 3 log 3 1
x
x x
−
<
+ − + −
;
2
2
1 1
4
log 3
log 1
2
x
x
>
−
−

( )
2
3 1 1
3 3
1

log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x
− + + − > +

2. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài mẫu.
Giải BPT:
(
)
2 3 3 2
log .log 2 log .log 3 0 1
x x x x+ ≥

Nếu
1
x
≥
thì
2 3 3 2
log 0, log 2 0; log 0;log 3 0
x x x x
≥ > ≥ >
nên (1) thỏa mãn
Nếu
2 3 2 3
0 1 log 0, log 0 log log 0
x x x x x
< < ⇒ < < ⇒ >
. Khi đó biến đổi (1) ta có

www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương

196

( )
2 3 3 2
2 3 3 2
log log 2 log log 3
1 0 log 2 log 3 0
log log log log
x x
x x x x
x x
x x x x
⇔ + ≥ ⇔ + ≥

⇔

1 log 2 1 log 3 0 log 6 2
x x x
+ + + ≥ ⇔ ≥ −

2
6
1
0 0
6 6
x x⇔ < ≤ ⇔ < ≤
(do

0 1
x
< <
)
Vậy nghiệm của (1) là
( )
6
1 0
6
x x
 
≥ ∨ < ≤
 
 

Bài tập.

4 16
3log 4 2 log 4 3log 4 0
x x x
+ + ≤
;
(
)
(
)
3 2 2 3
log log log log
x x
<

;
2 4
log 2 log 2 log 2
x x x
⋅ >
;
1 4
5
log log 1
x x
+ ≥
;
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ ≤
;
( ) ( )
2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
+ − +
>

− −
;
( ) ( )
2 3
2 2
5 11
2
log 4 11 log 4 11
0
2 5 3
x x x x
x x
− − − − −
≥
− −

( ) ( )
5 8
2 2
2 3
2
log 2 7 log 2 7
0
3 13 4
x x x x
x x
− − − − −
≤
− +
;

3
9
1 5
1
log 3.log
6 4 6
x
x
x
−
≤
−

3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP:
Bài mẫu.
Giải BPT:
(
)
( )
2
log log 4 6 1 1
x
x
 
− ≤
 

Từ điều kiện
4 6 0 1
x

x
− > ⇒ >
nên
( )
(
)
( )
2
2
log 4 6 0
4 6 1
1
4 6 2
log 4 6
x
x
x x
x
x


− >
− >
 
⇔ ⇔
 
− ≤
− ≤






( )
2
2 7
2 2 6 0
x
x x

>

⇔

− − ≤



2 2
2 7
1
7 2 3 log 7 log 3
2
2 2 3
x
x
x
x

>


⇔ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤

− ≤ ≤


.
Bài tập.

(
)
2
log log 4 6 1
x
x
− ≥
;
2
2
log 1
3 1
3
2
log log 2 3 0
2
x
x
−
 
 

+ + ≤
 
 
 
 
;
3 4 1 1
3 4
3 1 1
log log log log
1 3 1
x x
x x
− +
≤
+ −
;
2 3
3
log log 3 0
x
− ≥
;
1 3
2
1
log log 0
1
x
x

+
≥
−
;
(
)
2
3 9
16
log log 4 3 0
x x
− + ≤
;
(
)
2
8 1
2
3
log log 6 0
x x
− − ≥
;
1 2
2
2 1
log log 0
3
x
x

x
+
−
<
+
;
(
)
2
2
log
2
log 10 22 0
x
x x
− + >
;
(
)
5
2
log
log 5 7 0
x
x x
− + >
;
4 2
2
2 1

log log 0
3
x
x
x
+
−
<
+
;
(
)
2
7 11
16
13
11
log log 0
32 8
x x
− − <
;
(
)
(
)
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1

x x x x
+ + > + −

www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình Lôgarit

197

4. SỬ DỤNG PHÉP LOGARIT HÓA
Bài mẫu.
Giải bất phương trình
( )
( )
4
2 1
4
log log 3 1 1
x
x x
−
 + + ≥
 
 

Điều kiện là
0
x
>
. Khi đó
( )

( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
1 4 log log log 3 log 1 4 log log 0 2
3
x
x x x x
x
 
⇔ − − + ≥ ⇔ − ≥
 
+

Nếu
4
x
=
thì (2) được nghiệm đúng nên
4
x
=
là 1 nghiệm của (1)
Nếu
4
x
>
thì (1)
⇔

2 2 2

4 4 4
6
log log 0 log 1 2
3 3 3
x x x
x
x x x
x x x
> > >
  
  
⇔ ⇔ ⇔ ≥
  
≥ ≥ ≥
  
+ + +
  

Nếu
4
x
<
, thì (1)
⇔

2 2 2
4 4 4
1 13
4
log log 0 0 log 1 1 2

2
3 3 3
x x x
x
x x x
x x x
< < <
  
  
+
⇔ ⇔ ⇔ < <
  
≤ < ≤ < ≤
  
+ + +
  

Vậy nghiệm của (1) là
1 13
4
2
x
+
< ≤
hoặc
6
x
≥
.
5. ĐƯA VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN ĐIỆU:

Bài mẫu.
Giải BPT:
(
)
7 3
log log 2
x x
< +
(1)
Đặt
7
log
u x
=

⇒

7
u
x
=
. Ta có: (1)
⇔

( ) ( )
3
log 2 3 2 7
u
u
u x< + ⇔ < +

( )
(
)
7
1
2 1
3 3
u
u
f u
 
⇔ = + >
 
 
. Do
(
)
f u
giảm và
(
)
2 1
f
=
nên bất phương trình
(
)
(
)

(
)
7
1 2 2 log 2 0 49
f u f u f u x x
> ⇔ > ⇔ < ⇔ < ⇔ < <

Bài tập.

(
)
5 16
log 1 log
x x
+ >
;
(
)
(
)
2
3
3 5
log 7 log 2 3
x x
+ > −

6. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP
(
)

2 2
5
1
1 4 3 log 1 8 2 6 0
5
x
x x x x
x
 
+ − + + + − − ≤
 
;
( )
( )
3
log 2 log 2
x x
x x
≤
;
2 2
4
3
5 6 10 2 12 3log 3
x x x x x
x
− + + + − − + ≥
;
3
log 3log 3 2 0

x
x
− − ≤
;
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương

198

2 2
4
7 10 9.log 2 14 20 2 13
8
x
x x x x x
− + + ≥ + − − −
;
4 5 6 2 2 3 4
2 4
12 3 4 4 .log 3 3 4 4 4 log
x x x x x x x x x
+ + − > + − +

(
)
2 3 4 2 2
2 2
5 6 .log log 5 5 6
x x x x x x x x x x
+ + − > − + + + −

;
(
)
5 3
5
3
log 2 log
log log
3 log
x
x x
x
x
x
−
+ <
;
2
3 3 3
log 4 log 9 2 log 3
x x x
− + ≥ −
;
(
)
( )
2
3
4 16 7 log 3 0
x x x

− + − >
;
(
)
( )
2 2
2 3
log 1 5 5 log 5 7 2
x x x x
+ − + + − + ≤
;
(
)
2
2
6
log 2.log 2 1
x
x x
+
− − ≥
;
( ) ( )
2 2
9 3
log 3 4 2 1 log 3 4 2
x x x x
− + + > − +
;

( )
( )
2
2
2 2 2 2
4 log log 4 log 1 log
8 1
x
x x x
x
+ ≤ − − −
−
;
(
)
2
3 1
2 2
3
27
log 3 log 3 9
9 5 2
x x
x x x
− < + −
− + − +
;
(
)
2

2 1
2
2
2
log 4 3 log 1
4 1 1
x x
x x x
− + > +
− + + +

(
)
2
5 1
2
5
25
log 4 2 log 2
2 1 2
x x
x x x
+ + − > +
+ − + − +
;
(
)
2
1 4
2 2

4
16
log 3 2 3 1 log 2
3 2 1 1
x x
x x x
− + + + < −
− + + − +
;
(
)
( )
2
4 12 2 32 log 2 1 0
x x
x
− ⋅ − − ≤
;
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 5 log 3
x x x
+ − > −
;
(
)
( ) ( )

2
2 1
2
2 log 4 4 2 1 log 2
x x x x x
+ − + > − + −
;
(
)
(
)
2 3
log 2 1 log 4 2 2
x x
+ + + ≤
;
( ) ( )
2 2
9 3
log 3 4 2 1 log 3 4 2
x x x x
+ + + > + +
;
( ) ( )
2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4

x x
x x
+ − +
>
− −

( ) ( )
2 2
4
log 2 3 2 1 2 3 2
x x x x
+ + + > + +
;
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
32
log log 9 log 4 log
8
x
x x
x
− + <
;
Tìm
m
để BPT sau đúng
∀

x
:
( ) ( )
2
2
2 2 2
2
4 1 1
2
.log 2 .log log 0
1
4
m m
m
x x
m m
m
+ +
+ + >
+

Chứng minh rằng:

(
)
(
)
1
log 1 log 2
n n

n n
+
+ > +
;
(
)
(
)
2 3
log 1 2 log 1 3
x x
+ > +

www.VNMATH.com
Phương trình và bất phương trình Lôgarit

199


www.VNMATH.com