dao động phi tuyến của vỏ thoải fgm trên nền đàn hồi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.89 MB, 83 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ QUANG CHẤN
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA VỎ THOẢI
FGM
TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ QUANG CHẤN
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA VỎ THOẢI
FGM
TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành : Cơ học vật rắn
Mã số : 604421
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Đỗ Long
Hà Nội - 2013
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên trong bản luận văn này, cho phép em được gửi lời cảm
ơn chân thành tới PGS. TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ
em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học,
Khoa Toán – Cơ – Tin học, các thầy giáo, cô giáo đã dạy dỗ em trong những
năm học vừa qua, đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Cơ học, Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Xin trân trọng cảm ơn các Thầy giáo, cô giáo trong Hội đồng chấm
luận văn đã có những ý kiến đóng góp quý báu để Luận văn của em hoàn
thiện hơn. Và trong quá trình công tác tới đây, những ý kiến đóng góp thiết
thực đó sẽ giúp em thực hiện tốt nhiệm vụ được giao.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm tới gia đình, người thân,
bạn bè và đồng nghiệp, những người luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ
em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót, kính mong nhận được sự chỉ dẫn, góp ý chân thành của các thầy cô giáo
và các bạn.
Tác giả luận văn
Đỗ Quang Chấn
Mục lục
Mở đầu Error! Bookmark not defined.
Chương 1: Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu có cơ
tính biến thiên (FGM) 4
1.1. Vật liệu Composite cơ tính biến thiên (FGM) 4
1.2. Các hệ thức và phương trình bản của vỏ thoải có mặt phẳng chiếu
hình chữ nhật 5
1.3. Phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM trên nề đàn hồi 13
Chương 2: Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi
Error! Bookmark not defined.
2.1. Dao động phi tuyến của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi Error!
Bookmark not defined.
2.1.1. Dao động tự do tuyến tính 24
2.1.2. Quan hệ giữa tần số và biên độ dao động tự do phi tuyến
2Error! Bookmark not defined.
2.1.3. Dao động cưỡng bức phi tuyến 2Error! Bookmark not defined.
2.2. Bài toán tĩnh Error! Bookmark not defined.
Chương 3: Khảo sát số Error! Bookmark not defined.33
3.1. Tần số dao động riêng 33
3.2. Khảo sát dao động phi tuyến 34
3.2.1. So sánh dao động trên nền đàn hồi và không đàn hồi 34
3.2.2. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k Error! Bookmark not defined.
3.2.3. Ảnh hưởng của kích thước hình học 39
3.2.4. Ảnh hưởng của biên độ lực ngoài 41
3.2.5. Ảnh hưởng của tần số lực ngoài 43
3.2.6. Ảnh hưởng của hệ số nền 45
Kết luận 49
Tài liệu tham khảo 50
Phụ lục
1
Mở đầu
Vỏ là một trong những cấu trúc cơ bản nhất được sử dụng rộng rãi
trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Do vậy, việc tính toán ổn định, dao
động, độ bền của vỏ ngày càng thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà
khoa học nhằm đảm bảo an toàn cho các thiết kế và xây dựng các kết cấu có
dạng vỏ.
Vật liệu cơ tính biến thiên có tên quốc tế là Functionally Graded
Material, thường được viết tắt là FGM, được pha trộn giữa hai vật liệu khác
nhau, tính chất cơ học biến thiên theo độ dày của kết cấu làm cho vật liệu
FGM chịu được nhiệt độ cao và áp suất lớn. Những nghiên cứu đầu tiên về
vật liệu này được đề xuất và công bố bởi một nhóm các nhà khoa học vật liệu
ở Viện Sendai của Nhật Bản vào năm 1984 trong [1]. Hiện nay, với việc ứng
dụng ngày càng nhiều và đa dạng loại vật liệu này đặc biệt là trong các môi
trường chịu nhiệt độ cao như lò phản ứng hạt nhân, công nghiệp vũ trụ, nên
các vấn đề khác nhau về ứng xử tĩnh và động của các kết cấu tấm và vỏ FGM
ngày càng được quan tâm một cách sâu sắc.
Về động lực học, ngoài những kết quả đối với tấm, đã có những nghiên
cứu về các đặc trưng dao động và ứng xử vồng động của vỏ FGM, tuy nhiên
những nghiên cứu về động lực học của vỏ thoải FGM vẫn còn khá ít và cần
được tiếp tục nghiên cứu. Gần đây, các tác giả Dao Huy Bich và Vu Do Long
[2] đã nghiên cứu vấn đề động lực phi tuyến của vỏ thoải không hoàn hảo
FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật với bốn cạnh tựa bản lề. Đã thiết lập
các phương trình chuyển động, phương trình ổn định và phương trình tương
thích của vỏ FGM khi tính đến yếu tố phi tuyến hình học. Giải các phương
trình phi tuyến đó bằng phương pháp tích phân số Newmark. Đã nhận được
đáp ứng phi tuyến tức thời của panel trụ và panel cầu dưới tác dụng của lực
2
kích động ngoài. Tiếp đó, các tác giả Đào Văn Dũng và Vũ Hoài Nam [3] đã
nghiên cứu, khảo sát các tính chất động lực phi tuyến của vỏ thoải không
hoàn hảo FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật trong trường hợp hai cạnh
không đặt tải là ngàm, hai cạnh chịu tải nén phẳng tựa bản lề. Đã tìm nghiệm
giải tích gần đúng và sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin xây dựng
phương trình vi phân cấp hai phi tuyến của độ võng và giải phương trình bằng
phương pháp Runge-Kutta. Đã nhận được đáp ứng phi tuyến tức thời, tần số
dao động riêng của panel trụ và panel cầu. Các tác giả Dao Huy Bich, Le Kha
Hoa [4] đã nghiên cứu vấn đề dao động phi tuyến của vỏ cầu thoải bằng vật
liệu cơ tính biên thiên. Đã thiết lập các phương trình xác định có tính đến yếu
tố phi tuyến hình học trong tất cả các hệ thức biến dạng – chuyển vị. Từ các
phương trình chuyển động và phương trình tương thích biến dạng nhận được
hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến đối với hàm ứng suất và độ võng
của vỏ. Nhờ vào phương pháp Galerkin và phương pháp Runge – Kutta, đã
nhận được biểu thức hiển của tần số riêng cơ bản và đáp ứng động lực phi
tuyến của vỏ.
Tuy nhiên, tính toán về động lực phi tuyến của vỏ thoải FGM cần được
nghiên cứu phát triển. Trong luận văn trình bày bài toán dao động phi tuyến
của vỏ thoải FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật trên nền đàn hồi. Mục
đích là tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán động lực vỏ thoải FGM có
mặt phẳng chiếu hình chữ nhật trên nền đàn hồi theo mô hình Winkler. Từ hệ
phương trình cân bằng đã sử dụng hàm ứng suất và phương pháp Bubnov-
Galerkin xây dựng phương trình dao động phi tuyến của vỏ. Lời giải số tìm
được bằng tích phân số Runge – Kutta, đã xem xét quan hệ tần số - biên độ
dao động và ảnh hưởng của kích thước vỏ, độ cứng của nền, biên độ ngoại lực
đến độ võng và tần số dao động tự do của vỏ. Các kết quả được so sánh với
các kết quả đã biết.
3
Luận văn gồm có ba phần chính:
Chương 1. Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu cơ
tính biến thiên (FGM).
Chương 2. Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi.
Chương 3. Khảo sát số
Trong suốt thời gian thực hiện luận văn tác giả luôn nhận được sự giúp
đỡ nhiệt tình của PGS.TS Vũ Đỗ Long, người đã luôn động viên, đưa ra
những nhận xét, góp ý quý giá cũng như tạo điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành luận văn này.
4
Chương 1
Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu có cơ
tính biến thiên (FGM)
1.1. Vật liệu composite cơ tính biến thiên (FGM)
Vật liệu composite là vật liệu tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu khác
nhau tạo nên vật liệu mới có tính năng hơn hẳn các vật liệu ban đầu khi những
vật liệu này làm việc riêng rẽ như khối lượng nhẹ, độ bền cao, khả năng
chống nhiệt, chống ăn mòn hóa học tốt,… Gần đây, một số vật liệu composite
có chức năng thông minh đã ra đời nhằm đáp ứng nhu cầu thực tiễn trong việc
chế tạo các cấu kiện hiện đại và thỏa mãn các điều kiện làm việc khắc nghiệt
như các vật liệu gia cường sợi, vật liệu cơ tính biến thiên,… Vật liệu cơ tính
biến thiên (FGM) được tạo thành từ hai vật liệu thành phần là gốm (Ceramic)
và kim loại (Metal) trong đó tỷ lệ thể tích của các thành phần biến đổi trơn và
liên tục từ mặt này sang mặt kia của kết cấu. Vật liệu FGM khắc phục được
những nhược điểm của các vật liệu truyền thống và composite thông thường
về khả năng chống chịu các tác dụng cơ, lý, hóa. Do có modul đàn hồi E cao
và các hệ số truyền nhiệt K, hệ số dãn nở nhiệt α thấp của gốm làm cho vật
liệu FGM có độ cứng cao và khả năng kháng nhiệt tốt. Hơn nữa, thành phần
kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm dẻo hơn và khắc phục được sự
rạn nứt do tính giòn của vật liệu gốm khi chịu nhiệt độ cao. Xem bảng 1.1
Bảng 1.1. Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM
Vật liệu
Các tính chất
E(N/m
2
)
ν
α (
0
C
-1
)
K(W/mK)
ρ(kg/m
3
)
Kim loại: Nhôm (Al)
70.0x10
9
0.30
23.0x10
-6
204
2707
Ti-6Al-4V
105.7x10
9
0.298
6.9x10
-6
18.1
4429
Gốm : Zirconia
(ZnO
2
)
151x10
9
0.30
10.0x10
-6
2.09
3000
Nhôm oxit
320x10
9
0.26
7.2x10
-6
10.4
3750
5
Cơ tính của vật liệu biến thiên theo chiều dày của vỏ theo quy luật
phân bố lũy thừa phụ thuộc vào thể tích thành phần của các vật liệu tham gia
tạo thành vật liệu vỏ.
=
+
=
+
2+
2
ρ
= ρ
+ ρ
= ρ
+
ρ
ρ
2+
2
(1.1)
= =
trong đó:
,
lần lượt là phân tố thể tích của gốm và kim loại được
chọn; k là chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích, k là đại lượng không âm; h là độ
dày của vỏ.
Do sự liên tục về đặc trưng vật liệu mà FGM làm giảm ứng suất tập
trung, ứng suất nhiệt, ứng suất dư và sự bong tách giữa các lớp thường có
trong vật liệu composite truyền thống.
1.2. Các hệ thức và phương trình cơ bản của vỏ thoải có mặt phẳng chiếu
hình chữ nhật
Xét vỏ thoải có độ dày h và trên mặt phẳng chiếu nằm ngang có dạng
hình chữ nhật với các cạnh tương ứng là a và b. Mặt trung bình của vỏ trong
trường hợp chung phải được xác định trong hệ tọa độ cong. Tuy nhiên, đối
với vỏ thoải có độ nâng mặt giữa của vỏ nhỏ hơn nhiều so với kích thước a, b
nên người ta có thể dùng hệ tọa độ Đề các để thay cho hệ tọa độ cong (hình 1).
6
Hình 1: Vỏ thoải có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật
Như vậy, trong trường hợp này sẽ có: Quan hệ phi tuyến chuyển vị -
biến dạng theo lý thuyết độ võng lớn và biến dạng nhỏ của Von Karman là:
1
0
=
1
1
+
1
2
1
2
,
1
=
2
1
2
2
0
=
2
2
+
1
2
2
2
, (1.2)
2
=
2
2
2
12
0
=
2
+
1
+
1
2
,
12
=
2
1
2
trong đó:
1
0
,
2
0
,
12
0
là các thành phần biến dạng ở mặt trung bình của vỏ. Đại
lượng , , là chuyển vị theo phương
1
,
2
, tương ứng.
b
O
x2
x1
z
q0
p0
r0
a
7
Phương trình tương thích biến dạng trong trường hợp này có dạng:
2
1
0
2
2
+
2
2
0
1
2
2
12
0
1
2
=
2
1
2
2
+
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1.3
với
1
,
2
là các độ cong của vỏ.
Biến dạng tại điểm cách mặt trung bình một khoảng cách z là:
1
=
1
0
1
,
2
=
2
0
2
, (1.4)
12
=
12
0
2
12
,
Liên hệ ứng suất – biến dạng được cho bởi:
1
=
1
1
2
,
2
=
1
2
1
,
12
=
1
12
trong đó G =
2(1+)
Biểu diễn ngược:
1
=
1
2
1
+
2
,
2
=
1
2
2
+
1
, (1.5)
12
=
2(1 + )
12
Hay
1
=
1
2
[
1
0
+
2
0
1
+
2
],
2
=
1
2
[
2
0
+
1
0
2
+
1
] , (1.6)
8
12
=
2
1 +
(
12
0
2
12
)
Các thành phần lực dãn và mômen được biểu diễn dưới dạng:
1
=
1
2
2
;
2
=
2
2
2
;
12
=
12
2
2
,
1
=
1
2
2
;
2
=
2
2
2
;
12
=
12
2
2
,
1.7
Thay các liên hệ (1.1), (1.2) và (1.4), (1.5) vào (1.7), tích phân theo z ta
được:
+ Lực dãn:
1
=
1
2
2
=
1
2
1
0
+
2
0
1
+
2
2
2
=
1
1
2
1
0
+
2
0
2
2
1
1
2
1
+
2
.
2
2
Tương tự, ta cũng có:
2
=
2
2
2
=
1
2
2
0
+
1
0
2
+
1
2
2
=
1
1
2
12
0
+
1
0
2
2
1
1
2
2
+
12
.
2
2
9
12
=
12
2
2
=
2
1 +
(
12
0
2
12
)
2
2
=
1
2
1 +
12
0
2
2
1
1 +
12
.
2
2
Đặt
1
=
2
2
,
2
=
.
2
2
Khi đó:
1
=
1
1
2
1
0
+
2
0
2
1
2
1
+
2
,
2
=
1
1
2
2
0
+
1
0
2
1
2
2
+
1
,
1.8
12
=
1
2
1 +
12
0
1
1 +
12
Hoặc ngược lại
1
0
=
1
1
1
+
2
+
2
1
χ
1
,
2
0
=
1
1
2
+
1
+
2
1
χ
2
, (1.9)
12
0
=
2(1 + )
1
+
2
2
1
χ
12
,
+ Mômen:
1
=
1
2
2
=
1
2
1
0
+
2
0
1
+
2
2
2
10
=
1
1
2
1
0
+
2
0
2
2
1
1
2
1
+
2
.
2
2
2
Tương tự:
2
=
2
2
2
=
1
2
2
0
+
1
0
2
+
1
2
2
=
1
1
2
2
0
+
1
0
2
2
1
1
2
2
+
1
.
2
2
2
12
=
12
2
2
=
2
1 +
12
0
2
12
2
2
=
1
2
1 +
12
0
1
1 +
12
.
2
2
2
2
2
Đặt:
3
=
2
2
2
Khi đó:
1
=
2
1
2
1
0
+
2
0
3
1
2
1
+
2
2
=
2
1
2
2
0
+
1
0
3
1
2
2
+
1
11
12
=
2
2
1 +
12
0
3
1 +
12
Kết hợp với (1.7) cho kết quả:
1
=
2
1
N
1
1
3
2
2
1
1
2
1
+
2
,
2
=
2
1
N
2
1
3
2
2
1
1
2
2
+
1
, (1.10)
12
=
2
1
N
12
1
3
2
2
1
1
2
χ
12
trong đó
1
=
2
2
= [
+
2+
2
]
2
2
=
|
2
2
+
+ 1
2+
2
+1
|
2
2
=
+
+ 1
2
=
.
2
2
= [
+
2+
2
]
2
2
=
2
2
+
2+
2
2
2
=
2
2
+
2+
2
2
2+
2
2
2
12
=
2
+ 2
2+
2
+2
|
2
2
2
2
+ 1
2+
2
+1
|
2
2
=
2
+ 2
2
2
+ 1
=
2
2
+ 1
+ 2
3
=
.
2
2
2
=
+
2+
2
2
2
2
=
2
2
2
+
2
2+
2
2
2
=
2
2
2
+
2
2+
2
2
2
2+
2
+
2
4
2+
2
2
2
=
3
3
|
2
2
+
3
+ 3
2+
2
+3
|
2
2
3
+ 2
2+
2
+2
|
2
2
+
3
4(+ 1)
2+
2
+1
|
2
2
=
12
3
+
3
1
+ 3
1
+ 2
+
1
4(+ 1)
=
12
+
1
+ 3
1
+ 2
+
1
4+ 4
3
Như vậy:
1
=
+
+ 1
13
2
=
2
2
+ 1
+ 2
(1.11)
3
=
12
+
1
+ 3
1
+ 2
+
1
4+ 4
3
1.3. Phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi
Phương trình chuyển động theo lý thuyết Love là:
1
1
+
12
2
=
1
2
2
,
12
1
+
2
2
=
1
2
2
,
2
1
1
2
+ 2
2
12
1
2
+
2
2
2
2
+
1
1
1
+
12
2
+
2
12
1
+
2
2
+
1
1
+
2
2
+
0
=
1
2
2
1.12
trong đó: là hệ số nền.
1
= ()
2
2
=
+
+ 1
,
Do giả thiết , nên có thể cho lực quán tính của hai
phương trình đầu của (1.12) dần đến 0, tức là:
2
2
0;
2
2
0,
Khi đó, hai phương trình ấy sẽ được thỏa mãn đồng nhất nếu đưa vào
hàm ứng suất như sau:
1
=
2
2
2
,
2
=
2
1
2
, (1.13)
14
12
=
2
1
2
,
Vậy chỉ còn phương trình thứ ba của (1.12):
2
1
1
2
+ 2
2
12
1
2
+
2
2
2
2
+
1
1
1
+
12
2
+
2
12
1
+
2
2
+
1
1
+
2
2
+
0
=
1
2
2
1.14
Thay phương trình (1.9) vào phương trình (1.3):
2
1
0
2
2
+
2
2
0
1
2
2
12
0
1
2
=
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
+
2
1
2
1
2
2
+
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
+
2
1
2
2
1
2
2(1 + )
1
2
12
1
2
2
2
1
2
12
1
2
Thay lực dãn qua hàm ứng suất , độ cong, độ xoắn qua độ võng ta có:
2
1
0
2
2
+
2
2
0
1
2
2
12
0
1
2
=
1
1
4
2
4
1
4
1
2
2
2
+
2
1
4
1
2
2
2
+
1
1
4
1
4
1
4
1
2
2
2
+
2
1
4
1
2
2
2
+
2
1 +
1
4
1
2
2
2
2
2
1
4
1
2
2
2
=
1
1
4
2
4
+ 2
4
1
2
2
2
+
4
1
4
=
1
1
ΔΔ
15
Suy ra:
1
1
ΔΔ=
1
2
2
2
2
2
1
2
+
2
1
2
2
+
2
1
2
2
2
2
Thay hệ thức (1.10) vào phương trình (1.14) ta có:
2
1
2
1
1
2
1
3
2
2
1
1
2
2
1
1
2
+
2
2
1
2
+
2
2
1
2
12
1
2
2
1
3
2
2
1
1
2
2
12
1
2
+
2
1
2
2
2
2
1
3
2
2
1
1
2
2
2
2
2
+
2
1
2
2
+
1
2
1
2
+ 2
12
2
1
2
+
2
2
2
2
+
1
1
+
2
2
+
0
=
1
2
2
Thay lực dãn qua hàm ứng suất , độ cong, độ xoắn qua độ võng ta có:
2
1
4
1
2
2
2
1
3
2
2
1
1
2
4
1
4
+
4
1
2
2
2
2
2
1
4
1
2
2
2
2
1
3
2
2
1
1
2
4
1
2
2
2
+
2
1
4
1
2
2
2
1
3
2
2
1
1
2
4
2
4
+
4
1
2
2
2
+
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
+
2
1
2
2
2
2
+
1
2
2
2
+
2
2
1
2
+
0
=
1
2
2
1
3
2
2
1
1
2
4
1
4
1
3
2
2
1
1
2
4
2
4
2
1
3
2
2
1
1
2
4
1
2
2
2
+
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
+
2
1
2
2
2
2
+
1
2
2
2
+
2
2
1
2
+
0
=
1
2
2
16
Hay
1
2
2
+
1
3
2
2
1
1
2
ΔΔ+ 2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
+ =
0
Như vậy, ta có hệ phương trình của hàm ứng suất và độ võng là:
1
1
ΔΔ=
1
2
2
2
2
2
1
2
+
2
1
2
2
+
2
1
2
2
2
2
1.15
1
2
2
+
1
3
2
2
1
1
2
ΔΔ+ 2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
+ =
0
1.16
Nếu tính đến độ không hoàn hảo ban đầu của vỏ (ký hiệu là
0
=
0
1
,
2
) và giả thiết
0
là nhỏ. Theo xấp xỉ Volmir, từ (1.15) và (1.16) ta
có hệ phương trình cho vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi như sau:
1
1
ΔΔ=
1
2
0
2
2
2
2
0
1
2
+
2
1
2
2
+
2
1
2
2
2
2
2
0
1
2
2
+
2
0
1
2
2
0
2
2
1.17
1
2
2
+
1
3
2
2
1
1
2
ΔΔ
0
+ 2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
+ =
0
1.18
Hệ phương trình (1.17) và (1.18) là hệ phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến với hàm ứng suất và độ võng cho phép ta giải bài toán động lực
phi tuyến của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi. Phần tiếp theo ta sẽ giải quyết
bài toán cụ thể khi vỏ chịu lực khác nhau và điều kiện biên.
17
Chương 2
Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi
Giả sử vỏ tựa bản lề, chịu tải phân bố đều
0
=
0
vuông góc với
mặt trung bình. Chịu tải nén phẳng
0
=
0
và
0
=
0
phân bố đều trên
hai cạnh. Khi đó điều kiện biên có thể biểu diễn như sau:
= 0,
1
= 0,
1
=
0
,
12
= 0 tại
1
= 0,
1
=
= 0,
2
= 0,
2
=
0
,
12
= 0 tại
2
= 0,
2
= (2.1)
Điều kiện (2.1) có thể thỏa mãn nếu độ võng và hàm ứng suất được biểu
diễn bởi:
=
sin
1
sin
2
=
sin
1
sin
2
1
2
(2.2)
trong đó () là độ võng lớn nhất,
1
và
2
được chọn sao
cho:
1
=
0
,
2
=
0
. Đối với độ không hoàn hảo ban đầu
0
=
0
1
,
2
ta giả thiết có dạng giống như độ võng của vỏ, tức là:
0
1
,
2
=
0
sin
1
sin
2
(2.3)
trong đó
0
là hằng số.
Khi đó :
2
1
2
=
2
2
2
sin
1
sin
2
2
2
2
=
2
2
2
sin
1
sin
2
2
1
2
=
2
1
cos
2
4
1
4
=
4
4
4
sin
1
sin
2
18
4
2
4
=
4
4
4
sin
1
sin
2
4
1
2
2
2
=
2
2
4
2
2
1
sin
2
2
1
2
=
2
2
2
sin
1
sin
2
2
1
2
=
2
2
2
sin
1
sin
2
0
(2.4)
2
2
2
=
2
2
2
sin
1
sin
2
2
2
2
=
2
2
2
sin
1
sin
2
0
2
1
2
=
2
1
cos
2
4
1
4
=
4
4
4
sin
1
sin
2
4
2
4
=
4
4
4
sin
1
sin
2
4
1
2
2
2
=
2
2
4
2
2
1
sin
2
Thay (2.4) vào phương trình (1.17):
1
4
4
4
+ 2
2
2
4
2
2
+
4
4
4
1
sin
2
1
0
2
2
2
sin
1
sin
2
2
0
2
2
2
sin
1
sin
2
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
19
+
0
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
0
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
= 0
4
1
4
4
+ 2
2
2
2
2
+
4
1
sin
2
2
2
1
2
2
2
+
2
2
0
sin
1
sin
2
+
2
2
4
2
2
2
0
2
2
1
2
2
2
1
2
2
= 0
Chia cả hai vế cho
4
4
và đặt =
ta có:
1
2
+
2
2
2
1
sin
2
2
2
1
2
2
+
2
2
0
sin
1
sin
2
+
2
2
2
2
0
2
2
1
2
2
2
1
2
2
= 0
Tương tự, thay (2.4) vào phương trình (1.18) cho ta:
1
2
2
sin
1
sin
2
+
1
3
2
2
1
1
2
4
4
4
+ 2
2
2
4
2
2
+
4
4
4
0
sin
1
sin
2
+ 2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
0
2
2
2
sin
1
sin
2
20
2
2
4
2
2
2
1
2
2
0
2
2
2
sin
1
sin
2
+
1
2
2
2
sin
1
sin
2
+
0
+
2
2
2
2
sin
1
sin
2
+
0
+sin
1
sin
2
=
0
1
2
2
sin
1
sin
2
+
1
3
2
2
1
1
2
4
4
2
+
2
2
2
0
sin
1
sin
2
+ 2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
0
+
2
2
0
sin
1
sin
2
+
2
2
1
2
2
+
2
2
sin
2
+
1
0
+
2
0
0
= 0
Như vậy, thay (2.2) và (2.3) vào (1.17) và (1.18) cho ta:
1
=
1
2
+
2
2
2
1
sin
2
2
2
1
2
2
+
2
2
0
sin
1
sin
2
+
2
2
2
2
0
2
2
1
2
2
2
1
2
2
= 0 (2.5)
