Bài tập toán 11 cả đại số và hình học

Trường THPT Lê Quý Đôn Giáo án phụ đạo toán 11 CB
A. Đại số và giải tích 11
Bài 1: Hàm Số Lượng Giác
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
) sin( )
3 1
x
a y
x
=
+
2
) os( )
1
x
b y c
x
=
−
) tan( )
3
x
c y =
) cot 2d y x=
) cot(4 1)e y x= +
2
1
) sin( )
1
f y

x
=
−
g) y = tanx + cotx
2
) osh y c
x
=
) osk y c x=
Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+
3) y = sin
4x +
4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx−
7) y =
1 osx
1-sinx

c+
8) y = tan(x +
4
π
) 9) y = cot(2x -
)
3
π
10) y =
1 1
sinx 2 osxc
−
Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số:
1) sin 3 2) 2 2sin 3tan
sinx+3cos3x
3) 4) ot 2x-
sinx-1 3
2+sinx
5)y= 6) 1 sinx os3x
1-sinx
y x y x x
y y c
y c
π
= = + +
 
= =
 ÷
 
= − +

Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau
2
2
1 4cosx
c.y
3
d.y 2sin x cos2x
+
=
= −
1 x
a. y sin
1 x
3
b. y
2cos x
c. y cot 2x
4
cot x
d. y
cos x 1
sin x 2
e. y
cos x 1
+
=
−
=
π
 

= −
 ÷
 
=
−
−
=
+
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 1
Trường THPT Lê Quý Đôn Giáo án phụ đạo toán 11 CB
Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a)
1 cos
sin
x
y
x
+
=
b)
( )
sin
cos
x
y
x
π
=
−
c)

2
tan 5
3
y x
π
 
= +
 ÷
 
d)
2 cos
1 sin
x
y
x
+
=
−
e)
2 cos
2 sin
x
y
x
+
=
−
Bài 6: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a/
2

sin
1
x
y
x
 
=
 ÷
−
 
b/
siny x=
c/
2 siny x= −
d/
2
1 cosy x= −
e/
1
sin 1
y
x
=
+
f/
tan
6
y x
 
= −

 ÷
 
π
g/
cot
3
y x
 
= +
 ÷
 
π
h/
sin
cos( )
x
y
x
=
−
π
i/ y =
1
tan 1x −
Bài 7: Tìm tập xác định của hàm số:
a)
1 sin
cos
x
y

x
−
=

b)
cot( )
3
y x
π
= +

c) y= sin






−1
2
x
x

d) y= cot(x -
4
π
)
e)
1 sin
1 sin

x
y
x
+
=
−
f)
tan(2 )
6
y x
π
= −
g) y= cos
1x +
h) y= tan (2x +1)
Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
Bài 1*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )
3
c
π
4) y =

2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =
2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =
2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Bài 2*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn
;
2 3
π π
 
− −
 
 
2) y = cosx trên đoạn
;
2 2
π π
 
−

 
 
3) y = sinx trên đoạn
;0
2
π
 
−
 
 
4) y = cos
π
x trên đoạn
1 3
;
4 2
 
 
 
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 2
Trường THPT Lê Quý Đôn Giáo án phụ đạo toán 11 CB
Bài 3*: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1
4
x
 
+ +
 ÷
 

π
b/
2 cos 1 3y x= + −
c/
siny x=
d/
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e/
2
cos 2sin 2y x x= + +
f/
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
g/ y = sinx + cosx h/ y =
3sin2 cos2x x−
i/ y =
sin 3cos 3x x+ +
Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Dạng 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. 2sinx -
3
= 0
1
b. sin x
4
=
( )
o

1
c. sin x 60
2
d. sin 2x 1
− =
= −
Bài 2: Giải các phương trình sau:

2
a. cos 3x
6 2
π
 
− = −
 ÷
 
( )
2
b. cos x 2
5
− =
( )
( ) ( )
o
1
c. cos 2x 50
2
d. 1 2cos x 3 cos x 0
+ =
+ − =

Bài 3: Giải các phương trình sau :
1)
1
sin
2
x =
2)
2sin 3x =
3)
3
cos
2
x =
4)
3
sin 2
2
x =
5)
3
cos 2
3 2
x
π
 
+ = −
 ÷
 
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 3
Trường THPT Lê Quý Đôn Giáo án phụ đạo toán 11 CB

6)
3
sin 2
3 2
x
π
 
+ =
 ÷
 
7)
( )
0
1
sin 2 50
2
x + = −
Bài 4 : Giải các phương trình sau :
a)
cos 2 0
6
x
 
+ =
 ÷
 
π
ĐS :
π π
= + ∈( )

6 2
k
x k z
b)
cos 4 1
3
x
 
− =
 ÷
 
π
ĐS :
π π
= + ∈( )
12 2
k
x k z
c)
cos 1
5
x
 
− = −
 ÷
 
π
ĐS :
π
π

= − − ∈
4
3 ( )
5
x k k z
d)
sin 3 0
3
x
 
+ =
 ÷
 
π
ĐS :
π π
= − + ∈( )
9 3
k
x k z
e)
π
 
− =
 ÷
 
1
sin
2 6 3
x

ĐS :
π
π
π
π

= + +

∈


= − +


1
2arcsin( ) 4
3 3
( )
7 1
2arcsin( ) 4
3 3
x k
k z
x k
f)
sin 1
2 4
x
 
− =

 ÷
 
π
ĐS :
π
π
= + ∈
3
4 ( )
2
x k k z

h)
sin 2 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
ĐS :
π
π
= − + ∈( )
3
x k k z
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 4

k)

( )
− =
0
2
cos 30
2
x
ĐS :

= +
∈

= − + +


0 0
0 0
75 360
( )
15 360
x k
k z
x k
m)
3
sin
2 3 2
x
 
− = −

 ÷
 
π
ĐS :
π
π
π

=

∈
= +


4
( )
10
4
3
x k
k z
x k

n)
1
cos 2
6 2
x
 
− = −

 ÷
 
π
ĐS :
π
π
π
π

= − −

∈


= −

4
( )
5
12
x k
k z
x k

o)
2
1
sin
2
x =

ĐS :
π π
= + ∈( )
4 2
k
x k z

k)
=
2
1
cos
2
x
ĐS :
π π
= + ∈( )
4 2
k
x k z
Bài 5: Giải các phương trình sau:
( )
o
2
a. tan 2x tan
7
3
b. tan 3x 30
3
c. cot 4x 3

6
x x
d. cot 1 cot 1 0
3 2
π
=
− = −
π
 
− =
 ÷
 
  
− + =
 ÷ ÷
  
Bài 6: Giải các phương trình sau :
a)
tan 3x =
b)
3tan 3
3
x
π
 
+ =
 ÷
 
c)
3cot 3

3
x
π
 
− =
 ÷
 
d)
2
1
tan
3
x =
Bài 7 : Giải các phương trình sau:
a)
tan 3 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
ĐS :
π π
= − + ∈
5
( )
36 3
k

x k z
b)
( )
+ =
0
3
cot 3 45
3
x
ĐS :
= + ∈
0 0
15 180 ( )x k k z
c)
cot 2 1
3
x
 
− =
 ÷
 
π
ĐS :
π π
= + ∈
7
( )
24 2
k
x k z

Bài 8 : Giải các phương trình lượng giác sau đây (tìm
x
)
1)
sin 2 1x =
2)
sin(3 1) 0x - =
3)
sin(2 ) 1x+ = -
4)
2
sin 1x =
5)
2
cos sin 1x x= +
6)
cos(2 1) 1x - = -
7)
cos( 1) 1x - =
8
cos(3 2) 0x + =
9)
sin 2 0
3
x
p
æ ö
÷
ç
÷

+ =
ç
÷
ç
è ø
10)
4
cos 3 1
5
x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç
è ø
11)
sin(3 1) 1x - = -
12)
2
cos (3 2) 1x - =
13)
sin(1 2 ) 1x+ = -
14)
( )
cos 2 1 1x + = -

15)
3 2
sin 1
2 3
x
æ ö
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
è ø
16)
cos(3 2) 1x + = -
17)
sin(1 4 ) 1x- =
18)
sin( 1) 1x + =
19)
cos(4 3) 1x + =
20)
2
1
cos
2
x =
21)
2

1
sin ( 3)
2
x - =
Bài 9 : Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
1
sin
2
x =
2)
1
sin 2
2
x = -
3)
2 sin 3x =
4)
2 sin 5 5x =
5)
3 sin 6x =
6)
0
2 sin(2 30 ) 1x - =
7)
2
sin(3 2)
2
x - =
8)

0
3
sin( 45 )
2
x - = -
9)
2
sin( 1)
2
x + = -
10)
2
2 2 sin 6
5
x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç
è ø
11)
3 sin(2 1) 2 0x - + =
12)
6 sin 2 3
5

x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = -
ç
÷
ç
è ø
13)
3
sin 2
6 2
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
è ø
14)
1
sin 5
3 2

x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ = -
ç
÷
ç
è ø

15)
2
sin 4
5 2
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = -
ç
÷
ç
è ø
16)
5 1
sin

4
x
-
=
17)
5 1
sin 2
4
x
+
=
18)
6 2
sin
4
x
-
=
Bài 10 : Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
sin( 1) s in 2x x+ =
2)
sin(2 1) sin( 3)x x- = +
3)
sin si n 2 0x x+ =
4)
sin(2 1) sin(2 3)x x- = +
5)
0
2 sin(2 30 ) 1 0x - + =

6)
2
sin (2 ) 1x
p
- =
7)
2 sin(3 2) 1x - =
8)
sin cosx x=
9)
sin 4 cos 5 0x x+ =
Bài 11 : Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
2
cos
2
x =
2)
3
cos 5
2
x = -
3)
2 2
cos 2
3
x
+
=
4)

2 cos 2 2 0x + =
5)
3 2 3 cos(2 1) 0x- + =
6)
3
cos( 2)
3
x - =
7)
2 3
cos
2
x
-
=
8)
0
1
cos( 30 )
2
x + =
9)
2
cos(3 2)
5
x - =
10)
2 5 1
cos 3
10 4

x
p
æ ö
+
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
è ø
11)
3
cos 4
8 2
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = -
ç
÷
ç
è ø
12)
3
cos 6

3 2
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = -
ç
÷
ç
è ø
Bài 12 : Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
(2 cos )(3 cos 2 1) 0x x+ - =
2)
cos 2 cot( ) 0
4
x x
p
- =
3)
(cot 1) sin 3 0x x+ =
4)
0 0
t an(2 60 ) cos( 75 ) 0x x+ + =
5)
sin 3
0
cos 3 1

x
x
=
-
Bài 13 : Giải các phương trình:
1)
( ) ( )
sin 3 1 sin 2x x+ = −
2)
cos cos 2
3 6
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π
3)
cos3 sin2x x=
4)
( )
0
sin 120 cos2 0x x− + =
5)
cos 2 cos 0
3 3
x x
   
+ + − =
 ÷  ÷

   
π π
6)
sin3 sin 0
4 2
x
x
 
+ − =
 ÷
 
π
7)
tan 3 tan
4 6
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π
8)
cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π

9)
( )
2
cos 0x x+ =
10)
( )
2
sin 2 0x x− =
12)
( )
2
tan 2 3 tan2x x+ + =
11)
2
1
sin
2
x =
Bài 14 : Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
t an 3x =
2)
t an 3x = -
3)
0
3 tan( 10 ) 3x - =
4)
3 tan 3x = -
5)

t an 2 0x - =
6)
2 tan 3 0x - =
7)
cot 3x = -
8)
cot 2x =
9)
2 cot 5x =
10)
3 cot 1x =
11)
cot 1x =
12)
2
cot 3x =
13)
2 1
cot 7
5
3
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = -
ç
÷

ç
è ø
14)
6 tan 5 2 3
3
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = -
ç
÷
ç
è ø
15)
2
3 tan 2 1
5
x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ =
ç
÷
ç

è ø
16)
2
cot 2 1
5
5
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = +
ç
÷
ç
è ø
17)
t an 5 3
6
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç

è ø
18)
2
cot 3 3
4
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
è ø
19)
t an 3 t an 1x x =
20)
t an 5 cot 1x x =
21)
2
t an 1 0x + =
Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Dạng 4: Giải phương trình lượng giác dạng at + b =0 (a
≠
0)
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2cosx -
2

= 0 b)
3
tanx – 3 = 0 c) 3cot2x +
3
= 0 d)
2
sin3x – 1 = 0
Dạng 5: Giải phương trình lượng giác dạng
2
0( 0)at bt c a+ + = ≠
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 2sin
2
x + 3sinx – 2 = 0
b) 3cos
2
x -5cosx + 2 = 0
c) 2tan
2
x

+ 3tanx + 1 = 0
d) -2cot
2
x + cotx +1 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau
e) -sin
2
x + sinx = 0
f) 2cos

2
x -3cosx + 1 = 0
g) tan
2
x

+ tanx – 2 = 0
h) cot
2
x - 4cotx +3 = 0
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
2
2 sin 3sin 1 0x x- + =
2)
2
3 cos 5 cos 2 0x x+ + =
3)
2
4 cot 5 cot 1 0x x+ + =
4)
2
sin 5 sin 6 0x x- + =
5)
2
cos cos 6 0
3 3
x x
+ + =
6)

2
2 sin 5 sin 2 0
2 2
x x
- + =
7)
2
3 sin 2 4 sin 2 1 0x x+ + =
8)
2
6 cos cos 1 0x x- - =
9)
2
t an 3 tan 3 2 0x x+ - =
10)
2
4 sin 2 2 sin 2 1 0x x- - =
11)
2
cos 4 cos 4 6 0x x- - =
12)
2
2 cos 2 cos 2 1 0x x- - =
13)
2
2 2
2 cos 3 cos 2 0
3 3
x x
- - =

14)
2
sin 5 sin 6 0
2 2
x x
+ + =
15)
2
2 sin 5 sin 3 0x x+ - =
16)
2
3 sin 5 7 sin 5 6 0x x+ - =
17)
2
4 t an tan 3 0x x- - =
18)
2
2 cos 2 cos 2 0x x+ - =
19)
2
cot 4 cot 3 0x x- + =
20)
4 2
3 tan 4 tan 1 0x x- + =
21)
2
4 cos 4 cos 1 0x x+ + =
22)
2
4 sin 2 4 sin 2 3 0x x- - =

23)
2
cot 2 3 cot 3 0x x+ + =
24)
2
2 tan 2 2 3 t an 1 0x x- + =
25)
2
3 sin 4 sin 1 0x x- + =
26)
2
6 cos 2 5 cos 2 4 0x x- - =
Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
2
4 cos 2( 3 2) cos 6 0x x- - - =
2)
2
3 tan 2 3 t an 3 0x x- + =
3)
2
t an 2 (1 3) tan 2 3 0x x- - - =
4)
2
2 sin (2 3) sin 3 0x x- + + =
5)
2
4 cos 2( 3 1) cos 3 0x x- + + =
6)
2

2 sin (4 7) sin 2 7 0x x- + + =
7)
2
2 2 sin (2 2) sin 1 0x x- + + =
8)
2
4 cos 2( 3 2) cos 6 0x x+ + + =
9)
2
4 sin 2 6 sin 1 0x x- + =
10)
2
4 cos 2 2 5 cos 2 1 0x x- + =
11)
2
4 cos 2 2( 3 1) cos 2 3 0x x- - - =
12)
2
2 sin 3 3 sin 3 0x x- + =
13)
2
2 sin 2 3 2 sin 2 2 0x x- + =
14)
2
2 cos (2 2 1) cos 2 0x x- + + =
15)
2
4 sin 2 2 sin 1 0x x- - =
Dạng 6: Giải phương trình lượng giác dạng asinx + bcosx
Bài 1: Giải các phương trình sau:

a/
3
sinx + cosx = 1
b/ 3sinx + 4cosx = 5
c/ 2sinx + cosx = 1
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
3.Sin2x-Cos2x=1
.
b
Cos2x- 3Sin2x= 2
c.
Cos2x-Sin2x= 2
.
d.
Cos2x- 3Sin2x=1
.
e.
3Cosx+3Sinx=3
Bài 3 : Giải các phương trình sau:
a)
cos 3 sin 2x x+ =
ĐS :
7
2
12
x k
π
π
= +

;
2
12
x k
π
π
= +
( )k Z∈

b)
6
sin cos
2
x x+ =
ĐS :
2
12
x k
π
π
= +
;
5
2
12
x k
π
π
= +

( )k Z∈
c)
3 cos3 sin3 2x x+ =
ĐS :
5 2
36 3
k
x
π π
= +
;
2
36 3
k
x
π π
= − +
( )k Z∈

Bài 4 : Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Bài 5 : Giải các phương trình lượng giác sau đây:
1)
2 sin 2 cos 2x x- =
2)

cos 3 sin 1x x- =
3)
3 sin cos 2
2 2
x x
+ =
4)
cos sin 1x x- = -
5)
2 cos 2 sin 6x x+ =
6)
sin 3 3 cos 3 2x x+ =
7)
sin 3 cos 2x x- =
8)
2 cos 6 sin 2x x- = -
9)
3 sin 2 cos 2x x- =
10)
cos 2 sin 2x x+ = -
11)
3 cos 2 sin 2 3x x- =
12)
sin 3 cos 2x x+ = -
13)
cos 3 3 sin 3 3x x+ =
14)
sin 3 cos 1
2 2
x x

- = -
15)
6 sin 2 cos 2x x+ =
16)
2 cos sin 1x x- =
17)
3 cos 7 sin 7 5x x+ =
18)
6 cos 8 sin 5x x- = -
19)
2 sin 1 cosx x- =
20)
t an sin cos 1
6
x x
p
- =
21)
3 sin 3 cos 3x x+ =
22)
3 cos 3 sin 3x x- =
23)
2 sin 5 sin 4x x- =
24)
2 cos 2 12 sin 2 13x x- =
25)
2 sin 2 2 cos 2 6x x- =
26)
3 sin 3 cos 1x x+ =
27)

2 sin 5 cos 4x x+ =
28)
5 cos 12 sin 13x x- =
29)
5 sin 2 cos 4x x+ =
30)
3 cos 2 sin 2 2x x+ =
Bi 6 : Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
a) 2sinx
3
= 0
b) sinx
3
cosx =
2
c) 4sin
2
x 5sinxcosx + cos
2
x = 0
Bi 7 : Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
2 sin 1x =
b)
3 sin 2 os2x 1x c =
c)
2
sin 3sin osx 1x xc =

Bi 8: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau

a/
2cos2 1 0x
=
b/
sin 2 3 2 2x cos x =
c/
2 2
sin 3sin cos 4cos 0x x x x =
Baứi 1: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 4cos
2
x 9sinx
= 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Baứi 2 : Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :
1/ 4(sin3x cos 2x ) = 5(sinx 1) . HD : ủaởt t =sinx
2/
x
x
2
cos

3
4
cos
=
ẹS : x = k3 , x=
4

+k3 , x =
4
5

+k3
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(

4


2
x
) ẹS: sinx =1 v sin

2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ủaởt t = tanx , ẹS : x = -
4

+ k
5/ 2cos 2x 8cosx + 7 =
xcos
1
ẹS : x = k2 , x =
3

+k2
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ẹS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
8/ cos 3x cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ủaởt t = tan
2

x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :ủaởt t =cos 2x


12/ tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
HẾT
Một Số Đề KT Rèn Luyện
Đề 1

Bài 1:Tìm tập xác định của hàm số ;
a/
tan(2 )
6
y x
π
= +
b/ y =
osx
1 sinx
c
y
=
−
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 2 1 3cosy x
= + +
Bài 3: Giải các phương trình sau :
a/
3
cosx =
2
b/
3cot 3 0x − =
c/
sin2x cos2x =1
−
d/
2 2
sin ( 3 2)sinxcosx 6 os 0x c x

+ − − =
Bài 4: Giải phương trình sau :
3 os3x 2sin 2 cos sinx=0c x x− −
với
0 x
π
≤ ≤
HẾT
Đề 2
Bài 1 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
a)
cos 1
sin 1
x
y
x
+
=
−
b)
tan(2 )
6
y x
π
= +
Bài 3 : Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0
2sin( 20 ) 3x + =
b)

2
4cos 4cos 3 0x x− − =
c)
3 sin 5 cos5 2x x− =
d)
2sin11 3sin 7 cos7 0x x x+ + =
Dạng 1: Bài tốn về quy tắc đếm
Ví dụ1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có
4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Ví dụ 2: Cho tập
{ }
A 0;1;2;3;4=
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các
phần tử của A?
Ví dụ 3: Từ tập
{ }
A 1,2,3, 4,5=
hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3
lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Bài 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?
Bài 2.
Cho tập nền
{ }
1;2;4;5;7B =
. Có thể lập được từ B:
a) Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?
b) Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
c) Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ?
Bài 3.

Cho tập nền
{ }
0;1;2;3B =
. Có thể lập được từ B:
a) Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? (Đs: 18 số thoả ycbt)
b) Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? (Đs: 10 số thoả ycbt)
c) Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ? (Đs: 8 số thoả ycbt)
Bài 4.
Một kết sắt có 5 núm khoá riêng biệt , mỗi núm khoá đều có vòng đánh số
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Một dãy 5 chữ số cho một cách mở két. Có bao nhiêu phương án mở
két khác nhau?
Bài 5.
Có bao nhiêu số gồm ba chữ số trong đó chỉ có đúng chữ số 5 ?
Bài 6.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác
nhau ?
Bài 7.
Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được tao nên từ các chữ số 3,5,7,8 ?
Bài 8.
Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chử số mà các chữ số
đó đều khác nhau?
Vậy ta có : 504 + 4.448 = 2296 cách chọn số thoả ycbt.
Bài 9.
Cho 8 chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm
4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10 ?
Bài 10.
Từ 5 chữ số 0;1;3;5;7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và
không chia hết cho 5?
Bài 11.
Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 số khác nhau đơi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ?

Bài 12.
Cho 5 chữ số 0;1;2;3;4. Từ 5 chữ số đó có thể lập đượcbao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao
cho trong mỗi chữ số đó, mỗi chữ số trên có mặt đúng một lần ?
Bài 13.
Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có bốn cặp
anh em sinh đơi. Nhà trường cần chọn một nhóm 3 học sinh trong 50 học sinh trên dự Đại
hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi nào. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ?
Bài 14.
Có 5 con đường nối hai thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. Muốn
đi từ X đến Z phải qua Y.
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đi từ X đến Z qua Y ?
b) Có bao nhiêu cáh chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con
đường đi khác nhau ?
Bài 15.
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
khác nhau và chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau?
Bài 16.
Mỗi người sử dụng mạng máy tình đều có mật khẩu. Giả sử mỗi mật
khẩu gồm 6 kí tư, mỗi kí tự hoặc là m cột chữ số ( trong 10 chữ số từ 0 đến
9) hoặc là một chữ cái ( trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu
phải có ít nhất là một chữ số.
a) Có bao nhiêu dãy số gồm 6 kí tự , mỗi kí tự hoặc là một chữ cái( trong
bảng 26 chữ cái) hoặc là một chữ số ( trong 10 chữ số từ 0 đế 9)
b) Có bao nhiêu dãy gồm 6 kí tự nói ở câu a) không phải là mật khẩu?
c) Có thể lập được bao nhiêu mật khẩu?
Bài 17.
Biển số xe máy của tỉnh A ( nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó
kí tự vò trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), kí tự
ở vò trí thứ 2 là một chữ số thuộc tập

{ }
1,2, ,9
, mỗi kí tự ở bốn vò trí tiếp
theo là một chữ số thuộc tập
{ }
0,1,2,3, ,9
. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số
tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe khác nhau?
Bài 18.
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.
a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh
thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam, một nữ đi dự
trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách
chọn?
§2. HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Bài 1.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào ngồi trong một cái bàn dài đủ chỗ ngồi ?
Bài 2.
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào mười ghế kê thành một
dãy ?
Bài 3.
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4 ?
Bài 4.
Có thể lập được bao nhiêu chữ số lẻ gồm năm chữ số khác nhau từ tập
{ }
0;1;2;3;4B =
?
Bài 5.
Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên khơng cùng một lúc

về đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ?
Bài 6.
Tính tổng S của tất cả các số gồm 4 chữ số khác nhau và số đã lập được từ nền
{ }
1;2;3;4B =
bằng phép hốn vị ?
Bài 7.
Chứng minh rằng trên tập
{ }
1;2;3;4;5;6;7B =
có thể lập thành được các số gồm bảy chữ
số khác nhau mà tổng của chúng thì chia hết cho 720.
Bài 8.

Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A,B,C,D và E vào một chiếc ghế dài đủ năm
chỡ ngời sao cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa?
b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
Bài 9.
Trong một phòng học có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu:
a) Tất cả các học sinh ngồi tuỳ ý ?
b) Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn?
Bài 10.
Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau lấy từ 0; 2;3;6;9?
Bài 11.
Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc.
a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau ?
Bài 12.

Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng bảy chữ số
1;2;3;4;5;7;9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau ?
Bài 13.
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, vào 10 ghế kê thành
hàng ngang, sao cho:
a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ?
b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau?
Bài 14.
Có 6 học sinh được xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên mặt bàn dài.
a) Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn ?
b) Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B không ngồi cạnh
nhau ?
CHỈNH HỢP
Bài 1.
Từ ba đỉnh của tam giác ABC có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ
O
ur
Bài 2.
Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ
O
ur
với điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh của đa giác ?
Bài 3.

Một câu lạc bộ Toán học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn ra một thành viên
làm gíam đốc CLB, một thành viên làm phó giám đốc CLB và một thành viên làm kế
toán trưởng CLB. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để bầu mà không có ai kiêm nhiệm ?
Bài 5.
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và bo lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm

ba bông hoa vảo ba lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bông)?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Ví dụ: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các
chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Ví dụ1: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong
các điểm đó?
Ví dụ 2: Từ tập
{ }
A 0,1,2,3,4,5=
có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Ví dụ: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu
tam giác?
Dạng 5: Tìm
*
n
∈
¥
trong phương trình chứa
k k
n n n
P , A ,C
Ví dụ 1: Tìm
*
n
∈
¥
, nếu có:
( )

3
n
n
n 1
2P
A 1
P
−
=
.
Ví dụ 2: Tìm
*
n
∈
¥
, nếu có:
( )
3 3
n n 1
6n 6 C C . 2
+
− + ≥
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.
Ví dụ1: Tìm số hạng chứa x
3
trong khai triển (11 + x)
11
.

Ví dụ 2: Trong khai triển
10
3
3
2 x
x
 
−
 ÷
 
, (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x.
B. Hình học 11
BÀI TẬP VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến
v
= (2;-1 )
A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3), E(4;3), F(6;-2); H(1;1)
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến
v
T
r
trong các
trường hợp sau:
a)
v
r
= (1; 1) b)
v
r

= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
Bài 3: Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho
( )
v
A T B=
r
trong các trường hợp
sau:
a)
( )
2; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v

r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
Bài 4:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) .Phép tònh tiến theo vectơ
(2;3)v
r

biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N.
Bài 5: Trong mặt phẳng oxy cho điểm A(4;5). Tìm điểm B(x,y) sao cho A là
ảnh của điểm B qua phép tònh tiến theo
(2;1)v
r
:
Bài 6:Tìm toạ độ vectơ
v
r
sao cho
( )
/
v
T M M=

r
trong các trường hợp sau:
a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4; 5)
d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –5)

Dạng 2: Xác định ảnh của một đường thẳng qua phép tịnh tiến
Bài 1: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép tịnh tiến
v
= (1;-3 )
a) -2x +5 y – 4 = 0 b) 2x -3 y – 1 = 0
c) 3x – 2 = 0 d) x + y – 1 = 0
Bài 2 : Trong mp 0xy cho đường thẳng d: 3x+2y-4=0 . Tìm ảnh của đường thẳng d
qua phép tịnh tiến theo vecto
v
=(-3;2)
Bài 3: Trong mp oxy cho vecto
u
r
=(3;-4) . Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép
tịnh tiến theo vecto
u
r
a) d: x+2y-3=0
b) d: 4x+3y+5=0
c) d: 2x+y-5=0
Bài 4: Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường
thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:

a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ
)2;3( −=u
r
, hai điểm A(-2 ; 4), B(1 ; 5)
và đường thẳng d có phương trình 2x + y – 6 = 0.
a) Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua
u
T
r
.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho A là ảnh của D qua phép tònh tiến theo vectơ
)2;3( −=u
r
.
c) Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua
u

T
r
.
Dạng 3: Xác định ảnh của một đường tròn qua phép tịnh tiến
Bài 1: Tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến
v
= (3;-1 )
a) (x - 2)
2
+ (y +1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
Bài 2 : Trong mp oxy cho vecto
u
r
=(1;-2). Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép
tịnh tiến theo vecto
u
r
a)
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 9C x y+ + − =
b)
2 2
1
( ) : ( 3) ( 2) 16C x y− + + =

c)
2 2
2
( ) : 4 2 4 0C x y x y+ − + − =
d)
2 2
3
( ): 4 2 1 0C x y x y+ + − + =
Bài 3 : Trong mpOxy, cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
1 2 4x y− + + =
. Tìm phương trình của
đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r

= (3; –2)
Bài 4: Trên mp tọa độ
Oxy
cho 2 điểm
( ) ( )
1;2 , 2;0A B
. Đường thẳng d đi qua A và
vng góc với AB.
a) Tìm ảnh của A,B,d qua phép tịnh tiến theo véc tơ
( )
1;1v =
r
b) Tìm phương trình của đường thẳng d
1
sao cho phép tịnh tiến theo vec tơ
( )
1;1v =
r
biến
d
1
thành d.
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ
( 2;3)u = -
r
, hai điểm A(1 ; -3),
B(-1 ; 5) và đường thẳng d có phương trình x - 2y – 7 = 0.
a)Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua
u
T

r
.
b)Tìm toạ độ điểm D sao cho A là ảnh của D qua phép tònh tiến theo vectơ
( 2;3)u = -
r
.
c)Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua
u
T
r
.
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v
r
= (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và
đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0.
a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến
theo vectơ
v
r
.
b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo
v
r
.
c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
v
r
.
BÀI TẬP PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M(-2 ; 1), B(-2 ; 4). Tìm ảnh của A, B và
đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6),
D(4; –3).
Bài 3: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6),
D(4; –3).
Bài 4: Trong Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 1 = 0. Viết phương
trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M(2 ; -6), B(-1 ; 5). Tìm ảnh của A, B và
đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.
Bài 6: Trong Oxy cho đường thẳng d có phương trình x – 5y + 8 = 0. Viết phương
trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 7: Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
Bài 8: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 =
0
Bài 9: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 =
0
BÀI TẬP PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm
với:
a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2 ; 1) và đường thẳng d có phương trình x +
3y -2 = 0. Tìm ảnh của Avà d qua phép đối xứng tâm O.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3 ; 5) và đường thẳng d có phương trình 2x -
3y + 4 = 0. Tìm ảnh của Avà d qua phép đối xứng tâm O.
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x
+ y -4 = 0. Tìm ảnh của Avà d qua phép đối xứng tâm O.
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2 ; 4) và đường thẳng d có phương trình 2x

- y + 9 = 0. Tìm ảnh của Avà d qua phép đối xứng tâm O.
Bài 6: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x =
–1
Bài 7: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x =
–1
Bài 8: Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
Trường THPT Lê Q Đơn Tài liệu phụ đạo toan 11 CB
BÀI TẬP PHÉP QUAY
Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm qua phép quay
Bài 1 : Tìm ảnh của các điểm A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3)

a) qua phép quay Q(O;90
o
)
b) qua phép quay Q(O;-90
o
)
Bài 2 : Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O
góc α với:
a) α = 90
0
b) α = –90
0
c) α = 180
0
Dạng 2: Xác định ảnh của một đường thẳng qua phép quay
Bài 1: Trong Oxy cho điểm M(0 ; -2) và đường thẳng d có phương trình x – y + 3 = 0.
Tìm ảnh của M và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 2: Trong Oxy cho điểm M(0 ; 2) và đường thẳng d có phương trình x + y + 2 = 0.
Tìm ảnh của M và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 3: Trong Oxy cho điểm M(3 ; 0) và đường thẳng d có phương trình x - y + 4 = 0.
Tìm ảnh của M và d qua phép quay tâm O góc -90
0
.
Bài 4: Trong Oxy cho điểm M(0 ; 2) và đường thẳng d có phương trình x + y - 4 = 0.
Tìm ảnh của M và d qua phép quay tâm O góc 90
0

.
Bài 5: Trong Oxy cho điểm M(-3 ; 0) và đường thẳng d có phương trình x - y - 4 = 0.
Tìm ảnh của M và d qua phép quay tâm O góc -90
0
.
Bài 6: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay Q(O;90
o
)
a) d: -2x +3 y – 7 = 0 b) d: 2x -5 y – 4 = 0
c) d: 2x-3y+6=0 d) d: x-2y+4=0
Bài 7: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay Q(O;-90
o
)
a) d: x -2 y – 7 = 0 b) d: x +5 y – 1= 0
c) d: 2x-3y+4=0 d) d: x-2y+2=0
Bài 8: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 90
0
:
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0
d) y = 2 e) x = –1
Bài 9:: Cho hình vng ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình
x + y - 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90
0

.
Dạng 3: Xác định ảnh của một đường tròn qua phép quay
Bài 1: Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép Q(O;90
o
)
a) (C): (x - 2)
2
+ (y +1)
2
= 9
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 21
Trường THPT Lê Q Đơn Tài liệu phụ đạo toan 11 CB
b) (C): x
2
+ y
2
– 6x – 2y +6 = 0
c)
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 9C x y+ + − =
d)
2 2
1
( ) : ( 3) ( 2) 16C x y− + + =
Bài 2: Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép Q(O;-90
o
)
a) (x -1)
2
+ (y +3)

2
= 25
b) x
2
+ y
2
– 3x – 4y +2 = 0
c)
2 2
2
( ) : 4 2 4 0C x y x y+ − + − =
d)
2 2
3
( ): 4 2 1 0C x y x y+ + − + =
Bài 3: Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 90
0
:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y

2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
Chủ đề: Khái niệm phép dời hình và hai hình bằng nhau
Bài 1: Trong mp oxy cho điểm M(1;3).Xác định ảnh của điểm M qua phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto
u
r
=(1;1) và phép quay
Q(O;90
o
).
Bài 2: Trong mp oxy cho điểm N(2;1).Xác định ảnh của điểm M qua phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vecto
u
r
=(-2;3) và phép quay
Q(O;-90
o
).
Bài 3 : Trong mặt phẳng oxy cho điểm M(2 ;3) và
v
r
=(2;0) . Tìm tọa độ của M’ là ảnh
của M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I(1;2)
và phép tịnh tiến theo vecto
v

r
.
Bài 4 : Trong mặt phẳng oxy cho điểm N(-1 ;4) và
v
r
=(1;-3) . Tìm tọa độ của N’ là ảnh
của N qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I(0;2)
và phép tịnh tiến theo vecto
v
r
.
Bài 5 : Trong mặt phẳng oxy cho điểm M(5 ;3) và
v
r
=(2;-5) . Tìm tọa độ của M’ là ảnh
của M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay Q(O;-90
o
)và
phép tịnh tiến theo vecto
v
r
.
Bài 6 : Cho
v
r
= (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
v

r
.
Bài 7 : Cho đường thẳng d: y =
2 2
. Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua
phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k =
1
2
và
phép quay tâm O góc 45
0
.
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v
r
=(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = 0. Tìm ảnh
của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
.
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 22
Trường THPT Lê Quý Đôn Tài liệu phụ đạo toan 11 CB
Chủ đề: Phép Vị Tự
Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm qua phép vị tự
Bài 1: Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M(2;5) qua phép vị tự tâm là gốc tọa độ, tỉ số
vị tự k=3. Đ/S: M’(6;15)
Bài 2: Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M(3;-2) qua phép vị tự tâm I(1;3), tỉ số vị tự
k=2. Đ/S: M’(5;-7)

Bài 3: Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của điểm A(3;4) qua phép vị tự tâm I(-1;-5), tỉ số vị tự
k=-5.
Bài 4: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3;
4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
Bài 3: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k =
1
2
: A(2; 3), B(–3;
4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
Bài 5: Phép vi tự tâm I tỉ số
1
2
k =
biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I trong
các trường hợp sau:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M′(6; 1)c) M(–1; 4) và M′(–3; –6)
Bài 6: Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau:
a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M′(2; 0)
c) I(2; –1), M(–1; 2), M′(–2; 3)
Dạng 2: Tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự
Bài 1: Tromg mp oxy cho điểm I(1;2) và đường thẳng d : 3x+2y-6=0 . Hãy viết phương
trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2
Đ/S: d’: 3x+2y-9=0
Bài 2: Tromg mp oxy cho điểm I(-1;2) và đường thẳng d : 2x+y-4=0 . Hãy viết phương
trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2
Đ/S: d’: 2x+y+8=0
Bài 3: Trong mp oxy cho d: 2x+y-4=0. Tìm đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua
phép vị tự tâm là gốc tọa độ tỉ số k=3.
Bài 4: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0

Bài 5: Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong
các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =
1
2
f) k =
1
2
−
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆
1
: x – 2y + 1 = 0 và ∆
2
: x – 2y + 4 =
0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vị tự V
(I,k)
biến ∆
1
thành ∆
2
.
Bài 7: Cho
v
r
= (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d
1
: 2x – 3y – 5 = 0.
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 23
Trường THPT Lê Quý Đôn Tài liệu phụ đạo toan 11 CB
a) Viết phương trình đường thẳng d′ =

v
T
r
(d).
b) Tìm toạ độ vectơ
u
r
vuông góc với phương của d sao cho d
1
=
u
T
r
(d).
Bài 8: Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d′ là ảnh của
đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay α, với:
a) α = 90
0
b) α = 40
0
.
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình
3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của A và d
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
= (2; 1);
b) Qua phép quay tâm O góc 90
0
.

…………………………………………… o0o………………………………………….
Đề 1
D C
Bài 1 :Cho hình vuông ABCD tâm O( Hình 1)
a/Tìm ảnh của C qua phép quay tâm A góc 90
0
b/Tìm ảnh của đường thẳng BC
qua phép quay tâm O góc 90
0

A ( Hình 1) B
Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1;-2 )và đường thẳng (d) có phương trình x
−
2y + 2 = 0
a/Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O.
b/Tìm ảnh của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo véc tơ
(2; 4)v = −
r

c/Tìm ảnh của đường thẳng (d) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiên liên tiếp
phép đối xứng tâm
I(1 ; 2) và phép đối xứng trục Ox.
Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
x
2
+y
2
– 2x +2y – 2 = 0 .Tìm ảnh của đường tròn (C ) qua phép đồng dạng có được
bằng cách thực hiên liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 4 và phép đối xứng trục Oy
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình x + 3y

−
3 = 0
.Tìm ảnh của đường thẳng (d) qua phép đối xứng đường thẳng (
∆
) có phương trình x –
2y – 3 = 0
Bài 5: Cho góc nhọn xOy ,điểm A thuộc miền trong của góc đó .Hãy tìm trên Ox điểm
B, trên Oy điểm C sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất.
☞ Học sinh không sử dụng tài liệu.

……………………………….Hết………………………………………….
GV: Nguyễn Thị Nghị Trang 24
O