sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác - ức chế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




HOÀNG THẾ TUẤN



SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
MỘT HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT
XÚC TÁC - ỨC CHẾ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC





Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2011
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach . . . . 1
1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Không gian các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Nội suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Không gian và các toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Ngoại suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . 12
1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1 Biên của miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue trong R

n
+
hoặc trong một miền bị
chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.5 Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
i
1.7.6 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.7 Không gian
˚
H
s
p
(Ω) và H
−s
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.8 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa 20
2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . 21
2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Tính chất chuyển trong L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 29

2.3 Toán tử lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L
2
. . . . . . . . . 32
2.3.3 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 33
3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế 36
3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Uớc lượng dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.3 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.4 Ước lượng toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tài liệu tham khảo 48
ii
Lời mở đầu
Một trong những cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu các phương trình, hệ phương
trình vi phân với biến thời gian là lý thuyết nửa nhóm. Lý thuyết này dựa trên những
kết quả về nửa nhóm giải tích được phát triển vào những năm 50 của thế kỉ trước. Điểm
nổi bật trong cách tiếp cận này là cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm. Chẳng
hạn, nửa nhóm giải tích e
−tA
sinh bởi toán tử tuyến tính −A là một nghiệm cơ bản
của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính ô-tô-nôm,
dU
dt
+ AU =
F (t), 0 < t ≤ T; U(0) = U

0
và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức
U(t) = e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)A
F (s)ds. Không chỉ vậy, mỗi nghiệm của Bài toán Cauchy
đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính,
dU
dt
+AU = F (U), 0 < t ≤ T ; U(0) = U
0
cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U(t) = e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)A
F (U(s))ds.
Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về các

nghiệm như tính duy nhất, tính chính quy tối đại, tính trơn v.v. Đặc biệt đối với
các bài toán phi tuyến, ta có thể suy ra tính liên tục Lipchitz hoặc thậm trí đạo hàm
Frechet của nghiệm theo giá trị ban đầu. Từ đó xây dựng được hệ động lực xác định
bởi Bài toán Cauchy; nghiên cứu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm; chỉ ra sự tồn
tại của tập hút; nghiên cứu được tính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm dừng;
xây dựng được đa tạp trơn ổn định hoặc không ổn định v.v. thậm trí bằng phương
pháp giải gần đúng ta có thể thu được lời giải số của nghiệm.
Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại
nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Chúng tôi chia luận văn ra làm
ba chương.
Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach,
những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, không
gian liên hợp và toán tử liên hợp. Chúng tôi cũng giới thiệu ở đây khái niệm và một
số tính chất nội suy, ngoại suy của một không gian Banach.
Chương 2 giành để nói về toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa. Chúng tôi đề
cập đến ở đây khái niệm toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính và nghiên
cứu tính chất chuyển của toán tử này trong L
2
. Ngoài ra sự tồn tại nghiệm của Bài
toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính cũng được phát
biểu.
Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cục
của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm
giải tích, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng
iv
các chất Xúc tác-Ức chế trong một trường hợp riêng.
Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể còn
thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như của
các bạn đồng nghiệp.
Hà nội, tháng 04 năm 2011

Hoàng Thế Tuấn
v
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một
không gian Banach
Cho X là một không gian Banach với chuẩn ||. ||. Ta sẽ giới thiệu một số không
gian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miền
của C.
Không gian các hàm bị chặn đều
Cho [a, b] là một đoạn trong R. Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kí
hiệu là B([a, b]; X). Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum
F  = sup
a≤t≤b
F (t).
Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach.
1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục
Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, là số nguyên không âm. Kí hiệu
C
m
([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b]. Khi m = 0,
C
0
([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản
là C([a, b]; X). Trên C
m
([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau
F 
C
m

=
m

i=0
max
a≤t≤b
||F
(i)
(t)||.
Với chuẩn này C
m
([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [1, Tr. 10]). Sau đây là
hai kết quả cơ bản.
1
Định lý 1.1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trong X. Nếu F ∈ C([a, b]; X)
và AF ∈ C([a, b]; X), thì
A

b
a
F (t)dt =

b
a
AF (t)dt.
Chứng minh. Xét một phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm mốc a = t
0
< t
1
< <

t
N
= b và lấy tổng
N

n=1
(t
n
− t
n−1
)F (τ
n
) với t
n−1
≤ τ
n
≤ t
n
.
Rõ ràng
A(
N

n=1
(t
n
− t
n−1
)F (τ
n

)) =
N

n=1
(t
n
− t
n−1
)AF (τ
n
).
Cho N → ∞ với điều kiện max
1≤n≤N
(t
n
− t
n−1
) → 0, ta được

b
a
F (t)dt ∈ D(A) và
A

b
a
F (t)dt =

b
a

AF (t)dt.
Định lý 1.1.2. Cho a ∈ C([0, T ], R) và f ∈ C([0, T ], R). Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩
C
1
((0, T ], R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
du
dt
+ a(t)u ≤ f (t), 0 < t ≤ T, (1.1)
thì
u(t) ≤ e
−

t
0
a(τ)dτ
u(0) +

t
0
e
−

t
s
a(τ)dτ
f(s)ds, 0 < t ≤ T.
Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 và f (t) ≡ f > 0 thì
u(t) ≤ e
−δt
u(0) + fδ

−1
, 0 < t ≤ T.
Chứng minh. Với mỗi t cố định, ta có
d
ds

u(s)e
−

t
s
a(τ)dτ

= [u

(s) + a(s)u(s)]e
−

t
s
a(τ)dτ
≤ f (s)e
−

t
s
a(τ)dτ
.
Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức này theo s trên đoạn [0, t], ta thu được
u(t) − u(0)e

−

t
s
a(τ)dτ
≤

t
0
f(s)e
−

t
s
a(τ)dτ
ds.
Từ (1.1) chúng ta có
u(t) ≤ e
−

t
0
a(τ)dτ
u(0) +

t
0
e
−


t
s
a(τ)dτ
f(s)ds, 0 < t ≤ T.
Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 thì
u(t) ≤ e
−δt
u(0) +

t
0
e
−δ(t−s)
f(s)ds, 0 < t ≤ T.
Thêm vào đó, nếu f(t) ≡ f > 0 thì
u(t) ≤ e
−δt
u(0) + fδ
−1
, 0 < t ≤ T.
2
1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder
Với m = 0, 1, 2, và một số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu C
m+σ
([a, b]; X) là không gian
các hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] với số mũ
σ. Trên C
m+σ
([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn
F 

C
m+σ
= F 
C
m
+ sup
a≤s<t≤b
F
(m)
(t) − F
(m)
(s)
|t − s|
σ
.
Với chuẩn này, C
m+σ
([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [3, Tr. 241]).
Khi σ = 1, gọi C
m,1
([a, b]; X) là tập tất cả các hàm khả vi liên tục tới cấp m, có
đạo hàm cấp m liên tục Lipchitz trên [a, b]. Trên lớp hàm này ta đưa vào chuẩn sau
F 
C
m,1
= F 
C
m
+ sup
a≤t<s≤b

F
(m)
(t) − F
(m)
(s)
|t − s|
.
Tương tự như trong trường hợp trên, với chuẩn vừa chỉ ra C
m,1
([a, b]; X) là một không
gian Banach (xem [1, Tr. 10]).
1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng
Cho hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, kí hiệu F
β, σ
((a, b]; X) là không gian các hàm liên
tục trên (a, b] (tương ứng trên [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng khi β = 1) với các tính
chất sau
1. Khi β < 1, (t − a)
1−β
F (t) có giới hạn khi t → a;
2. F liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s −a)
1−β+σ
, tức là:
sup
a≤s<t≤b
(s −a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ

= sup
a≤t≤b
sup
a≤s<t
(s −a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
< ∞;
3. Khi t → a,
ω
F
(t) = sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
||F (t) − F (s)||
(t − s)
σ
→ 0.
Trên F
β, σ
((a, b]; X) ta đưa vào chuẩn
F 
F
β, σ
= sup
a≤t≤b
(t − a)

1−β
F (t) + sup
a≤s<t≤b
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
.
Khi đó F
β,σ
((a, b]; X) trở thành một không gian Banach (xem [14, Tr. 5]).
3
1.1.4 Không gian các hàm giải tích
Cho D là một miền trong mặt phẳng phức C. Một hàm f(λ) xác định trên D, nhận
giá trị trong X được gọi là giải tích trong D nếu f khai triển được thành chuỗi Taylor
tại mọi điểm trong D. Tất cả các tính chất của các hàm giải tích phức thông thường
đều có thể được mở rộng cho hàm giải tích nhận giá trị trong X. Chẳng hạn ta có công
thức Tích phân Cauchy
f(λ) =
1
2πi

C
f(µ)
µ − λ
dµ
đúng cho mọi đường cong Jordan C trơn, hoặc trơn từng khúc bao quanh λ trong D.
1.2 Toán tử tuyến tính
Toán tử tuyến tính bị chặn

Cho X, Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là ||. ||
X
, ||. ||
Y
. Không
gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y được kí hiệu bởi L(X, Y ). Không gian L(X, Y )
được trang bị chuẩn
A
L(X,Y )
= sup
U
X
≤1
AU
Y
.
Với chuẩn này, L(X, Y ) là một không gian Banach. Khi X = Y, L(X, Y ) được viết gọn
là L(X). Kết quả sau đây được gọi là Định lý bị chặn đều.
Định lý 1.2.1 ([15], Tr. 69). Giả sử X và Y là các không gian Banach. Cho {A
α
}
α∈I
là một họ các toán tử bị chặn từ X vào Y với tập chỉ số I. Nếu sup
α∈I
A
α
U
Y
< ∞
với mọi U ∈ X, thì sup

α∈I
A
α

L(X, Y )
< ∞.
Dễ thấy rằng với mỗi U ∈ X, phiếm hàm p
U
(.) xác định bởi p
U
(A) = AU
Y
,
A ∈ L(X, Y ) là một nửa chuẩn trên L(X, Y ). Rõ ràng họ các nửa chuẩn p
U
(.), U ∈ X
thỏa mãn tính chất tách, tức là p
U
(A) = 0 với mọi p
U
kéo theo A = 0. Cho trước một
số tự nhiên n khác 0, xét n phần tử bất kì trong X mà ta kí hiệu là U
1
, , U
n
và một
bộ n số thực dương nhỏ tùy ý 
1
, , 
n

. Ta định nghĩa một lân cận của toán tử 0 trong
L(X, Y ) là tập U có dạng
U = {A ∈ L(X, Y ) : p
U
i
(A) < 
i
, i = 1, , n}.
Trường hợp A ∈ L(X, Y ) là toán tử bất kì, lân cận của A là tập có dạng A + U. Trên
L(X, Y ) ta định nghĩa một tô-pô như sau. Một tập được gọi là mở trong L(X, Y ) khi
và chỉ khi nó chứa lân cận của mọi điểm nằm trong nó. Với tô-pô này, L(X, Y ) trở
thành một không gian tô-pô tuyến tính, lồi địa phương (xem [15, Tr. 26]). Không gian
4
tô-pô này được kí hiệu là L
s
(X, Y ). Đây là tô-pô mạnh trên L(X, Y ). Trong khi đó,
tô-pô xác định bởi chuẩn toán tử được gọi là tô-pô đều trên L(X, Y ). Chú ý, theo Định
lý 1.2.1 vừa phát biểu L
s
(X, Y ) là không gian đủ.
Xét một dãy {A
n
} trong L(X, Y ). Ta nói rằng {A
n
} hội tụ mạnh tới một toán tử
bị chặn A nếu A
n
hội tụ tới A theo tô-pô mạnh, tức là A
n
U → AU trong Y với mọi

U ∈ X. Một cách tương tự, xét hàm A(ω) xác định trên tập Ω ⊂ R
d
(d là một số
nguyên dương) và nhận giá trị trong L(X, Y ). Ta nói A(ω) liên tục mạnh tại ω
0
∈ Ω
nếu A(ω) liên tục tại ω
0
theo tô-pô mạnh, nói cách khác A(ω) liên tục mạnh tại ω
0
khi
chỉ khi A(ω)U → A(ω
0
)U trong Y khi ω → ω
0
với mọi U ∈ X.
1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính
Cho X là một không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ X vào
chính nó. Miền xác định của A sẽ được kí hiệu là D(A) còn miền giá trị của nó được
kí hiệu bởi R(A). Cho Y là một không gian con của X. Toán tử A
|Y
xác định trên
D(A
|Y
) = {U ∈ D(A) ∩ Y : AU ∈ Y } bằng công thức A
|Y
U = AU được gọi là Hạn
chế của A trong Y . Dễ dàng kiểm tra rằng A
|Y
là một toán tử tuyến tính từ Y vào Y .

Khi D(A) ⊂ Y, D(A
|Y
) = {U ∈ D(A) : AU ∈ Y }.
1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford
Cho A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không gian Banach
X. Tập ρ(A) chứa các số phức λ sao cho (λ − A) có toán tử ngược (λ − A)
−1
∈ L(X)
được gọi là tập giải thức của A. Ta biết rằng ρ(A) là tập mở trong C còn (λ −A)
−1
là
một hàm giải tích xác định trên ρ(A), nhận giá trị trong L(X) (xem [2, Tr. 158]). Vì
vậy với mỗi λ
0
∈ ρ(A) ta có
(λ − A)
−1
=
∞

n=0
(−1)
n
(λ − λ
0
)
n
(λ
0
− A)

−(n+1)
, |λ − λ
0
| < (λ
0
− A)
−1

−1
. (1.2)
Phần bù của ρ(A) trong C, kí hiệu là σ(A), được gọi là phổ của A. Chú ý phổ của A
độc lập với cách chọn chuẩn trên X (xem [14, Tr. 10]). Ngoài ra, dễ thấy rằng
(λ − A)
−1
− (µ − A)
−1
= −(λ − µ)(λ − A)
−1
(µ − A)
−1
, λ, µ ∈ ρ(A). (1.3)
Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X và σ(A) là phổ của nó. Lấy
f(λ) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D chứa σ(A) và đặt
f(A) =
1
2πi

C
f(λ) (λ − A)
−1

dλ,
5
ở đây C là đường cong Jordan trơn, hoặc trơn từng khúc nằm trong D bao quanh
σ(A). Tích phân này xác định trong L(X), không phụ thuộc vào cách chọn đường cong
Jordan C. Người ta gọi nó là Tích phân Dunford. Trong khi đó toán tử f(A) được gọi
là Tích phân hàm liên kết với f(λ).
1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian Banach. Một họ {T (t)}
t≥0
các toán tử
bị chặn trong X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh hoặc C
0
-nửa nhóm nếu các
tính chất sau được thỏa mãn
1. T (t + s) = T (t)T (s);
2. T (0) = I;
3. Với mỗi x ∈ X, ánh xạ: [0, ∞)  t → T (t)x ∈ X liên tục theo t.
Định nghĩa 1.2.2. Cho {T(t)}
t≥0
là một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử bị chặn
trên không gian Banach X. Toán tử A định nghĩa bởi
Ax = lim
h→0
+
T (h)x − x
h
được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}
t≥0
. Miền xác định D(A) của A là tập
tất cả các x ∈ X sao cho giới hạn trong vế phải của đẳng thức vừa nêu tồn tại.

Sau đây ta phát biểu một định lý quan trọng trong lý thuyết toán tử tuyến tính.
Định lý 1.2.2. (Lumer-Phillips) Giả sử H là một không gian Hilbert với tích trong
., .. Cho A là một toán tử tuyến tính trong H thỏa mãn các điều kiện sau
1. D(A) trù mật trong X;
2. Tồn tại một số thực ω sao cho Rex, Ax ≤ ωx, x với mọi x ∈ D(A);
3. Tồn tại số thực λ
0
> ω sao cho A − λ
0
I là toán ánh.
Khi đó A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {e
tA
}
t≥0
và e
tA
 ≤ e
ωt
.
Chứng minh. Xem chứng minh trong [10, Tr. 407].
6
1.2.4 Nửa nhóm giải tích
Cho X là không gian Banach. Một hàm U(z) nhận giá trị trong L(X), xác định
trên miền quạt
Σ
φ
= {z ∈ C : |arg z| < φ}, 0 < φ <
π
2
được gọi là một nửa nhóm giải tích trên X nếu nó thỏa mãn

1. U(z) là một hàm giải tích trong Σ
φ
;
2. U(z) thỏa mãn tính chất nửa nhóm U(z + z

) = U(z)U(z

) với mọi z, z

∈ Σ
φ
;
3. Với bất kì φ

sao cho 0 < φ

< φ, U(z) hội tụ mạnh tới toán tử 1 trong X khi
Σ
φ

\ {0}  z → 0.
Do tính chất thứ ba ở trên, ta định nghĩa được U(0) = 1. Vì nửa nhóm giải tích U(z)
trong Σ
φ
có thể mở rộng được lên một miền quạt rộng hơn (có góc φ lớn hơn), nên
một cách tự nhiên ta xét supremum tập tất cả các góc của những hình quạt mà U(z)
có thể mở rộng lên được. Ta gọi giá trị này là góc của nửa nhóm U(z) và kí hiệu nó là
φ
U
.

Xét toán tử tuyến tính A đóng, xác định trù mật trong X, có phổ σ(A) thỏa mãn
σ(A) ⊂ β + Σ
ω
, −∞ < β < ∞, 0 < ω <
π
2
. (1.4)
Ngoài ra, giả sử thêm rằng tồn tại hằng số M
ω
≥ 1 sao cho
(λ − A)
−1
 ≤
M
ω
|λ − β|
, λ /∈ β + Σ
ω
. (1.5)
Ta có định lý sau.
Định lý 1.2.3. Cho A là toán tử đóng, xác định trù mật trong X, thỏa mãn (1.4)
và (1.5). Khi đó, e
−zA
là một nửa nhóm giải tích xác định trong Σ
π
2
−ω
, thỏa mãn ước
lượng
e

−zA
 ≤ C
φ
e
−(β+δ
φ
)|z|
, z ∈ Σ
φ
, 0 < φ <
π
2
− ω, (1.6)
với các hằng số δ
φ
> 0 và C
φ
≥ 1 chỉ phụ thuộc vào φ.
Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 119].
7
1.3 Nội suy không gian Banach
Với X
0
, X
1
là hai không gian Banach với các chuẩn tương ứng là . 
X
0
, . 
X

1
.
Giả sử X
1
được nhúng trù mật và liên tục vào X
0
. Cho S là dải
S = {z : 0 < Rez < 1}
trong mặt phẳng phức C. Ta kí hiệu H(X
0
, X
1
) là không gian tất cả các hàm giải tích
như sau
1. F (z) là một hàm giải tích trong S, nhận giá trị trong X
0
;
2. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục trong
¯
S, nhận giá trị trong X
0
;
3. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục theo biến z = 1 + iy, nhận giá trị trong X
1
.
Trên H(X
0
, X
1
) ta đưa vào chuẩn

F 
H
= max

sup
−∞<y<∞
F (iy)
X
0
, sup
−∞<y<∞
F (1 + iy)
X
1

.
Với chuẩn này H(X
0
, X
1
) là một không gian Banach (xem [13, Định lý 1.9.1]).
Cho θ là một số không âm thỏa mãn 0 ≤ θ ≤ 1, ta định nghĩa không gian [X
0
, X
1
]
θ
như sau
[X
0

, X
1
]
θ
= {U ∈ X
0
: tồn tại hàm F ∈ H(X
0
, X
1
) sao cho U = F (θ)}.
Trên [X
0
, X
1
]
θ
ta đưa vào chuẩn
U
θ
= inf
F ∈H,F (θ)=U
F 
H
.
Khi đó [X
0
, X
1
]

θ
là một không gian Banach và được gọi là Không gian nội suy từ X
1
,
X
0
(xem [13, Định lý 1.9.2]). Sau đây là vài tính chất cơ bản của các Không gian nội
suy, chứng minh chi tiết xem [13, Định lý 1.9.3].
1. [X
0
, X
1
]
0
= X
0
và [X
0
, X
1
]
1
= X
1
;
2. Với 0 < θ < 1, X
1
⊂ [X
0
, X

1
]
θ
⊂ X
0
, các phép nhúng ở đây là liên tục, trù mật;
3. Với 0 < θ < 1, bất đẳng thức ||U||
θ
≤ ||U||
1−θ
X
0
||U||
θ
X
1
đúng cho mọi U ∈ X
1
;
4. Với 0 ≤ θ <

θ ≤ 1, [X
0
, X
1
]

θ
⊂ [X
0

, X
1
]
θ
, phép nhúng ở đây là liên tục.
8
1.4 Không gian và các toán tử liên hợp
1.4.1 Không gian đối ngẫu
Cho X là một không gian Banach với chuẩn . . Coi C như một không gian Banach
với chuẩn thông thường, xét không gian Banach L(X, C) với chuẩn
||Φ|| = sup
F ≤1
|Φ(F )|, Φ ∈ L(X, C).
Ta thường kí hiệu không gian này là X

và gọi nó là không gian đối ngẫu của X. Mỗi
toán tử tuyến tính trong X

được gọi là một phiếm hàm tuyến tính trên X. Tuy nhiên
để thuận tiện thay vì xét phép nhân vô hướng thông thường, trên X

ta sẽ xét phép
nhân vô hướng sau
(αΦ)(F ) = ¯αΦ(F ) với mọiα ∈ C, Φ ∈ X

, F ∈ X.
Vì X

là một không gian Banach, ta có thể xét không gian đối ngẫu X


của X

. Khi
đó toán tử ι từ X vào X

xác định bởi
(ι F )(Φ) = Φ(F ), F ∈ X, Φ ∈ X

.
là một ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn từ X vào X

. Khi ι là toàn ánh, tức là
ι(X) = X

, X được gọi là không gian Banach phản xạ. Kết quả sau đây là một hệ quả
của Định lý Hahn-Banach mở rộng. Nó được sử dụng để xây dựng không gian liên hợp
của X. Chứng minh chi tiết có trong [15, Tr 108].
Định lý 1.4.1. Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó với mọi F ∈ X, F = 0
tồn tại một phiếm hàm Φ ∈ X

sao cho Φ(F ) = F  và ||Φ|| = 1.
1.4.2 Không gian liên hợp
Giả sử X và Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là . 
X
, . 
Y
.
Một hàm nhận giá trị phức ., .
X×Y
xác định trên không gian tích X × Y được gọi là

một dạng tựa tuyến tính nếu nó thỏa mãn

αF + β

F , G
X×Y
= αF, G
X×Y
+ β

F , G
X×Y
, α, β ∈ C, F,

F ∈ X, G ∈ Y,
F, αG + β

G
X×Y
= ¯αF, G
X×Y
+
¯
βF,

G
X×Y
, α, β ∈ C, F ∈ X, G,

G ∈ Y.

Dạng tựa tuyến tính ., .
X×Y
này được gọi là một tích đối ngẫu nếu nó thỏa mãn
1. |F, G
X×Y
| ≤ F 
X
G
Y
, F ∈ X, G ∈ Y ;
9
2. F 
X
= sup
G
Y
≤1
|F, G
X×Y
|, F ∈ X;
3. G
Y
= sup
F 
X
≤1
|F, G
X×Y
|, G ∈ Y.
Khi có tích đối ngẫu ., .

X×Y
giữa X và Y, thì Y được gọi là không gian liên hợp của
X với tích đối ngẫu ., .
X×Y
và được ký hiệu là X
∗
. Dễ thấy nếu Y là không gian liên
hợp của X với tích đối ngẫu ., .
X×Y
thì X cũng là không gian liên hợp của Y với tích
đối ngẫu ., .
Y ×X
.
1.4.3 Toán tử liên hợp
Cho {X, X
∗
} (tương ứng {Y, Y
∗
}) là một cặp không gian Banach liên hợp với tích
đối ngẫu ., .
X×X
∗
(tương ứng ., .
Y ×Y
∗
). Giả sử A là một toán tử tuyến tính xác định
trù mật từ không gian con D(A) ⊂ X vào Y . Lấy một toán tử A
∗
xác định trong
D(A

∗
) ⊂ Y
∗
và nhận giá trị trong X
∗
như sau. Một véctơ Ψ ∈ Y
∗
nằm trong D(A
∗
)
khi và chỉ khi tồn tại một véctơ Φ ∈ X
∗
sao cho AU, Ψ
Y ×Y
∗
= U, Φ
X×X
∗
với mọi
U ∈ D(A). Vì D(A) trù mật trong X nên Φ như vậy được chọn một cách duy nhất.
Với mỗi Ψ ∈ D(A
∗
), chúng ta đặt A
∗
Ψ = Φ. Từ đây,
U, A
∗
Ψ
X×X
∗

= AU, Ψ
Y ×Y
∗
với mọi U ∈ D(A), Ψ ∈ D(A
∗
).
Dễ dàng kiểm tra được rằng D(A
∗
) là một không gian con tuyến tính của Y
∗
và A
∗
là
một toán tử tuyến tính. Toán tử A
∗
này được gọi là liên hợp của A đối với các cặp liên
hợp {X, X
∗
} và {Y, Y
∗
}. Nếu A bị chặn thì A
∗
cũng bị chặn, hơn nữa A = A
∗
.
Ngoài ra nếu X và Y là các không gian Banach phản xạ, ta có định lý sau.
Định lý 1.4.2 ([14], Tr. 21). Giả sử X, Y là các không gian Banach phản xạ và các
cặp liên hợp {X, X
∗
}, {Y, Y

∗
}. Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào
Y , thì A
∗
là một toán tử tuyến tính liên tục từ Y
∗
vào X
∗
. Hơn nữa A
∗
 = A và
A
∗∗
= A.
Trong trường hợp X = Y , X
∗
= Y
∗
và cặp liên hợp là {X, X
∗
} với tích đối ngẫu
., ., ta có kết quả sau.
Định lý 1.4.3 ([14], Tr. 21-22). Cho X là một không gian Banach phản xạ và {X, X
∗
}
là một cặp liên hợp. Nếu A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X,
thì A
∗
cũng là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X
∗

. Hơn nữa A và
A
∗
thỏa mãn các tính chất sau
1. A
∗∗
= A;
10
2. λ ∈ ρ(A
∗
) khi và chỉ khi
¯
λ ∈ ρ(A);
3. Nếu λ ∈ ρ(A
∗
), thì (λ − A
∗
)
−1
= [(
¯
λ − A)
−1
]
∗
.
Chú ý khi A
∗
= A, A được gọi là toán tử tự liên hợp.
1.5 Ngoại suy không gian Banach

Xét hai không gian Hilbert Z và X với các tích trong ((., .)), (., .) và các chuẩn
tương ứng . , |. |. Giả sử rằng Z được nhúng trù mật, liên tục vào X. Kết quả trong
[14, Tr. 23] chỉ ra sự tồn tại duy nhất của một không gian Banach, kí hiệu là Z
∗
, thỏa
mãn các điều kiện sau
1. Z ⊂ X ⊂ Z
∗
với các phép nhúng trù mật và liên tục;
2. {Z, Z
∗
} tạo thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., .;
3. Tích đối ngẫu ., . thỏa mãn
U, F  = (U, F ) với mọi U ∈ Z, F ∈ X.
Ta gọi không gian Z
∗
này là Không gian ngoại suy từ Z ⊂ X và bộ ba không gian
Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là một Bộ ba. Theo định nghĩa của tích đối ngẫu, tích trong ., . phải
thỏa mãn
|U, Φ| ≤ UΦ
∗
, U ∈ Z, Φ ∈ Z
∗
,
U = sup
Φ
∗
≤1

|U, Φ|, U ∈ Z,
Φ
∗
= sup
U≤1
|U, Φ|, Φ ∈ Z
∗
,
ở đây . 
∗
là chuẩn trên Z
∗
. Ngoài ra, ta cũng thấy rằng với U, V ∈ Z
U, V 
Z
∗
×Z
= V, U
Z×Z
∗
= (V, U) = (U, V ) = U, V 
Z×Z
∗
,
tức là
U, V 
Z×Z
∗
= (U, V ) = U, V 
Z

∗
×Z
, U, V ∈ Z. (1.7)
Liên quan đến tính chất ngoại suy của không gian Hilbert, ta có định lý sau.
Định lý 1.5.1. Cho Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là một Bộ ba không gian. Nếu A là một toán tử tự
liên hợp bị chặn trên X và là một toán tử tuyến tính bị chặn trên Z, thì A mở rộng
được trên Z
∗
thành một toán tử tuyến tính bị chặn với ước lượng A
L(Z
∗
)
≤ A
L(Z)
.
11
Chứng minh. Với F ∈ X bất kì, ta có
AF 
∗
= sup
U≤1
|U, AF | = sup
U≤1
|(U, AF )| = sup
U≤1
|(AU, F )| ≤ A
L(Z)
F 

∗
.
Vì X trù mật trong Z
∗
, A được mở rộng một cách duy nhất lên Z
∗
thành một toán
tử bị chặn.
1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến
tính
1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết
Cho Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là một Bộ ba. Theo định nghĩa {Z, Z
∗
} là một cặp liên hợp. Trong
mục này ta sử dụng tích đối ngẫu ., .
Z
∗
×Z
thay vì ., .
Z×Z
∗
, tất nhiên ., .
Z
∗
×Z
=
., .
Z×Z

∗
. Xét dạng tựa tuyến tính a(U, V ) trên Z × Z.
Nếu với mọi U, V ∈ Z, tồn tại hằng số dương M sao cho
|a(U, V )| ≤ M UV , (1.8)
thì a(U, V ) được gọi là một dạng liên tục. Rõ ràng (1.8) suy ra a(U
n
, V
n
) → a(U, V )
nếu U
n
→ U và V
n
→ V đồng thời trong Z. Giả sử a(U, V ) là một dạng liên tục trên
Z. Với mỗi U ∈ Z, a(U, .) là phiếm hàm liên tục trong Z. Theo Định lý 1.17 trong [14]
ta tìm được duy nhất Φ ∈ Z
∗
sao cho a(U, V ) = V, Φ
Z×Z
∗
, tức là tìm được duy nhất
Φ ∈ Z
∗
để a(U, V ) = Φ, V  với mọi V ∈ Z. Như vậy tương ứng A : U → Φ là một
toán tử tuyến tính từ Z vào Z
∗
. Tương ứng này được gọi là toán tử liên kết với dạng
a(U, V ). Nó thỏa mãn
a(U, V ) = AU, V , U, V ∈ Z. (1.9)
Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn ước lượng

AU
∗
= sup
V ≤1
|AU, V | ≤ MU, U ∈ Z.
Nếu với mọi U ∈ Z, tồn tại hằng số dương δ sao cho
Re a(U, U) ≥ δU
2
, (1.10)
thì a(U, V ) được gọi là một dạng bức. Hiển nhiên từ (1.10) suy ra rằng nếu a(U, U) = 0
thì U = 0.
Sau đây ta phát biểu Định lý Lax-Milgram. Chứng minh chi tiết định lý này có
trong [15, Tr. 92].
12
Định lý 1.6.1. Cho a(U, V ) là một dạng liên tục và bức trên Z. Khi đó với bất kì
Ψ ∈ Z

, tồn tại duy nhất phần tử V ∈ Z sao cho Ψ(U) = a(U, V ) với mọi U ∈ Z.
Sử dụng Định lý Lax-Milgram ta chứng minh được rằng toán tử liên kết A là một
đẳng cấu từ Z tới Z
∗
.
Định lý 1.6.2 ([14], Tr. 26). Cho a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính thỏa mãn (1.8),
(1.10). Gọi A là toán tử liên kết với dạng này. Khi đó A là một đẳng cấu từ Z tới Z
∗
với đánh giá δU ≤ AU
∗
≤ MU. Ngoài ra, A là toán tử tuyến tính đóng và xác
định trù mật trong Z
∗

.
Cuối cùng ta nói về Hạn chế của A lần lượt trên X và Z. Theo định nghĩa, do
D(A) ⊂ X, Hạn chế của toán tử A trong X được cho bởi

D(A
|X
) = {U ∈ Z, AU ∈ X},
A
|X
U = AU.
Từ định nghĩa của Không gian ngoại suy, ta thấy rằng nếu U ∈ D(A
|X
) thì a(U, V ) liên
tục theo V đối với chuẩn trong X. Hơn nữa, nếu U ∈ D(A
|X
) thì a(U, V ) = (A
|X
U, V )
với mọi V ∈ Z. Một cách tương tự, vì Z = D(A), Hạn chế của A trong Z được cho bởi

D(A
|Z
) = {U ∈ Z, AU ∈ Z},
A
|Z
U = AU.
Từ (1.7), ta thấy rằng nếu U ∈ D(A
|Z
) thì a(U, V ) liên tục theo V đối với chuẩn trong
Z

∗
. Hơn nữa khi U ∈ D(A
|Z
), ta có a(U, V ) = U, V 
Z×Z
∗
với mọi V ∈ Z.
1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp
Khi a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức, các Hạn chế A
|X
và A
|Z
của toán tử liên kết A đối với dạng này là các toán tử đóng, xác định trù mật tương
ứng trong X và Z. Thật vậy, xét dạng tựa tuyến tính a
∗
(U, V ) như sau
a
∗
(U, V ) = a(V, U), (U, V ) ∈ Z × Z.
Ta gọi a
∗
(U, V ) là dạng liên hợp của a(U, V ). Rõ ràng a
∗
(U, V ) cũng liên tục và bức
trên Z. Gỉa sử B là toán tử liên kết với a
∗
(U, V ). Như đã chỉ ra trong mục trước,
dưới các Giả thiết (1.8) và (1.10), B là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật
trong Z
∗

và thỏa mãn a(U, V ) = a
∗
(V, U) = BV, U với mọi U, V ∈ Z. Hơn nữa,
AU, V  = a(U, V ) = U, BV  với mọi U, V ∈ Z. Theo (1.7), rõ ràng A
|Z
là toán tử
liên hợp B
∗
của B ứng với cặp đối ngẫu {Z, Z
∗
}. Thật vậy, U = B
∗

U khi và chỉ khi
13
U, V 
Z×Z
∗
= 

U, BV  với mọi V ∈ Z; tuy nhiên theo tính chất của toán tử B vừa
định nghĩa ở trên, U = B
∗

U khi và chỉ khi U, V 
Z
∗
×Z
= A


U, V  với mọi V ∈ Z; tóm
lại, U = B
∗

U khi và chỉ khi U = A

U ∈ Z và ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.6.3. Cho A là toán tử tuyến tính liên kết với a(U, V ). Giả sử các Điều
kiện (1.8) và (1.10) được thỏa mãn. Khi đó A
|X
, A
|Z
là các toán tử đóng, xác định
trù mật tương ứng trong X và Z. Ngoài ra các toán tử liên hợp A
∗
và (A
|Z
)
∗
ứng với
cặp {Z, Z
∗
} tương ứng là B
|Z
và B. Trong khi đó, toán tử liên hợp (A
|X
)
∗
ứng với cặp
{X, X} là B

|X
.
Chứng minh. Vì A
|Z
= B
∗
, tính trù mật của D(A
|Z
) trong Z thu được trực tiếp từ
Định lý 1.4.3. Mặt khác, D(A
|Z
) ⊂ D(A
|X
) và Z trù mật trong X nên D(A
|X
) trù mật
trong X.
Lập luận tương tự như đối với A
|Z
= B
∗
, ta thấy A
|X
là toán tử liên hợp (B
|X
)
∗
của B
|X
đối với cặp liên hợp {X, X}. Khẳng định còn lại suy ra trực tiếp từ (1) trong

Định lý 1.4.3.
1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue
1.7.1 Biên của miền
Cho Ω là một tập mở trong R
n
. Ta nói rằng Ω có biên ∂Ω liên tục (tương ứng
Lipschitz, thuộc lớp C
m
(m = 1, 2, 3, . . .)) nếu với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V
của x trong R
n
và một hệ tọa độ trực giao mới (y
1
, . . . , y
n
) sao cho
1. V là một hình hộp trong hệ tọa độ mới:
V = {(y
1
, . . . , y
n
); −a
i
< y
i
< a
i
, i = 1, . . . , n};
2. Tồn tại một hàm ϕ liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp C
m

) xác định trong
V

= {(y
1
, . . . , y
n−1
); −a
i
< y
i
< a
i
, i = 1, . . . , n − 1}
thỏa mãn
|ϕ(y

)| ≤ a
n
/2 với mọi y

= (y
1
, . . . , y
n−1
) ∈ V

,
Ω ∩ V = {y = (y


, y
n
) ∈ V ; y
n
> ϕ(y

)},
∂Ω ∩V = {y = (y

, y
n
) ∈ V ; y
n
= ϕ(y

)};
3. ϕ
C(V

)
≤ c (tương ứng ϕ
Lip(V

)
≤ c, hoặc ϕ
C
m
(V

)

≤ c) với một hằng số
c > 0 nào đó.
14
1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên
Cho Ω là một tập mở trong R
n
. Với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, . . ., kí hiệu H
k
p
(Ω) là
không gian các hàm u thuộc lớp L
p
(Ω) sao cho các đạo hàm riêng D
α
u đến cấp k đều
thuộc L
p
(Ω) theo nghĩa phân bố, ở đây α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) là một đa chỉ số và cấp
của đạo hàm riêng D
α
u là số |α| = α
1
+ α
2

+ . . . + α
n
. Ta trang bị cho H
k
p
(Ω) chuẩn
u
H
k
p
=


|α|≤k
D
α
u
p
L
p

1
p
, u ∈ H
k
p
(Ω).
Với chuẩn này H
k
p

(Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt khi p = 2, H
k
2
(Ω) là một
không gian Hilbert với tích trong
u, v
H
k
2
=

|α|≤k
D
α
u, D
α
v
L
2
, u, v ∈ H
k
2
(Ω).
Trong trường hợp Ω là tập R
n
+
=

x = (x


, x
n
) : x

∈ R
n−1
, x
n
> 0

hoặc là một
miền bị chặn trong R
n
với biên Lipchitz, theo các Định lý 5 và 5’ trong [12], ta có thể
xây dựng một toán tử mở rộng biến các hàm trong Ω thành các hàm trong R
n
.
Định lý 1.7.1. Giả sử Ω là R
n
+
hoặc là một miền bị chặn trong R
n
với biên Lipschitz.
Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính C biến các hàm trong Ω thành các hàm trong R
n
với các tính chất sau
1. (Cu)
|Ω
= u;
2. C là một toán tử liên tục từ H

k
p
(Ω) vào H
k
p
(R
n
) (1 ≤ p ≤ ∞, k = 0, 1, 2, . . .) thỏa
mãn
Cu
H
k
p
(R
n
)
≤ A
p,k
u
H
k
p
(Ω)
,
ở đây A
p,k
> 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và k.
1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong R
n
Khi 1 < p < ∞, không gian Sobolev H

k
p
(Ω) có thể được mở rộng cho trường hợp
các cấp k không nguyên. Trong mục này, chúng ta xét Ω = R
n
. Giả sử s ≥ 0, kí hiệu
H
s
p
(R
n
) là không gian các hàm có tính chất như sau
H
s
p
(R
n
) = {u ∈ S(R
n
)

: F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s
2
Fu] ∈ L
p

(R
n
)},
ở đây S(R
n
)

là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, F, F
−1
tương ứng là phép
biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier ngược trên S(R
n
)

. H
s
p
(R
n
) là một không gian
Banach với chuẩn
u
H
s
p
= F
−1
[(1 + |ξ|
2
)

s
2
Fu]
L
p
, u ∈ H
s
p
(R
n
).
15
Khi s nguyên, không âm, người ta chứng minh được rằng hai định nghĩa của H
k
p
(R
n
)
và H
s
p
(R
n
) thật ra là tương đương.
Khi p = 2, H
s
2
(R
n
) là không gian Hilbert với tích trong

(u, v)
H
s
2
=

(1 + |ξ|
2
)
s
2
Fu, (1 + |ξ|
2
)
s
2
Fv

L
2
, u, v ∈ H
s
2
(R
n
).
Hơn nữa, với s = k + σ, k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩn của H
s
2
(R

n
)
tương đương với
u

H
s
2
= u
L
2
+

|α|≤k


R
n
×R
n
|D
α
u(x) − D
α
u(y)|
2
|x − y|
n+2σ
dx dy


1
2
, u ∈ H
s
2
(R
n
)
(xem [13, Tr. 15]).
1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue trong R
n
+
hoặc trong một
miền bị chặn
Giả sử Ω là R
n
+
hoặc là một miền bị chặn trong R
n
với biên Lipschitz. Với 1 < p < ∞
và s ≥ 0, H
s
p
(Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hạn chế u của các hàm trong H
s
p
(R
n
)
trên Ω, tức là một hàm u ∈ L

p
(Ω) nằm trong H
s
p
(Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm
U ∈ H
s
p
(R
n
) sao cho U
|Ω
= u hầu khắp nơi trong Ω. Với u ∈ H
s
p
(Ω), chuẩn trong H
s
p
của nó được định nghĩa là
u
H
s
p
(Ω)
= inf
U∈H
s
p
(R
n

), U
|Ω
=u
U
H
s
p
(R
n
)
.
Theo chuẩn này H
s
p
(Ω) là một không gian Banach. Thật vậy, vì K =

U ∈ H
s
p
(R
n
) :
U = 0 trong Ω

là một không gian con đóng của H
s
p
(R
n
), nên H

s
p
(Ω) thực chất là
không gian thương H
s
p
(R
n
)/K. Theo Định lý 1.7.1, ta thấy định nghĩa này là phù hợp
với định nghĩa của chuẩn ở phần trước khi s là một số nguyên.
Khi p = 2 và s = k + σ, trong đó k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩn
của H
s
2
(Ω) tương đương với
||u||

H
s
2
= ||u||
L
2
+

|α|≤k


Ω×Ω
|D

α
u(x) − D
α
u(y)|
2
|x − y|
n+2σ
dxdy

1
2
, u ∈ H
s
2
(Ω) (1.11)
(xem trong [13, Chú ý 4.4.2/2]). Ta cũng thấy rằng với 0 < s
0
< s
1
< ∞
H
s
1
p
(Ω) ⊂ H
s
0
p
(Ω) ⊂ L
p

(Ω), ở đây các phép nhúng là liên tục.
Các không gian H
s
p
(Ω) này được gọi bằng các tên khác nhau. Khi bậc k nguyên,
H
k
p
(Ω) được gọi là không gian Sobolev. Khi p = 2, H
s
2
(Ω) thường được viết gọn là
H
s
(Ω) và cũng được gọi là không gian Sobolev. Khi 1 < p < ∞, p = 2, H
s
p
(Ω) được
gọi là không gian Lebesgue.
16
1.7.5 Các định lí nhúng
Theo Định lý 2.8.1/Chú ý 2 và Định lý 4.6.1 trong [13] ta thu được kết quả sau.
Định lý 1.7.2. Cho Ω là R
n
, R
n
+
hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử
1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞. Ta có các khẳng định sau
1. Nếu 0 ≤ s <

n
p
và p ≤ r ≤
pn
n − ps
thì
H
s
p
(Ω) ⊂ L
r
(Ω) với phép nhúng liên tục. (1.12)
2. Nếu s =
n
p
và p ≤ r < ∞ thì
H
n
p
p
(Ω) ⊂ L
r
(Ω) với phép nhúng liên tục. (1.13)
3. Nếu s >
n
p
, thì
H
s
p

(Ω) ⊂

C(R
n
) (tương ứng C(R
n
+
)), khi Ω = R
n
(tương ứng R
n
+
),
C(Ω), khi Ω bị chặn.
(1.14)
Đặc biệt khi Ω bị chặn, phép nhúng ở đây là liên tục.
1.7.6 Vết
Trước hết xét trường hợp Ω = R
n
+
. Nếu 1 < p < ∞ và s >
n
p
, từ (1.14) ta thấy rằng
H
s
(R
n
+
) ⊂ C(R

n
+
). Do đó, toán tử vết γ : f → f
|∂R
n
+
xác định từ H
s
(R
n
+
) đến C(∂R
n
+
),
ở đây ∂R
n
+
= {x = (x

, 0); x

∈ R
n−1
}. Nếu s >
1
p
, γ mở rộng được thành một toán tử
bị chặn từ H
s

p
(R
n
+
) đến L
p
(∂R
n
+
) (xem [13, Định lý 2.9.3]).
Trong mục này ta sẽ giới thiệu một số mở rộng của những kết quả trên khi Ω là
R
n
+
hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Chứng minh những kết quả có trong
[14, Tr. 46]. Nhắc lại rằng D(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact
trong Ω.
Định lý 1.7.3. Cho Ω là R
n
+
hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử 1 <
p < ∞. Nếu s >
1
p
, thì vết γ : f → f
|∂Ω
là một toán tử bị chặn từ H
s
p
(Ω) lên L

p
(∂Ω).
Định lý 1.7.4. Cho Ω là R
n
+
hoặc là một miền bị chặn với biên Lipchitz và 1 < p < ∞.
Nếu 0 ≤ s ≤
1
p
, không gian D(Ω) trù mật trong H
s
p
(Ω).
Định lý 1.7.5. Cho Ω là miền như trong Định lý 1.7.4 và 1 < p < ∞. Với 0 ≤ s <
1
p
,
tương ứng f →

f, ở đây

f = f trong Ω và

f = 0 trong R
n
− Ω, là một toán tử bị chặn
từ H
s
p
(Ω) vào H

s
p
(R
n
).
17
Khi
1
p
< s ≤ 1, theo Định lý 1.42 trong [14], ta có kết quả sau.
Định lý 1.7.6. Cho Ω là miền như trong hai định lý trên và 1 < p < ∞. Nếu
1
p
< s ≤ 1, một hàm u ∈ H
s
p
(Ω) thuộc bao đóng của D(Ω) trong H
s
p
(Ω) khi và chỉ khi
u
|∂Ω
= 0.
1.7.7 Không gian
˚
H
s
p
(Ω) và H
−s

p
(Ω)
Với 1 < p < ∞ và s ≥ 0, kí hiệu
˚
H
s
p
(Ω) là bao đóng của tập D(Ω) trong không gian
H
s
p
(Ω). Ta thấy u ∈
˚
H
s
p
(Ω) khi và chi khi có một dãy {u
n
} ⊂ D(Ω) sao cho u
n
→ u
trong H
s
p
(Ω). Khi Ω = R
n
,
˚
H
s

p
(R
n
) = H
s
p
(R
n
) với mọi 0 ≤ s < ∞. Khi Ω là R
n
+
hoặc
là một miền bị chặn với biên Lipchitz thì theo Định lý 1.7.4
˚
H
s
p
(Ω) = H
s
p
(Ω) nếu 0 ≤ s ≤
1
p
, (1.15)
nhưng
˚
H
s
p
(Ω) = H

s
p
(Ω) nếu
1
p
< s < ∞.
Định lý 1.7.6 dẫn đến
˚
H
s
p
(Ω) =

u ∈ H
s
p
(Ω); u
|∂Ω
= 0

nếu
1
p
< s ≤ 1. (1.16)
Khi p = 2, không gian
˚
H
s
2
(Ω) được viết gọn là

˚
H
s
(Ω). Khi s ≥ 0, không gian đối
ngẫu của
˚
H
s
p

(Ω) là H
−s
p
(Ω), ở đây 1 < p

< ∞,
1
p
+
1
p

= 1. Vì vậy {
˚
H
s
p

(Ω), H
−s

p
(Ω)}
lập thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., .
˚
H
s
p

×H
−s
p
trên
˚
H
s
p

(Ω) × H
−s
p
(Ω). Mặt
khác do D(Ω) được nhúng trù mật trong
˚
H
s
p

(Ω) nên H
−s
p

(Ω) =
˚
H
s
p

(Ω)

⊂ D(Ω)

. Như
vậy ta có L
p
(Ω) ⊂ H
−s
p
(Ω) theo quan hệ
u, f
˚
H
s
p

×H
−s
p
= u, f
L
p


×L
p
, u ∈
˚
H
s
p

(Ω), f ∈ L
p
(Ω). (1.17)
Khi p = p

= 2, H
−s
2
(Ω) được viết gọn là H
−s
(Ω). Chú ý rằng ba không gian
˚
H
s
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) ⊂ H
−s
(Ω), 0 < s < ∞ (1.18)
lập thành một Bộ ba.
Khi Ω = R
n

, H
−s
p
(Ω) được cho bởi
H
−s
p
(R
n
) = {f ∈ S(R
n
)

: F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
−
s
2
Ff] ∈ L
p
(R
n
)},
Theo [13, Định lý 2.6.1], với bất kì −∞ < s < ∞,
(H
s
p

(R
n
))

= H
−s
p

(R
n
)

1
p
+
1
p

= 1

.
18
1.7.8 Không gian tích
Cho Ω là R
n
, R
n
+
hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Với 1 ≤ p ≤ ∞,
không gian tích L

p
(Ω) được định nghĩa như sau
L
p
(Ω) =

F =



f
1
.
.
.
f
l



; f
j
∈ L
p
(Ω) với j = 1, . . . , l

. (1.19)
Trên không gian này lấy chuẩn tích ||F ||
L
p

= max{||f
1
||
L
p
, . . . , ||f
l
||
L
p
} nếu 1 ≤ p < ∞
và ||F ||
L
∞
= max{||f
1
||
L
∞
, . . . , ||f
l
||
L
∞
} nếu p = ∞.
Tương tự với 1 < p < ∞ và s ≥ 0, không gian tích H
s
p
(Ω) được định nghĩa bởi
H

s
p
(Ω) =

U =



u
1
.
.
.
u
l



; u
j
∈ H
s
p
(Ω) với j = 1, . . . , l

(1.20)
với chuẩn tích ||U ||
H
s
p

= max{||u
1
||
H
s
p
, , ||u
l
||
H
s
p
}.
Những kết quả liên quan đến L
p
(Ω) và H
s
p
(Ω) một cách tự nhiên cũng đúng cho
L
p
(Ω) và H
s
p
(Ω). Ví dụ khi p = 2, L
2
(Ω) và H
s
(Ω) = H
s

2
(Ω) là các không gian Hilbert.
19
Chương 2
Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử
lũy thừa
2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản
2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt
Cho X là không gian Banach với chuẩn . , A là toán tử tuyến tính đóng, xác
định trù mật trong X. Giả sử rằng tập phổ của A được chứa trong miền quạt mở
σ(A) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : |argλ| < ω}, 0 < ω ≤ π, (2.1)
và giải thức của nó thỏa mãn ước lượng
(λ − A)
−1
 ≤
M
|λ|
, λ /∈ Σ
ω
(2.2)
với hằng số M ≥ 1. Khi đó A được gọi là toán tử quạt trong X. Điều kiện (2.1) suy
ra 0 /∈ σ(A), hay nói cách khác A có nghịch đảo bị chặn trong X. Theo (1.2), ta có
λ ∈ ρ(A) và
(λ − A)
−1
 ≤
A
−1


1 − A
−1
|λ|
, miễn là |λ| < A
−1

−1
. (2.3)
Tương tự đối với λ
0
= r
0
e
±iω
, r
0
> 0, ta thấy

λ ∈ C : |λ − λ
0
| <
r
0
M

⊂ ρ(A)
và
(λ − A)
−1

 ≤
M
r
0
− M|λ − λ
0
|
, với mọi λ miễn là |λ − λ
0
| <
r
0
M
.
Vì inf

argλ : |λ −λ
0
| <
r
0
M

= sin
−1
1
M
, nên với ω

thỏa mãn ω −sin

−1
1
M
< ω

< ω, ta
có
σ(A) ⊂ Σ
ω

=

λ ∈ C; |argλ| < ω


, (2.4)
20