cơ ứng dụng - trường đại học bách khoa hồ chí minh

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Ngô Kiều Nhi (chủ biên) - Trương Tích Thiện










CƠ ỨNG DỤNG











NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2003

2
MỤC LỤC
Lời nói đầu 5
Phần A
Chương 1 ĐỘNG HỌC 7
1.1 Động học điểm 7
1.2 Bậc tự do và tọa độ suy rộng của cơ hệ 14
1.3 Các chuyển động cơ bản của vật rắn 16
1.4 Chuyển động phức hợp của vật rắn 18
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 21
Chương 2 CÁC CƠ CẤU THÔNG DỤNG 23
2.1 Một số khái niệm 23
2.2 Cơ cấu bốn khâu chứa các khớp loại 5 26
2.3 Cơ cấu ba khâu 31
2.4 Truyền động nhờ phần tử mềm 36
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 37
Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC 38
3.1 Tác động cơ học 38
3.2 Vít xoắn của hệ lực, vít xoắn động lực học của cơ hệ 44
3.3 Nguyên lý cơ bản động lực học 45
3.4 Phân loại các hệ lực 47
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 54
Chương 4 PHẢN LỰC LIÊN KẾT 55
4.1 Một số khái niệm 55
4.2 Nguyên lý cơ bản động lực học đối với vật chòu liên kết 56
4.3 Số lượng phương trình cân bằng 58
4.4 Số lượng ẩn trong bài toán xác đònh phản lực liên kết 62
4.5 Đặïc điểm hệ lực cân bằng gồm hai lực và ba lực 64
4.6 Xác đònh phản lực liên kết của hệ nhiều vật 66

Câu hỏi ôn tập lý thuyết 67
Hướng dẫn giải bài tập 67
Phần B
Chương 5 Các khái niệm cơ sở của Cơ học vật rắn biến dạng 74
5.1 Phương pháp mặt cắt 74
5.2 Trạng thái ứng suất tại một điểm 100
5.3 Trạng thái biến dạng tại một điểm 115
5.4 Đònh luật Húc 117
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 119
Hướng dẫn giải bài tập 121

3
Chương 6 Các chỉ tiêu bền 136
6.1 Đặc trưng cơ học của vật liệu 136
6.2 Các giả thuyết bền 141
6.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến phương pháp xác đònh ứng suất và chỉ tiêu bền146
6.4 Hiện tượng mỏi 150
6.5 Hiện tượng tập trung ứng suất 158
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 161
Hướng dẫn giải bài tập 161
Chương 7 Trạng thái ứng suất các điểm của thanh 163
7.1 Các tiên đề cơ sở 164
7.2 Biểu thức tính ứng suất pháp σ
z
167
7.3 Biểu thức tính ứng suất tiếp 185
7.4 Điều kiện bền 204
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 212
Hướng dẫn giải bài tập 214
Chương 8 Biến dạng của thanh 234

8.1 Mở đầu 234
8.2 Phương pháp tích phân phương trình vi phân 235
8.3 Phương pháp năng lượng 251
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 260
Hướng dẫn giải bài tập 261
Chương 9 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA THANH 339
9.1 Các khái niệm 339
9.2 Thanh tiết diện không đổi một nhòp chòu nén đúng tâm 340
9.3 Giới hạn công thức Euler - khái niệm độ mảnh 345
9.4 Phương pháp tính ổn đònh của thanh chòu nén 346
9.5 Thanh một nhòp chòu nén và uốn ngang phẳng đồng thời 348
9.6 Hiện tượng mất ổn đònh uốn vênh 353
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 357
Hướng dẫn giải bài tập 358
Phần C
Chương 10 TRUYỀN ĐỘNG ĐAI 374
10.1 Khái niệm chung 374
10.2 Những vấn đề cơ bản của lý thuyết truyền động đai 376
10.3 Tính truyền động đai 381
10.4 Trình tự thiết kế truyền động đai 385
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 398
Chương 11 TRUYỀN ĐỘNG XÍCH 399

4
11.1 Khái niệm chung 399
11.2 Các chi tiết máy trong bộ truyền xích 399
11.3 Những thông số chính của bộ truyền 403
11.4 Tính truyền động xích 407
11.5 Lực tác dụng trong truyền động xích 409
11.6 Trình tự thiết kế bộ truyền xích 410

Câu hỏi ôn tập lý thuyết 412
Chương 12 TRUYỀN ĐỘNG BÁNH RĂNG 413
12.1 Đại cương và phân loại 413
12.2 Cơ cấu bánh răng 415
12.3 Trình tự thiết kế bộ truyền bánh răng 435
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 436
Chương 13 TRỤC - Ổ ĐỢ 437
13.1 Trục 437
13.2 Ổ trục 445
Câu hỏi ôn tập lý thuyết 457
Phụ lục 459
Tài liệu tham khảo 487
















5
LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học, là ngành khoa học nghiên cứu sự chuyển động của vật chất trong
không gian theo thời gian. Các ứng dụng của cơ học trong kỹ thuật có thể chia
làm hai hướng chính:
- Nghiên cứu sự chuyển động của vật thể, của các bộ phận của máy móc
- Nghiên cứu về độ bền của các bộ phận máy móc, công trình.
Người kỹ sư luôn phải đối mặt với nhiệm vụ quản lý, sử dụng máy móc,
công trình, nên dù thuộc ngành nào cũng phải có kiến thức về cơ học.
Cuốn sách CƠ ỨNG DỤNG sẽ cung cấp cho độc giả các kiến thức cần
thiết về cơ học, mà nền tảng cơ sở kiến thức của ngành không phải là cơ học.
Mục tiêu của tài liệu này nhằm giúp cho người học có khái niệm về hai hướng
ứng dụng nêu trên của cơ học để: một là hiểu được cách vận hành của các bộ
phận của máy, hai là có khái niệm về các chỉ tiêu bền cơ học để sử dụng thiết
bò, máy móc công trình một cách an toàn.
Cơ học quan niệm vật chất thuộc một trong các dạng (hay còn gọi là mô
hình) sau:
1- Chất điểm, khi kích thước hình học được coi là rất bé, có thể bỏ qua, toàn bộ
khối lượng tập trung vào một điểm.
2- Vật rắn tuyệt đối, khi khoảng cách giữa các điểm luôn không đổi trong quá
trình chuyển động của chúng.
3- Vật rắn biến dạng, khi khoảng cách giữa các điểm có thay đổi song vô cùng
bé so với kích thước của toàn vật.
4- Lưu chất, khi sự thay đổi khoảng cách giữa hai điểm không thể cho là vô
cùng bé, đây là dạng của vật chất ở thể khí hay lỏng.
Cuốn sách gồm 3 phần, và trình bày tập trung vào các vấn đề liên quan
đến 3 dạng đầu tiên.
Phần A. Mục tiêu của phần này là trang bò các công cụ cơ bản để sinh
viên hiểu được sự chuyển động của các bộ phận của máy móc. Phần này được
trình bày trong các chương 1, 2, 3, 4.
Phần B. Mục tiêu của phần này là trang bò các kiến thức, khái niệm về độ
bền cơ học của vật thể, các chỉ tiêu và cách tính toán chúng. Phần này được

trình bày trong các chương 5, 6, 7, 8, 9.
Phần C. Trong phần này, sinh viên làm quen với các bộ truyền cơ khí phổ
biến nhất và cách tính toán chúng trong kỹ thuật theo quy phạm. Phần này được
trình bày trong các chương 10, 11, 12, 13.
Để giúp sinh viên, cuối mỗi chương có nêu các câu hỏi để hướng dẫn

6
người học ôn tập lý thuyết. Yêu cầu về kỹ năng tính toán trong cuốn sách này
chỉ đưa ra đối với việc tính độ bền. Vì vậy cuối các chương của phần B đều có
phần hướng dẫn cách giải bài tập. Mục tiêu chính của việc hướng dẫn giải bài
tập được tác giả tập trung vào phần hướng dẫn phương pháp phân tích cơ hệ, và
trình tự thực hiện giải đối với từng loại cơ hệ.
Phần A và phần B do PGS TS Ngô Kiều Nhi biên soạn.
Phần C do TS Trương Tích Thiện biên soạn.
Các tác giả bày tỏ sự cám ơn chân thành đến các đồng nghiệp thuộc
Phòng Thí nghiệm Cơ học ứng dụng và Tổ Giáo trình Trường Đại học Bách
khoa - Đại học Quốc gia TP HCM đã giúp đỡ rất nhiều cho việc hoàn tất cuốn
sách này.
Các tác giả hân hạnh được tiếp nhận mọi ý kiến đóng góp, xin vui lòng
gởi đến đòa chỉ: Phòng Thí nghiệm Cơ học ứng dụng Trường Đại học Bách khoa
- Đại học Quốc gia TP HCM, 268 Lý thường Kiệt, Q.10. ĐT: (08) 8 637 868.
Các tác giả

7
Phần A
Chương 1
ĐỘNG HỌC
1.1 ĐỘNG HỌC ĐIỂM
1.1.1 Các khái niệm và các đặc trưng chuyển động của điểm
Động học là một phần của cơ học nghiên cứu cách biểu thò vò trí trong
không gian của các đối tượng khảo sát. Sự thay đổi vò trí theo thời gian thì gọi là
chuyển động. Vì vậy việc xác đònh vò trí trong cả một quá trình thì gọi là xác
đònh chuyển động.
Vò trí của đối tượng khảo sát, dù là điểm hay là vật rắn, luôn phải được
xác đònh trong điều kiện được chỉ rõ trước đối với vật thể nào – vật thể được
chọn để từ đó ta xác đònh vò trí của đối tượng khảo sát, được gọi là vật quy
chiếu hay hệ quy chiếu.

Hình1.1: Chuyển động của điểm M đối với vật A
Ví dụ, nếu ta chọn vật A làm hệ quy chiếu để khảo sát chuyển động của
M như trên hình 1.1a thì chuyển động này được gọi là chuyển động đối với A,
hay chuyển động trong hệ quy chiếu A. Nếu trong bài toán khảo sát, vật A được
cho biết là đứng yên thì A được gọi là hệ quy chiếu cố đònh hay vắn tắt là hệ cố
đònh hay hệ quy chiếu, ngược lại nếu A được cho biết là chuyển động thì A được

gọi là hệ quy chiếu động, hay hệ động. Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu cách
biểu thò chuyển động của điểm M trong hệ cố đònh, tức A được cho là đứng yên.
Trên các hình vẽ, một phần đường bao vật quy chiếu cố đònh luôn được quy ước
ký hiệu thêm các vạch chéo bên cạnh, ví dụ như trên hình 1.1b thì đường bao
biểu thò vật A được kèm theo các vạch chéo, hay trên hình 1.1c các trục toạ độ
của hệ trục tọa độ Đề Các được thiết lập gắn chặt với A cũng được kèm theo
các vạch chéo.
Để hiểu được toàn bộ sự chuyển động và các đặc điểm chuyển động của

8
điểm, người ta dùng các đại lượng sau:

Hình 1.2: Biểu thò chuyển động của điểm
1- Véctơ đònh vò của điểm, là véctơ nối từ một điểm thuộc hệ quy chiếu,
điểm O trên hình 1.2, đến điểm M được khảo sát, véctơ này ta ký hiệu là
r
r
.
2- Khi điểm M thay đổi vò trí từ thời điểm này sang thời điểm khác thì
véctơ đònh vò
r
r
của nó cũng sẽ thay đổi. Hàm
r
r
theo thời gian:

r
r
=

r
r
(t) (1.1)
được gọi là phương trình chuyển động của điểm. Nếu ta có được hàm (1.1) thì
tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng xác đònh được vò trí của điểm M khảo sát, do
vậy phương trình chuyển động thể hiện toàn bộ chuyển động của điểm.
3- Quỹ đạo của điểm là quỹ tích các điểm thuộc hệ quy chiếu trùng với vò
trí của điểm khảo sát tại các thời điểm khác nhau.
4- Vận tốc hay véctơ vận tốc, ký hiệu là
v
r
, là đại lượng được xác đònh
bởi biểu thức sau:

dr
v
dt
=
r
r
(1.2)
5- Gia tốc hay véctơ gia tốc, ký hiệu là
u
ur
W
, là đại lượng xác đònh bởi các
công thức sau:

dv
W

dt
=
r
uur
(1.3)
hay
dr
W
dt
=
2
2
r
uur
(1.4)
1.1.2 Đặc điểm của véctơ vận tốc và véctơ gia tốc
1- Tiếp tuyến và mặt phẳng mật tiếp


9
Hình 1.3: Tiếp tuyến và mặt phẳng mật tiếp
Theo hình học giải tích thì tại mỗi điểm trên một đường cho trước tồn tại một
tiếp tuyến và một mặt phẳng mật tiếp của đường đó. Tiếp tuyến và mặt phẳng
mật tiếp tại điểm A của đường L (H.1.3) được đònh nghóa như sau:
a) Tiếp tuyến tại A của L: ký hiệu Δ
r
r
, là véctơ nối giữa điểm A và điểm A1
rất gần điểm A, cũng thuộc đường L. Khi A1 tiến đến A thì phương của Δ
r

r
tiến tới
vò trí giới hạn, phương này gọi là phương tiếp tuyến tại A của L. Đường thẳng có
phương trùng với phương tiếp tuyến tại A được gọi là đường tiếp tuyến của L tại A.
Véctơ đơn vò trên đường tiếp tuyến, ký hiệu là
τ
r
, gọi là véctơ tiếp tuyến đơn vò của
L tại A. Khi L là đường thẳng thì tiếp tuyến có phương trùng với L.
b) Mặt phẳng mật tiếp của L tại A: biểu thò
1
τ
u
ur
là véctơ tiếp tuyến đơn vò
của L tại A1. Di dời gốc của
1
τ
u
ur
từ A1 đến A, và kẻ mặt phẳng chứa
τ
r
và
1
τ
u
ur

đặt gốc tại A. Khi cho A1 tiến đến A thì mặt phẳng này sẽ tiến đến vò trí giới

hạn, gọi là mặt phẳng mật tiếp của L tại A. Trong trường hợp đường L nằm
hoàn toàn trong một mặt phẳng, L được gọi là đường cong phẳng, thì mặt phẳng
mật tiếp tại tất cả mọi điểm của đường cong đều trùng nhau và trùng với mặt
phẳng chứa đường cong. Khi đường L là đường thẳng thì mặt phẳng mật tiếp thu
về thành một đường trùng với L.
2- Phương của véctơ vận tốc và các véctơ gia tốc
Giả sử L là quỹ đạo của điểm M. Giả sử tại thời điểm khảo sát, điểm M
có vò trí tại điểm A của đường L, và sau một khoảng thời gian Δt, điểm M có vò
trí tại A1 của L. Từ công thức (1.2) ta thấy:

t
dr r
v
dt t
lim
Δ→
Δ
==
Δ
0
rr
r
(a)
Từ công thức (a) ta thấy phương của
v
r
là phương của Δ
r
r
khi Δt→0. Tuy

nhiên khi Δt → 0 thì A1 → A. Theo đònh nghóa về tiếp tuyến nêu ở trên thì
phương giới hạn của Δ
r
r
chính là phương tiếp tuyến của L tại A. Vậy phương của
r
v
trùng với phương tiếp tuyến của L tại A. Vì vậy
v
r
còn được viết dưới dạng:

vv.=τ
rr
(1.5)
hay
t
r
v
t
. lim
Δ→
Δ
=τ
Δ
0
rr

Nếu ký hiệu chiều dài cung đo giữa A1 và A trên L, nhắc lại L bây giờ là
quỹ đạo của điểm M, là Δs thì ta có thể cho rằng:

Δr ≈ Δs (b)

10
Với (b), từ công thức (1.5) và (1.6) ta có:

tt
rs
vs
tt
lim lim
Δ→ Δ→
ΔΔ
===
ΔΔ
00
&
(1.7)
s là giá trò đo trên đường L từ vò trí điểm M đến một điểm O trên L (H.1.4).

Hình 1.4: Vò trí điểm M trên quỹ đạo
Giá trò s là giá trò đại số, có dấu (+) hay (-) do quy đònh phía nào là (+),
phía nào là (-) so với vò trí gốc O. Phương của véctơ vận tốc của điểm M tại A
trùng với
τ
r
và tại A1 trùng với
1
τ
r
(H.1.5). Ta viết lại công thức (1.3) như sau:

Hình 1.5: Phương của véctơ Δ
v
r


t
v
W
t
lim
Δ→
Δ
=
Δ
0
r
uur
(c)
Từ công thức (c), ta thấy phương của
W
u
ur
trùng với phương của Δ
v
r
khi
Δt→0, tức khi A1 → A. Dòch chuyển
v
1

u
ur
song song cho có gốc tại A (H.1.5) thì
Δ
v
r
nằm trong mặt phẳng chứa
τ
τ
1
và
r
uur
. Khi A1 → A thì mặt phẳng này, theo
đònh nghóa về mặt phẳng mật tiếp nêu ở trên, trở thành mặt phẳng mật tiếp của
L tại A. Vậy véctơ
W
uur
nằm trong mặt phẳng mật tiếp của L tại A. Lưu ý phương
Δ
v
r
, ta nhận thấy Δ
v
r
hướng về bề lõm của quỹ đạo, vậy
W
u
ur
cũng hướng về bề

lõm của quỹ đạo.
Ta thiết lập mặt phẳng tọa độ trong mặt phẳng mật tiếp có trục tọa độ τ,
được gọi là trục tiếp tuyến (H.1.6) trùng phương với tiếp tuyến đơn vò
τ
r
và trục
n vuông góc với trục τ, có chiều hướng về phía phía bề lõm của quỹ đạo.


11
Hình 1.6: Biểu thò
v
r
và
W
u
ur
trong hệ trục tọa độ tự nhiên
Trục n được gọi là trục pháp tuyến chính, ta ký hiệu véctơ đơn vò chỉ
phương của trục n là
n
ur
và gọi là véctơ pháp tuyến chính đơn vò . Hệ trục tọa độ
τ - n được gọi là hệ trục tọa độ tự nhiên.
Biểu thò
v
r
và
W
uur

bởi tổng các thành phần của chúng trên trục tiếp tuyến
và trục pháp tuyến chính, thì
v
r
được viết như trong công thức (1.5), còn
W
uur
thì:

n
WW W
τ
=+
uuur uuuur
uur
(1.8)
trong đó
W
τ
uuur
được gọi là véctơ gia tốc tiếp tuyến hay vắn tắt là gia tốc
tiếp, còn
n
W
uuuur
là véctơ gia tốc pháp tuyến hay gia tốc pháp.
Các véctơ
W
τ
uuur

và
n
W
u
uuur
còn được viết ở dạng:

τ
=τ
uurr
WW.
(1.9)

n
WnW.=
uurur
(1.10)
Nếu vò trí của M trên quỹ đạo L được xác đònh bằng hàm s(t), thì từ giáo
trình vật lý ta đã biết:

d
Wstst
dt
() ()
τ
==
2
2
&&
(1.11)

n
vst
W
()
==
ρρ
2
&
(1.12)
Trong công thức (1.12) thì ρ là bán kính cong của L tại vò trí của M trên
quỹ đạo L. Trường hợp L là một đường tròn thì ρ chính là bán kính của đường
tròn. Nếu ký hiệu bán kính đường tròn là R thì trong trường hợp này gia tốc
pháp được tính theo công thức sau:

()
n
s
v
W
RR
==
2
2
&
(1.13)
1.1.3 Các phương pháp thể hiện phương trình chuyển động
Như trong mục 1.1.1 đã đưa ra đònh nghóa, phương trình chuyển động là
hàm theo thời gian cho ta biết vò trí của điểm tại mọi thời điểm. Tùy theo cách
thể hiện vò trí mà ta có các cách, hay các phương pháp, thể hiện phương trình

chuyển động. Về bản chất , thì vò trí phải được thể hiện bởi đại lượng véctơ, tức
véctơ đònh vò đã nêu trong mục 1.1.1, nên phương pháp chung là phương pháp

12
véctơ. Tuy nhiên để tính toán thì ta phải chuyển từ đại lượng véctơ sang đại
lượng đại số. Trong mục này chỉ trình bày các phương pháp được dùng phổ
biến.
1- Phương pháp véctơ
Phương pháp này đã trình bày trong mục 1.1.1, ở đây chỉ nhắc lại vắn tắt.
Theo phương pháp này thì phương trình chuyển động có dạng (theo công thức 1.1):

rrt()=
rr
(d)
với
r
r
- véctơ đònh vò của điểm trong hệ quy chiếu.
Véctơ vận tốc
v
r
, theo công thức (1.2), được xác đònh như sau:

dr
v
dt
=
r
r
(e)

Véctơ gia tốc
W
uur
, theo công thức (1.3), được xác đònh như sau:

dv d r
W
dt
dt
==
2
2
rr
uur
(f)
2- Phương pháp tọa độ Đề Các
Thành lập trong hệ quy chiếu một hệ trục tọa độ Đề Các gắn chặt với hệ
quy chiếu như trên hình 1.1c. Các trục tọa độ ký hiệu là x, y, z và các véctơ đơn
vò chỉ phương của chúng lần lượt là
i
r
,
j
r
,
k
r
(H.1.7).

Hình 1.7: Biểu thò vò trí của điểm trong hệ trục tọa độ Đề Các

Khi này ta có thể phân véctơ
r
r
thành 3 véctơ thành phần theo các
phương của trục x, y, z:

13

rixjykz =+ +
rr r r
(1.14)
Trong công thức (1.14) thì x, y, z là tọa độ của ngọn véctơ
r
r
trên các trục
x, y, z. Nếu tại mỗi thời điểm ta đều biết được tọa độ x, y, z thì ta luôn xác đònh
được vò trí của điểm M. Do vậy phương trình chuyển động của điểm sẽ là tập
hợp các phương trình sau:

x
xt
y
yt
z
zt
()
()
()
=
⎫

⎪
=
⎬
⎪
=
⎭
(1.15)
Tập hợp (1.15) được gọi chung là phương trình chuyển động của điểm
theo phương pháp tọa độ Đề Các.
Dễ dàng thấy rằng nếu phương trình (1.14) đã được biết thì véctơ đònh vò
r
r
được xác đònh như sau:
+ Độ lớn của
r
r
:
r = (x2 + y2 + z2)1/2 (1.16)
+ Phương chiều của
r
r
được xác đònh bằng các góc hợp giữa
r
r
với các
trục x, y, z, (hay với các véctơ
i
r
,
j

r
,
k
r
) thông qua đại lượng lượng giác cosin
của chúng, gọi là các cosin chỉ hướng:

ri x r
rj yr
rk z r
cos( , ) /
cos( , ) /
cos( , ) /
⎫
=
⎪
⎪
=
⎬
⎪
=
⎪
⎭
rr
rr
rr
(1.17)
Không phải lúc nào phương trình chuyển động cũng cần thể hiện đầy đủ
bởi ba phương trình trên. Trong trường hợp điểm chỉ chuyển động trong một mặt
phẳng thì ta chỉ cần thiết lập trong mặt phẳng này hai trục tọa độ Đề Các

(H.1.8), vò trí của điểm chỉ cần xác đònh bởi hai tọa độ x, y. Vậy phương trình
chuyển động là tập hợp hai phương trình sau:

x
xt
y
yt
()
()
=
⎫
⎬
=
⎭
(1.18)

14

Hình 1.8: Điểm chuyển động trong mặt phẳng
Hoặc khi điểm chỉ chuyển động trên một đường thẳng, ký hiệu trục x
trùng với đường thẳng quỹ đạo này, thì phương trình chuyển động chỉ chứa một
phương trình:
x = x(t) (1.19)
3- Phương pháp tọa độ tự nhiên
Phương pháp này được dùng khi quỹ đạo đã biết, đường quỹ đạo là một
đường cong bất kỳ, phẳng hay không gian, hoặc có thể là thẳng. Lúc này đường
quỹ đạo được chọn làm trục tọa độ, thường được ký hiệu là tọa độ s (H.1.9).

Hình 1.9: Biểu thò chuyển động của điểm theo phương pháp
tọa độ tự nhiên

Khi này vò trí của điểm chỉ cần thể hiện bởi tọa độ s và phương trình
chuyển động là:
s = s(t) (1.20)
Phương trình (1.20) được gọi là phương trình chuyển động theo phương
pháp tọa độ tự nhiên. Các véctơ vận tốc
v
r
và gia tốc
W
u
ur
, như đã trình bày
trong mục 1.1.2, được xác đònh bởi các công thức (1.5), (1.7), (1.8) ÷ (1.13).
1.2 BẬC TỰ DO VÀ TỌA ĐỘ SUY RỘNG CỦA CƠ HỆ
1- Bậc tự do
Sau đây ta sẽ làm quen với một số khái niệm cơ học.
Cơ hệ là tập hợp các chất điểm trong bài toán khảo sát. Cơ hệ đơn giản
nhất là cơ hệ chỉ có một điểm, như ta đã quan sát trong mục 1.1. Tuy nhiên,
trong thực tế ta sẽ gặp phần lớn các cơ hệ có vô số điểm. Vấn đề đặt ra là, để

15
xác đònh chuyển động của mọi điểm trong cơ hệ khảo sát, thì ta cần xử dụng
bao nhiêu tọa độ. Như ta đã thấy trong mục 1.1.3, tùy theo dạng quỹ đạo
chuyển động của điểm trong không gian, trong mặt phẳng, hay có quỹ đạo đã
được biết trước, mà ta cần sử dụng ba, hai hoặc một tọa độ để biểu thò vò trí của
điểm, và qua đó thiết lập phương trình chuyển động. Số lượng của các tọa độ đó
được gọi là bậc tự do của cơ hệ.

Hình 1.10: Hệ nhiều điểm rời rạc
Chẳng hạn ta có hai điểm M, N chuyển động trong cùng một mặt phẳng

(H.1.10a), thì số tọa độ cần thiết để biểu thò vò trí của chúng phải là 4; còn trong
hình 1.10b khi điểm M và N chuyển động trong không gian thì số tọa độ cần
thiết phải là 6, tức bậc tự do của chúng là 6. Trong trường hợp ta có cơ hệ các
điểm nối cứng với nhau (vật rắn tuyệt đối) thì số bậc tự do sẽ giảm rất nhiều so
với hệ các điểm có khoảng cách giữa chúng thay đổi, gọi là hệ rời rạc. Ví dụ,
hệ hai điểm M và N có khoảng cách giữa chúng không đổi, cùng chuyển động
trong mặt phẳng (H.1.11a), thì ta chỉ cần ba tọa độ trong số bốn tọa độ Đề Các
xM, yM, xN, yN để biểu thò vò trí của hai điểm, tức bậc tự do còn lại là 3.

Hình 1.11: Hệ nhiều điểm nối cứng
Tương tự hệ hai điểm nối cứng chuyển động trong không gian như trên
hình 1.11b thì bậc tự do là 5. Từ đây ta chứng minh dễ dàng hệ gồm các điểm
nối cứng tạo thành một hình phẳng A chuyển động trong mặt phẳng của nó
(H.1.11a) có bậc tự do là 3, dù số điểm được cho là bao nhiêu. Hình phẳng A
chuyển động bất kỳ trong không gian (H.1.11b) thì có bậc tự do bằng 6. Hơn thế
nữa, vật rắn tuyệt đối chuyển động trong không gian có bậc tự do cũng là 6.
2- Tọa độ suy rộng
Tọa độ suy rộng là các tọa độ được chọn để biểu thò vò trí của mọi điểm
thuộc cơ hệ mà hoàn toàn độc lập đối với nhau. Số lượng các tọa độ suy rộng,
do vậy, bằng đúng số bậc tự do của cơ hệ. Các tọa độ suy rộng không nhất thiết

16
là các tọa độ theo chiều dài, mà còn là các tọa độ góc. Việc chọn lựa các tọa
độ suy rộng cũng rất đa dạng. Ví dụ, hệ hai điểm M, N nối cứng trên hình 1.11a
có bậc tự do là 3, ta có thể chọn ba trong bốn tọa độ Đề Các của điểm M, N làm
tọa độ suy rộng, hoặc chọn hai tọa độ của điểm M và góc ϕ hợp bởi phương của
đường MN với trục x, tức chọn tập các tọa độ suy rộng sau: xM, yM, ϕ. Sau khi
đã chọn xong các tọa độ suy rộng thì các hàm của chúng theo thời gian sẽ là
phương trình chuyển động của cơ hệ khảo sát. Trong trường hợp trên hình 1.11a
thì phương trình chuyển động sẽ là:

MM
MM
x
xt
y
yt
t
()
()
()
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
ϕ=ϕ
⎭
(1.21)
Đạo hàm của tọa độ suy rộng theo thời gian được gọi là vận tốc suy rộng,
đạo hàm của vận tốc suy rộng theo thời gian được gọi là gia tốc suy rộng.
1.3 CÁC CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
Vật rắn được hiểu trong chương này là vật rắn tuyệt đối. Các dạng
chuyển động sau đây được gọi là các chuyển động cơ bản:
1- Chuyển động quay quanh trục cố đònh
Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động
quay quanh trục cố đònh nếu tồn tại tập hợp các điểm
thuộc vật luôn đứng yên và nằm trên cùng một đường
thẳng, đường này được gọi là trục quay. Bậc tự do của

vật chuyển động quay quanh trục cố đònh bằng 1, do
vậy số tọa độ suy rộng bằng 1. Trong thực tế đại lượng
được chọn làm tọa độ suy rộng là góc ϕ, góc hợp bởi
hai mặt phẳng chứa trục quay (H.1.12), một mặt gắn
với hệ quy chiếu, và một mặt gắn với vật. Phương trình
chuyển động của vật quay:
ϕ = ϕ(t) (1.22)
góc ϕ được gọi là góc quay của vật.
Đạo hàm của góc quay theo thời gian được gọi là vận tốc góc của vật, ký
hiệu là ω:

d
dt
ϕ
ω=
(1.23)
Đạo hàm của vận tốc góc được gọi là gia tốc góc của vật, ký hiệu là ε:

d
dt
ω
ε=
(1.24)

17
Lưu ý công thức (1.23), thì ε còn được viết ở dạng

d
dt
ϕ

ε=
2
2
(1.25)
Khi phương trình chuyển động (1.22) đã được cho thì vò trí, vận tốc, gia
tốc của bất kỳ điểm nào thuộc vật cũng sẽ được xác đònh.
Giả sử ta khảo sát điểm M thuộc vật nằm cách trục quay
một khoảng là R. Dễ dàng thấy rằng quỹ đạo của điểm
M là đường tròn bán kính R nằm trong mặt phẳng vuông
góc với trục quay, có tâm nằm trên trục quay. Vì quỹ
đạo đã biết nên ta chọn phương pháp tọa độ tự nhiên để
biểu thò chuyển động của điểm M. Vò trí của M trên quỹ
đạo thể hiện bởi tọa độ s (H.1.13), đó là độ dài cung trên
quỹ đạo chắn góc ϕ. Ta sẽ có:
+ Phương trình chuyển động của điểm:
s = R.ϕ(t) (1.26)
+ Vận tốc của điểm tính theo (1.5)

vv.=τ
rr

trong đó v tính theo công thức (1.7)

v = =
ϕ
=ω
&&
s
RR (1.27)
phương của véctơ vận tốc

v
r
vuông góc với đường O1M, O1 - tâm của đường
tròn quỹ đạo. Nếu ω > 0 thì
v
r
hướng theo chiều tăng của s, còn khi ω < 0 thì
ngược lại.
+ Gia tốc của điểm biểu thò theo công thức (1.8)

n
WW W
τ
=+
uuur uuuur
uur

trong đó:
τ
ττ τ
⎧
⎪
ε
>ε<
⎨
⎪
=τ = = ε
⎩
uuur
uuur

r
&&
uuuur
1
1
n
Phương : vuông góc với O M
W : Chiều : theo hướng tăng của s nếu 0, và ngược lại nếu 0
Độ lớn : W .W , với W s R.
Phương : trùng với O M
W : Chiều : theo
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
====ω
⎪
⎩
uuuur
ur
&
v
1
22
nn n 2
hướng từ M đến O
(s)

Độ lớn : W n.W , với W R.
RR


18
2- Chuyển động tònh tiến
Chuyển động của vật mà mọi đường thẳng thuộc vật di chuyển song song
với chính nó thì gọi là chuyển động tònh tiến. Khi vật đang chuyển động tònh
tiến thì véctơ vận tốc, véctơ gia tốc của mọi điểm thuộc vật là bằng nhau và
quỹ đạo của mọi điểm thuộc vật là giống nhau. Chính vì vậy mà ta chỉ cần biểu
thò chuyển động của vật bởi chuyển động của một điểm thuộc nó.

Hình 1.14: Vật chuyển động tònh tiến
Vận tốc , gia tốc của mọi điểm thuộc vật thì được gọi là vận tốc tònh tiến
và gia tốc tònh tiến của toàn vật.
1.4 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HP CỦA VẬT RẮN
1- Một số khái niệm
Các dạng chuyển động của vật rắn khác với hai dạng nêu trong mục 1.3
đều được gọi là chuyển động phức hợp. Đối với chuyển động phức hợp người ta
luôn đưa vào, một cách tưởng tượng, các hệ quy chiếu động phụ để chuyển
động đó có thể được coi là chuyển động của vật khảo sát đối với hệ quy chiếu
động, hệ động này lại chuyển động đối với hệ được coi là cố đònh (H.1.15).
Ngoài ra, sự chuyển động của vật này đối với vật kia đều cố gắng sao cho là
thuộc dạng chuyển động cơ bản.

Hình 1.15: Chuyển động phức hợp của vật rắn khảo sát
Cách phân tích chuyển động phức hợp như trên hình 1.15 được mở rộng
cho trường hợp tổng quát: vật khảo sát chuyển động đối với hệ động thứ 1, hệ
động thứ 1 chuyển động đối với hệ động thứ 2, hệ động thứ 2 chuyển động đối
với hệ động thứ 3, …, và cuối cùng hệ động thứ n-1 chuyển động đối với hệ thứ

19
n cố đònh. Khái niệm chuyển động phức hợp cũng được xem xét cho điểm
tương tự như đối với vật.
2- Chuyển động song phẳng
Vật rắn khảo sát có chuyển động gọi là chuyển động song phẳng khi mọi
điểm thuộc vật đều có khoảng cách không đổi đến cùng một mặt phẳng quy
chiếu.

Hình 1.16: Vật chuyển động song phẳng
Giả sử ta ký hiệu mặt quy chiếu đó là Q (H.1.16a). Từ đònh nghóa trên về
chuyển động song phẳng, ta thấy bất kỳ tiết diện nào của vật song song với mặt
phẳng Q, khi vật chuyển động thì luôn chuyển động trong mặt phẳng chứa nó.
Trên hình 1.16, biểu diễn tiết diện A chứa các điểm thuộc vật cùng cách Q
khoảng cách hM , tiết diện này sẽ luôn chuyển động trong mặt phẳng chứa nó.
Đồng thời ta cũng thấy mọi điểm nằm trên cùng đường vuông góc với Q có
cùng quỹ đạo, vận tốc, gia tốc. Do vậy, để khảo sát chuyển động của mọi điểm
thuộc vật chỉ cần khảo sát chuyển động của các điểm thuộc một tiết diện A nào
đó song song với Q (H.1.16b).
Ta thiết lập hệ trục tọa độ Đề Các Oxyz cố đònh, tức gắn chặt với hệ quy
chiếu cố đònh, có trục z vuông góc với mặt phẳng chứa A và mặt phẳng tọa độ
xy nằm trong mặt phẳng chứa A (H.1.16 b).
Vì tiết diện A luôn chuyển động trong mặt phẳng chứa nó, nên, như trong
phần 1 mục 1.2 ta đã biết, bậc tự do của tiết diện A , tức của cả vật , bằng 3, và
các tọa độ suy rộng cùng phương trình chuyển động giống như phương trình
(1.21):

MM
MM
x

xt
y
yt
t
()
()
()
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
ϕ=ϕ
⎭
(1.30)
Phương trình (1.30) bây giờ là phương trình chuyển động song phẳng.

20
Dưới đây ta sẽ phân tích chuyển động song phẳng theo phương hướng đã nêu
trong phần 1 mục 1.4. Gán tưởng tượng vào cơ hệ khảo sát một hệ động chuyển
động tònh tiến theo quy luật chuyển động của điểm M, Tức quỹ đạo, vận tốc, gia
tốc mọi điểm của hệ động này giống hệt các đại lượng tương ứng của điểm M.
Ta thiết lập tiếp hệ trục tọa độ Đề Các gắn chặt với hệ động có gốc tại M, ký
hiệu là hệ trục Mx
1
y
1
z
1

, sao cho các trục x
1
, y
1
, z
1
song song với các trục x, y, z
của hệ trục tọa độ cố đònh. Vì hệ động chuyển động tònh tiến nên phương các
trục x
1
, y
1
, z
1
luôn giữ song song với x, y, z từng đôi tương ứng. Phương của một
đường bất kỳ thuộc hình phẳng A hợp với trục x thế nào, thì cũng hợp với trục
x
1
như thế. Như vậy đối với hệ động thì hình phẳng A chuyển động quay quanh
trục cố đònh trùng với trục z
1
, với quy luật ϕ = ϕ(t), phương trình cuối trong công
thức (1.30). Mặt khác hệ động lại chuyển động tònh tiến theo quy luật chuyển
động của điểm M, tức quy luật chuyển động của hệ động thể hiện bởi hai
phưong trình đầu của công thức (1.30):
x
M
= x
M
(t)

y
M
= y
M
(t)
Tóm lại, ta đã phân tích chuyển động song phẳng thành hai chuyển động
cơ bản như sau: vật (hay hình phẳng A) chuyển động quay đối với hệ động,
trong lúc hệ động lại chuyển động tònh tiến đối với hệ cố đònh. Ta cũng nhận
thấy rằng trong số các phương trình chuyển động của vật thì một số phương
trình thể hiện chuyển động của vật đối với hệ động, một số phương trình thể
hiện chuyển động của hệ động đối với hệ cố đònh.
3- Chuyển động quay quanh các trục giao nhau tại một điểm cố đònh
Xét trường hợp vật thực hiện chuyển động như sau: quay quanh trục thứ
nhất , ký hiệu trục Δ
1
(H.1.17), trong lúc trục Δ
1
quay quanh trục Δ
2
, …, và trục Δ
n-1

quay quanh trục Δ cố đònh. Các trục Δ
1
, …, Δ
n-1
, Δ giao nhau tại một điểm O,
điểm này có vò trí cố đònh trên mỗi trục.

21
Hình 1.17: Vật quay quanh các trục giao nhau tại một điểm cố đònh
Dạng chuyển động như vậy được gọi là chuyển động quay quanh các trục
giao nhau tại một điểm cố đònh. Sau đây là một số đặc điểm của dạng chuyển
động này:
a) Xét một điểm M bất kỳ thuộc vật, ta nhận thấy khoảng cách từ M đến
điểm O cố đònh luôn không đổi. Vì vậy quỹ đạo của M nằm trên mặt cầu bán
kính OM. Vậy mọi điểm thuộc vật đều chuyển động trên các mặt cầu. Vì lý do
này mà chuyển động quay quanh các trục giao nhau tại một điểm cố đònh còn
được gọi là chuyển động cầu.
b) Trong chuyển động này chỉ có một điểm duy nhất thuộc vật đứng yên,
đó là điểm O. Vì lý do này mà chuyển động khảo sát còn có một tên gọi thứ ba
nữa là chuyển động có một điểm cố đònh.
c) Khi điểm O ở xa vô cùng thì các trục quay song song nhau. Vậy chuyển
động của vật quanh các trục song song nhau là trường hợp đặc biệt của chuyển
động quay quanh các trục giao nhau tại một điểm cố đònh.
CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ THUYẾT
1. Trong những trường hợp nào thì 1 vật thể được coi là 1 điểm, cho ví dụ.
2. Hãy nêu các đặc trưng động học của điểm.
3. Câu: “Cho biết chuyển động của điểm” có ý nghóa cung cấp đại lượng gì.
4. Câu: “Hãy xác đònh chuyển động của điểm” có nghóa phải xác đònh gì.
5. Khi nào thì chuyển động của điểm nên biểu diễn trong hệ tọa độ tự nhiên.
6. Khi quỹ đạo của điểm đã biết thì véctơ vận tốc và véctơ gia tốc có phương như
thế nào.
7. Trong trường hợp nào thì véctơ vận tốc của điểm trùng phương với véctơ gia tốc.
8. Hãy phân biệt 3 khái niệm sau: véctơ gia tốc (hay véctơ gia tốc toàn phần),
véctơ gia tốc pháp, véctơ gia tốc tiếp.
9. Khái niệm “Cơ hệ” có nghóa là gì.
10. Bậc tự do của cơ hệ là gì. Cho một số ví dụ.
11. Bậc tự do tối đa của 1 điểm bằng bao nhiêu.

12. Vật rắn tuyệt đối là gì. Bậc tự do tối đa bằng bao nhiêu.
13. Tọa độ suy rộng của cơ hệ là gì. Số lượng tọa độ suy rộng bằng bao nhiêu.
14. Hãy nêu đònh nghóa và tính chất của chuyển động tònh tiến. Vì sao vật chuyển
động tònh tiến có thể được coi như một điểm.
16. Phân biệt 2 khái niệm: vận tốc tònh tiến và vận tốc, gia tốc tònh tiến và gia

22
tốc.
17. Dạng chuyển động của vật rắn như thế nào thì gọi là chuyển động quay quanh
trục cố đònh. Trong trường hợp này thì quỹ đạo của các điểm có dạng gì. Vò trí
của điểm, véctơ vận tốc và véctơ gia tốc của điểm tính như thế nào.
18. Nêu các ví dụ trong thực tế vật chuyển động song phẳng.
19. Nêu các ví dụ trong thực tế vật chuyển động cầu.
20. Nêu các ví dụ trong thực tế vật chuyển động tònh tiến.

23
Chương 2
CÁC CƠ CẤU THÔNG DỤNG
2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM
Khi chuyển từ việc nghiên cứu một cơ hệ chung chung, khái quát sang
việc khảo sát một cơ hệ cụ thể trong kỹ thuật thì người ta đưa ra một số tên gọi,
khái niệm cho phù hợp với quy trình chế tạo, lắp ráp, sử dụng. Sau đây ta làm
quen với những khái niệm đó.
1- Chi tiết máy: đó là tên gọi cho một sản phẩm, một vật thể, được chế
tạo không có công đoạn lắp ráp. Đó là các vật được chế tạo bằng các biện pháp
như đúc, dập, cắt gọt chẳng hạn.
2- Khâu: đó là một vật thể, có thể rắn tuyệt đối, rắn biến dạng, hoặc bằng
khí, chất lỏng. Khâu có thể do một hoặc nhiều chi tiết ghép lại. Biện pháp tạo
khâu từ chi tiết máy rất đa dạng: dán, hàn, may, cột dây, gắn bằng đinh, gắn
bằng bu lông,
3- Khớp nối: đó là nơi tiếp xúc giữa hai vật thể. Nếu khớp nối khiến hai
vật được nối không thể chuyển động được với nhau, thì khớp nối này được gọi
là khớp cứng. Khi một trong hai vật nối bởi khớp cứng được cho là cố đònh thì
khớp cứng được gọi là ngàm. Nếu khớp nối vẫn cho phép hai vật chuyển động
đối với nhau thì khớp được gọi là khớp động. Các vật thể được nối bởi khớp
động gọi là các khâu, khái niệm vừa được nêu ở trên.
4- Cơ cấu: là tập hợp các khâu được nối động sao cho chuyển động giữa
chúng liên quan nhau. Khái niệm cơ cấu là khái niệm cơ bản khi ta nghiên cứu
sự chuyển động của các bộ phận của một cái máy hay một thiết bò. Cơ cấu có
tất cả các khâu chuyển động song phẳng với cùng một mặt phẳng quy chiếu thì
được gọi là cơ cấu phẳng.
5- Máy: là công cụ do con người chế tạo ra có nhiệm vụ biến đổi năng
lượng từ dạng này sang dạng khác, hoặc biến đổi các thông số chuyển động,

nhằm thay thế lao động chân tay, nâng cao hiệu suất lao động. Máy được tạo
bởi các cơ cấu.
6- Phân loại khớp động: Các khớp động được phân loại theo số bậc tự do
bò hạn chế gây ra bởi khớp trong chuyển động tương đối giữa hai khâu. Khi

24
khảo sát chuyển động tương đối giữa hai vật ta phải cho một vật làm vật quy
chiếu. Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của vật thể trong một hệ quy
chiếu nào đó có bậc tự do là 6 (xem mục 1.2). Do vậy khớp động gồm 5 loại.
Nếu khớp động hạn chế một bậc tự do thì gọi là khớp động loại 1, nếu hạn chế
2 bậc tự do – khớp động loại 2. Khớp động có số thứ tự loại cao nhất là khớp
động loại 5, nó hạn chế 5 bậc tự do. Hai khâu nối với nhau bằng khớp động loại
5 chỉ có thể có chuyển động tương đối với nhau là quay quanh trục cố đònh, hay
tònh tiến theo một quỹ đạo đã biết hoặc vừa quay vừa tònh tiến được, nhưng giữa
chuyển động quay và tònh tiến bò ràng buộc nhau. Như vậy khớp quay loại 5 có
3 loại.
7- Lược đồ khớp: là hình vẽ quy đònh cách biểu thò khớp và loại khớp. Sau
đây là lược đồ của một số khớp thông dụng:
a) Khớp quay loại 5, hay khớp bản lề: Nếu khớp động loại 5 cho phép hai
khâu được nối chỉ chuyển động quay đối với nhau quanh một trục có vò trí cố
đònh đối với mỗi khâu thì nó được gọi là khớp quay loại 5 hay vắn tắt là khớp
bản lề. Lược đồ khớp bản lề như trên hình 2.1. Trên hình 2.1a và b thì khớp
được biểu thò bởi vòng tròn rỗng, tức không tô đậm phần giới hạn bên trong
đường tròn. Trên hình 2.1a thì khớp chuyển động, còn hình 2.1b và c thì khớp và
vật 1 cố đònh.

Hình 2.1: Lược đồ khớp quay loại 5
b) Khớp tònh tiến hay khớp trượt: Khớp động loại 5 cho phép hai khâu nối
có chuyển động tương đối với nhau là tònh tiến theo một quỹ đạo cho trước thì
gọi là khớp tònh tiến loại 5, hay vắn tắt là khớp trượt. Lược đồ khớp trượt có các

dạng như trên hình 2.2. Một trong hai khâu được nối bởi khớp được biểu thò bởi
hình chữ nhật. Khâu còn lại được biểu thò bằng một đường thẳng (H.2.2a, b, d)
hay 2 đường thẳng (H.2.2c, e). Nếu một trong hai khâu được cho là đứng yên,
thì ta biểu thò khâu đó có dấu sọc nghiêng (H.2.2b, d, e).

Hình 2.2: Lược đồ khớp tònh tiến
c) Khớp ren: được tạo thành bởi đường ren lồi
trên mặt trụ ngoài của một khâu và đường ren lõm
trên mặt trụ trong của khâu còn lại. Lược đồ khớp ren

25
như trên hình 2.3. Khi hai khâu quay đối với nhau được 1 vòng thì chúng dòch
chuyển dọc theo trục quay đối với nhau một quãng đường có độ dài xác đònh,
gọi là bước ren.
Một trong hai khâu được biểu thò bằng hình chữ nhật, khâu còn lại là đường
sóng.
d) Khớp bản lề con lăn: Khớp nối cho phép hai khâu chuyển động tương
đối với nhau là tònh tiến theo một quỹ đạo cho
trước, và quay quanh trục có vò trí cố đònh đối
với một khâu thì được gọi là khớp bản lề con
lăn. Trên hình 2.4 là lược đồ khớp bản lề con
lăn mà một trong hai khâu (khâu 1) được cho
là cố đònh.
e) Khớp tựa loại 4: Khi khớp nối cho
phép hai vật có chuyển động song phẳng đối với nhau và tiếp xúc với nhau tại
một điểm thì khớp nối chúng thuộc loại khớp tựa loại 4.

Hình 2.5: Lược đồ khớp tựa loại 4
Trên hình 2.5 là các lược đồ khớp tựa loại 4. Hai vật luôn tiếp xúc với
nhau tại một điểm. Đối với mỗi vật, điểm mà nó tiếp xúc với vật nối với nó có

thể luôn là một điểm (vật 2, H.2.5c)), có thể là một tập hợp điểm có quỹ tích là
một đường (vật 1, H.2.5c), vật 1, 2 trên hình 2.5a, b). Đường quỹ tích của các
điểm tiếp xúc của một khâu gọi là đường biên dạng hay biên dạng của khâu đó.
Chuyển động tương đối giữa khâu 1 và khâu 2 là chuyển động quay
quanh trục đi qua điểm tiếp xúc, vuông góc với mặt phẳng của hình vẽ, và
chuyển động tònh tiến theo phương tiếp tuyến chung của hai đường biên dạng.
Vậy bậc tự do của chuyển động tương đối của hai khâu là 2, tức khớp nối chúng
đã hạn chế 4 bậc tự do, do đó khớp nối này thuộc khớp loại 4.
f) Khớp cầu: Khi khớp nối cho phép hai khâu có chuyển động đối với
nhau là chuyển động quay quanh các trục giao
nhau tại một điểm cố đònh (xem phần 3 mục 1.4,
chương 1), thì khớp được gọi là khớp cầu. Lược đồ
khớp cầu cho trên hình 2.6.
g) Khớp cứng: Khi khớp nối không cho phép