Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 22 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình .
25 6.5 5 0
xx
−+=
2) Tính tích phân
0
(1 cos )d .
I
xx
π
=+
∫
x
3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
() ln(1 2)
f
xx x=− −
trên đoạn [– 2 ; 0].
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
n
0
120BAC =
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn phần dành riêng cho chương trình đó
(phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 4a (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
(S): và (P):
222
(1)( 2)(2)3xy z−+− +− =6
02218
x
yz
+
++=
.
1) Xác định toạ độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt
phẳng (P).
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm toạ độ giao
điểm của d và (P).
Câu 5a (1,0 điểm). Giải phương trình
84
2
10zz
−
+=
trên tập số phức.
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 4b (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 3) và đường thẳng d có phương trình
12
21
xy z3
1
+
−+
==
−
.
1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
2) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp
xúc với d.
Câu 5b (1,0 điểm). Giải phương trình
2
21ziz 0
−
+=
trên tập số phức.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
Bộ giáo dục v đo tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008
Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I. Phần chung cho thí sinh cả 2 ban
(8 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số
1x3x2y
23
+=
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phơng trình
32
2x 3x 1 m.+=
Câu 2 (1,5 điểm)
Giải phơng trình
2x 1 x
3 9.3 6 0
+
+=.
Câu 3 (1,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức
22
)i31()i31(P ++=
.
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
của cạnh BC.
1) Chứng minh SA vuông góc với BC.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
II. PHầN dnh cho thí sinh từng ban
(2 điểm)
A. Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a hoặc câu 5b
Câu 5a (2,0 điểm)
1) Tính tích phân
dx)x1(xI
43
1
1
2
=
.
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) x 2cosx=+
trên đoạn
2
;0
.
Câu 5b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
)2;2;3(A
và mặt phẳng (P) có phơng trình
01zy2x2 =+
.
1) Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phơng trình của mặt phẳng (Q) sao cho
(Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P).
B. Thí sinh Ban KHXH-NV chọn câu 6a hoặc câu 6b
Câu 6a (2,0 điểm)
1) Tính tích phân
2
0
J (2x 1) cos xdx
=
.
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1x2x)x(f
24
+=
trên đoạn
[]
2;0
.
Câu 6b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với
A(1;4; 1),
)3;4;2(B
và
C(2;2; 1)
.
1) Viết phơng trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đờng thẳng BC.
2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1:
Chữ ký của giám thị 2:
Bộ giáo dục và đào tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007
Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I. Phần chung cho thí sinh cả 2 ban (8,0 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số
,12
24
+= xxy gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Câu 2 (1,5 điểm)
Giải phơng trình
.5)4(loglog
24
=+ xx
Câu 3 (1,5 điểm)
Giải phơng trình
074
2
=+
x
x
trên tập số phức.
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
II. PHầN dành cho thí sinh từng ban (2,0 điểm)
A. Thí sinh Ban KHTN chọn câu 5a hoặc câu 5b
Câu 5a (2,0 điểm)
1. Tính tích phân
+
=
2
1
2
1
2
x
xdx
J
.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
9168)(
23
+= xxxxf trên
đoạn
[]
3;1 .
Câu 5b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M
()
0;1;1 và mặt phẳng (P) có
phơng trình x + y 2z 4 = 0.
1. Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).
2. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng (P). Tìm toạ độ giao điểm H của đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P).
B. Thí sinh Ban KHXH&NV chọn câu 6a hoặc câu 6b
Câu 6a (2,0 điểm)
1. Tính tích phân
=
3
1
ln2 xdxxK
.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
13)(
3
+= xxxf trên đoạn
[]
2;0 .
Câu 6b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E
()
3;2;1 và mặt phẳng
()
có phơng
trình x + 2y 2z + 6 = 0.
1. Viết phơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng
()
.
2. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
()
đi qua điểm E và vuông góc với mặt
phẳng
()
.
Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Bộ giáo dục và đào tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006
Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I. Phần chung cho thí sinh cả 2 ban (8,0 điểm)
Câu 1 (4,0 điểm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
x
3
+ 3x
2
.
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x
3
+ 3x
2
m = 0.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Câu 2 (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình
2x 2 x
29.220.
+
+=
2. Giải phơng trình 2x
2
5x + 4 = 0 trên tập số phức.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, cạnh bên SB bằng
a3.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
II. PHầN dành cho thí sinh từng ban (2,0 điểm)
A. Thí sinh Ban KHTN chọn câu 4a hoặc câu 4b
Câu 4a (2,0 điểm)
1. Tính tích phân
ln 5
xx
x
ln 2
(e 1)e
Idx.
e1
+
=
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
x5x4
y
x2
+
=
, biết các tiếp
tuyến đó song song với đờng thẳng y = 3x + 2006.
Câu 4b (2,0 điểm)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).
1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phơng trình mặt cầu đờng kính OG.
B. Thí sinh Ban KHXH-NV chọn câu 5a hoặc câu 5b
Câu 5a (2,0 điểm)
1. Tính tích phân
1
x
0
J(2x1)edx.=+
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2x 3
y
x1
+
=
+
tại điểm thuộc đồ thị có
hoành độ x
0
= 3.
Câu 5b (2,0 điểm)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A( 1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao cho
MB 2MC=
JJJG JJJG
. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua M và
vuông góc với đờng thẳng BC.
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009
Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn gồm 05 trang
I. Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai
lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi.
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75
làm tròn thành 1,0 điểm).
II. Đáp án và thang điểm
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1. (2,0 điểm)
a) Tập xác định:
{
}
\2D
=
\
0,25
b) Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: y' =
2
5
(2)x
−
−
< 0 ∀x ∈ D.
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
;2
−
∞
và .
()
2;+∞
• Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị.
0,50
Lưu ý: Ở ý b), cho phép thí sinh không nêu kết luận về cực trị của hàm số.
• Giới hạn và tiệm cận:
2
lim
x
y
+
→
=+∞,
2
lim
x
y
−
→
=
−∞;
lim lim 2
xx
yy
→−∞ →+∞
=
=
.
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
2
x
=
và
một tiệm cận ngang là đường thẳng
2y
=
.
0,50
Câu 1
(3,0 điểm)
• Bảng biến thiên:
x
– ∞ 2 + ∞
y' – –
y
2 + ∞
– ∞ 2
0,25
1
c) Đồ thị (C):
(C) cắt trục tung tại điểm
1
0;
2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
và cắt trục hoành tại điểm
1
;0
2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
0,50
Lưu ý: - Cho phép thí sinh thể hiện toạ độ giao điểm của (C) và các trục toạ độ chỉ
trên hình vẽ.
- Nếu thí sinh chỉ vẽ đúng dạng của đồ thị (C) thì cho 0,25 điểm.
2. (1,0 điểm)
Kí hiệu d là tiếp tuyến của (C) và (x
0
; y
0
) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có:
Hệ số góc của d bằng – 5 ⇔ y'(x
0
) = – 5
0,25
⇔
2
0
5
5
(2)x
−
=−
−
⇔
0
0
1
3
x
x
=
⎡
=
⎢
⎣
000 0
13;3xyx y=⇒ =− =⇒ =7.
0,50
Từ đó, ta được các phương trình tiếp tuyến theo yêu cầu của đề bài là:
5yx=− +2 2
và
52yx
=
−+
.
0,25
1. (1,0 điểm)
Đặt 5
x
= t, t > 0, từ phương trình đã cho ta có phương trình
t
2
– 6t + 5 = 0 (*)
0,50
Giải (*), ta được
t
và
t1= 5
=
.
0,25
Với
t
, ta được:
5
1=
1
x
=
⇔
0
x
=
Với
t
, ta được:
5
5=
5
x
=
⇔
1
x
=
Vậy, phương trình đã cho có tất cả 2 nghiệm là 2 giá trị x vừa nêu trên.
0,25
2. (1,0 điểm)
Đặt
u
và , ta có d
x=
d(1cos)dvx=+ x xdu
=
và vxsin x
=
+ .
0,50
Do đó:
0
0
(sin) (sin)dIxx x x x
π
π
=+ −+
∫
x
0,25
Câu 2
(3,0 điểm)
=
22
2
0
4
cos
22
x
x
π
π
π
⎛⎞
−
−− =
⎜⎟
⎝⎠
.
0,25
y
2
x
2
O
1
2
−
1
2
−
2
Lưu ý:
• Thí sinh được phép trình bày lời giải vừa nêu trên như sau:
22
2
0
00
0
4
d( sin ) ( sin ) ( sin )d cos
22
x
Ixx xxx x x xx x
π
ππ
π
π
π
⎛⎞
−
=+=+ −+ =−− =
∫∫
⎜⎟
⎝⎠
• Ngoài cách 1 nêu trên, còn có thể tính I theo cách sau:
Cách 2
:
00
22
0
00
0
22
0
dcosd(*)
d(sin ) sin sin d (**)
22
4
cos .
22
Ixxxxx
x
xx xx xx
x
ππ
π
ππ
π
π
π
ππ
=+
∫∫
=+ =+ −
∫∫
−
=+ =
Trong trường hợp thí sinh
tính I theo cách 2, việc cho điểm được thực hiện như
sau
:
- Biến đổi về (*):
0,25 điểm;
- Biến đổi từ (*) về (**):
0,50 điểm;
- Biến đổi tiếp từ (**) đến kết quả:
0,25 điểm.
3. (1,0 điểm)
Ta có:
22(21)(1)
2 1
xx
xx
'( ) 2
12
fx x
+
−
−
=+ =
−
∀x ∈(– 2; 0).
Suy ra, trên khoảng (– 2; 0):
1
'( ) 0
2
fx x
=
⇔=−
.
0,50
Ta có: , , (0) 0f = (2) 4 ln5f −=−
11
ln 2
24
f
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
.
0,25
Vì
4
4
4ln5ln 0(do 5)
5
e
e−= > >
và
4
4
1
ln 2 ln 0 (do 2 )
42
e
e−= < <
Nên
[]
2;0
1
min ( ) ln 2
4
x
fx
∈−
=−
và
[]
2;0
max ( ) 4 ln 5
x
fx
∈−
=
− .
0,25
Lưu ý: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 0] còn
được kí hiệu tương ứng bởi
[2;0]
min ( )
f
x
−
và
ma
[2;0]
x ( )
f
x
−
.
Câu 3
(1,0 điểm)
Vì SA ⊥ mp(ABC) nên
SA ⊥ AB và SA ⊥ AC.
Xét hai tam giác vuông SAB và SAC, ta có
}
chungSA
SAB SAC
SB SC
⇒Δ =Δ
=
A
BAC⇒=
0,25
S
C
B
a
A
3
Áp dụng định lí côsin cho tam giác cân BAC, ta được
n
2222 2 0
2 . .cos 2 (1 cos120 ) 3a BC AB AC AB AC BAC AB AB==+− = − =
2
Suy ra
3
3
a
AB =
.
Do đó
22
6
3
a
SA SB AB=−=
và S
ABC
=
n
2
2
13
.sin
21
a
AB BAC =
2
.
0,50
Vì vậy V
S.ABC
=
1
3
S
ABC
.SA =
3
2
36
a
.
0,25
Lưu ý:
Ở câu này, không cho điểm hình vẽ.
1. (0,75 điểm)
• Tâm T và bán kính R của (S): (1; 2 ; 2)T
=
và
6
R
=
.
0,25
• Khoảng cách h từ T đến (P):
222
|1.1 2.2 2.2 18|
9
122
h
+
++
=
=
++
0,50
2. (1,25 điểm)
• Phương trình tham số của d:
Vì d ⊥ (P) nên vectơ pháp tuyến
n
G
của (P) là vectơ chỉ phương của d.
Từ phương trình của (P), ta có
(
)
1;2;2n =
G
.
0,25
Do đó, phương trình tham số của d là:
1
22
22
x
t
yt
zt
=
+
⎧
⎪
=
+
⎨
=
+
⎪
⎩
0,25
• Toạ độ giao điểm H của d và (P):
Do H∈ d nên toạ độ của H có dạng (1 + t ; 2 + 2t ; 2 + 2t).
0,25
Vì H ∈ (P) nên 1 + t + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) + 18 = 0, hay .
3t =−
0,25
Câu 4a
(2,0 điểm)
Do đó (2;4;4)H
=
−− − .
0,25
Ta có: .
2
16 32 16 (4 )iΔ= − =− =
0,50
Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1
44 1 1
16 4 4
i
zi
+
==+
và
2
44 11
16 4 4
i
zi
−
==−
.
0,50
Câu 5a
(1,0 điểm)
Lưu ý:
Cho phép thí sinh viết nghiệm ở dạng
1, 2
1
4
i
z
±
=
hoặc
1, 2
44
16
i
z
±
=
.
1. (0,75 điểm)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.
Vì d ⊥ (P) nên vectơ chỉ phương
u
G
của d là vectơ pháp tuyến của (P).
Từ phương trình của d, ta có
(
)
2;1; 1u
=
−
G
.
0,25
Câu 4b
(2,0 điểm)
Do đó, phương trình tổng quát của mp(P) là:
2.( 1) 1.( 2) ( 1)( 3) 0xy z−+ + +− −= hay
230
x
yz
+
−+=
.
0,50
4
2. (1,25 điểm)
• Khoảng cách h từ A đến d:
Từ phương trình của d suy ra điểm B(–1; 2; –3) thuộc d.
Do đó
,
||
B
Au
h
u
⎡⎤
⎣⎦
=
JJJGG
G
.
0,50
Ta có . Do đó: (2; 4;6)BA =−
JJJG
(
)
11 122 1
, ; ; (2; 14; 10)
46 622 4
BA u
−−
⎡⎤
==
⎣⎦
−−
−−
J
JJGG
0,25
Vì vậy
222
22 2
2(14)(10)
52
21(1)
h
+− +−
==
++−
.
0,25
• Phương trình mặt cầu (S) tâm A(1; –2; 3), tiếp xúc với d:
Vì (S) tiếp xúc với d nên có bán kính bằng h. Do đó, phương trình của (S) là:
222
(1)( 2)(3)5xy z−++ +− =0
0,25
Lưu ý:
Có thể sử dụng kết quả phần 1) để tính khoảng cách
h từ A đến d. Dưới đây là
lời giải tóm tắt theo hướng này và thang điểm cho lời giải đó:
Gọi H là giao điểm của d và mặt phẳng (P), ta có H là hình chiếu vuông
góc của A trên (P). Do đó
hAH
=
.
0,25
Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình
12
21
23
xy z
xyz
3
1
0
+
−+
⎧
⎪
==
⎨
−
⎪
+−+=
⎩
Từ kết quả giải hệ trên ta được
(
)
3;1; 2H
=
−−
.
0,50
Vì vậy
()( )( )
222
13 21 32 52hAH==++−−++=
.
0,25
Ta có: .
()
2
2
893iiΔ= − =− = 0,50
Câu 5b
(1,0 điểm)
Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1
3
4
ii
zi
+
==
và
2
31
42
ii
zi
−
=
=−
.
0,50
- Hết -
5
1
B
ộ giáo dục v đo tạo
đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008
Môn thi: toán Trung học phổ thông phân ban
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 04 trang
I. Hớng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì
cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng
dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc
thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn
thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm).
II. Đáp án và thang điểm
câu Đáp án Điểm
1. (2,5 điểm)
a) Tập xác định: R
0,25
b) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
)1x(x6x6x6y
2
+=+=
. Phơng trình
0y =
có nghiệm: x = -1, x = 0.
0,50
()()
+>
;01;x0y
,
()
0;1x0y <
.
Hàm số đồng biến trên các khoảng
()
1;
và
()
+;0
, nghịch biến trên
khoảng (-1; 0).
Hàm số đạt cực đại tại x = -1, y
CĐ
= 0, đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= -1.
Giới hạn:
=
y
x
lim
;
+=
+
y
x
lim
0,75
Câu 1
(3,5 điểm)
Bảng biến thiên:
0,50
-1
0
-
+
x
y
y
0
0
+
+
-
+
-
0
-1
2
c) Đồ thị:
Giao điểm với Oy: (0; -1).
Giao điểm với Ox: (-1; 0) và (
)0;
2
1
0,50
2. (1,0 điểm)
Số nghiệm thực của phơng trình
32
2x +3x -1= m bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số
1x3x2y
23
+=
và đờng thẳng (d): y = m.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với m < -1 hoặc m > 0, (d) và (C) có một điểm chung, do đó phơng trình có
một nghiệm.
Với m = -1 hoặc m = 0, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phơng trình có
hai nghiệm.
Với -1 < m < 0, (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phơng trình có ba nghiệm.
1,0
Đặt
0t3
x
>=
ta có phơng trình 3t
2
9t + 6 = 0
phơng trình trên có hai nghiệm t = 1 và t = 2 (đều thoả mãn).
0,75
Câu 2
(1,5 điểm)
Nếu t =1 thì 3
x
= 1
x = 0. Nếu t = 2 thì 3
x
= 2
x = log
3
2.
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x = 0, x = log
3
2.
0,75
Khai triển đúng:
+=+
2
(1 3 i ) 1 2 3 i 3 và =
2
(1 3 i ) 1 2 3 i 3
0,50
Câu 3
(1,0 điểm)
Rút gọn đợc =
P4
0,50
Câu 4
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Tam giác SBC cân tại S,
I là trung điểm BC suy ra
SIBC
.
Tam giác ABC đều suy ra
AIBC
.
0,50
O
x
y
-1
-1
2
1
O
S
A
C
B
I
3
Vì BC vuông góc với hai cạnh AI và SI của tam giác SAI nên
SABC
.
0,50
2. (1,0 điểm)
Gọi O là tâm của đáy ABC, ta có
3
3a
2
3a
3
2
AI
3
2
AO ===
. Vì S.ABC là
hình chóp tam giác đều nên
).ABC(SO
0,50
Xét tam giác SOA vuông tại O:
3
33a
SO
9
a33
)
3
3a
()a2(AOSASO
2
22222
=
===
Thể tích khối chóp S.ABI là:
3
S.ABI ABI
111 1a3aa33a11
V S .SO AI.BI.SO
332 622324
== = =
(đvtt).
0,50
1. (1,0 điểm)
Đặt u = 1 x
3
du = -3x
2
dx. Với x = -1
u = 2, x = 1
u = 0.
0,50
= = = =
02
445
20
2
11 132
I(u)du udu u
33 1505
.
0,50
2. (1,0 điểm)
Xét trên đoạn
2
;0
, hàm số đã cho có:
xsin21)x(f
=
;
4
x0)x(f
==
.
0,50
Câu 5a
(2,0 điểm)
2
)
2
(f;1
4
)
4
(f;2)0(f
=
+
=
=
.
Vậy
2)x(fmin
]
2
;0[
=
,
1
4
)x(fmax
]
2
;0[
+
=
.
0,50
1. (1,0 điểm)
Đờng thẳng cần tìm vuông góc với (P), nhận
)1;2;2(n =
là một vectơ chỉ
phơng.
Phơng trình tham số của đờng thẳng là:
+=
=
+=
t2z
t22y
t23x
1,0
2. (1,0 điểm)
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:
3
7
1)2(2
1)2.(1)2.(23.2
))P(,A(d
222
=
++
+
=
.
0,25
Câu 5b
(2,0 điểm)
Phơng trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) có dạng
2x 2y + z + D = 0.
4
Chọn điểm M(0; 0; 1) thuộc mặt phẳng (P). Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (Q) là:
3
D1
1)2(2
D1.10.20.2
))Q(,M(d
222
+
=
++
++
=
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng (Q).
Do đó từ giả thiết ta có:
7D1
3
7
3
D1
=+=
+
=
=
8D
6D
Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn đề bài:
(Q
1
): 2x 2y + z + 6 = 0; (Q
2
): 2x 2y + z - 8 = 0.
0,75
1. (1,0 điểm)
Đặt
=
=
xdxcosdv
1x2u
=
=
xsinv
dx2du
[]
2
0
J(2x1)sinx 2sinxdx
2
0
=
0,50
J( 1)2cosx
2
0
= +
=( -1) + 2(0-1) = -3.
0,50
2. (1,0 điểm)
Xét trên đoạn [0; 2], hàm số đã cho có:
)1x(x4x4x4)x(f
23
==
;
=
=
=
1x
0x
0)x(f
0,50
Câu 6a
(2,0 điểm)
f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 9.
Vậy
[0;2]
min f(x)=0,
[0;2]
max f(x)=9.
0,50
1. (1,0 điểm)
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với BC, nhận
)4;2;0(BC =
là một vectơ
pháp tuyến.
0,50
Phơng trình mặt phẳng cần tìm là:
0(x -1) 2(y - 4) 4(z + 1) = 0 y + 2z 2 = 0.
0,50
2. (1,0 điểm)
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
ADBC =
(1).
Gọi toạ độ của D là (x; y; z). Ta có
)1z;4y;1x(AD +=
và
)4;2;0(BC =
.
0,50
Câu 6b
(2,0 điểm)
Điều kiện (1)
=+
=
=
41z
24y
01x
=
=
=
5z
2y
1x
D(1; 2; -5).
0,50
.Hết.
1
bộ giáo dục và đào tạo
đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007
Môn thi: toán Trung học phổ thông phân ban
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 04 trang
I. Hớng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn
chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất
thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành
0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm).
II. Đáp án và thang điểm
Câu Đáp án Điểm
1. (2,5 điểm)
1) Tập xác định: R
0,25
2) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
Ta có:
)1(444'
23
== xxxxy
;
0'=y
x = 0, x =
1.
Trên các khoảng
()
0;1
và
()
+;1
, y > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng
()
1; và
()
1;0 , y < 0 nên hàm số nghịch biến.
0,50
Cực trị:
Từ các kết quả trên suy ra:
Hàm số có hai cực tiểu tại x =
1; y
CT
= y(
1) = 0.
Hàm số có một cực đại tại x = 0; y
CĐ
= y(0) = 1.
Giới hạn ở vô cực:
+=
y
x
lim ; +=
+
y
x
lim .
0,75
Câu 1
(3,5 điểm)
Bảng biến thiên:
0,50
x 1 0 1 +
y
- 0 + 0 - 0 +
+
1 +
y
0 0
2
3) Đồ thị:
Hàm số đã cho là chẵn, do đó đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1).
Điểm khác của đồ thị:
()
9;2 .
0,50
2. (1,0 điểm)
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cực đại (0; 1) của đồ thị đã cho là
y(0) = 0.
- Phơng trình tiếp tuyến của (
C) tại điểm cực đại là y = 1.
1,00
Điều kiện xác định của phơng trình là x > 0.
Phơng trình đã cho tơng đơng với
5log4loglog
2
1
222
=++ xx
0,75
Câu 2
(1,5 điểm)
3log
2
3
2
=x
2log
2
=x
x = 4 (thoả mãn điều kiện).
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm
x = 4.
0,75
Ta có:
'
= .33
2
i=
0,50
Câu 3
(1,5 điểm)
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:
ix 32 =
và
ix 32 +=
.
1,00
Câu 4
(1,5 điểm)
Giả thiết
SA vuông góc với đáy suy ra đờng cao của hình chóp là
SA = a. Đáy là tam giác vuông (đỉnh B), có diện tích là
2
2
1
a
.
Vậy thể tích khối chóp
S.ABC là:
32
6
1
.
2
1
.
3
1
aaaV ==
(đvtt).
1,50
A
B
a
a
a
C
S
-
2
-
1
O
12
x
1
9
y
3
1. (1,0 điểm)
Đặt tx =+ 1
2
2xdx = dt.
Với
x = 1 thì t = 2; với x = 2 thì t = 5.
0,50
Do đó J =
5
2
2
1
dtt =
2
5
.2
2
1
t = 2
)25(
.
0,50
Câu 5a
(2,0 điểm)
2. (1,0 điểm)
- Ta có 16163)('
2
+= xxxf .
- Xét trên đoạn
[]
3;1 ta có
0)(' =xf
3
4
=x
.
- Ta có
f(1) = 0,
3
4
f
=
27
13
, f(3) = - 6.
Vậy
[]
27
13
3
4
)(max
3;1
=
= fxf
,
[]
6)3()(min
3;1
== fxf
.
1,00
1. (1,0điểm)
Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên phơng trình mặt
phẳng (
Q) có dạng x + y 2z + m = 0 (m - 4).
0,50
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(-1; -1; 0) 1 1 + m = 0
m = 2. Vậy phơng trình mặt phẳng (Q) là: x + y 2z + 2 = 0.
0,50
2. (1,0điểm)
- Vì đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) nên véctơ pháp
tuyến
)2;1;1( =n của mặt phẳng (P) cũng là véctơ chỉ phơng của
đờng thẳng (
d).
- Đờng thẳng (
d) đi qua điểm M(-1; -1; 0) nhận
)2;1;1( =n
làm
véctơ chỉ phơng nên có phơng trình tham số là:
=
+=
+=
.2
1
1
tz
ty
tx
0,50
Câu 5b
(2,0 điểm)
- Toạ độ
H(x; y; z) thoả mãn hệ:
=+
=
+=
+=
042
2
1
1
zyx
tz
ty
tx
=
=
=
=
.2
0
0
1
z
y
x
t
Vậy
H(0; 0; - 2).
0,50
Câu 6a
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Đặt u = lnx và dv = 2xdx; ta có du =
x
1
dx
và v =
2
x
.
Do đó
=
3
1
ln2 xdxxK
=
3
1
2
1
3
)ln(
xdxxx
=
1
3
2
1
3
)ln(
2
2
x
xx
=
43ln9
.
1,00
4
2. (1,0 điểm)
- Ta có
33)('
2
= xxf
.
- Xét trên đoạn
[]
2;0 ta có f(x) = 0 x = 1.
- Ta có
f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = 3.
Vậy
[]
3)2()(max
2;0
== fxf
,
[]
1)1()(min
2;0
== fxf
.
1,00
1. (1,0 điểm)
- Mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng (
)
nên bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ
O đến (
).
d(
O; (
)) =
222
)2(21
6000
++
++
= 2.
0,50
Mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và bán kính bằng 2 có phơng
trình là:
4
222
=++ zyx .
0,50
Câu 6b
(2,0 điểm)
2. (1,0 điểm)
Vì đờng thẳng ( ) vuông góc với mặt phẳng (
) nên véctơ pháp
tuyến
)2;2;1( =n của mặt phẳng (
) cũng là véctơ chỉ phơng của
đờng thẳng (
).
Đờng thẳng (
) đi qua điểm E(1; 2; 3) nhận
)2;2;1( =n
làm véctơ
chỉ phơng có phơng trình tham số là:
=
+=
+=
.23
22
1
tz
ty
tx
1,00
.Hết.
1
Bộ giáo dục và đào tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006
Môn thi: Toán - Trung học phổ thông phân ban
hớng dẫn chấm THi
Bản hớng dẫn chấm gồm: 05 trang
I. Hớng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện
trong Hội đồng chấm thi.
3. Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm thi theo nguyên tắc: Điểm toàn bài
đợc làm tròn đến 0,5 điểm ( lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0
điểm)
II. Đáp án và thang điểm
Đáp án Điểm
Câu 1
(4,0 điểm)
1. (2,5 điểm)
a) Tập xác định: R.
b) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
2
y' 3x 6x= + .
y' = 0
x = 0 hoặc x = 2.
Trên các khoảng
()
;0 và
()
2;+ , y' 0< hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (0; 2), y' 0>
hàm số đồng biến.
Chú ý: Nếu chỉ xét dấu y' hoặc chỉ nêu các khoảng đồng biến, nghịch
biến thì vẫn cho 0,25 điểm.
Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y
CT
= y(0) = 0.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2; y
CĐ
= y(2) = 4.
Giới hạn ở vô cực:
+
=+ =
xx
lim y ; lim y .
Bảng biến thiên:
x
0 2 +
y'
0 + 0
+ 4
y
0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
2
c) Đồ thị:
Giao điểm với các trục tọa độ :
(0; 0) và (3; 0).
2. (0,75 điểm)
32 32
x3xm0 x3xm+ = + = (1)
Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đờng
thẳng y = m.
Dựa vào sự tơng giao của đồ thị (C) và đờng thẳng y = m ta có:
Nếu m < 0 hoặc m > 4 thì phơng trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 0 hoặc m = 4 thì phơng trình có 2 nghiệm.
Nếu 0 < m < 4 thì phơng trình có 3 nghiệm.
3. (0,75 điểm)
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có: S =
3
32
0
x3xdx+
3
3
4
32 3
0
0
x
(x 3x)dx x
4
=+ = +
=
27
4
(đvdt).
0,50
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(2,0điểm)
1
. (1,0 điểm)
2x + 2 x x 2 x
2 9.2 + 2 = 0 4.(2 ) 9.2 2 0+=
x
x
22
1
2
4
=
=
x1= hoặc
x2= .
Phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x =
2.
2. (1,0 điểm)
7.=
+
==+
==
1
2
5i7 5 7
xi;
444
5i7 5 7
xi.
444
Phơng trình có hai nghiệm
12
57 57
xi;xi.
44 44
=+ =
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
x
4
m
O 2 3
(C)
y
3
Câu 3
(2,0 điểm)
Chú ý:
Nếu bài làm không có hình vẽ đúng thì không cho điểm.
1. (1,0 điểm)
Gọi độ dài đờng cao hình chóp là h, diện tích đáy hình chóp là
ABCD
S
.
Ta có:
22
hSA SB AB a2;== =
2
ABCD
Sa=
.
Gọi V là thể tích của khối chóp. Ta có:
3
ABCD
11
VS .ha2
33
==
(đvtt).
2.
(1,0 điểm)
Gọi I là trung điểm cạnh SC.
SA
(ABCD) SAAC SAC vuông tại A IA = IC = IS (1).
CB AB, CB SA CB (SAB) CB SB
SBC vuông tại B
IB = IC = IS (2).
Chứng minh tơng tự: SDC vuông tại D ID = IC = IS (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra: trung điểm I của cạnh SC cách đều các đỉnh của
hình chóp S.ABCD
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4a
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Đặt
xx2x
t e 1 e t 1, e dx 2tdt= =+ = .
x = ln2
t = 1; x = ln5 t = 2.
2
2
1
I2(t 2)dt=+
=
2
3
1
t
22t
3
+
=
26
3
.
0,25
0,25
0,25
0,25
C
D
S
A
B
. I
4
2. (1,0 điểm)
Gọi x là hoành độ tiếp điểm, theo giả thiết ta có: y'(x) 3= (1)
(1)
()
2
2
x4x6
3
x2
+
=
x = 1 hoặc x = 3.
Tọa độ các tiếp điểm: A(1; 0), B(3;
2).
Phơng trình tiếp tuyến tại A: y 3(x 1) y 3x 3.==
Phơng trình tiếp tuyến tại B: y 3(x 3) 2 y 3x 11.==
(Thỏa mãn yêu cầu đề bài).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4b
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có phơng trình:
xyz
1
236
++=
3x + 2y + z 6 = 0.
AB ( 2;3;0), AC ( 2;0;6)
= =
JJJGJJJG
.
AB AC (18; 12; 6)
=
JJJG JJJG
ABC
1
SABAC314
2
==
J
JJGJJJG
(đvdt).
2. (1,0 điểm)
G là trọng tâm tam giác ABC:
2
G;1;2.
3
=
Tâm I của mặt cầu là trung điểm OG:
11
I;;1.
32
=
Bán kính mặt cầu:
7
ROI .
6
==
Phơng trình mặt cầu:
()
22
2
11 49
xyz1.
32 36
++=
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5a
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Đặt
xx
u2x1 du2dx
dv e dx v e .
=+ =
==
1
1
xx
0
0
J(2x1)e 2edx
=+
=
1
1
xx
0
0
(2x 1)e (2e )
+
= e + 1.
2. (1,0 điểm)
Tính đợc
2
1
y'
(x 1)
=
+
.
0
31
y y(3) ;y'(3) .
24
== =
Phơng trình tiếp tuyến:
13
yx.
44
= +
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
5
Câu 5b
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
AB (1;0; 1), AC (2; 1;2)= =
JJJGJJJG
.
AB.AC 0. =
JJJGJJJG
Suy ra điều phải chứng minh.
Vectơ chỉ phơng của đờng thẳng AB:
AB (1;0; 1).=
J
JJG
Phơng trình tham số của đờng thẳng AB:
x1t
y1
z2t .
= +
=
=
2. (1,0 điểm)
Gọi M(x; y; z).
MB (0 x;1 y;1 z),MC (1 x;0 y;4 z).= =
JJJG JJJG
0x 2(1x)
MB 2MC 1 y 2(0 y)
1z 2(4z)
=
= =
=
JJJG JJJG
2
x
3
1
y
3
z3
=
=
=
21
M;;3.
33
Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đờng thẳng BC.
Vectơ pháp tuyến của (P): BC (1; 1;3).=
J
JJG
Phơng trình mặt phẳng (P):
28
xy3z 0
3
+ =.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Hết
