tích phân các hàm số có mãu số chứa tam thức bậc hai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (883.41 KB, 12 trang )
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC
BẬC 2.
I. Dạng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
∫
( ) ( )
1
2 2 2
dx 3dx d(3x 2) 1 3 2 10
ln
2 10 3 2 10
3 4 2
3 2 10 3 2 10
x
A C
x
x x
x x
− − −
= = = = +
− +
− −
− − − −
∫ ∫ ∫
2
2 2 2
3
3 13
d 2
2
dx dx 1 1
2
2 2
ln
2
2 13 3 13
4 6 1
3 13 3 13
2
2 2
2 2
2 4 2 4
x
x
A C
x x
x
x x
−
− −
= = − = − = − +
− + +
− +
− − − −
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
2 2 2
dx 5dx d(5 4) 1 5 4
arctan
5 14 4
5 8 6
5 4 14 5 4 14
x x
A C
x x
x x
− −
= = = = +
− +
− + − +
∫ ∫ ∫
2
4
2
1
dx 1 12 5
arctan arctan
7 17 17 17
7 4 3
A
x x
= = −
− +
∫
1
5
2
0
dx 1 1 3
arctan arctan
39 39 39
6 3 2
A
x x
= = +
− +
∫
1
6
2
0
dx 1 1 1
arctan arctan
6 3 3 3 3
4 6 3
A
x x
= = +
− +
∫
3
7
2
2
dx 7
ln
5
3 2 1
A
x x
= =
− −
∫
1
8
2
0
dx 1 4 1
arctan arctan
15 3 3
5 2 2
A
x x
= = +
− +
∫
0
9
2
1
dx
ln 5
3 8 4
A
x x
−
= =
− +
∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
( )
1
10
2
0
dx 1
arctan 2
2 2
3 4 2
A
x x
= =
− +
∫
1
11
2
0
dx 1 3 69 7 69
ln ln
2
3 69 7 69
4 14 5
A
x x
+ +
= = −
− + − +
− −
∫
(
)
2
1
12
2
0
4 5 dx
3 1
1 arctan
2 4 2
4 8
x x
A
x x
π
− +
= = − −
− +
∫
II. Dạng 2:
(
)
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
∫
( )
( )
( )
2
1
2 2 2 2
3 19
8 6
4 6 1
7 3 dx
3 19
8 4
8 4
4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1
x dx
d x x
x
dx
B
x x x x x x x x
−
− +
− −
−
−
= = = +
− − − − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2
3 13
2
3 19 3
2 2
ln 4 6 1 ln 4 6 1 ln
8 4 8
3 13
2
2 2
x
x x A x x C
x
− −
− −
= − − − = − − + +
− +
(
)
2
2
2
3 4 dx
3 5 4 7 13
ln 2 7 9 ln
4 4
4 7 13
2 7 9
x
x
B x x C
x
x x
−
− −
= = − + + +
− +
− +
∫
( )
2
3
2
2 7 dx
7 18 5 2
ln 5 8 4 ln
2
10 5
5 8 4
5
5
x
x
B x x C
x x
x
−
− −
= = − − − +
− −
+
∫
(
)
2
4
2
15 6 dx
15 13 16 9 465
ln 12 9 8 ln
16
465 16 9 465
12 9 8
x
x
B x x
x
x x
+
− + −
= = − − +
+ +
− −
∫
(
)
2
5
2
3 10 dx
5 19 8 5
ln 4 5 2 arctan
2 4
7
4 5 2
x
x
B x x
x x
−
−
= = − − + −
− +
∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 3
(
)
2
6
2
2 3 dx
1 7 3 1
ln 3 2 1 ln
3 3 3 3
3 2 1
x
x
B x x
x
x x
+
−
= = + − +
+
+ −
∫
( )
1
1
2
7
2
0
0
3 7 dx
3 1 1
ln 4 4 3ln 2
2 2 2
4 4
x
B x x
x
x x
−
= = − + + = − −
−
− +
∫
(
)
2
1
1
2
8
2
0
0
1 dx
2 1
ln 1 arctan 1 ln 3
6
3
1
x x
x
B x x x
x x
π
− +
+
= = − + + + = − +
+ +
∫
(
)
2
2
2
2
9
2
1
1
2 3 5 dx
4 1 13 9 5
ln 2 3 7 arctan 1 ln 7 arctan 7 arctan
6
23 23 23
2 3
x x
x
B x x x
x x
− −
+
= = − + + − = − − +
+ +
∫
( )
5
5
2
10
2
2
2
2 3 dx
7 3 ln 2
ln 4 3 ln
2 1 2
4 3
x
x
B x x
x
x x
+
−
= = − + + = −
−
− +
∫
(
)
2
1
1
2
11
2
3
3
2 4 7 dx
3 9
2 4 ln 6 13 9 arctan 4 4ln 2
2 4
6 13
x x
x
B x x x
x x
π
−
−
−
−
+ −
+
= = − + + − = − −
+ +
∫
( )
( )
1
1
12
2
0
0
4 11 dx
9
3ln 2 ln 3 ln
2
5 6
x
B x x
x x
+
= = + + + =
+ +
∫
III. Dạng 3:
2
dx
C =
ax + bx + c
∫
2
1
2 2
dx 1 dx 1 4 4 13
ln
3 3 9
3 3
3 8 1
4 13
3 9
C x x C
x x
x
= = = − + − − +
− +
− −
∫ ∫
2
2 2
2
dx 1 dx 1
5
arcsin
10 10 43
7 8 10
43 2
50
50 5
x
C C
x x
x
+
= = = +
− −
− +
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
4
4
3
4 4
2 2
4
4
3
2 2
dx dx 1 1 2 2 3
2
arcsin arcsin
2 2 2 2
5 2 9 5 2 9
5 12 4 2
5 2 9 3
2 2
2
2
2
x
x
C
x x
x
−
−
= = = =
+ +
− −
+
− −
∫ ∫
( )
1
1
2
4
2
0
0
dx 1 3 3 63 1
ln ln 2 2 1
4 4 16
2 2
2 3 9
C x x
x x
= = − + − + = − −
− +
∫
1
1
2
5
2
0
0
dx 1 5 5 23 1 1 2 6
ln ln
6 6 36
3 3 4 3 5
3 5 4
C x x
x x
+
= = − + − + =
−
− +
∫
1
1
6
4 4
2
0
0
dx 1 2 3 1 5 3
arcsin arcsin arcsin
2 2
3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1
9 3 2 2
x
C
x x
+
= = = −
+ + +
− −
∫
IV. Dạng 4:
(
)
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
∫
( )
( )
2
1
2 2 2 2
2 11
6 2 dx
5 4 dx 2 (3 2 1) 11
3 3
3
3 3
3 2 1 3 2 1 3 2 1
1 2
3 9
x
x d x x dx
D
x x x x x x
x
−
− +
− − +
= = = − +
− + − + − +
− +
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
4 11 1 1 2
3 2 1 ln
3 3 3 9
3 3
x x x x C
−
= − + + − + − + +
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
3 43
4 5 dx
2 5 1
3 7 dx 3 43
4 4
4
4 2
2 5 1 2 5 1 2 5 1
5 33
4 16
x
d x x
x dx
D
x x x x x x
x
− +
− −
+
= = = +
− − − − − −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 5
2
2
3 43 5 5 33
2 5 1 ln
8 4 4 16
4 2
x x x x C
= − − + − + − − +
(
)
2
3
2
8 11 dx 17 4 3
2 9 6 4 arcsin
2
3 5
9 6 4
x x
D x x C
x x
− −
= = − − − − +
− −
∫
(
)
2
4
2
4 5 dx 1 10 7
6 7 5 arcsin
13
2 5
6 7 5
x x
D x x C
x x
− −
= = + − + +
+ −
∫
( )
2
2 2
5
2
3
7 4 dx
7 2 3 3ln 1 ( 1) 4
2 3
x
D x x x x C
x x
−
−
−
= = − − + − + − − +
− −
∫
( )
0
2
6
2
1
9 5 dx 9 1 2 1
2 4 4 arcsin
4 4
3
2 4 4
x x
D x x C
x x
−
− +
= = − − − +
− −
∫
V. Dạng 5:
( )
2
dx
E =
px + q ax + bx + c
∫
1,
( )
2
1
2
1
dx
2 3 3 1
E
x x x
=
+ + −
∫
ðặt
2
1
1
3
1 1 1
2 1 2
2 5
1
2
x t
t
x x x t
t t
dx dt
t
= → =
−
+ = ⇒ = ⇒ = → =
−
=
Do ñó
1 1
5 3
1
2 2
1 1
2
3 5
1 4 9
1 1 1
2 . 3 1
2 2
dt dt
E
t t
t t
t
t t t
−
= =
+ −
− −
+ −
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 6
1
3
1
5
1 9 2 1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
13 13 5 13
t −
= = +
Các bài 2, 3, 4 sau ñây ta làm tường tự, có ñáp số như sau:
( )
3 3
2
2 2
2 2
3
d
dx
4
2,
3 4 2 3 7
3 25 3 47
3 2
4 4 4 8
x
E
x x x
x x
+
= =
− + +
+ − + +
∫ ∫
13
2
2
11
2
25 47
3 2
4 8
du
u u
=
− +
∫
( )
3
3
2
2
dx 1 3 10
3, ln
2 1 10
1 1
E
x x
+
= =
+
− +
∫
( )
2 2
4
2 2
1 1
2
d
dx
5
4,
3 2 5 4 2
2 4 2 14
3 5
5 5 5 5
x
E
x x x
x x
−
= =
− + −
− − + −
∫ ∫
8
5
2
3
5
4 14
3 5
5 5
du
u u
=
− −
∫
( )
(
)
( ) ( )
( )
2
2 2 2 3
5
4 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2
d 1
dx dx
5,
2 1 1 2
1 2 1 1 1 2
x
x du
E
x x x u u
x x x x
+
= = = =
+ − − −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 7
( )
1
2 2 2
6
2 2 2 2
2
4 4 4
2
d nx
cot dx cos dx
6,
2 sin nx 2 sin nx 2 sin 2
si
x x du
E
x si x si x u u
π π π
π π π
= = = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
VI. Dạng 6:
(
)
( )
2
mx + n dx
F =
px + q ax + bx + c
∫
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
1
2 2 2 2
0 0 0 0
4 67
5 8 dx
4 7 dx 4 67
5 5
1,
5 5
8 5 3 4 2 8 5 3 4 2 3 4 2 8 5 3 4 2
x
x dx dx
F
x x x x x x x x x x x
−
− + +
+ −
= = = +
− − + − − + − + − − +
∫ ∫ ∫ ∫
Ta tính lần lượt tích phân:
1 1
1
2 2
0 0
1
3
3 4 2
2 2
3 9
dx dx
F
x x
x
′
= =
− +
− +
∫ ∫
1
2
0
1 2 2 2 1 3 1
ln ln
3 3 9
3 3 6 2
x x
+
= − + − + =
−
( )
1
1
2
0
8 5 3 4 2
dx
F
x x x
′′
=
− − +
∫
. ðặt
2
1 8 1 1
8 5
5
5
t
x x dx dt
t t
t
−
− = ⇒ = ⇒ =
Khi
1
0
8
x t
= ⇒ =
và
1
1
3
x t
= ⇒ =
. Do ñó
( ) ( )
1 1 1
3 3 3
1
2 2 2
2
1 1 1
8 8 8
82 28 3
3 8 1 20 8 1 2.258 1 8 1
5 3 4 2
5 5
dt dt dt
F
t t
t t t tt t
t
t t
′′
= = =
− +
− − − +− −
− +
∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 8
1
1
3
2
3
2
1
1
8
8
20 25
1 1 7 7 25 1
123 738
ln ln
41 41 3362
82 82 82 15 25
7 25
328 2624
41 3362
dt
t t
t
+
= = − + − + =
−
+
− +
∫
V
ậy
1 1 1
20 25
4 67 4 3 1 67
123 738
ln ln
5 5
5 3 6 2 5 82 15 25
328 2624
F F F
+
− − +
′ ′′
= + = +
− −
+
** Ta làm tương tự cho các bài sau:
2,
( )
( )
1
2
2
0
6 7 dx
2 5 4
x
F
x x x
−
=
+ − +
∫
3,
( )
( )
1
3
2
0
7 9 dx
4 3 2 1
x
F
x x x
−
=
+ + +
∫
VII. Dạng 7:
( )
2 2
xdx
G =
ax + b cx + d
∫
1,
( )
2
1
2 2
1
dx
4 3 5
x
G
x x
=
− −
∫
. ðặt
2 2 2 2 2
5 5 5
t x t x x t xdx tdt
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
Khi
1 2
x t
= ⇒ =
và
2 1
x t
= ⇒ =
. Do ñó:
( )
2
1 2
1
2
2
2 1
1
1 17 2
ln
2
17 2
17 4
4(5 ) 3
tdt dt t
G
t
t
t t
− +
= = =
−
−
− −
∫ ∫
1 4 17 17 2 1 9 2 17
ln ln ln
2 2
4 17 17 2 9 2 17
+ + +
= − =
− + − −
** Ta làm t
ương tự cho các bài sau:
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 9
2,
( )
2
2
2 2
1
dx 1 4 10 5
ln
90
4 10 5
5 11 7 3
x
G
x x
− +
= =
−
− −
∫
3,
( )
( )
1
3
2 2
0
dx 1 126(7 3 161)
ln
56
14 7 161
8 7 2 1
x
G
x x
+
= =
+
− +
∫
VIII. Dạng 8:
( )
2 2
dx
H =
ax + b cx + d
∫
1,
( )
2
1
2 2
1
d
3 1 5 2
x
H
x x
=
− −
∫
.
ðặt
( )
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
5 2 5 2
5
5
tdt
xt x x t x x xdx
t
t
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
−
−
( )
2 2
2
2
2
2
2
( )
5
5 2
5 . .
5
dx xdx tdt dt
x xt
t
x
t t
t
⇒ = = =
−
−
−
−
Khi
1 3
x t= ⇒ = và
3 2
2
2
x t= ⇒ = . Do ñó:
( )
3 2 3 2
2 2
1
2
2
3 3
2
6
1
1 5
5
dt dt
H
t
t
t
= =
+
− −
−
∫ ∫
=
3 2
2
3
3 2
arctan arctan
2 3
t
π
= = −
** Ta làm tương tự cho các bài sau:
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
10
2,
( )
2 2
2
2 2 2 2
1 1
3
d
d
2
3 2 3 1
3 1 3 13
2 4 2 4
x
x
H
x x x x
x x
+
= =
+ + + −
+ − + −
∫ ∫
7
2
2 2
5
2
d
1 13
4 4
u
u u
=
− −
∫
12 6 1
arctan arctan
3
7 12 5
= −
3,
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
3
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
5 5 3
d d
2
2 5 5 2 5
x x dx dx
H x x
x
x x x x x
+ +
= = = +
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
6 6
ln 6 1 arctan 2 arctan
2 2
= − + −
4,
( )
5
2 2
2
4
2 2 2 2
2 2
3
1 1
2
1
d
d d
2
3 5
1 1
1 3 1 5
4 4
2 4 2 4
x
x u
H
x x x x
u u
x x
+
= = =
+ + + −
+ −
+ + + −
∫ ∫ ∫
5,
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
5
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
d d
1
1 2 2 1 2
x x dx dx
H x x
x
x x x x x
+ +
= = = +
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
2 6 6
ln arctan
3 2
1 3
π
+
= + −
+
IX. Dạng 9:
(
)
( )
2 2
mx + n dx
I =
ax + b cx + d
∫
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
11
1,
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
1 1
1
2 2 2 2
0 0
(7 3 1 ) 1
(4 3 )
4 2 2 4 5
3 1 2 1 3
x d x
x dx
I
x x x x
x x
− + +
−
= =
− − + +
− + + +
∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
(7 3 )
7 3 4 3
3 2 3 3 2 3 3 2 3
u du du udu
H G
u u u u u u
−
= = − = −
− + − + − +
∫ ∫ ∫
• Xét
( )
2
2 2
1
3 2 3
udu
G
u u
=
− +
∫
ðặt
2
2 2 2 2
3
2 3 2 3
2 2
t t
t u t u u udu dt
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
Khi
1 5
u t= ⇒ = và
2 11
u t= ⇒ = . Do ñó:
11
11 11
2
2
5
5 5
1 3
ln
6 3
9
3
2. 3
2
tdt dt t
G
t
t
t
t
+
= = =
−
−
−
−
∫ ∫
(
)
2 3 11
1 3 11 3 5 1
ln ln ln
6 3
3 11 3 5 3 5
+
+ +
= − =
− − +
• Xét
( )
2
2 2
1
3 2 3
du
H
u u
=
− +
∫
ðặt
( )
2 2 2 2 2
2 2
2
3 3
2 3 2 3
2
2
tdt
ut u u t u u udu
t
t
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
−
−
( )
2
2
2
2
2
3
2
3
3
( )
2
2 3
.
2
tdt
t
du udu dt
u ut
t
u
t
t
−
−
−
⇒ = = =
−
+
−
www.VNMATH.com
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
12
Khi
1 5
u t= ⇒ = và
11
2
2
u t= ⇒ = . Do ñó
( )
11
5
5
2
2
11
2
5 11
2
2
2
3 1 3
ln
3
2 3 3
3
3 2
2
dt dt t
H
t
t
t
t
− −
= = =
+
−
− −
−
∫ ∫
1 5 3 11 2 3 1 2( 11 2 3)
ln ln ln
2 3 5 3 11 2 3 3 5 3
− − + +
= − =
+ + +
Vậy
(
)
1
2 3 11
4 2( 11 2 3)
4 3 ln ln
3 5 3 3 5
I H G
+
+
= − = −
+ +
** Tương tự các bài còn lại.
2,
( )
1
2
2 2
0
(7 5 ) 17 18( 6 5) 10 2(2 2 5)
ln ln
9
15 23 5 3( 23 5)
4 1 3 12 8
x dx
I
x x x x
− + +
= = −
+ +
+ + + +
∫
3,
( )
3
3
2 2
2
(6 1)
3 6 1 2 4 7
x dx
I
x x x x
−
=
− + − +
∫
4,
( )
1
4
2 2
0
(4 5)
9 4 2 3 1
x dx
I
x x x x
−
=
− − + +
∫
Nguồn: Hocmai.vn
www.VNMATH.com
