Toán học lớp 11: Hai đường thẳng vuông góc (Phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng.

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!





I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )

( )


; ;

=

→ = =

=


 
   
 
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v

ớ
i

0 180 .
≤ ≤
o o
BAC

2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Gi
ả
s
ử
ta có
( )

. . . .cos .

=

→ = =

=


 
       
 
AB u
u v AB AC AB AC AB AC

AC v

Nhận xét:
+ Khi
0
. 0
0

=
→ =

=


 
 
 
u
u v
v

+ Khi
(
)

0
; 0
↑↑ → =
   
u v u v

+ Khi
(
)

0
; 180
↑↓ → =
   
u v u v

+ Khi
. 0
⊥ ←→ =
   
u v u v

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ
(
)

; .
 
AB BC

b) Gọ
i I là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ

(
)

; .
 
CI AC

Hướng dẫn giải:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )


( )
2
. . .
cos ; , 1 .
.
.
= = =
     
 
 
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC a
AB BC

Xét
(
)
. . . .
= + = +
        
AB BC AB BA AC AB BA AB AC

Mà
( )

( )

0 2

2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
   
   
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a

2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
 
a a
AB BC a
( )
( )

( )
2
0
2
1
2

1 cos ; ; 120 .
2
−
⇔ = = − → =
   
a
AB BC AB BC
a

V
ậ
y
(
)
; 120 .
=
 
o
AB BC

b) Ta có
( )

. .
cos ;
.
.
= =
   
 

 
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC

T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )

( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2

= → =
 
 
a CI AC
CI CI AC
a

Ta có
(
)
. . . .= + = +
        
CI AC CI AI IC CI AI CI IC

Do
∆
ABC
đề
u nên
. 0.
⊥ ⇔ =
   
CI AI CI AI
02. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Đồng thời,
( )


2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
     
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )

( )

2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
−
⇔ = = − → =
   

a
CI AC CI AC
a

V
ậ
y
(
)
0
; 150 .
=
 
CI AC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ

SM
và

BC
theo các véc tơ
; ; .
  
SA SB SC

b) Tính góc
(
)


; .
 
SM BC

Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2


= +
+ =
 
←→
 
= +



= −

  
  
  
  

SM SA SB
SA SB SM
BC BS SC
BC SC SB

b)
( )

( )
. .
cos ; , 1 .
.
.
= =
   
 
 
SM BC SM BC
SM BC
SM BC
SM BC

Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên
. 0
. 0
. 0


=


=


=


 
 
 
SA SB
SA SC
SB SC

Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
2 2

=


= = →

= =


BC a
AB BC a
a
SM AB


Theo câu a,
( ) ( )

2
2
0
0 0
1 1 1
. . . . . .
2 2 2 2
 
= + − = − + − = − = −
 
 
           
  
 
a

SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB

Thay vào (1) ta
đượ
c
( )

( )

2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
 
   
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
a

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1) Khái ni
ệ
m véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
M
ộ
t véc t
ơ

u 0
≠
 
mà có ph
ươ
ng song song ho
ặ

c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng

Khái ni
ệ
m:

Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a và b là góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a
′
; b
′
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )

a;b .

T

ừ

đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ

đồ

( )

( )

a//a
a;b a ;b
b//b
′

′ ′
→ =

′



Nh
ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là

u; v
 
và
(
)

u; v
φ.
=
 

Khi đó,
( )

( )

o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180
φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤

+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )

o
a; b 0 .
=

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!

Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )

( )

a // a
a,b a ,b
b // b
′

′ ′
→ =

′


- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )

( )


a,b a,
→ = ∆



Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:


N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.

N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s

ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
H

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Tính góc gi
ữ
a SD và BC
Để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ
ng th
ẳ
ng song song v

ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )

( )




o
SDA
SD;BC SD;AD
180 SDA

= =


−


Xét
∆
SAD:
 
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .
AD 3
= = → =

V
ậ
y
( )

o
SD;BC 30 .

=

b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,

( )

( )



o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA

→ = =


−


Xét
∆

SAB:


o
SA
tanSBA 3 SDA 60 .
AB
= = → =
Vậy
( )

o
SB;CD 60 .
=


c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ∆SAC có
( )

( )



o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD

180 IOB

→ = =


−


 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
 
= + = + =
 
 
 

 ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
2 2
2 2
a 3 a 10 a 13

IO IA AO
2 2 2
   
= + = + =
   
   
   

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:

2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130
2. .
2 2
+ −
+ −
= = =

( )

8
IOB arccos SC;BD .

130
 
→ = =
 
 

V
ậ
y
( )

8
SC;BD arccos .
130
 
=
 
 

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.

Hướng dẫn giải:

Do AB và CD là các c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n nên chúng chéo nhau,
để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ

ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )

( )



o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN

→ = =



−


Do MP, NP là các
đườ
ng trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c



( )

2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =

V
ậ
y
( )

o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:

Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
i
ể
m P là

trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD, cách gi
ả
i khi
đ
ó c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.

Ví d
ụ
3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i
AB và AD, =
2 3
3

a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a)
( )

( )

Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =

Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó
o
2a 3
SA 3
3
tan
α α 30

AB 2a 3
= = = → =
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =

mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )

( )

SD,BC SD,DI
β
= =
.
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3
 
= + = + =
 

 
 

Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
 
= + = + =
 
 
 

Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c

2 2 2 2
SD DI SI 2a 3

cosSDI
2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do

cosSDI 0
>
nên góc SDI là góc nh
ọ
n

3
β
SDI arccos .
42
 
→ = =
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. [ĐVH]:

Cho t
ứ
di

ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
và

CI
.
Đ/s:

( )

3
; arccos .
6
 
=
 
 
 
AB CI
Bài 2. [ĐVH]:

Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t r
ằ
ng
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Bài 3. [ĐVH]:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)

,
 
SC AB
, từ đó
suy ra góc giữa SC và AB.

Bài 4. [ĐVH]:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2 ; 2 2; 3
= = =
AB a AD a SC a
. Hình chiếu
vuông góc của
S
lên mặt phẳng (
ABCD
) là trung điểm
H
của
AB
. Tính góc giữa
a)
(
)
;
 
SB AC

b)
(
)
;
 
SC AM
, với M là trung điểm của CD.

Bài 5. [ĐVH]:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B,
; 2 ; 4 .
= = = =
AB BC a AD a SD a

Hình chiế
u vuông góc c
ủ
a S lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB v
ớ
i 3= −
 
AH HB
. Tính góc gi
ữ
a
a)

(
)
;
 
SA BD

b)

(
)
;
SB AC