hai đường thẳng vuông góc (tiết 1)

Cho tam giác đều ABC, AH là
đường cao. Chọn phương án
đúng.
uuu uuu
r r
AB,BC = 600

A

(

B

uuu uuu
r r
CA,CB = 600

C
D

(

)

)

(

uuu uuu
r r
AH,BA = 300

(

uuu uuu
r r
BA, AC = 600

A

)

)

B

H

C


• Cho 2 đường thẳng ∆1, ∆2 cắt nhau, khi đó tạo thành
4 góc.Góc nhỏ nhất trong 4 góc là góc giữa 2 đường
thẳng ∆1, ∆2 .
00 ≤ (∆1, ∆2 ) ≤ 900
∆1 ≡ ∆2 ( hoặc ∆1 // ∆2)⇔(∆1, ∆2 ) = 00
∆1 ⊥ ∆2 ⇔ (∆1, ∆2 ) =900
∆1
∆2

O

I. Góc giữa 2 đườ ng thẳng
1. Định nghĩa:
Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bất kỳ trong khơng gian,
góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là góc giữa hai đường
thẳng ∆’1 và ∆’2 cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng
phương với ∆1 và ∆2
∆1

O
•

∆ '2

O
•

( ∆ ,∆ )

• Kí hiệu : (∆ 1 , ∆ 2) =

∆

'
1

'
1

O

4

•
2 3
∆2

1

'
2

∆

'
1

∆'2


Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BC và AD. Biết
AB = CD = 2a và MN = a 3
·
A
Tính góc (AB,CD)

2a

O

a
•

a

B

•N

a 3

D

•

M
C

2a



Hướng dẫn
• Gọi O là trung điểm của AC
A
⇒OM , ON lần lượt là ĐTB của
∆ABC, ∆ACD.
⇒OM = ON = a và OM // AB,

•N
a
ON // CD
2a
O
•
·
·
⇒ (AB,CD) = (OM,ON)
a 3
a

B
M

D

•
2a

C


Áp dụng định lí cosin cho ∆MON :
MN2 = OM2 + ON2 – 2.OM.ON.cos
Suy ra :
1
·
cosMON = 2
·

Do đó : MON = 120o

·
(AB,CD) = 60 O
Vậy :

·
MON


Nhận xét

• Góc gữa hai đường thẳng khơng vượt q 900
• Xác định góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2, ta có thể
lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng.
uu uu
r r
1r uu
, r
• uuu u 2 là hai vectơ chỉ phương của ∆1 và ∆2 và
( u1, u 2 ) = α :
nếu 00 ≤ α ≤ 900 thì (∆1 , ∆2) = α
uu
r
u1
nếu α ≥ 900 thì (∆1 , ∆2) = 1800 − α
'
∆1
∆1
uu

r
uu
r
u2 α
α u2
O
'
∆ '2 ∆1
O

•

O
•

•

∆2

∆

'
2


Bài tập
Bài 2 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi
·
M là trung điểm của BC. Tính (AB,MD)

Hướng dẫn giải toán
uuu uuur
r
uuu uuur uuu uuu
r
r r
uuu uuur
AB.MD
AB.MB + AB.BD
·r
cos(AB,MD) =
=
AB . MD
a 3
a.
2
r
r r
Ta có: uuu uuur a2 uuu uuu a 2
AB.MB = − , AB.BD =
4
2
uuu uuur
2
·r
⇒ cos(AB,MD) =
>0
B
3

uuu uuur
2
·r
0
⇒ (AB,MD) = α < 90 (cosα = )
3
M •
uuu uuur
·r
·
⇒ (AB,MD) = (AB,MD) = α

A

D
C


Phương pháp giải tốn
Chúng ta có thể tính góc tạo bởi hai
đường thẳng bằng hai cách:
 Sử dụng định nghĩa
 Thơng qua tính góc tạo bởi hai véc tơ chỉ
phương.


Bài tập về nhà
Bài 3 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
·
Tính (AB,CD). Giải bằng hai cách.