Tính tích phân các hàm chứa dấu trị tuyệt đối

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 101

Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Tính tích phân:
b
a
If(x,m)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x, m) trên [a, b]
Từ đó phân được đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, giả sử:
112k
[a,b][a,c][c,c]...[c,b].=ÈÈÈ
mà trên mỗi đoạn f(x, m) có một dấu.
Bước 2: Khi đó:
12
1k
cc
b
acc
If(x,m)dxf(x,m)dx...f(x,m)dx.=+++
òòò

Ví dụ 1: Tính tích phân:
4
2
1

Ix3x2dx
-
=-+
ò

Giải:
Ta đi xét dấu hàm số
2
f(x)x3x2=-+ trên [–1, 4], ta được:
x –1 1 2 4
f(x) + 0 – 0 +
Khi đó:
124
222
112
I(x3x2)dx(x3x2)dx(x3x2)dx
-
=-+--++-+
òòò


124
323232
112
13131319
xx2xxx2xxx2x.
3232322
-
ỉưỉưỉư
=-+--++-+=

ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

Chú ý: Với các bài toán chứa tham số cần chỉ ra được các trường hợp riêng biệt của tham
số để khéo léo chia được khoảng cho tích phân, ta xét hai dạng thường gặp trong phạm vi
phổ thông sau:
Dạng 1: Với tích phân:
b
a
Ixdx.=-a
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khi đó với x[a,b]Ỵ cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a ³ b thì:

b
b
2
a
a
x1
I(x)dxx(ab)(ab2)
22
ỉư
=a-=a-=-+-a
ç÷
èø
ò

Trường hợp 2: Nếu a < a < b thì:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 102

b
b
22
a
a
xx
I(x)dx(x)dx(x)(x)
22
a
a
a
a
=a-+-a=a-+-a
òò

222
1
(ab)(ab).
2
=a++a++
Trường hợp 3: Nếu a £ a thì:

b
b
2
a

a
x1
I(x)dx(x)(ab)(2ab).
22
=-a=-a=-a--
ò


Dạng 2: Với tích phân:
b
2
a
Ixxdx.=-a+b
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khi đó với x[a,b]Ỵ cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu
2
40D=a-b£ thì:
b
2
a
I(xx)dx=+a+b
ò

Trường hợp 2: Nếu D > 0 thì
2
xx0+a+b= có hai nghiệm phân biệt
12

xx.<
· Nếu
1212
xxahoặcbxx<££< thì:
b
2
a
I(xx)dx.=+a+b
ò

· Nếu
12
xabx£<£ thì:
b
2
a
I(xx)dx.=+a+b
ò

· Nếu
12
xaxb£<< thì:
2
2
x
b
22
ax
I(xx)dx(xx)dx.=-+a+b++a+b
òò

· Nếu
12
axbx£<£ thì:
1
1
x
b
22
ax
I(xx)dx(xx)dx.=+a+b-+a+b
òò

· Nếu
12
axxb£££ thì:
12
12
xx
b
222
axx
I(xx)dx(xx)dx(xx)dx.=+a+b-+a+b++a+b
òòò

Chú ý: Với bài toán cụ thể thường thì các nghiệm x
1
, x
2
có thể được so sánh tự nhiên với

các cận a, b để giảm bớt các trường hợp cần xét và đây là điều các em học sinh cần lưu
tâm.
Ví dụ 2: (ĐHYD TP.HCM_96) Tính tích phân:
1
0
Ix.xadx(a0)=->
ò

Giải:
Ta đi xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a ³ 1
Khi đó:
1
11
32
2
00
0
xaxa1
Ix.(xa)dx(xax)dx.
3223
ỉư
=--=--=--=-
ç÷
èø
òò

Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 103

Khi đó:
a1a1
22
0a00
Ix.(xa)dxx.(xa)dx(xax)dx(xax)dx=--+-=--+-
òòòò


a1
32323
0a
xaxxaxaa1
.
3232323
ỉưỉư
=--+-=-+
ç÷ç÷
èøèø


BÀI TẬP
Bài 9. Tính các tích phân sau:
a/
5
3
(|x2||x2|dx;
-
+--
ò
b/

1
2
1
(|2x1|(x|)dx;
-
--
ò
c/
1
42
1
|x|dx
;
xx12
-
--
ò

d/
4
2
1
x6x9dx;-+
ò
e/
1
1
4|x|.dx;
-
-

ò
f/
1
1
|x|xdx
-
-
ò

g/
3
x
0
|24|dx;-
ò
h/
3
32
0
x2xxdx.-+
ò

ĐS: a/ 8; b/
3
2
c/
23
ln;
74
d/

5
;
2

e/ 2(53);- f/
22
;
3
g/
1
4;
ln2
+ h/
2438
.
15
+

Bài 10. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
|sinx|dx;
p
p
-
ò
b/
0
22cos2xdx

p
+
ò

c/
0
1sin2xdx;
p
-
ò
d/
2
0
1sinx.dx.
p
+
ò

ĐS: a/ 2; b/ 4; c/ 22; d/ 42.
Bài 11. Cho
1
x
0
I(t)|et|.dx,tR=-Ỵ
ò

a/ Tính I(t).
b/ Tìm giá trò nhỏ nhất của I(t), với
tR.Ỵ

ĐS: a/
t1e,te
2t.lnt3te1,1te
et1,t1
+-³
ì
ï
-++<<
í
ï
--£
ỵ
b/
2
minI(t)(31),te.=-=
Bài 12. Tính các tích phân sau:
a/
1
0
|xm|dx;-
ò
b/
2
2
1
|x(a1)xa|dx.-++
ò

ĐS: a/
2

1
m,m0
2
1
mm,0m1.
2
ì
-£
ï
ï
í
ï
-+<£
ï
ỵ
b/
3
3a5
,a2
6
(a1)3a5
,1a2
36
53a
,a1
6
-
ì
³
ï

ï
ï
--
-<<
í
ï
ï
-
£
ï
ỵ




Tích phân Trần Só Tùng
Trang 104
Vấn đề 5: CÁCH TÍNH:
òò
bb
aa
max[f(x),g(x)]dx,min[f(x),g(x)]dx.

Phương pháp:
· Ta tìm max[f(x),g(x)],min[f(x),g(x) bằng cách xét hiệu:
f(x)g(x)- trên đoạn [a ; b]
· Giả sử ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có:
– với x[a;c]thìmax[f(x),g(x)]f(x)Ỵ=
– với x[c;b]thìmax[f(x),g(x)]g(x).Ỵ=
· Từ đó:
bcb
aac
max[f(x),g(x)dx[f(x),g(x)]dxmax[f(x),g(x)]dx=+
òòò


cb
ac
f(x).dxg(x).dx=+
òò

· Cách tìm min[f(x),g(x)] thực hiện tương tự.

Ví dụ: Tính tích phân:
2
0
Imax[f(x),g(x)]dx,=
ò
trong đó
2
f(x)xvàg(x)3x2.==-
Giải:
Xét hiệu:
2
f(x)g(x)x3x2-=-+ trên đoạn [0 ; 2] :

Do đó:
– Với
2
x[0;1]thìmax[f(x);g(x)]xỴ=
– Với x[1;2]thìmax[f(x);g(x)]3x2Ỵ=-
Ta có:
12
01
Imax[f(x);g(x)]dxmax[f(x);g(x)]dx=+
òò


1
2
3
12
22
01
0
1
x3
xdx(3x2)dxx2x
32
1317
642.
326
ỉư
=+-=+-

ç÷
èø
=+--+=
òò

BÀI TẬP
Bài 13. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
0
max(x;x)dx;
ò
b/
2
2
1
min(1;x)dx;
ò

c/
2
3
0
min(x;x)dx;
ò
d/
2
0
(sinx,cosx)dx.

p
ò

ĐS: a/
55
;
6
b/
4
;
3
c/
7
;
4
d/ 22.-


x a c b
f(x) – g(x) + 0 –

x 0 1 2
f(x) – g(x) + 0 –

0
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 105
Vấn đề 6: LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Trong vấn đề này ta đi chứng minh rồi áp dụng một số tính chất cho những lớp tích

phân đặc biệt.

Tính chất 1: Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [–a ; a] thì:
a
a
If(x)dx0.
-
==
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
a0a
aa0
If(x)dxf(x)dxf(x)dx
--
==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm lẻ Þ f(–t) = –f(t).

Khi đó:
0aa
a00
Jf(t)dtf(t)dtf(x)dx.=--=-=-
òòò

Thay (2) vào (1) ta được I = 0 (đpcm).
Áp dụng:
Ví dụ 1: Tính tích phân:
1/2
1/2
1x
Icosx.lndx.
1x
-
-
ỉư
=
ç÷
+èø
ò

Giải:
Nhận xét rằng: hàm số
1x
f(x)cosx.ln
1x
-
ỉư
=

ç÷
+èø
có:
· Liên tục trên
11
;
22
éù
-
êú
ëû

·
1x1x
f(x)f(x)cosx.lncos(x).ln
1x1x
--
ỉưỉư
+-=+-
ç÷ç÷
++èøèø


1x1x
lnlncosxln1.cosx0.
1x1x
éù-+
ỉưỉư
=+==
ç÷ç÷

êú
+-èøèø
ëû

f(x)f(x).Þ-=-
Vậy, f(x) là hàm lẻ trên
11
;
22
éù
-
êú
ëû
, do đó theo tính chất 1 ta được I = 0.
Chú ý quan trọng:
1. Khi gặp dạng tích phân trên thông thường học sinh nghó ngay tới phương pháp tích
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 106
phân từng phần, xong đó lại không phải ý kiến hay. Điều đó cho thấy việc nhìn nhận
tính chất cận và đặc tính của hàm số dưới dấu tích phân để từ đó đònh hướng việc lựa
chọn phương pháp giải rất quan trọng.
2. Tuy nhiên với một bài thi thì vì tính chất 1 không được trình bày trong phạm vi kiến
thức của sách giáo khoa do đó các em học sinh lên trình bày như sau:

01/2
1/20
1x1x
Icosx.lndxcosx.lndx
1x1x
-

--
ỉưỉư
=+
ç÷ç÷
++èøèø
òò
. (1)
Xét tính chất
0
1/2
1x
Jcosx.lndx
1x
-
-
ỉư
=
ç÷
+èø
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận:
11
xt.
22
=-Þ= x = 0 Þ t = 0.
Khi đó:

01/21/2

1/200
1t1t1x
Icos(t).lndtcost.lndtcosx.lndx
1t1t1x
+--
ỉưỉưỉư
=--=-=-
ç÷
ç÷ç÷
-++èø
èøèø
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
3. Vậy kể từ đây trở đi chúng ta sẽ đi áp dụng ý tưởng trong phương pháp chứng minh
tính chất để giải ví dụ trong mục áp dụng.

Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [–a ; a] thì:
aa
a0
If(x)dx2f(x)dx.
-
==
òò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
a0a
aa0
If(x)dxf(x)dxf(x)dx

--
==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f(–t) = f(t)
Khi đó:
0aaa
a000
Jf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(x)dx=--===
òòòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
a
0
I2f(x)dx=
ò
đpcm.
Chú ý quan trọng:
1. Trong phạm vi phổ thông tính chất trên không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, do đó
khi gặp các bài toán kiểu này chúng ta tốt nhất cứ xác đònh:

a
a
If(x)dx
-
=
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 107
bằng cách thông thường, thí dụ với tích phân:
1
2
1
Ixdx.
-
=
ò

Ta không nên sử dụng phép biến đổi:
1
1
3
2
0
0
2x2
I2xdx.
33
===
ò

bởi khi đó ta nhất thiết cần đi chứng minh lại tính chất 2, điều này khiến bài toán trở
nên cồng kềnh hơn nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể:
1
3
1
x2
I.
33
-
==
2. Tuy nhiên không thể phủ nhận sự tiện lợi của nó trong một vài trường hợp rất đặc
biệt.
Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì :
x
0
f(x)dx
If(x)dxvớiRvàa0.
a1
aa
+
-a
==">
+
òò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
0
xxx

0
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
I
a1a1a1
aa
-a-a
==+
+++
òòò

Xét tính phân
0
1
x
f(x)dx
I
a1
-a
=
+
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a.
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f)–t) = f(t).
Khi đó:
0
tt
1
ttt

00
f(t)dtaf(t)dtaf(t)dt
I
a1a1a1
aa
-
a
-
===
+++
òòò

Vậy:
tx
txx
0000
af(t)dtf(x)dx(a1)f(x)dx
If(x)dx.
a1a1a1
aaaa
+
====
+++
òòòò

Áp dụng:
Ví dụ 2: Tính tích phân:
1
4
x

1
xdx
I
21
-
=
+
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
01
44
xx
10
xdxxdx
I
2121
-
=+
++
òò
(1)
Xét tích phân
0
4
x
1
xdx
J

21
-
=
+
ò

Đặt x = –t Þ dx = –dt
Đổi cận: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 108
Khi đó:
011
44t4x
ttx
100
(t)dtt.2.dtx.2.dx
J
212121
-
-
=-==
+++
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
1111
4x44x
4
xxx
0000

x.2.dxxdxx(21)dx1
Ixdx.
5
212121
+
=+===
+++
òòòò


Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên 0;
2
p
éù
êú
ëû
thì:
/2/2
00
f(sinx)dxf(cosx)dx.
pp
=
òò

CHỨNG MINH
Đặt txdxdt
2
p
=-Þ=-
Đổi cận: x0t,

2
p
=Þ= xt0.
2
p
=Þ=
Khi đó:
/20/2/2
0/200
f(sinx)dxf(sin(t)dtf(cost)dtf(cosx)dx
2
ppp
p
p
=--==
òòòò
đpcm.
Chú ý quan trọng:
Như vậy việc áp dụng tính chất 4 để tính tích phân:

/2/2
00
If(sinx)dx(hoặcIf(cosx)dx).
pp
==
òò

thường được thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Bằng phép đổi biến tx
2

p
=- như trong phần chứng minh tính chất,
ta thu được
/2
0
If(cosx)dx.
p
=
ò

Bước 2: Đi xác đònh kI (nó được phân tích
/2/2
00
kIf(sinx)dxf(cosx)dx)),
pp
=a+b
òò

thường là:
/2/2/2
000
2If(sinx)dxf(cosx)dx[f(sinx)f(cosx)]dx
ppp
=+=+
òòò
.
Từ đó suy ra giá trò của I.
Áp dụng:
Ví dụ 3: Tính tích phân:
/2

n
nn
0
cosxdx
I
cosxsinx
p
=
+
ò

Giải:
Đặt txdxdt
2
p
=-Þ=-
Đổi cận: x0t,
2
p
=Þ= xt0.
2
p
=Þ=