phương trình hàm schrӧder, abel và một số áp dụng liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN ĐÔNG BẮC
PHƯƠNG TRÌNH HÀM SCHR
¨
ODER, ABEL
VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU
Hà Nội - 2012
Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo
tận tình của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.
Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp
nhiều ý kiến quý báu cho bản luận văn của tác giả.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan
tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn
của mình.
Hà nội, tháng 09 năm 2012
2
Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Các ký hiệu và quy ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.Phương trình hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Phương trình hàm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Dãy các xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Định lý Banach - Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4. Các ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Các chuỗi liên hợp hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.Nghiệm của phương trình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 13
1.2.2. Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 17
1.2.3. Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . 20
1.2.4. Nghiệm khả vi của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.5. Nghiệm giải tích của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. Phương trình Schr¨oder và Abel . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.Phương trình Schr¨oder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1. Nghiệm đơn điệu của phương trình Schr¨oder. . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2. Nghiệm lồi của phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3. Nghiệm khả vi của phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.4. Nghiệm trơn của phương trình Schr¨oder trong R
N
. . . . . . . . . . . 32
2.1.5. Nghiệm giải tích của phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.Phương trình Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1. Nghiệm lồi của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2. Nghiệm khả vi của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3. Nghiệm giải tích của phương trình Abel . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chương 3. Một số áp dụng liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.Các nghiệm chính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.Hệ tiền Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. Hệ tương đương và các hàm tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
MỤC LỤC
3.2.2. Sự tương đương của phương trình Schr¨oder và hệ tiền Schr¨oder . . . . . . 48
3.3.Hệ Schr¨oder-Abel và các phương trình kết hợp . . . . . . . 49
3.3.1. Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2. Kết hợp các phương trình Schr¨oder và Abel . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3. Sự tồn tại của các phần tử sinh. . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4. Nghiệm của hệ Abel – Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.Hệ Abel và các phương trình vi phân có lệch . . . . . . . . . 57
3.4.1. Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2. Hệ các phương trình Abel đồng thời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.Hệ Schr¨oder và đặc tính của chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.1. Đặc tính của các chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.2. Hệ các phương trình Schr¨oder đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.Các chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.1. Nghiệm của hệ tiền Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.2. Các tự đẳng cấu tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.3. Định lý 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.4. Các phương trình vi phân có lệch . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.5. Áp dụng định lý 3.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.6. Định lý 3.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.7. Hệ phương trình Schr¨oder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.8. Phương trình Schr¨oder, Abel và phương trình vi phân . . . . . . . . . . 67
3.6.9. Nửa nhóm các xấp xỉ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.10. Các phương trình Abel đồng thời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4
Các ký hiệu và quy ước

* N - tập các số nguyên dương.
* N
0
= N ∪ {0} - tập các số tự nhiên.
* R = [−∞; + ∞] - tập các số thực mở rộng.
* R
+
= [0, + ∞) - tập các số thực không âm.
* x = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ K
n
thì chuẩn của x là chuẩn Euclide
|x| =




n

i=1
|ξ
i
|
2
* Với ma trận A ∈ K
m×n
thì chuẩn của A chính là chuẩn của toán tử tuyến tính

tương ứng tức là
A = sup
|x|=1
|Ax| .
* cl(A) - bao đóng của tập A.
* int(A) - phần trong của tập A.
* [0, a| là ký hiệu chung cho [0, a] và [0, a), chú ý |a, ∞| luôn là |a, ∞).
* F(X, Y ) là họ các ánh xạ từ X vào Y, F(X) = F(X, X).
* C
r
(X, Y ), r ∈ N
0
là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp r từ X vào Y,
C
r
(X) = C
r
(X, X), r ∈ N, C(X, Y ) = C
0
(X, Y ), C(X) = C
0
(X, X).
* Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian mêtric thì ta nói dãy hàm
f
n
: X → Y, n ∈ N
hội tụ hầu đều (hội tụ a.u) tới hàm f : X → Y trên X nếu nó hội tụ đều tới f
trên mọi tập con compact của X.
* Ký hiệu f
∗

dùng để ký hiệu cho logit(f) (xem mục 1.1.5).
* LAS là viết tắt của "nghiệm giải tích địa phương".
* FPS là viết tắt của "chuỗi lũy thừa hình thức".
5
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phương
trình tuyến tính để phục vụ cho việc nghiên cứu phương trình Schr¨oder và phương
trình Abel ở chương sau.
Về tổng thể chương này gồm hai phần:
♦ Phần 1: Các khái niệm và kiến thức liên quan.
♦ Phần 2: Nghiệm của phương trình tuyến tính.
Ở phần 1, ta nhắc lại một số khái niệm và một số kết quả sẽ được dùng trong
phần 2 như: dãy các xấp xỉ liên tiếp, tập Siegel, khái niệm liên hợp trên các ánh
xạ và các tính chất của nó.
Ở phần 2, ta trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình tuyến tính tổng
quát và phương trình tuyến tính thuần nhất đực biệt là tính chính quy nghiệm
của phương trình tuyến tính tổng quát. Tính chính quy nghiệm bao gồm các tính
chất của nghiệm như: tính liên tục nghiệm, tính khả vi của nghiệm, tính trơn của
nghiệm và một số tính chất khác.
1.1. Phương trình hàm tuyến tính
1.1.1. Phương trình hàm tuyến tính tổng quát
Phương trình hàm tổng quát có dạng:
F (x, ϕ(x), ϕ (f
1
(x)) , , ϕ (f
n
(x))) = 0
trong đó ϕ là hàm chưa biết (hàm ẩn) và các hàm còn lại là các hàm đã cho, chỉ
số n ở trong phương trình được gọi là bậc của phương trình. Như vậy, phương

trình hàm bậc 1 có dạng:
F (x, ϕ(x), ϕ (f(x))) = 0
6
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Phương trình hàm tuyến tính tổng quát là phương trình hàm có dạng:
ϕ (f(x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.1)
trong đó ϕ là hàm chưa biết và f và g là các hàm đã cho. Trong trường hợp đặc
biệt khi h ≡ 0 thì (1.1) trở thành:
ϕ (f(x)) = g(x)ϕ(x) (1.2)
(1.2) được gọi là phương trình hàm tuyến tính thuần nhất tổng quát.
Hầu hết các phương trình tuyến tính quan trọng đều thuộc phương trình
Schr¨oder và phương trình Abel. Phương trình Schr¨oder là phương trình có dạng:
σ(f(x)) = s.σ(x) (1.3)
trong đó s là một thừa số vô hướng. Phương trình Abel là phương trình có dạng:
α(f(x)) = α(x) + A (1.4)
trong đó A = 0 là một phần tử cố định thuộc miền giá trị của α (do tính tuyến
tính của phương trình nên ta thường xét trường hợp A = 1).
Dễ dàng thấy rằng nếu ϕ và σ là các nghiệm của (1.2) thì kϕ + lσ, k, l = const
cũng là một nghiệm của (1.2). Như vậy, nếu (1.2) có nghiệm thì nó có rất nhiều
nghiệm, các nghiệm này tạo thành từng họ nghiệm ở đó các nghiệm trong cùng
một họ sẽ sai khác một hằng số nhân.
1.1.2. Dãy các xấp xỉ liên tiếp
Xét F(X) là tập hợp tất cả các tự ánh xạ của một tập X cho trước, do toán tử
hợp

◦

có tính chất kết hợp trên F(X) nên (F(X), ◦) là một nửa nhóm với phần
tử đơn vị id
X

. Các luỹ thừa f
n
, n ∈ N với f là một phần tử của F(X) được gọi là
dãy xấp xỉ liên tiếp của f.
Định lí 1.1.1.
Cho X là không gian tôpô Hausdorff và f : X → X là một hàm có các f
n
liên
tục. Nếu với một x ∈ X mà dãy (f
n
(x))
n∈N
hội tụ tới x
0
∈ X thì x
0
là điểm cố
định của f.
Cho X là một không gian tôpô và f : X → X là một hàm bất kỳ. Gọi x
0
là
một điểm cố định của f. Tập hợp
A
f
(x
0
) =

x ∈ X : lim
n→∞

f
n
(x) = x
0

7
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
được gọi là miền hút của x
0
. Một điểm cố định x
0
của f được gọi là hút nếu thoả
mãn x
0
∈ int A
f
(x
0
). Như vậy, điểm cố định hút lôi cuốn về phía nó các xấp xỉ
liên tiếp của mọi điểm thuộc lân cận của nó.
Định lý sau trích từ Fatou [12], Barna [2]
Định lí 1.1.2.
Cho f là một tự ánh xạ liên tục của không gian tôpô X và cho x
0
∈ X là một
điểm cố định của f. Khi đó
(a) f

A
f

(x
0
)

⊂ A
f
(x
0
)
(b) A
f
(x
0
) là một tập mở nếu x
0
là hút.
Xét giả thiết
X = [0; a] với 0 < a ≤ ∞ (1.5)
Định lí 1.1.3.
Giả sử ta (1.5) có và với mọi f : X → X là hàm nửa liên tục trên bên phải. Nếu
f(x) < x; ∀x ∈ X\ {0} (1.6)
thì với mọi x ∈ X, dãy (f
n
(x))
n∈N
là dãy giảm và
lim
n→+∞
f
n

(x) = 0. (1.7)
Hơn thế, nếu 0 < f(x) < x với ∀x ∈ X\ {0} thì ∀x ∈ X\ {0}, dãy {f
n
(x)}
n∈N
là dãy
giảm nghiêm ngặt.
Chứng minh.
Do tính nửa liên tục trên bên phải của f cùng với (1.6) ngụ ý rằng f(0) = 0. Vì
vậy, f(x) ≤ x; ∀x ∈ X ⇒ f
n+1
(x) = f(f
n
(x) ≤ f
n
(x); ∀x ∈ X.
Nếu chúng ta có l = lim
n→∞
f
n
(x) > 0, với x ∈ X thì l = lim
x→∞
f
n+1
(x) = lim
x→∞
f
n
(x)) ≤
f(l) < l là một mâu thuẫn vì vậy ta có (1.7). Tính giảm nghiêm ngặt là hiển

nhiên.
Định lí 1.1.4.
Giả sử với (1.5) và xét một không gian mêtric (T, ρ). Giả sử rằng ánh xạ f :
X×T → X liên tục và f (x, t) < x, ∀(x, t) ∈ {X\{0}}×T . Đặt g
t
(x) = f(x, t), (x, t) ∈
X × T thì dãy (g
n
t
(x))
n∈N
tiến tới 0 hầu đều đối với (x, t) ∈ X × T .
Định lí 1.1.5.
Cho X là một tập con đóng của K
N
chứa gốc. Xét ánh xạ liên tục f : X → X
sao cho |f(x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0}. Khi đó, sự hội tụ của (1.7) là hầu đều trên X.
8
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Xét các giả thiết sau:
(i) f là một ánh xạ từ đoạn thực X = [0, a] vào chính nó với 0 < a ≤ ∞.
(ii) f(x) = x (s + p(x)) , x ∈ X với s ∈ [0, 1] , 0 < p(x) + s < 1, x ∈ X và
lim
x→0
p(x) = 0.
Bổ đề 1.1.6.
Cho (x
n
)
n∈N

0
và (y
n
)
n∈N
0
là hai dãy số dương và s ∈ (0, 1) sao cho cả hai dãy với
các số hạng p
n
=
x
n+1
x
n
− s, q
n
=
y
n+1
y
n
− s, n ∈ N
0
đều tiến tới 0 khi n → ∞. Nếu
p
n
, q
n
∈ (−s, 1 − s), n ∈ N
0

và
∞

n=1
|p
n
− q
n
| < ∞ (1.8)
thì
lim
n→∞
x
n
y
n
tồn tại và thuộc (0, ∞) (1.9)
Hơn nữa, nếu hiệu p
n
− q
n
, n ∈ N
0
có dấu không đổi thì từ (1.9) suy ra (1.8)
Định nghĩa 1.1.7.
Chúng ta ký hiệu R là họ các hàm đo được r : X → R
+
sao cho
δ


0
r(x)
x
dx < ∞, δ ∈ (0, a)
và với mọi α ∈ (0, 1) tồn tại β ∈ (1, ∞) sao cho hoặc
r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.10)
hoặc
r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.11)
Định lí 1.1.8.
Với các giả thiết (i) và (ii), nếu f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p(x) = O(r(x)) khi
x → 0 với r ∈ R thì với mọi x ∈ X\{0} giới hạn
lim
n→∞
f
n
(x)
s
n
tồn tại và thuộc khoảng (0, ∞).
9
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Định lí 1.1.9.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn, f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p là
hàm đơn điệu thì với mọi x ∈ X tồn tại giới hạn:
ϕ(x) = lim
n→∞
f
n
(x)
s

n
và hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ = ∞ hoặc ϕ ∈ (0, ∞) với mọi x ∈ X. Trường hợp cuối cùng
xảy ra khi và chỉ khi
δ

0
p(x)
x
dx hội tụ với δ ∈ (0, a).
Định lí 1.1.10.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn với s = 1, f là hàm liên tục và
lim
x→0
sup

−
1
x
t
p(x)

= C ∈ (0, ∞)
(tương ứng lim
x→0
inf

−
1
x
t

p(x)

= c ∈ (0, ∞))
thì với mọi d > C (tương ứng 0 < d < c) và với mọi x ∈ X\ {0} chúng ta có:
f
n
(x) ≥

1
dtn

1/t
(tương ứng f
n
(x) ≤

1
dtn

1/t
)
với n ∈ N đủ lớn. Hơn nữa, nếu f là hàm tăng thì với trường hợp sau bất đẳng
thức f
n
(x) ≤ (dtn)
−1/t
đúng đều với z ∈ X ∩ [0, x].
1.1.3. Định lý Banach - Schauder
Định lí 1.1.11.
Cho f là một tự ánh xạ của một không gian metric đầy đủ (X, ρ) và

ρ (f(x), f(y)) ≤ θ.ρ(x, y), x, y ∈ X
với θ ∈ (0, 1). Khi đó, f có đúng một điểm cố định x
0
∈ X, hơn nữa miền hút của
x
0
trùng với X.
Định lí 1.1.12.
Cho X là một tập không rỗng, lồi và compact trong một không gian Banach, khi
đó mọi tự ánh xạ liên tục trên X đều có một điểm cố định.
1.1.4. Các ánh xạ liên hợp
Chúng ta xét phương trình liên hợp:
ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) (1.12)
10
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Các ánh xạ f : X → X và g : Y → Y được gọi là liên hợp nếu tồn tại nghiệm
song ánh ϕ : X → Y của phương trình (1.12).
Có một trường hợp quan trọng của phương trình (1.12) (khi X và Y là các tập
con của K
N
) đó là phương trình Schr¨oder:
σ(f(x)) = S.σ(x) (1.13)
Ở đó S ∈ K
N x N
và phương trình Abel:
α (f(x)) = α(x) + A, A ∈ K
N
(1.14)
thể hiện rằng f liên hợp với một hàm tuyến tính g(y) = S.y (với phương trình
(1.14) là g(y) = y + A và với phương trình Bottcher:

β (f(x)) = [β(x)]
p
(1.15)
ứng với g(y) = y
p
và N = 1.
Các phương trình (1.13) và (1.15) được coi như các hàm giao hoán dạng:
ϕ (f(x)) = f (ϕ(x)) (1.16)
Các tính chất của quan hệ liên hợp
Xét phương trình:
ϕ (f(x)) = g (ϕ(x)) (1.17)
Trong rất nhiều trường hợp ta chỉ cần thực hiện biến đổi f thành g chỉ cục bộ
trong một lân cận của điểm ξ ∈ X (thường là một điểm cố định của f). Sau đó
chúng ta tìm nghiệm khả nghịch cục bộ của (1.17).
Giả sử X là một lân cận của ξ = 0 ∈ K
N
(không mất tính tổng quát chúng ta
luôn luôn có thể đặt ξ tại gốc toạ độ) thì ϕ : X → X sẽ là khả nghịch địa phương
quanh gốc O nếu:
detϕ

(0) = 0 (1.18)
Hơn nữa, để giữ lại điểm cố định ξ = 0 của f, chúng ta giả sử
ϕ(0) = 0 (1.19)
Chúng ta giới thiệu khái niệm liên hợp trơn:
Định nghĩa 1.1.13.
Các hàm f : X → X và g : X → X (ở đó X là một lân cận của gốc trong K
N
)
được gọi là các hàm C

r
– liên hợp (tương ứng A – liên hợp) nếu tồn tại một hàm
ϕ, có đạo hàm xác định và liên tục tới cấp r ≥ 1 (tương ứng xác định và giải tích)
trong một lân cận của gốc trong R
N
( tương ứng C
N
) thoả mãn (1.18) và (1.19)
và sao cho (1.17) đúng trong một lân cận của gốc.
11
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Mỗi hàm trong lớp các hàm ở định nghĩa 1.1.13 tạo thành một nhóm dưới
phép toán trên các hàm thành phần. Nó kéo theo rằng mỗi quan hệ liên hợp là
một quan hệ bắc cầu. Vì thế, nếu f và g cùng liên hợp với hàm h : X → Y thì
chúng sẽ liên hợp với nhau.
Định lí 1.1.14.
Cho X là một lân cận của gốc trong K
N
và cho các hàm f : X → X và g : X → X
khả vi tại 0, f(0) = 0, g(0) = 0. Nếu f và g hoặc C
r
– liên hợp hoặc A – liên hợp
thì ma trận f

(0) và g

(0) cũng liên hợp, vì thế chúng có cùng dạng Jordan chuẩn
tắc.
Chứng minh.
Đạo hàm hai vế (1.17) chúng ta được:

ϕ

(f(x)).f

(x) = g

(ϕ(x)).ϕ

(x)
Vì thế khi thay x = 0 theo (1.18) ta có:
f

(0) = C
−1
.g

(0).C
Ở đó C = ϕ

(0) điều này có nghĩa là các ma trận f

(0) và g

(0) liên hợp.
1.1.5. Các chuỗi liên hợp hình thức
Hai chuỗi luỹ thừa hình thức phức (FPSs) f và g được gọi là liên hợp hình thức nếu
tồn tại một FPS ϕ khả nghịch sao cho ϕ ◦ f = g ◦ f (nói cách khác f = ϕ
−1
◦ g ◦ ϕ).
Nếu ba chuỗi này có bán kính hội tụ dương thì f và g được gọi là liên hợp giải

tích.
Định lí 1.1.15.
Nếu f là một FPS có dạng:
f(x) = x +
∞

n=m
b
n
x
n
, b
m
= 0, m ≥ 2 (1.20)
thì phương trình Julia:
λ(f(x)) = f

(x).λ(x) (1.21)
Có nghiệm hình thức duy nhất dạng:
λ
0
(x) = b
m
x
m
+
∞

m+1
c

n
x
n
(1.22)
nghiệm tổng quát của (1.21) được cho bởi λ(x) = c.λ
0
(x), ở đó c là hằng số bất kỳ.
12
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1.16.
(1) FPS λ
0
cho bởi công thức (1.22) được gọi là logarit lặp của FPS f cho bởi
(1.20) và được ký hiệu bởi f
∗
hoặc logit(f).
(2) Số m − 1 (trong (1.22)) được gọi là giá trị lặp của f, Ký hiệu: valit(f).
(3) Hệ số của x
−1
trong khai triển Laurent hình thức của 1/f
∗
hoặc hệ số của
x
m−1
trong FPS của 1/f
0
được gọi là số dư lặp của f ký hiệu là resit(f), trong đó
f
∗
(x) = x

m
f
0
(x).
1.2. Nghiệm của phương trình tuyến tính
1.2.1. Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính
Xét phương trình:
ϕ ( f(x)) = g(x).ϕ(x) (1.23)
với các giả thiết sau:
(i) X = (0; a], 0 < a ≤ ∞
(ii) f : X → X là hàm tăng, liên tục và 0 < f(0) < x trên X.
(iii) g : X → R là hàm dương trên X.
Bổ đề 1.2.1.
Nếu giả thiết (i) → (iii) được thoả mãn và ϕ : X → R là một nghiệm của phương
trình (1.23) thì hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ > 0 hoặc ϕ < 0.
Chứng minh.
Giả sử ϕ(x
0
) = 0; x
0
∈ X theo (1.23) ta có ϕ(f
n
(x
0
)) = 0; ∀n ∈ N
0
, do ϕ là đơn
điệu nên nó triệt tiêu trong đoạn [0; x
0
] tức là f

n
(x
0
) → 0 khi n → +∞ (xem định
lý 1.1.3). Hơn nữa, ϕ(x
1
) = 0 với x
1
∈ X, x
1
> 0 sẽ ngụ ý (theo phương trình (1.23))
rằng ϕ(f
n
(x
1
)) = 0; ∀n ∈ N
0
nhưng điều này là không thể vì lim
n→∞
f
n
(x
1
) = 0. Vì
vậy, ϕ = 0 hoặc ϕ = 0 trên X, từ g > 0 ⇒ ϕ có dấu không đổi với mọi dãy
f
n
(x), x ∈ X. Từ tính đơn điệu suy ra ϕ giữ nguyên dấu trên toàn bộ X.
Định lí 1.2.2.
Với các giả thiết (i) → (iii) và:

inf
x∈X
g(x) = 1 (1.24)
thì hai nghiệm bất kỳ ϕ
1
, ϕ
2
của phương trình (1.23) sẽ sai khác một hằng số.
13
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Chứng minh.
Cho ϕ
1
, và ϕ
2
là các nghiệm đơn điệu của (1.23), bổ đề 1.2.1 chỉ ra rằng nếu ϕ
2
là không đồng nhất bằng 0 trên x thì nó sẽ âm hoặc dương trên x.
* Nếu ϕ
2
= 0 thì ϕ
2
= 0.ϕ
1
⇒ định lý đúng.
* Nếu ϕ
2
= 0 thì do ϕ là nghiệm của (1.23) thì −ϕ cũng là nghiệm ⇒ chúng ta
có thể giả sử rằng ϕ
1

và ϕ
2
cùng dương trên X. Hơn nữa (1.24) ngụ ý rằng g ≥ 1
trên X do vậy ϕ
1
và ϕ
2
là giảm trên X.
Đặt ω =
ϕ
1
ϕ
2
thì ω : X → R và thỏa mãn phương trình:
ω (f(x)) = ω(x) (1.25)
Với mọi x
0
∈ X đặt X
0
= [f (x
0
) , x
0
]. Theo tính đơn điệu của ϕ
1
và ϕ
2
chúng ta
có ∀x
0

∈ X:
0 <
ϕ
1
(x
0
)
ϕ
2
(f(x
0
))
≤ ω(x) ≤
ϕ
1
(f(x
0
))
ϕ
2
(f(x
0
))
< ∞
⇒ k > 0 và K < ∞ ⇒ để chứng minh định lý ta sẽ chỉ ra k = K. Giả sử k > K
ta lấy hằng số c sao cho 1 < c
2
<
K
k

. Theo (1.24) có thể chọn x
0
∈ X sao cho
g(x
0
) < c ⇒ ∀u, v ∈ X
0
, u < v ta có:
ω(v)
ω(u)
=
ϕ
1
(v).ϕ
2
(u)
ϕ
1
(u).ϕ
2
(v)
≤
ϕ
2
(u)
ϕ
2
(v)
≤
ϕ

2
(f(x
0
))
ϕ
2
(x
0
)
= g(x
0
) < c (1.26)
Lấy v = f(x
0
), theo (1.25) ta có:
1
R
ω (x
0
) = Sup
u∈X
0

ω(x
0
)
ω(u)

≤ c
Với u = x

0
ta có:
K
ω(x
0
)
= Sup
v∈X
0
ω(v)
ω(x
0
)
≤ C
Vì thế
K
k
≤ C
2
và do đó ϕ
1
= kϕ
2
.
Định lí 1.2.3.
Với giả thiết (i) → (iii) và
lim
n→∞
g (f
n

(x)) = 1 (1.27)
Nếu ϕ : X → R là một nghiệm đơn điệu của phương trình (1.23) thì:
ϕ(x) = c. lim
n→∞
G
n
(x
0
)
G
n
(x)
= c.
∞

n=0
g(f
n
(x
0
))
g(f
n
(x))
(1.28)
ở đó x
0
∈ X là 1 điểm cố định tùy ý và c = ϕ(x
0
).

14
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Chứng minh.
Ta có:
* Nếu ϕ = 0 thì (1.28) đúng với c = 0.
* Nếu ϕ = 0 thì theo bổ đề 1.2.1 thì ϕ không đổi dấu trên X. Giả sử ϕ là dương
và tăng (trong trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự) lấy x tùy ý
trong X, từ (1.23) theo quy nạp ta có
ϕ (f
n
(x)) = G
n
(x)ϕ(x), n ∈ N (1.29)
Đặt y = max(x
0
, x), từ f
n
(y)  0 (định lý 1.1.3) tồn tại m ∈ N sao cho x
0
, x ∈
[f
m
(y), y]. Theo tính đơn điệu của ϕ và (1.29) ta có:
G
m
(f
n
(y)) =
m−1


i=0
g

f
n+i
(y)

=
ϕ

f
m+n
(y)

ϕ (f (y))
≤
ϕ (f
n
(x))
ϕ (f
n
(x
0
))
≤
ϕ (f
n
(y))
ϕ (f
n+m

(y))
= [G
m
(f
n
(y))]
−1
Từ (1.27) khi n → ∞ ta có:
lim
n→∞
ϕ (f
n
(x))
ϕ (f
n
(x
0
))
= 1; ∀x ∈ X (1.30)
Dùng (1.29) cho x và x
0
theo (1.30) chúng ta thu được (1.28) với c = ϕ(x
0
).
Định lí 1.2.4.
Với giả thiết (i) → (iii) và nếu hàm g đơn điệu và
lim
x→0
g(x) = 1 (1.31)
thì phương trình (1.23) có duy nhất một họ nghiệm đơn điệu ϕ : X → R Các

nghiệm này cho bởi công thức (1.28) ở đó x
0
∈ X là một điểm cố định bất kỳ và
c ∈ R là một hằng số bất kỳ (tham số).
Chứng minh.
Chúng ta giả sử rằng g là hàm tăng (trong trường hợp khác chứng minh hoàn
toàn tương tự). Chúng ta phải chứng minh dãy trong (1.28) hội tụ.
Cố định x
0
∈ X bất kỳ, lấy một x ∈ X bất kỳ và đặt y = max(x
0
; x), khi đó tồn
tại m ∈ N sao cho x
0
, x ∈ [f
m
(y), y]. Vì thế
f
n
(x
0
), f
n
(x) ∈ [f
n+m
(y), f
n
(y)] với n ∈ N
0
và

g(f
n+m
(y))
g(f
n
(y))
≤
g(f
n
(x
0
))
g(f
n
(x))
≤
g(f
n
(y))
g(f
n+m
(y))
với n ∈ N
0
15
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Vì thế
g(f
k+1
(y)) g(f

k+m
(y))
g(y) g(f
m−1
(y))
≤
∞

n=0
g(f
n
(x
0
))
g(f
n
(x))
≤
g(y) g(f
m−1
(y))
g(f
k+1
(y)) g(f
k+m
(y))
với k ≥ m. Từ (1.31) suy ra (1.27), dãy có số hạng tổng quát
G
n
(x

0
)
G
n
(x)
bị chặn
trên và bị chặn dưới bởi các hằng số dương. Hơn nữa, dãy này đơn điệu, từ
g (f
n
(x
0
)) /g (f
n
(x)) ≥ 1 (hoặc ≤) với mọi n ∈ N
0
kéo theo x
0
≥ x (hoặc x
0
≤ x).
Do đó tích hữu hạn trong (1.28) hội tụ ∀x ∈ X. Với c ∈ R công thức (1.28) xác
định một hàm (không tầm thường trừ khi c=0). Ta có ϕ : X → R và ϕ là đơn
điệu do g đơn điệu và f là hàm tăng. Dễ dàng kiểm tra được rằng ϕ thoả mãn
phương trình (1.23). Tính duy nhất của nó có được từ định lý 1.2.3.
Xét phương trình:
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + h(x) (1.32)
Ở đó (iv) h : X → R là một hàm số, với các giả thiết (i), (ii), và (iv) ta có các
định lý sau:
Định lí 1.2.5.
Nếu inf

X
h = 0 hoặc sup
X
h = 0 thì hai nghiệm đơn điệu bất kỳ của phương trình
(1.32) trên X sai khác nhau một hằng số.
Định lí 1.2.6.
Cho lim
n→∞
h(f
n
(x)) = 0; ∀x ∈ X; nếu ϕ : X → R là một nghiệm đơn điệu của
(1.32) thì:
ϕ(x) = c −
∞

n=0
[h(f
n
(x)) − h(f
n
(x
0
))] (1.33)
x
0
∈ X là một điểm cố định tuỳ ý và c = ϕ(x
0
) là một hằng số.
Định lí 1.2.7.
Nếu hàm h đơn điệu và lim

x→0
h(x) = 0 thì phương trình (1.32) có một họ nghiệm
đơn điệu duy nhất ϕ : X → R, chúng được cho bởi công thức (1.33) ở đó x
0
∈ X
cố định bất kỳ và c ∈ R là một hằng số bất kỳ (tham số).
Xét phương trình tuyến tính tổng quát:
ϕ(f(x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.34)
16
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Định lí 1.2.8.
Với giả thiết (i) → (iv) và cho g, h là các hàm tăng. Hơn nữa, giả sử có điều kiện
(1.31) và
lim
n→∞

h(f
n
(x))
G
n+1
(x)

= 0; ∀x ∈ X (1.35)
thì ∀x
0
∈ X tồn tại họ nghiệm ϕ : X → R của phương trình (1.34) là các hàm
không âm và giảm trên [0; x
0
], các nghiệm này cho bởi công thức:

ϕ(x) = c.ϕ
0
(x) +
∞

n=0

h(f
n
(x
0
))
G
n+1
(x
0
)
ϕ
0
(x) −
h(f
n
(x)
G
n+1
(x)

(1.36)
Ở đó ϕ
0

(x) = lim
n→+∞
[G
n
(x
0
)/G
n
(x)] và c ≥ 0 là một tham số.
Chứng minh.
Chúng ta sẽ tìm các nghiệm của (1.34) dưới dạng tích của các hàm thoả mãn
các phương trình (1.23) và (1.32). Từ lập luận trong chứng minh của định lý
1.2.4 chỉ ra rằng hàm ϕ
0
là nghiệm dương giảm của phương trình (1.23). Xét hàm

h : X → R xác định bởi

h(x) = h(x)/ϕ
0
(f(x)). Vì vậy,

h là hàm tăng trên X và
chúng ta có theo (1.35) và (1.29) (với ϕ được thay thế bởi ϕ
0
):
lim
n→+∞

h(f

n
(x)) = lim
n→+∞
h(f
n
(x))
G
n+1
(x)
ϕ
0
(x) = 0
Với mọi x ∈ X, hàm
ϕ(x) = c −
∞

n=0


h(f
n
(x)) −

h(f
n
(x
0
))

(1.37)

là một nghiệm đơn điệu của phương trình:
ϕ(f(x)) = ϕ(x) +

h(x)
Theo định lý 1.2.7, dễ dàng thấy rằng với c ≥ 0, ϕ là hàm giảm và không âm trên
(0; x
0
]. Vì vậy, hàm ϕ(x) = ϕ
0
(x).ϕ(x) thoả mãn phương trình (1.34) và là hàm
không âm, giảm trên (0; x
0
]. Công thức (1.36) thu được từ (1.37) và (1.29) (với
ϕ được thay thế bởi ϕ
0
).
1.2.2. Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính
Xét phương trình:
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + h(x) (1.38)
Chúng ta giả sử rằng:
(i) X = (0; a] , 0 < a ≤ ∞
(ii) f : X → X là lõm và tăng nghiêm ngặt, 0 < f(x) < x trên X và lim
x→0
[f(x)/x] = 1.
17
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Bổ đề 1.2.9.
Nếu các giả thiết (i) – (ii) được thỏa mãn thì:
lim
x→∞

f
n+1
(x) − f
n
(x)
f
n+1
(y) − f
n
(y)
= 1; ∀x, y ∈ X (1.39)
Chứng minh.
Chúng ta giả sử y ≤ x, để đơn giản các ký hiệu ta đặt:
x
n
= f
n
(x); y
n
= f
n
(y), n ∈ N (1.40)
⇒ x
n
→ 0 (định lý 1.1.3). Vì vậy tồn tại k ∈ N sao cho x
k
≤ y ≤ x. Từ f là hàm
lõm ta có:
f


+
(x
n
) ≤
f(x
n+1
) − f(x
n
)
x
n+1
− x
n
≤ f

+
(x
n
+ 1), x ∈ N
Ở đó f

+
là đạo hàm bên phải. Điều kiện (ii) ngụ ý rằng lim
x→0
f

+
(x) = 1, nên chúng
ta được:
lim

n→∞
f(x
n+k
) − x
n+k
f(x
n
) − x
n
= lim
n→∞
k−1

i=0
f(x
n+i+1
) − f(x
n+i
)
x
n+i+1
− x
n+i
= 1 (1.41)
(nhớ rằng f(x
p
) = x
p+1
), điều kiện (ii) cũng ngụ ý rằng x → f(x) − x là một hàm
âm và giảm trên X. Từ x

n
≤ y
n
≤ x
n+k
chúng ta có:
1 ≤
f(x
n
) − x
n
f(y
n
) − y
n
≤
f(x
n
) − x
n
f(x
n+k
) − x
n+k
, ∀n ∈ N
Và (1.39) thu được từ (1.41) và (1.40).
Chúng ta thêm giả thiết:
(iii) h : X → R là hàm tăng và lõm (giảm và lồi) trên X và tồn tại giới hạn
L := lim
x→0

h(x) với 0 ≤ L < ∞ (−∞ < L ≤ 0).
Định lí 1.2.10.
Nếu các giả thiết (i) → (iii) được thoả mãn thì phương trình (1.38) có một họ
nghiệm duy nhất lồi (lõm) ϕ : X → R được cho bởi công thức:
ϕ(x) = c −
∞

n=0
[h(f
n
(x)) − h(f
n
(x
0
))] + Lα(x, x
0
) (1.42)
ở đó x
0
∈ X là phần tử bất kỳ cố định và c ∈ R là tham số.
Chứng minh.
Chúng ta ký hiệu:
x
n
= f
n
(x), n ∈ N, z
n
= f
n

(x
0
), n ∈ N
0
(1.43)
18
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Theo định lý 1.2.7 các chuỗi (xem (1.33) và (1.43)) ϕ(x) =
∞

n=0
[h(x
n
) − h(z
n
)] =
∞

n=0
[(h(x
n
) − L) − (h(z
n
) − L)] hội tụ trong X và tổng của chúng thoả mãn phương
trình:
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + (h(x) − L)
Vì vậy, ứng dụng bổ đề 2.2.1 hàm ϕ cho bởi (1.42) tồn tại và thoả mãn phương
trình (1.38) trên X. Nó kéo theo từ (1.42) và từ tính chất của f và h mà ϕ là hàm
lồi (tương ứng lõm) trên X.
Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằng ϕ : X → R là một hàm lồi thoả mãn

phương trình (1.38). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nó cho bởi công thức (1.42) ứng với
một giá trị c nào đó.
Cố định một x
0
∈ X và lấy x ∈ [f(x
0
), x
0
) thì z
n+1
≤ x
n
< z
n
, n ∈ N và từ quan
hệ tăng của ϕ đối với điểm (z
n
, ϕ(z
n
)) ta có:
h(z
n
)
z
n+1
− z
n
=
ϕ(z
n+1

) − ϕ(z
n
)
z
n+1
− z
n
≤
ϕ(x
n
) − ϕ(z
n
)
x
n
− z
n
tương tự:
h(z
n−1
)
z
n
− z
n−1
=
ϕ(z
n
) − ϕ(z
n−1

)
z
n
− z
n−1
≥
ϕ(x
n
) − ϕ(z
n
)
x
n
− z
n
Vì thế chúng ta thu được
x
n
− z
n
z
n
− z
n−1
h(z
n−1
) ≤ ϕ(x
n
) − ϕ(z
n

) ≤ α
n
(x, x
0
)h(z
n
) (1.44)
Từ z
n
→ 0 theo (2.20) và (iii) thì biểu thức vế phải của (1.44) tiến tới Lα(x, x
0
)
khi n → ∞. Giới hạn đó cũng đạt được ở bên vế trái của (1.44). Theo (1.43) và
(2.20) chúng ta có (với y = f
−1
(x
0
))
x
n
− z
n
z
n
− z
n−1
= α
n
(x, x
0

)
f
n+1
(x
0
) − f
n
(x
0
)
f
n+1
(y) − f
n
(y)
áp dụng bổ đề 1.2.9 và 2.2.1, trong (1.44) và (1.43) cho n → ∞ ta có:
lim
n→∞
[ϕ(f
n
(x)) − ϕ(f
n
(x
0
))] = Lα(x, x
0
) (1.45)
Từ (1.38) chúng ta được:
ϕ (f
n

(x)) − ϕ (f
n
(x
0
)) = ϕ(x) − ϕ(x
0
) +
n−1

i=0

h

f
i
(x)

− h

f
i
(x
0
)

(1.46)
Nhưng (1.46), (1.45) thực chất là (1.42) với c = ϕ(x
0
) và ϕ xác định duy nhất (sai
khác một hằng số) trong [f(x

0
), x
0
) và vì thế theo (1.46) nó cũng đúng trên toàn
bộ X.
19
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Xét phương trình thuần nhất:
ϕ (f(x)) = g(x)ϕ(x) (1.47)
Với các giả thiết:
(i) X = (0, a|, 0 < a ≤ ∞.
(ii) f : X → X liên tục, tăng và 0 < f(x) < x trong X, hàm x → f(x)/x đơn điệu
trên X và lim
x→0

f(x)
x

= s, 0 < s < 1.
(iii) g : X → R là hàm dương, liên tục, đơn điệu trên X và thoả mãn lim
x→0
g(x) =
g
0
, 0 < g
0
< ∞.
Hệ quả 1.2.11.
Với các giả thiết (i)-(iii) và g
0

= 1 mọi nghiệm dương đơn điệu ϕ : X → R của
phương trình (1.47) là các hàm thay đổi chậm.
1.2.3. Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính
Định lí 1.2.12.
Cho X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K. Giả sử rằng
các hàm f : X → X, g : X → K, h : X → Y liên tục trên X, f là hàm tăng nghiêm
ngặt, 0 < f(x) < x trên X và g(x) = 0 trên X. Nếu x
0
∈ X là một điểm bất kỳ cố
định và X
0
= [f(x
0
); x
0
] thì với mọi hàm ϕ
0
: X
0
→ Y thoả mãn điều kiện:
ϕ
0
(f(x
0
)) = g(x
0
).ϕ
0
(x
0

) + h(x
0
) (1.48)
Có thể mở rộng duy nhất lên X tới một nghiệm ϕ : X → Y của phương trình:
ϕ(f(x)) = g(x).ϕ(x) + h(x) (1.49)
Vì vậy, ϕ là liên tục trên X nếu ϕ
0
liên tục trên X
0
.
Xét phương trình:
ϕ(f(x)) = g(x).ϕ(x) (1.50)
Với các giả thiết:
(i) X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K.
(ii) Các hàm f : X → X, g : X → K liên tục trên X. Hơn thế 0 < f(x) < x và
g(x) = 0 trên X\{0}.
(iii) f tăng nghiêm ngặt trên X.
Sử dụng phép quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng nếu ϕ : X → Y là nghiệm của phương
trình (1.50) thì:
ϕ(f
n
(x)) = G
n
(x).ϕ(x), x ∈ X, n ∈ N (1.51)
20
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Ở đó:
G
n
(x) =

n−1

i=1
g(f
i
(x)), n ∈ N, x ∈ X (1.52)
Chúng ta phân biệt ba trường hợp:
(A) Giới hạn G(x) = lim
n→∞
G
n
(x) tồn tại, liên tục và khác không trên X.
(B) lim
n→∞
G
n
(x) = 0 liên tục đều trên một đoạn con của X.
(C) Hoặc là (A) hoặc là (B) xảy ra.
Định lí 1.2.13.
Giả sử các giả thiết (i), (ii) thoả mãn và giả sử rằng trường hợp (A) xảy ra thì
nghiệm liên tục tổng quát ϕ : X → Y của phương trình (1.50) được cho bởi công
thức:
ϕ(x) =
y
G(x)
, (1.53)
Ở đó y ∈ Y là bất kỳ. Vì vậy phương trình (1.50) có một họ nghiệm duy nhất.
Chứng minh.
Nếu ϕ : X → Y là nghiệm liên tục của (1.50) thì (1.53) thu được từ (1.51) bằng
cách lấy giới hạn hai vế khi n → ∞ với y = ϕ(0).

Đảo lại, mọi hàm dạng (1.53) đều là nghiệm của phương trình (1.50) trên X được
suy từ:
G
n+1
(x) = g(x).G
n
(f(x)), n ∈ N
0
(1.54)
Chú ý rằng nếu trường hợp (A) xảy ra thì g(0) = 1, G(0) = 1 và y = ϕ(0) với ϕ
được cho bởi (1.53).
Để xét trường hợp (B) ta đưa vào hàm m : U → (0; ∞). Ở đó U = φ là một
tập con mở lớn nhất của X mà dãy (G
n
) hội tụ hầu đều tới 0:
m(x) = sup
n∈N
|G(x)| (1.55)
Chúng ta bổ sung thêm các giả thiết:
(iv) Hàm h : X → Y liên tục trên X.
(v) Dãy

1
G
n
(x)

n∈N
0
bị chặn tại mọi điểm x ∈ X. Giả sử rằng phương trình (1.49)

có một nghiệm liên tục ϕ : X → Y và lấy y = ϕ(0). Thay x = 0 vào (1.49) chúng
ta thu được h(0, y) = 0. Hơn nữa, theo (1.49) bằng quy nạp ta có:
H
n
(x, y) = ϕ (f
n
(x)) − y − G
n
(x) (ϕ(x) − y) (1.56)
21
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Định lí 1.2.14.
Với các giả thiết (i), (ii), (iv), (v) và giả sử rằng trường hợp (C) xảy ra. Phương
trình (1.49) có một nghiệm liên tục ϕ : X → Y nếu và chỉ nếu tồn tại y ∈ Y sao
cho chuỗi:
ϕ
0
(x) = −
∞

n=0
h(f
n
(x); y)
G
n+1
(x)
(1.57)
hội tụ và ϕ
0

liên tục trên X và khi đó ϕ được cho bởi công thức:
ϕ(x) = y + ϕ
0
(x) (1.58)
Chứng minh.
Chiều suy ngược lại dễ dàng được chứng minh. Giả sử chúng ta đã cho một nghiệm
liên tục ϕ : X → Y của phương trình (1.49), đặt y = ϕ(0), quan hệ (1.56) được
viết lại như sau:
ϕ(x) − y =
ϕ(f
n
(x)) − y
G
n
(x)
−
n−1

i=0
h(f
i
(x); y)
G
i+1
(x)
Cho n → ∞ chúng ta thu được (1.58) vì thế ϕ
0
= ϕ − y là một hàm liên tục.
Định lí 1.2.15.
Cho các giả thiết (i), (ii), (iv) và giả sử rằng |g(0)| > 1. Khi đó phương trình

(1.49) có duy nhất một nghiệm liên tục ϕ : X → Y cho bởi công thức (1.58) với
y = h(0)/ (1 − g(0)).
Chứng minh.
Chọn một số ϑ thoả mãn |g(0)| > ϑ > 1 và các số dương a < b và K sao cho
|g(x)| > ϑ và h(x) ≤ K trên [0; b] ⊂ X. Lấy M > K/(ϑ − 1), xét không gian (với
chuẩn sup) là Φ = {ϕ : [0, b] → Y , ϕ liên tục trên [0, b], ϕ(x) ≤ M, ∀x ∈ [0, b]}.
Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng công thức:
(T ϕ)(x) := (g(x))
−1
[ϕ(f(x)) − h(x)] , x ∈ [0, b] (1.59)
xác định một ánh xạ co của không gian Φ lên chính nó. Theo định lý Banach
phương trình (1.49) có duy nhất một nghiệm liên tục ϕ
b
∈ Φ. Theo định lý mở
rộng 1.2.12 chúng ta thu được một nghiệm liên tục duy nhất ϕ : X → Y của (1.49)
sao cho ϕ = ϕ
b
trên [0, b]. Từ (v) được thoả mãn, định lý 1.2.14 cho ta công thức
(1.58) với y = ϕ(0) = h(0)/ (1 − g(0)) như chúng ta thu được từ (1.49) bằng cách
thay x = 0.
22
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Xét lớp hàm:
B := {ϕ : X → Y, ϕ liên tục trên X\ {0} và bị chặn trên X}. (1.60)
Từ định lý 1.2.15 ta thu được định lý sau:
Định lí 1.2.16.
Cho các giả thiết (i), (ii) và h ∈ B. Nếu |g(0)| > 1 thì phương trình (1.49) có
duy nhất một nghiệm trong lớp B.
Định lí 1.2.17.
Giả sử có các giả thiết (i)-(iii) với Y = K = R. Nếu tồn tại số s ∈ (0, 1), m >

0, k > 0 sao cho:
f(x) = sx + O(x
1+m
), x → 0
g(x) = 1 + O(x
k
), x → 0
(1.61)
thì trường hợp (A) thoả mãn tức là phương trình (1.50) có duy nhất một họ nghiệm
liên tục ϕ : X → R các nghiệm này cho bởi công thức (1.53).
Chứng minh.
Chúng ta kiểm tra dãy (G
n
) cho bởi (1.52). Từ g(0) = 1, giả thiết (ii) ngụ ý rằng
g > 0. Từ (1.61) và định lý 1.1.8 chúng ta suy ra rằng:
lim
n→∞
s
−n
f
n
(x) ∈ (0, ∞) (1.62)
Lấy x
0
∈ X\ {0} và s
1
∈ (s, 1) là một số bất kỳ cố định thì chúng ta có theo
(1.61), (iii) và (1.62) với M > 0 ta có:
|g(f
n

(x)) − 1| ≤ M(f
n
(x))
k
≤ M(f
n
(x
0
))
k
≤ M
1
, M
1
= M
1
(x
0
) > 0.
Đánh giá này đúng cho mọi x ∈ [0, x
0
] khi n đủ lớn. Chúng ta thấy rằng chuỗi
∞

n=1
(g(f
n
(x)) − 1) hội tụ hầu đều trên X. Vì thế tồn tại giới hạn G(x) = lim
p→∞
G

p
(x) =
∞

n=1
g (f
n
(x)) (hầu đều trên X) và nó là một hàm dương liên tục trên X. Vì vậy
trường hợp (A) xảy ra và kết luận của định lý được kéo theo từ định lý 1.2.13.
Ta xét các giả thiết:
(i) X = [0, a|, 0 < a ≤ ∞.
(ii) Các hàm f : X → X, g : X → R và h : X → R liên tục, f tăng nghiêm ngặt,
0 < f(x) < x trên X\ {0}, g(x) = 0 trên X. Hơn nữa, ta có:
f(x) = x − x
m+1
u(x), u(x) = O(1), x → 0,
g(x) = 1 + x
k
v(x), v(x) = O(1), x → 0,
h(x) = x
q
w(x), w(x) = O(1), x → 0,
23
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Ở đó m, k, q là các hằng số dương (không nhất thiết là các số nguyên).
Định lí 1.2.18.
Giả sử các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn với h=0. Nếu k > m và điều kiện:
u(x) = t + O(x
τ
), t > 0, τ > 0. (1.63)

được thoả mãn thì phương trình:
Ψ(f(x)) = g(x).Ψ(x) (1.64)
Có duy nhất một họ nghiệm liên tục Ψ : X → R thoả mãn điều kiện:
Ψ(x) = Ψ(0) + O(x
k−m
) (1.65)
Chứng minh.
Các giả thiết ngụ ý rằng với phương trình (1.64) trường hợp (A) xảy ra. Vì vậy
lim
n→∞
G
n
(x) = G(x) và G : X → R là hàm liên tục, không triệt tiêu trên X. Theo
định lý 1.2.13 thì công thức:
Ψ(x) = y/G(x), y = Ψ(0)
thoả mãn mọi nghiệm liên tục Ψ : X → R của phương trình (1.64). Để chứng
minh (1.65) ta chỉ cần chỉ ra rằng:
G(x) = 1 + O(x
k−m
) (1.66)
Lấy x
0
∈ X\ {0} sao cho |g(x) − 1| <
1
2
và |G(x) − 1| <
1
2
với x ∈ (0; x
0

). Từ
|u| < 2| log(1 + u)| < 4|u|, ∀|u| <
1
2
, với x ∈ (0; x
0
) ta có:
|G(x) − 1| < 2| log G(x)| ≤ 2
∞

n=0
| log g(f
n
(x))|
≤ 4
∞

n=0
|g(f
n
(x)) − 1| ≤ 4D
∞

n=0
(f
n
(x))
k
Ở đó, D là một hằng số dương. Bây giờ với mọi x ∈ (0; f(x
0

)) tồn tại N = N(x) ∈ N
sao cho f
N+1
(x
0
) ≤ x ≤ f
N
(x
0
). Vì vậy ta có:
x
m−k
|G(x) − 1| < 4D(f(x
0
))
m−k
∞

n=0
(f
n+N
(x
0
))
k
. (1.67)
Theo định lý 1.1.10 và do f là hàm đơn điệu nên tồn tại các hằng số dương c
1
, c
2

và N ∈ N sao cho:
c
1
n
−1/m
≤ f
n
(x) ≤ c
2
n
−1/m
, x ∈ X
0
, n ≥ N (1.68)
24
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
với X
0
= [f(x
0
); x
0
]. Từ các bất đẳng thức (1.68) và
∞

n=N
n
−k/m
< [m/(k − m)]N
1−k/m

nên vế phải của (1.67) bị chặn trên (0; f(x
0
)) bởi:
4Dm
k − m
c
2
k
c
1
k−m

N(x)
N(x) + 1

1−k/m
≤ L
ở đó L không phụ thuộc vào x và (1.66) được kéo theo.
1.2.4. Nghiệm khả vi của phương trình tuyến tính
Xét phương trình tuyến tính dưới dạng:
ϕ(x) = g(x)ϕ(f(x)) + h(x) (1.69)
Chúng ta xét các giả thiết:
(i) X = |0, a|, 0 < a ≤ ∞, Y là một không gian Banach trên R.
(ii) Các hàm số f : X → X, g : X → R và h : X → R đều thuộc lớp C
r
, (1 ≤ r ≤ ∞)
trên X. Hơn nữa 0 < f(x) < x, f

(x) > 0 và g(x) = 0 trên X\ {0}.
Bổ đề 1.2.19.

Nếu các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn và ϕ : X → Y là một hàm thuộc lớp C
r
thì ta có:
d
k
dx
k
[g(x)ϕ(f(x)) + h(x)] =g(x)(f

(x))
k
ϕ
(k)
(f(x))+
+
k−1

i=0
P
ki
(x)ϕ
(i)
(f(x)) + h
(k)
(x)
Với k = 1, , r và P
ik
: X → R là các hàm thuộc lớp C
r−k
.

Định lí 1.2.20.
Giả sử các giả thiết (i), (ii) được thoả mãn với 0 /∈ X. Cố định x
0
∈ X và đặt
X
0
= [f(x
0
), x
0
], khi đó với mọi hàm ϕ
0
: X
0
→ Y thuộc lớp C
r
trên X
0
thoả mãn
các điều kiện:
ϕ
0
(x
0
) = g(x
0
)ϕ (f(x
0
)) + h(x
0

) (1.70)
ϕ
(k)
(x
0
) = g(x
0
)

f

(x
0
)

k
ϕ
(k)
0
(f(x
0
)) + h
(k)
(x
0
)+
+
k−1

i=0

P
ik
(x
0
)ϕ
(i)
0
(f(x
0
)) , k = 1, , r (1.71)
có thể mở rộng duy nhất trên X tới một nghiệm ϕ : X → Y thuộc lớp C
r
(X) của
phương trình (1.69)
25