Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG ppsx

Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ
DẠNG TỔNG
Giả sử chứng minh A
(n)
 k ta biến đổi A
(n)
về dạng tổng của nhiều hạng tử
và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.
Ví dụ 1: CMR: n
3
+ 11n  6 với  n  z.
Giải: Ta có n
3
+ 11n = n
3
- n + 12n = n(n
2
- 1) + 12n
= n(n + 1) (n - 1) + 12n
Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp
 n (n + 1) (n - 1)  6 và 12n  6
Vậy n
3
+ 11n  6

Ví dụ 2: Cho a, b  z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b)  11
CMR: (16a +17b) (17a +16b)  121
Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b)  11







1116b 17a
1117b 16a


(1)
Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b)  11 (2)
Từ (1) và (2) 





1116b 17a
1117b 16a



Vậy (16a +17b) (17a +16b)  121

Ví dụ 3: Tìm n  N sao cho P = (n + 5)(n + 6)  6n.
Giải : Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n
2
+ 11n + 30
= 12n + n
2
- n + 30
Vì 12n  6n nên để P  6n  n

2
- n + 30  6n








(2)n30
(1)3 1) -n(n
6n30
6n - n2





Từ (1)  n = 3k hoặc n = 3k + 1 (k  N)
Từ (2)  n  {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vậy từ (1); (2)  n  {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay các giá trị của n vào P ta có
n  {1; 3; 10; 30} là thoả mãn
Vậy n  {1; 3; 10; 15; 30} thì P = (n + 5)(n + 6)  6n.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: 1
3
+ 3
3

+ 5
3
+ 7
3
 2
3

Bài 2: CMR: 36n
2
+ 60n + 24  24
Bài 3: CMR: a. 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1
 59
b. 9
2n
+ 14  5
Bài 4: Tìm n  N sao cho n
3
- 8n
2
+ 2n  n
2
+ 1
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: 1
3

+ 3
3
+ 5
3
+ 7
3
= (1
3
+ 7
3
) + (3
3
+ 5
3
)
= 8m + 8N  2
3

Bài 2: 36
2
+ 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ  n(3n + 5) 
2  ĐPCM
Bài 3: a. 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1

= 5
n
(25 + 26) + 8
2n+1

= 5
n
(59 - 8) + 8.64
n

= 5
n
.59 + 8.59m  59
b. 9
2n
+ 14 = 9
2n
- 1 + 15
= (81
n
- 1) + 15
= 80m + 15  5
Bài 4: Có n
3
- 8n
2
+ 2n = (n
2
+ 1)(n - 8) + n + 8  (n
2

+ 1)  n + 8  n
2
+ 1
Nếu n + 8 = 0  n = -8 (thoả mãn)
Nếu n + 8  0  n + 8 n
2
+ 1














807n
809n
81n8n
81-n8n
2
2
2
2
nn

nn
n
n
Víi
Víi
Víi
Víi

 n  {-2; 0; 2} thử lại. Vậy n  {-8; 0; 2}