bài giảng giới hạn và liên tục

1
Nội dung

I.2 – Giới hạn của hàm số
 – Hàm số.
 – Giới hạn của hàm số.
 – Vô cùng bé, Vô cùng lớn.
Định nghĩa (hàm hợp)
Cho hai hàm .
: ; :

g X Y f Y Z
 
Khi đó tồn tại hàm hợp .
:
f g X Z


( ( ))
h f g f g x
 

Ví dụ.
2
( ) 3; ( )
g x x f x x
  


2
( ) ( ( ) ( 3) 3

f g x f g x f x x
     

2 2
( ) ( ( )) ( ) 3
g f x g f x g x x
    

1. Hàm số
2
4
) ( ) 2 2
a f g x x x
   

( ,2
]
f g
D
  

) ( ) 2
b g f x x
 



0,4
g f
D

 

4
) ( )

c f f x x




0,
f f
D
  

) ( ) 2 2
d g g x x
  



2,2
g g
D
  

Cho . Tìm các hàm sau và miền
Ví dụ.
( ) ; ( ) 2

f x x g x x
  
) ; ; ; .
b) c) d)
a f g g f f f g g
   
xác định của nó:
Đầu vào
Đầu ra
3
Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại
đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.
Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu
Định nghĩa (hàm 1 – 1)
thì .
1 2
f
x x D
  
1 2
( ) ( )
f x f x

Hàm 1 – 1
Ví dụ.
Không là hàm 1 – 1
4
ký hiệu , xác định bởi .
Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,
Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền

Định nghĩa (hàm ngược)
giá trị E.
1
( )
x f y


1
( ) ( )
x f y y f x

  
Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)
Chú ý:
khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của .
1
f

1
( ) ( )
a f b b f a

  
5
Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua
qua đường thẳng y = x.
1
f

Ví dụ. Vẽ đồ thị của

1
y x
  
Vẽ đồ thị của
và đồ thị hàm ngược.
Xét hàm lượng giác y = sin x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1.
-
,
2 2
 
 
 
 
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arcsin
y x

6
Xét hàm lượng giác y = cos x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1.


0,

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arccos
y x


Miền xác định: [-1,1]
Hàm arcsin x
-
,
2 2
 
 
 
 
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: [-1,1]
Hàm arccos x


0,

Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.
7
Xét hàm lượng giác y = tanx
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1.
,
2 2
 
 

 

 
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arctan
y x

Xét hàm lượng giác y = cot x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1.


0,

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arccot
y x

8
Miền xác định: R
Hàm arctan x
-
,
2 2
 
 
 
 
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: R
Hàm arccotan x



0,

Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.
Định nghĩa (hàm Hyperbolic)
sin hyperbolic
sinh( )
2
x x
e e
x



cos hyperbolic
cosh( )
2
x x
e e
x



tan hyperbolic
sinh( )
tanh( )
cosh( )
x

x
x

cotan hyperbolic
cosh( )
coth( )
sinh( )
x
x
x

9
cosh( )
y x

Hàm
sinh( )
y x

Hàm
tanh( )
y x

Hàm
coth( )
y x

Hàm
10
Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)

2 2
1) cosh ( ) sinh ( ) 1
a a
 
2 2
2) sinh(2 ) 2sinh( ) cosh( ); cosh(2 ) cosh ( ) sinh
( )

a a a a a a
  
3) cosh( ) cosh( ) cosh( ) sinh( )sinh( )

a b a b a b
  
4) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( )

a b a b a b
  
5) sinh( ) sinh( ) cosh( ) sinh( )cosh( )

a b a b b a
  
6) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( )

a b a b b b
  
và các công thức lượng giác hyperbolic khác.
Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công
thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay
sin bởi isinh.

Ví dụ. Từ công thức
2 2
cos sin 1
a a
 
ta có
2 2 2
cosh sin 1
i
a a
 
2 2
cosh sinh 1
a a
  
11
Hàm cho bởi phương trình tham số.
Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,
giả sử của x = x(t) là t = t(x).
Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận
V nào đó của điểm .
0
t
Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm
cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).
Ví dụ.
Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số
2cos
3sin
(1)

x t
y t





Đây chính là phương trình của ellipse.
2 2
1
4 9
x y
  
cos
2
(1)
sin
3
x
t
y
t











12
Ví dụ.
Phương trình tham số của đường
tròn tâm O bán kính R:
cos
sin

x R t
y R t





Phương trình tham số của đường
tròn tâm (a,b) bán kính R:
cos
sin

x a R t
y b R t
 


 

cos
sin

x a t
y b t





Phương trình tham số của ellipse là
2 2
2 2
1
x y
a b
 
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ.
D = (0,1)
Cho D là tập số thực. Điểm được gọi là điểm tụ của
0
x
Định nghĩa.
tập D nếu trong mọi khoảng đều chứa vô
0 0
( , )
x x
 
 
số các phần tử của tập D.
Điểm tụ của D là [0,1]

D có duy nhất một điểm tụ là 0
1
,
D n N
n
 
 
 
 
1
( 1) ,
2
n
n
D n N
n

 
  
 

 
D có hai điểm tụ -1 và 1.
13
2. Giới hạn của hàm số
0
lim ( )
x x
f x a



0


 
0

 
0
, | ( ) | .
f
x D x x f x a
 
      
Chú ý:
Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại
0
x
Ví dụ.
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x




mặc dù hàm không
xác định tại x = 0.
Định nghĩa. (ngôn ngữ )
 

Cho x
0
là điểm tụ của miền xác định.
2. Giới hạn của hàm số
lim ( )
x
f x a


0


 
0
A
 
, | ( ) | .
f
x D x A f x a

     
Định nghĩa.
lim ( )
x
f x a



0


 
0
B
 
, | ( ) | .
f
x D x B f x a

     
Định nghĩa.
14
thì f(x) trong
khoảng này
khi x trong khoảng
này
lim ( )
x
f x L





thì f(x) trong
khoảng này

khi x trong
khoảng này
lim ( )
x
f x L


15
2. Giới hạn của hàm số
0
lim ( )
x x
f x



0
M

 
0

 
0
,| | ( ) .
f
x D x x f x M

     
Định nghĩa.

0
lim ( )
x x
f x



0
M

 
0

 
Định nghĩa.
0
,| | ( ) .
f
x D x x f x M

     
2. Giới hạn của hàm số
Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm
không có giới hạn.
0
lim ( )
x x
f x a



Định nghĩa. (ngôn ngữ dãy )
Cho x
0
là điểm tụ của miền xác định.
( ) ,
n f
x D
  
0
,
n
n n o
x x x x

 
( )
n
n
f x a

 
Nếu tìm được hai dãy mà
'
0
( ),( )
n n
x x x

'
( ), ( )

n n
f x f x
hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn.
16
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ.
Chứng tỏ không tồn tại giới hạn
0
1
limsin
x
x

Chọn dãy
1
0
2
n
n
x
n


 
( ) sin 2 0 0
n
f x n

   
Chọn dãy

,
1
0
2 / 2
n
n
x
n
 

 

( ) sin(2 ) 1 1
2
n
f x n


    
Suy ra không tồn tại giới hạn
0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x a g x b
 
 
Tính chất của giới hạn hàm số
0
1) lim ( ) ,
R

x x
f a
  

 
0
2) lim ( )

x x
f g a b

  
0
3) lim ( )

x x
f g a b

  
0
4) lim , 0

x x
f a
b
g b

 



0
5) ( ), ( ) ( )

x V x f x g x a b

    
0 0
( ) ( ) ( )
6)
lim lim

x x x x
f x g x h x
f h a
 
 



 


0
lim ( )
x x
g x a

 
17
0

0
lim ( ) 0
lim ( )
x x
x x
u x a
v x b


 






Mệnh đề


0
( )
lim ( )
v x
b
x x
u x a

 





0 0
( )
( ) ln ( )
lim ( ) lim
v x
v x u x
x x x x
u x e
 

0
lim ( ) ln( ( ))
x x
v x u x
e


ln
.
b a b
e a
 
1
lim 1
x
x
e
x


 
 
 
 
1
lim 1
x
x
e
x

 
 
 
 
 
1
0
lim 1
x
x
x e

 
18
0
sin
1) lim 1



x
x
x
0
1
2) lim 1




x
x
e
x
2
0
1 cos 1
3) lim
2




x
x
x
0
ln(1 )

4) lim 1




x
x
x
0
(1 ) 1
5) lim



 

x
x
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi
0

x
0
arctan
6) lim 1



x

x
x
0
arcsin
7) lim 1



x
x
x
0
tan
8) lim 1



x
x
x


1/
0
9) lim 1

 
x
x
x e

 
1/
0
1
10) lim 1


 
x
x
x
e
1) lim , 0




  
x
x


2) lim ln , 0




  
x
x

3) lim , 1


  
x
x
a a
1
4) lim 1

 
 
 
 
x
x
e
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi
 
x
5) lim sin


x
x
không tồn tại
19
0
1)

0

Các dạng vô định
2)



3)
0

4)

  
5) 1


0
6) 0

0
7)


0

 
0

 
0

,0
f
x D x x

    
Định nghĩa. (giới hạn trái)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x
0
, nếu
| ( ) | .
f x a

  
0
lim ( )
xx
f x a



ký hiệu
0

 
0

 
0
,0
f

x D x x

    
Định nghĩa. (giới hạn phải)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x
0
, nếu
| ( ) | .
f x a

  
0
lim ( )
xx
f x a



ký hiệu
20
Ví dụ
1
1
lim
1
x
x


 


1
1
lim
1
x
x


 

Ví dụ
1/
0
lim 0
x
x
e



1/
0
lim
x
x
e


 

Ví dụ
0
sin
lim 1


x
x
x
0
sin
lim
| |
x
x
x
Không tồn tại
Vì
0 0
sin sin
lim lim 1
| |
 
 
 
x x
x x
x x
và
0 0

sin sin
lim lim 1
| |
 
 
  

x x
x x
x x
21
Định lý.
Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x
0
khi và chỉ khi nó có giới
hạn trái và giới hạn phải tại x
0
và chúng bằng nhau.
Chú ý
Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm không có giới hạn.
Chú ý.
Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường
hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc
hàm ghép.
Ví dụ.
Cho . Tìm
2 3, 0
( )
1
sin , 0

 







x x
f x
x x
x
0
lim ( )

x
f x
0 0
lim ( ) lim (2 3) 3
 
 
  
x x
f x x
0 0
1
lim ( ) lim sin 0
 
 
 

x x
f x x
x
Vậy không tồn tại giới hạn.
22
Ví dụ
Định nghĩa
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
0
x x

0
lim ( ) 0.
x x
f x


là một vô cùng bé khi , vì
0
x

3
( ) 3sin 2
f x x x
 


3
0

lim 3sin 2 0.
x
x x

 
Tính chất của VCB
1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB.
2) Tích của hai VCB là một VCB.
3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.
4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB.
23
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi .
0
x x

Giả sử
0
( )
lim .
( )


x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x).
0

k

( ) ( ( ))


f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCB cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.
1

k
( ) ( )

f x g x
Định nghĩa
2 4 2 3
( ) tan ; ( ) sin 2

   
f x x x g x x x
Vì .
2 4
2 3
0 0
( ) tan
lim lim 1.
( )
sin 2
 

 


x x
f x x x
g x
x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi .
0

x
3 2 2
( ) sin ; ( ) tan

   
f x x x g x x x
Vì .
2 3
2
0 0
( ) sin
lim lim 0.
( )
tan
 

 

x x
f x x x
g x

x x
Ví dụ
Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi .
0

x
24
2 2 2
( ) sin 2 ; ( ) tan 3

  
f x x x g x x
Vì .
2 2
2
0 0
( ) sin 2 1
lim lim .
( ) 3
tan 3
 

 
x x
f x x x
g x
x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .
0


x
1 2
( ) 1; ( ) 1

   
x
f x e g x x
Vì .
1
1 1
2
( ) 1 1
lim lim .
( )
2
1
 

 

 

x
x x
f x e
g x
x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .

1


x
1) sin

x x

Các vô cùng bé thường gặp khi
0
x

2) -1

x
e x

2
3) 1- cos
2

x
x 
4) ln(1 )

x x
 
5) (1 )
-1
x x



 
6) arcsin

x x

7) arctan

x x

8) tan

x x

Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi
0
x

9) sinh


x x
2
10) cosh 1
2

 
x
x

Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và
các giới hạn cơ bản.
25
Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
0
lim
Tổng hữu hạn các VCB
Tổng hữu hạn các VCB
x x
0
lim
VCB bậc của tử
VCB bậ
thấp nhất
thấp nhấ
c của m ãu
t
a


x x
Ví dụ.
Tính giới hạn
2 3
0
ln(1 tan )
lim
sin





x
x x
I
x x
2
ln(1 tan ) tan
  
x x x x x
2 3
0
ln(1 tan )
lim
sin


 

x
x x
I
x x
2
2
0
lim 1.

 
x

x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
0
ln(cos )
lim
ln(1 )



x
x
I
x
2
0
ln(1 cos 1)
lim
ln(1 )

 


x
x
I
x
2

0
cos 1
lim



x
x
x
2
2
0
/ 2 1
lim
2


  
x
x
x
2 3 2
sin


x x x