Phương pháp thế hằng số biểu thức

NHÓM ÔN THI KHỐI A-A1
LÊ TUẤN ANH
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG PHÁP THẾ
(Trích)
(Thế hằng số bởi biểu thức)
***
Phương pháp thế là một trong những phương pháp giải Hệ phương trình
thường được áp dụng, bên cạnh kĩ thuật rút một biến hay rút một biểu thức
từ một phương trình của hệ để thế vào phương trình còn lại thì ta cũng có thể
thế hằng số bởi biểu thức.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:





−=−
=−
xyyx
xy
22
12
33
22
Đây là một bài toàn rất quen thuộc, là một hệ đẳng cấp thực thụ, có thể giải
bằng cách đặt y=kx để tìm k, hoặc cũng có thể giải bằng cách xét hàm đặc
trưng ở phương trình thứ hai của hệ, Song, ta cũng có thể giải như sau:
Thế số 1 ở phương trình thứ nhất của hệ vào phương trình còn lại:
(
)

(
)
(
)
(*)0522221.22
32232233
=−++⇔−−=−=− yxyyxxxyxyxyyx
Rõ ràng (*) là phương trình đẳng cấp bậc 3, vẫn cách giải quen thuộc:
+Khi y=0 thì hệ vô nghiệm.
+Khi y khác 0, chia 2 vế của pt(*) cho
3
y
ta được:
yx
y
x
y
x
y
x
y
x
=⇔=⇒=−









+








+








10522
23
Thế vào phương trình đầu:
11
2
±=⇔= xx
Từ đó kết luận hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: (1;1) và (-1;-1)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
(
)
(

)





=+−
+−=−
)2(3
)1(3292
22
33
yxyx
xyyxyx
Đây không còn là một hệ đẳng cấp, thử giải như ví dụ 1. Thế số 3 từ (2) vào
(1):
(
)
(
)
(
)
(
)
yxyxyxyxyxyxyxyxxyyxyx 28292
3333222233
=⇔=⇔−=++−=+−+−=−
Kết hợp với (2) ta được hệ:




±=
=
⇔



=
=
1
2
1
2
2
y
yx
y
yx
Kết luận hệ đã cho có 2 nghiệm: (2;1) và (-2;-1)
NHÓM ÔN THI KHỐI A-A1
LÊ TUẤN ANH
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
(
)
( )
( ) ( )



−=++++

−=+
)2(27122
)1(3714
2
yxxyxyx
yxx
Thế số 7 từ (1) vào (2):
( )
( )
( )
( )







+
=
−
=







−

=
+
=
⇔



−=+
−=
→



−=+
−=



−=
−=
⇔



=+
=+
⇒+=++
4
173
4

171
;
4
173
4
171
3714
1
*
3714
2
*
1
2
1
02
22
2
22
22
y
x
y
x
yxx
xy
VN
yxx
xy
xy

xy
yx
yx
yxyxyx
Kết luận hệ đã cho có 2 nghiệm.
Như vậy khi gặp một hệ phương trình mà các phương trình của hệ là
phương trình đa thức, ta có thể thử áp dụng kĩ thuật thế số như thế này,
nếu giải theo hướng này không cho ra kết quả thì ta tiếp tục suy nghĩ
hướng khác.
Dưới đây là một số bài tập rèn luyện.
Yêu cầu: giải các hệ phương trình
( )
( )
( )





++
−
=+
=−+





++++=+
=+++






+=+
=+
1
21
1
12
)3
477
8483
)2
1
)1
2
2
24
2
2
3
22
3355
22
y
x
y
xx

xyx
xyxyxyx
xyyx
yxyx
yx
HẾT.