tỷ số h v đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————
LÊ THỊ HUỆ
TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI
CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ HUỆ
TỶ SỐ H/V ĐỐI VỚI CÁC MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI
CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 604421
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS PHẠM CHÍ VĨNH
Hà Nội - Năm 2012
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên trong bản luận văn này, cho phép em được gửi lời cảm ơn
chân thành tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em
trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, đặc biệt là các thầy cô trong
bộ môn Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè và các anh chị trong "nhóm xêmina" đã luôn bên em, cổ vũ, động viên,
giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
1
Mục lục

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước,
nén được 7
1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng
trước, không nén được 19
2.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng
trước, chịu ràng buộc trong tổng quát 25
3.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Công thức H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V 36
4.1 Sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước . . . . . . . . . . 36
4.1.1 Môi trường nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2 Môi trường không nén được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.3 Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát . . . . . . . . . 44
4.2 Tìm ứng suất trước khi đo được tỷ số H/V . . . . . . . . . . . . . 48
2
4.2.1 Môi trường nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2 Môi trường không nén được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3 Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát . . . . . . . . . 51
Kết luận 54
Tài liệu tham khảo 55
3
LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay vật liệu có ứng suất trước (vật liệu dự ứng lực) đã và đang được
sử dụng rộng rãi trong thực tế, nên việc xác định ứng suất trước trong các kết
cấu công trình trước và trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết và quan
trọng, và vận tốc sóng Rayleigh là một công cụ thuận tiện để thực hiện nhiệm
vụ này (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]). Trong các nghiên cứu (xem [2],
[4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) để đánh giá ứng suất trước bằng vận tốc sóng
Rayleigh các tác giả đã thiết lập các công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh.
Chúng phụ thuộc tuyến tính (xem [2], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) hoặc là các
đa thức bậc hai [4] đối với biến dạng trước (hay ứng suất trước) nên rất thuận
tiện khi sử dụng. Mặc dù vậy, vì chúng thu được bằng phương pháp nhiễu nên
các công thức này chỉ đúng khi biến dạng trước là nhỏ. Khi biến dạng trước
là không nhỏ, chúng hoàn toàn mất tác dụng. Gần đây, các công thức chính
xác, đúng cho biến dạng trước bất kỳ đã được tìm ra bởi Vinh [19] cho các môi
trường đàn hồi chịu ứng suất trước nén được, Vinh [18] cho các môi trường đàn
hồi chịu ứng suất trước không nén được, Vinh & Giang [29] cho các môi trường
đàn hồi có ứng suất trước chịu một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát.
Chú ý rằng, sự tồn tại của sóng mặt Rayleigh trong môi trường đàn hồi
đẳng hướng được Rayleigh [30] chứng minh từ hơn 100 năm trước, năm 1885, và
từ đó đến nay có một số lượng rất lớn các nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh trong
các môi trường đàn hồi khác nhau, do những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ. Công cụ tìm kiếm google scholar
cho khoảng một triệu đường link với từ khóa "Rayleigh waves", xem [34]. Mặc
dù vậy, các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh chỉ mới được tìm ra
gần đây, bởi Nkemzi [15], Malischewsky [12], Vinh & Ogden [26] cho môi trường
đàn hồi đẳng hướng nén được, bởi Vinh & Ogden [27, 28] cho môi trường đàn
hồi trực hướng nén được, bởi Ogden & Vinh [17] cho môi trường đàn hồi trực
hướng không nén được, bởi Vinh [19, 18] cho môi trường đàn hồi có biến dạng
trước nén được và không nén được, bởi Vinh & Giang [29] cho môi trường đàn
hồi có biến dạng trước chụi một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát, Vinh
& Linh [25] cho môi trường đàn hồi chụi ảnh hưởng của trọng trường. Nhờ các

4
công thức này, bằng phương pháp bình phương tối thiểu, một số công thức xấp
xỉ với độ chính xác rất cao của vận tốc sóng Rayleigh, xem [20]-[24], đã được
tìm ra. Chúng có dạng đơn giản nên rất tiện lợi khi sử dụng.
Trong một bài báo gần đây [9], Junge và các cộng sự chỉ ra rằng, so với
vận tốc sóng Rayleigh tỷ số H/V (tỷ số giữa các giá trị cực đại của môđun
chuyển dịch ngang và môđun chuyển dịch thẳng đứng tại biên của bán không
gian của sóng Rayleigh) có hai ưu điểm: (i) nhạy cảm hơn đối với ứng suất trước
(ii) không phụ thuộc vào việc đo khoảng cách giữa điểm kích động và điểm nhận
tín hiệu, và thời gian chuyển động của sóng Rayleigh trên đoạn đường này. Tức
là, để đánh giá ứng suất trước trong các kết cấu công trình, so với vận tốc sóng,
tỷ số H/V là công cụ tốt hơn. Cho đến nay, theo hiểu biết của tác giả, chưa
có một công thức chính xác nào được thiết lập cho tỷ số H/V đối với các môi
trường đàn hồi có ứng suất trước. Do vậy, việc tìm ra công thức này là rất có ý
nghĩa, về cả phương diện lý thuyết và ứng dụng thực tế.
Mục đích chính của luận văn này là thiết lập các công thức chính xác của
tỷ số H/V đối với các môi trường đàn hồi có ứng suất trước (biến dạng trước),
nén được, không nén được và môi trường chịu ràng buộc trong đẳng hướng tổng
quát. Ứng dụng các công thức thu được, khảo sát một số ví dụ đơn giản về việc
xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V. Cần nhấn mạnh
rằng tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc sóng. Để thu được công thức chính xác
của nó, trước hết cần tìm ra các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh.
Trong các kết quả thu được, tác giả đã sử dụng các công thức chính xác của vận
tốc sóng Rayleigh tìm ra gần đây bởi Vinh [19] cho môi trường nén được, Vinh
[18] cho môi trường không nén được, và Vinh & Giang [29] cho môi trường chịu
ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát.
Nội dung của luận văn bao gồm 4 chương :
• Chương 1: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước,
nén được.
Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trường

đàn hồi, có biến dạng trước, nén được. Từ công thức thu được, suy ra công
thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] biểu diễn tỷ số H/V đối với
5
môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, không có ứng trước.
• Chương 2: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước,
không nén được.
Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trường
đàn hồi, có biến dạng trước, không nén được.
• Chương 3: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước,
chịu ràng buộc trong tổng quát.
Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trường
đàn hồi, có biến dạng trước, trong trường hợp có ràng buộc trong tổng
quát. Từ công thức thu được ta đưa được về trường hợp công thức H/V
đã được thiết lập ở chương 2.
• Chương 4: Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V.
Mục đích của chương này là sử dụng các công thức thu được khảo sát một
số ví dụ đơn giản về sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước, và
xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V.
6
Chương 1
Công thức H/V đối với môi trường
đàn hồi, có biến dạng trước, nén
được
1.1 Các phương trình cơ bản
Xét một vật thể đàn hồi đẳng hướng, nén được mà ở trạng thái tự nhiên
(không có ứng suất) chiếm bán không gian X
2
≤ 0. Giả sử vật thể chịu biến
dạng ban đầu thuần nhất, tức là:
x

1
= λ
1
X
1
, x
2
= λ
2
X
2
, x
3
= λ
3
X
3
, λ
j
= const, j = 1, 2, 3, (1.1)
trong đó các hằng số λ
j
(λ
j
> 0, j = 1, 2, 3) được gọi là các độ dãn chính. Sau
khi chịu biến dạng ban đầu (1.1) vật thể chiếm bán không gian x
2
≤ 0. Xét
chuyển động phẳng trong mặt phẳng (x
1

, x
2
) với các thành phần nhiễu chuyển
dịch như sau:
u
j
= u
j
(x
1
, x
2
, t), j = 1, 2, u
3
= 0, (1.2)
trong đó t là thời gian. Khi đó, bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động
là [16, 6]:
A
1111
u
1,11
+ A
2121
u
1,22
+ (A
1122
+ A
2112
)u

2,12
= ρ ¨u
1
,
(A
1122
+ A
2112
)u
1,12
+ A
2121
u
2,11
+ A
2222
u
2,22
= ρ ¨u
2
, (1.3)
7
trong đó ρ là mật độ khối lượng của vật liệu ở trạng thái ban đầu, dấu chấm
(trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến không
gian (x
j
), các thành phần khác không của tenxơ hạng bốn A
ijkl
được xác định
bởi công thức [6, 16]:

JA
iijj
= λ
i
λ
j
∂
2
W
∂λ
i
∂λ
j
, (1.4)
JA
ijij
=









(λ
i
∂W
∂λ

i
− λ
j
∂W
∂λ
j
)
λ
2
i
λ
2
i
− λ
2
j
, (i = j, λ
i
= λ
j
)
1
2
(JA
iiii
− JA
iijj
+ λ
i
∂W

∂λ
i
) (i = j, λ
i
= λ
j
)
(1.5)
JA
ijji
= JA
jiij
= JA
ijij
− λ
i
∂W
∂λ
i
(i = j), (1.6)
với i, j ∈ {1, 2, 3}, W = W (λ
1
, λ
2
, λ
3
) là hàm năng lượng biến dạng trên một đơn
vị thể tích, J = λ
1
λ

2
λ
3
.
Khi môi trường không có biến dạng trước, các thành phần A
ijkl
trở thành:
A
iiii
= λ + 2µ, A
iijj
= λ, A
ijij
= A
ijji
= µ, (1.7)
trong đó λ, µ là các hằng số Lame. Nhiễu ứng suất trên mặt x
2
= const được
tính bởi công thức trong [6]:
s
21
= A
2121
u
1,2
+ A
2112
u
2,1

,
s
22
= A
2222
u
2,2
+ A
1122
u
1,1
. (1.8)
Ứng suất Côsi được xác định bởi [6, 31]:
Jσ
j
= λ
j
∂W
∂λ
j
. (1.9)
Để đơn giản trong trình bày, ta sử dụng các ký hiệu sau:
α
ij
= JA
iijj
(α
11
= JA
1111

, α
22
= JA
2222
, α
12
= α
21
= JA
1122
),
γ
1
= JA
1212
, γ
2
= JA
2121
, γ
∗
= JA
2112
, ρ
0
= Jρ. (1.10)
trong đó ρ
0
là mật độ khối lượng ở trong trạng thái tự nhiên. Khi đó hệ phương
trình (1.3) trở thành:

α
11
u
1,11
+ γ
2
u
1,22
+ (α
12
+ γ
∗
) u
2,12
= ρ
0
¨u
1
,
γ
1
u
2,11
+ α
22
u
2,22
+ (α
12
+ γ

∗
) u
1,12
= ρ
0
¨u
2
. (1.11)
8
Từ điều kiện cần và đủ để hệ (1.11) là eliptic mạnh (strongly elliptic) ta có [6]:
α
11
> 0, α
22
> 0, γ
1
> 0, γ
2
> 0. (1.12)
1.2 Sóng Rayleigh
Giả sử sóng mặt Rayleigh truyền theo hướng x
1
và tắt dần theo hướng
x
2
, khi đó ta tìm nghiệm của hệ (1.11) dưới dạng:
u
1
= A
1

exp[iksx
2
+ i(kx
1
− ωt)],
u
2
= A
2
exp[iksx
2
+ i(kx
1
− ωt)], (1.13)
trong đó: A
1
, A
2
là các hằng số, ω là tần số sóng, k là số sóng, s là hằng số cần
tìm. Để trường chuyển dịch của sóng Rayleigh tắt dần theo chiều sâu, tức là:
lim
x
2
→−∞
u
j
= 0, j = 1, 2 (1.14)
thì s phải có phần ảo âm, tức là :
Ims < 0. (1.15)
Thay (1.13) vào (1.11) ta được :

α
11
A
1
(ik)
2
+ (α
12
+ γ
∗
)(ik)
2
sA
2
+ γ
2
(ik)
2
s
2
A
1
= A
1
ρ
0
(−iω)
2
,
γ

1
A
2
(ik)
2
+ (α
12
+ γ
∗
)(ik)
2
sA
1
+ α
22
(ik)
2
s
2
A
2
= A
2
ρ
0
(−iω)
2
, (1.16)
hay:






(α
11
+ γ
2
s
2
− ρ
0
c
2
)A
1
+ (α
12
+ γ
∗
)sA
2
= 0,
(α
12
+ γ
∗
)sA
1
+ (γ

1
+ α
22
s
2
− ρ
0
c
2
)A
2
= 0,
(1.17)
trong đó : c =
ω
k
là vận tốc sóng Rayleigh. Để hệ (1.17) có nghiệm không tầm
thường thì định thức của hệ phải bằng không, tức là:







α
11
+ γ
2
s

2
− ρ
0
c
2
(α
12
+ γ
∗
)s
(α
12
+ γ
∗
)s
γ
1
+ α
22
s
2
− ρ
0
c
2








= 0. (1.18)
9
Sau khi khai triển định thức cấp hai, phương trình (1.18) trở thành:
⇔ (α
11
+ γ
2
s
2
− ρ
0
c
2
)(γ
1
+ α
22
s
2
− ρ
0
c
2
) − (α
12
+ γ
∗
)

2
s
2
= 0
⇔ ˆcs
4
+ 2bs
2
+ a = 0, (1.19)
trong đó:
ˆc = α
22
γ
2
,
2b = α
22
(α
11
− ρ
0
c
2
) + γ
2
(γ
1
− ρ
0
c

2
) − (α
12
+ γ
∗
)
2
,
a = (α
11
− ρc
2
0
)(γ
1
− ρ
0
c
2
). (1.20)
Từ (1.19), (1.20) ta có:
s
2
1
s
2
2
=
a
ˆc

=
(α
11
− ρ
0
c
2
)(γ
1
− ρ
0
c
2
)
α
22
γ
2
,
s
2
1
+ s
2
2
=
−2b
ˆc
=
−α

22
(α
11
− ρ
0
c
2
) − γ
2
(γ
1
− ρ
0
c
2
) + (α
12
+ γ
∗
)
2
α
22
γ
2
. (1.21)
Theo (1.15), để thỏa mãn điều kiện tắt dần thì s
1
, s
2

phải có phần ảo âm. Từ
đó ta sẽ chứng minh được rằng vận tốc sóng Rayleigh c phải thỏa mãn các bất
đẳng thức sau :
0 < ρ
0
c
2
< min(γ
1
, α
11
). (1.22)
Thật vậy, đặt X = s
2
, từ (1.19) suy ra:
ˆcX
2
+ 2bX + a = 0. (1.23)
Trường hợp 1: ∆ ≥ 0: Khi đó X
1
, X
2
là các số thực, do vậy X
1
, X
2
phải là
các số âm. Vì nếu ngược lại, chẳng hạn X
1
≥ 0 thì s

1
=
√
X
1
là một số thực,
do vậy phần ảo của s
1
bằng không, mâu thuẫn với điều kiện Ims
1
< 0. Do đó:
s
2
1
= X
1
< 0, s
2
2
= X
2
< 0, → s
2
1
s
2
1
> 0 suy ra theo (1.12) và (1.21), hoặc:






(α
11
− ρ
0
c
2
) > 0
(γ
1
− ρ
0
c
2
) > 0
(1.24)
hoặc :





(α
11
− ρ
0
c
2

) < 0
(γ
1
− ρ
0
c
2
) < 0
(1.25)
10
Giả sử :





(α
11
− ρ
0
c
2
) < 0
(γ
1
− ρ
0
c
2
) < 0

(1.26)
Chú ý đến (1.12), từ (1.21) và (1.26) suy ra:
s
2
1
+ s
2
2
=
−α
22
(α
11
− ρ
0
c
2
) − γ
2
(γ
1
− ρ
0
c
2
) + (α
12
+ γ
∗
)

2
α
22
γ
2
> 0. (1.27)
Điều này mâu thuẫn với : s
2
1
< 0, s
2
2
< 0. Do vậy:





(α
11
− ρ
0
c
2
) > 0
(γ
1
− ρ
0
c

2
) > 0
hay : 0 < ρ
0
c
2
< min(γ
1
, α
11
). (1.28)
Trường hợp 2: ∆ < 0: Khi đó phương trình (1.23) có hai nghiệm phức liên hợp
X
1
=
¯
X
2
. Do vậy:
s
2
1
s
2
2
=
¯
X
2
X

2
= |X
2
|
2
=


s
2
2


2
> 0. (1.29)
Chú ý rằng: không thể xảy ra trường hợp s
2
2
= 0, vì nếu ngược lại thì suy ra
s
2
= 0, điều này mâu thuẫn với (1.15) . Từ (1.20) và (1.28) ta có, hoặc:





(α
11
− ρ

0
c
2
) > 0
(γ
1
− ρ
0
c
2
) > 0
(1.30)
hoặc :





(α
11
− ρ
0
c
2
) < 0
(γ
1
− ρ
0
c

2
) < 0
(1.31)
Giả sử :





(α
11
− ρ
0
c
2
) < 0
(γ
1
− ρ
0
c
2
) < 0
(1.32)
11
Từ (1.23) ta có:
∆ = (2b)
2
− 4aˆc = [α
22

(α
11
− ρ
0
c
2
) + γ
2
(γ
1
− ρ
0
c
2
) − (α
12
+ γ
∗
)
2
]
2
−4(α
11
− ρ
0
c
2
)(γ
1

− ρ
0
c
2
)α
22
γ
2
= [α
22
(α
11
− ρ
0
c
2
) + γ
2
(γ
1
− ρ
0
c
2
)]
2
− 4α
22
γ
2

(α
11
− ρ
0
c
2
)(γ
1
− ρ
0
c
2
)
−2(α
12
+ γ
∗
)
2
[α
22
(α
11
− ρ
0
c
2
) + γ
2
(γ

1
− ρ
0
c
2
)]
= [α
22
(α
11
− ρ
0
c
2
) − γ
2
(γ
1
− ρ
0
c
2
)]
2
−2(α
12
+ γ
∗
)
2

[α
22
(α
11
− ρ
0
c
2
) + γ
2
(γ
1
− ρ
0
c
2
)]. (1.33)
Từ (1.33), tính đến (1.20) và (1.32) suy ra: ∆ ≥ 0, nhưng điều này mâu thuẫn
với giả thiết ∆ < 0, nên ta suy ra:





(α
11
− ρ
0
c
2

) > 0
(γ
1
− ρ
0
c
2
) > 0
hay: 0 < ρ
0
c
2
< min(γ
1
, α
11
).
Như vậy, trong mọi trường hợp ta luôn có:
0 < ρ
0
c
2
< min(γ
1
, α
11
).
Từ phương trình (1.19) ta tìm được s
1
, s

2
sao cho Ims
j
< 0 (j = 1, 2). Với mỗi
s
j
(j = 1, 2) ta tìm được nghiệm riêng tương ứng, có dạng (1.13) trong đó các
hằng số A
1
, A
2
xác định bởi hệ (1.17). Một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm
riêng này chính là trường chuyển dịch của sóng Rayleigh, tức là:
u
1
= [C
1
exp(iks
1
x
2
) + C
2
exp(iks
2
x
2
)] exp[i(kx
1
− ωt)],

u
2
= [q
1
C
1
exp(iks
1
x
2
) + q
2
C
2
exp(iks
2
x
2
)] exp[i(kx
1
− ωt)], (1.34)
trong đó C
1
, C
2
là các hằng số (được xác định từ điều kiện biên), q
1
, q
2
được xác

định bởi công thức sau:
q
m
= −
(α
11
+ γ
2
s
2
m
− ρ
0
c
2
)
(α
12
+ γ
∗
)s
m
= −
(α
12
+ γ
∗
)s
m
(γ

1
+ α
22
s
2
m
− ρ
0
c
2
)
, m = 1, 2. (1.35)
Giả sử mặt biên x
2
= 0 tự do đối với ứng suất tức là s
21
= s
22
= 0 tại x
2
= 0.
Khi đó, theo (1.8) và (1.10) ta có:
γ
2
u
1,2
+ γ
∗
u
2,1

= 0 (1.36)
12
α
12
u
1,2
+ α
22
u
2,2
= 0. (1.37)
Đó chính là hệ phương trình để xác định các hằng số C
1
, C
2
.
1.3 Công thức H/V
Thay (1.34) vào (1.36) và (1.37) ta được:
(γ
2
s
1
+ γ
∗
q
1
)C
1
+ (γ
2

s
2
+ γ
∗
q
2
)C
2
= 0,
(α
12
+ α
22
q
1
s
1
)C
1
+ (α
12
+ α
22
q
2
s
2
)C
2
= 0. (1.38)

Từ (1.38)
1
:
(γ
2
s
1
+ γ
∗
q
1
)C
1
+ (γ
2
s
2
+ γ
∗
q
2
)C
2
= 0,
suy ra:
C
1
= −
γ
2

s
2
+ γ
∗
q
2
γ
2
s
1
+ γ
∗
q
1
C
2
. (1.39)
Từ (1.34) ta có:
u
1
(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)
=
C

1
+ C
2
q
1
C
1
+ q
2
C
2
. (1.40)
Thế (1.39) vào (1.40) và rút gọn ta được:
u
1
(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)
=
γ
∗
(q
1
− q
2

) + γ
2
(s
1
− s
2
)
γ
2
(q
2
s
1
− q
1
s
2
)
. (1.41)
Theo (1.35) ta có:
q
1
− q
2
=
(α
11
− ρ
0
c

2
− γ
2
s
1
s
2
)(s
1
− s
2
)
(α
12
+ γ
∗
)s
1
s
2
(1.42)
Mặt khác, cũng từ (1.35):
q
2
s
1
− q
1
s
2

= −
α
11
− ρ
0
c
2
+ γ
2
s
2
2
(α
12
+ γ
∗
)s
2
s
1
+
α
11
− ρ
0
c
2
+ γ
2
s

2
1
(α
12
+ γ
∗
)s
1
s
2
=
α
11
− ρ
0
c
2
(s
2
2
− s
2
1
)
(α
12
+ γ
∗
)s
1

s
2
(1.43)
Do vậy, từ (1.41), (1.42) và (1.43) ta có:
u
1
(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)
=
−γ
2
α
12
s
1
s
2
− γ
∗
(α
11
− ρ
0
c

2
)
γ
2
(α
11
− ρ
0
c
2
)(s
1
+ s
2
)
. (1.44)
Vậy tỷ số H/V được biểu diễn bằng công thức sau:
χ
(12)
=




u
1
(x
2
= 0)
u

2
(x
2
= 0)




=




γ
2
α
12
s
1
s
2
+ γ
∗
(α
11
− ρ
0
c
2
)

γ
2
(α
11
− ρ
0
c
2
)(s
1
+ s
2
)




. (1.45)
13
Đặt:
P = s
2
1
s
2
2
=
(α
11
− ρ

0
c
2
)(γ
1
− ρ
0
c
2
)
α
22
γ
2
,
S = s
2
1
+ s
2
2
=
−α
22
(α
11
− ρ
0
c
2

) − γ
2
(γ
1
− ρ
0
c
2
) + (α
12
+ γ
∗
)
2
α
22
γ
2
. (1.46)
Từ (1.15) ta chứng minh được:
s
1
s
2
= −
√
P , s
1
+ s
2

= −i

2
√
P − S. (1.47)
Chú ý rằng, dễ dàng chứng minh được P > 0, 2
√
P − S > 0. Ta đưa vào kí hiệu
χ
(km)
là tỷ số H/V của sóng Rayleigh khi thực hiện truyền sóng theo hướng x
k
và tắt dần theo hướng x
m
. Thay (1.47) vào (1.45) ta thu được tỷ số H/V được
biểu diễn bởi công thức sau:
χ
(12)
=





−γ
2
α
12
√
P + γ

∗
(α
11
− ρ
0
c
2
)
γ
2
(α
11
− ρ
0
c
2
)

2
√
P − S





, (1.48)
trong đó P , S xác định bởi (1.46). Ta thấy tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc
sóng Rayleigh c. Đặt x
(12)

r
= ρ
0
c
2
/γ
1
, khi đó theo Vinh [19] thì vận tốc sóng được
xác định cụ thể như sau:
Trường hợp 1: Nếu α
12
+ γ
∗
= 0 thì x
(12)
r
được xác định bởi công thức:
x
(12)
r
=
1 − t
(12)
r
2
θ −t
(12)
r
2
, (1.49)

trong đó t
(12)
r
được xác định bởi công thức sau:
t
(12)
r
= −
1
3
a
2
+
3

R +
√
D +
q
2
3

R +
√
D
nếu γ
∗
= 0
t
(12)

r
=
(1 − θ) +
√
∆
2
√
b(θ −d)
; ∆ = (1 − θ)
2
+ 4bθ(1 − d)(θ −d) nếu γ
∗
= 0 (1.50)
và các đại lượng q, R, D được xác định bởi công thức sau:
a = 1 −
γ
2
∗
γ
1
γ
2
; b =
α
11
α
22
γ
1
γ

2
; d = 1 −
α
2
12
α
11
α
22
; θ =
γ
1
α
11
a
0
=
√
bθ(d − 1)
1 − a
; a
1
=
aθ −1
1 − a
; a
2
=
√
b(θ −d)

1 − a
; q
2
=
a
2
2
− 3a
1
9
R =
a
1
a
2
− 27a
3
54
; D =
4a
0
a
3
2
− a
2
1
a
2
2

− 18a
0
a
1
a
2
+ 27a
2
0
+ 4a
3
1
108
(1.51)
14
Trường hợp 2: Nếu α
12
+ γ
∗
= 0 thì vận tốc sóng x
(12)
r
được tính bởi công thức
sau:
x
(12)
r
=
ρ
0

c
2
γ
1
=
α
11
+ γ
1
2γ
1
−
1
2γ
1

(α
11
− γ
1
)
2
+
4α
4
12
α
22
γ
2

(1.52)
Công thức (1.48) trong đó P , S và ρ
0
c
2
xác định bởi (1.46) và (1.49)
hoặc (1.52) biểu diễn chính xác và hoàn toàn tường minh, tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Bằng phương pháp làm tương tự như trong trường hợp truyền sóng theo
hướng x
1
và tắt dần theo hướng x
2
ta cũng tìm được tỷ số H/V trong trường
hợp truyền sóng theo hướng x
3
và tắt dần theo hướng x
2
. Khi đó tỷ số H/V được
xác định bởi công thức sau:
χ
(32)
=




u
3

(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)




=





−¯γ
2
α
32
√
P + ¯γ
∗
(α
33
− ρ
0
c

2
)
¯γ
2
(α
33
− ρ
0
c
2
)

2
√
P − S





(1.53)
trong đó
P = s
2
1
s
2
2
=
(α

33
− ρ
0
c
2
)( ¯γ
1
− ρ
0
c
2
)
α
22
¯γ
2
,
S = s
2
1
+ s
2
2
=
−α
22
(α
33
− ρ
0

c
2
) − ¯γ
2
( ¯γ
1
− ρ
0
c
2
) + (α
32
+ ¯γ
∗
)
2
α
22
¯γ
2
.
α
ij
= JA
iijj
(α
33
= JA
3333
, α

22
= JA
2222
, α
32
= α
23
= JA
3322
),
¯γ
1
= JA
3232
, ¯γ
2
= JA
2323
, ¯γ
∗
= JA
2332
, ρ
0
= Jρ (1.54)
Đặt x
(32)
r
= ρ
0

c
2
/¯γ
1
, khi đó theo Vinh [19] thì vận tốc sóng được xác định cụ thể
như sau:
Trường hợp 1: Nếu α
32
+ ¯γ
∗
= 0 thì x
(32)
r
được xác định bởi công thức:
x
(32)
r
=
1 − t
(32)
r
2
θ −t
(32)
r
2
, (1.55)
trong đó t
(32)
r

được xác định bởi công thức sau:
t
(32)
r
= −
1
3
a
2
+
3

R +
√
D +
q
2
3

R +
√
D
nếu ¯γ
∗
= 0
t
(32)
r
=
(1 − θ) +

√
∆
2
√
b(θ −d)
; ∆ = (1 − θ)
2
+ 4bθ(1 − d)(θ −d) nếu ¯γ
∗
= 0 (1.56)
15
và các đại lượng q, R, D được xác định bởi công thức sau:
a = 1 −
¯γ
2
∗
¯γ
1
¯γ
2
; b =
α
33
α
22
¯γ
1
¯γ
2
; d = 1 −

α
2
32
α
33
α
22
; θ =
¯γ
1
α
33
a
0
=
√
bθ(d − 1)
1 − a
; a
1
=
aθ −1
1 − a
; a
2
=
√
b(θ −d)
1 − a
; q

2
=
a
2
2
− 3a
1
9
R =
a
1
a
2
− 27a
3
54
; D =
4a
0
a
3
2
− a
2
1
a
2
2
− 18a
0

a
1
a
2
+ 27a
2
0
+ 4a
3
1
108
(1.57)
Trường hợp 2: Nếu α
32
+ ¯γ
∗
= 0 thì vận tốc sóng x
(32)
r
được tính bởi công thức
sau:
x
(32)
r
=
ρ
0
c
2
¯γ

1
=
α
33
+ ¯γ
1
2¯γ
1
−
1
2¯γ
1

(α
33
− ¯γ
1
)
2
+
4α
4
32
α
22
¯γ
2
(1.58)
Công thức (1.53) trong đó P , S và ρ
0

c
2
xác định bởi (1.54), và (1.55)
hoặc (1.58)biểu diễn chính xác và hoàn toàn tường minh, tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Bằng phương pháp làm tương tự như trên ta cũng tìm được tỷ số H/V
trong trường hợp truyền sóng theo hướng x
1
và tắt dần theo hướng x
3
. Công
thức H/V được viết như sau:
χ
(13)
=




u
1
(x
3
= 0)
u
3
(x
3
= 0)





=





−
¯
¯γ
2
α
13
√
P +
¯
¯γ
∗
(α
11
− ρ
0
c
2
)
¯
¯γ

2
(α
11
− ρ
0
c
2
)

2
√
P − S





(1.59)
trong đó P , và S được xác định bởi:
P = s
2
1
s
2
2
=
(α
11
− ρ
0

c
2
)(
¯
¯γ
1
− ρ
0
c
2
)
α
33
¯
¯γ
2
,
S = s
2
1
+ s
2
2
=
−α
33
(α
11
− ρ
0

c
2
) −
¯
¯γ
2
(
¯
¯γ
1
− ρ
0
c
2
) + (α
13
+
¯
¯γ
∗
)
2
α
33
¯
¯γ
2
α
ij
= JA

iijj
(α
11
= JA
1111
, α
33
= JA
3333
, α
13
= α
31
= JA
1133
),
¯
¯γ
1
= JA
1313
,
¯
¯γ
2
= JA
3131
,
¯
¯γ

∗
= JA
3113
, ρ
0
= Jρ (1.60)
Đặt x
(13)
r
= ρ
0
c
2
/
¯
¯γ
1
, khi đó công thức vận tốc sóng Rayleigh được xác định bởi
công thức Vinh [19] trong từng trường hợp như sau:
Trường hợp 1: Nếu α
13
+
¯
¯γ
∗
= 0 thì x
(13)
r
được xác định bởi công thức:
x

(13)
r
=
1 − t
(13)
r
2
θ −t
(13)
r
2
, (1.61)
16
trong đó t
(13)
r
được xác định bởi công thức sau:
t
(13)
r
= −
1
3
a
2
+
3

R +
√

D +
q
2
3

R +
√
D
nếu
¯
¯γ
∗
= 0
t
(13)
r
=
(1 − θ) +
√
∆
2
√
b(θ −d)
; ∆ = (1 − θ)
2
+ 4bθ(1 − d)(θ −d) nếu
¯
¯γ
∗
= 0 (1.62)

và các đại lượng q, R, D được xác định bởi công thức sau:
a = 1 −
¯
¯γ
2
∗
¯
¯γ
1
¯
¯γ
2
; b =
α
11
α
33
¯
¯γ
1
¯
¯γ
2
; d = 1 −
α
2
13
α
11
α

33
; θ =
¯
¯γ
1
α
11
a
0
=
√
bθ(d − 1)
1 − a
; a
1
=
aθ −1
1 − a
; a
2
=
√
b(θ −d)
1 − a
; q
2
=
a
2
2

− 3a
1
9
R =
a
1
a
2
− 27a
3
54
; D =
4a
0
a
3
2
− a
2
1
a
2
2
− 18a
0
a
1
a
2
+ 27a

2
0
+ 4a
3
1
108
(1.63)
Trường hợp 2: Nếu α
13
+
¯
¯γ
∗
= 0 thì vận tốc sóng x
(13)
r
được tính bởi công thức
sau:
x
(13)
r
=
ρ
0
c
2
¯
¯γ
1
=

α
11
+
¯
¯γ
1
2
¯
¯γ
1
−
1
2
¯
¯γ
1

(α
11
−
¯
¯γ
1
)
2
+
4α
4
13
α

33
¯
¯γ
2
(1.64)
Công thức (1.59) trong đó P , S và ρ
0
c
2
xác định bởi (1.60) và (1.61)
hoặc (1.64)biểu diễn chính xác và hoàn toàn tường minh, tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Xét trong trường hợp môi trường đàn hồi đẳng hướng không có biến dạng
trước, khi đó: λ
1
= λ
2
= λ
3
= 1, J = λ
1
λ
2
λ
3
= 1. Từ (1.4)-(1.7)ta có:
α
12
= A

1122
= λ; α
11
= α
22
= λ + 2µ,
γ
1
= A
1212
= µ; γ
2
= A
2121
= µ; γ
∗
= A
2112
= µ, (1.65)
Sử dụng (1.65) vào (1.48) và tính đến phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, không có ứng suất trước, ta
suy ra được các công thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] biểu diễn tỷ
số H/V cho môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, không có ứng suất trước.
Thật vậy, ta có:
S =
−α
22
(α
11
− ρc

2
) − γ
2
(γ
1
− ρc
2
) + (α
12
+ γ
∗
)
2
α
22
γ
2
=
ρc
2
µ
+
ρc
2
λ + 2µ
− 2 (1.66)
P =
(α
11
− ρc

2
)(γ
1
− ρc
2
)
α
22
γ
2
= 1 −
ρc
2
µ
−
ρc
2
λ + 2µ
+
ρc
2
µ
ρc
2
λ + 2µ
(1.67)
17
Đặt: C
2
1

=
λ + 2µ
ρ
; C
2
2
=
µ
ρ
. Khi đó:
S =
c
2
C
2
1
+
c
2
C
2
2
− 2 (1.68)
P = 1 −
c
2
C
2
1
−

c
2
C
2
2
+
c
2
C
2
1
c
2
C
2
2
= (1 −
c
2
C
2
1
)(1 −
c
2
C
2
2
)


2
√
P − S =




2


1 −
c
2
C
2
1

1 −
c
2
C
2
2

+ 2 −
c
2
C
2
1

−
c
2
C
2
2
=

1 −
c
2
C
2
1
+

1 −
c
2
C
2
2
(1.69)
Đặt:
y =
c
2
C
2
2

; θ =
µ
λ + 2µ
=
C
2
2
C
2
1
⇒
c
2
C
2
1
=
c
2
C
2
2
·
C
2
2
C
2
1
= θy

Khi đó

2
√
P − S =
√
1 − y +
√
1 − θy,
√
P =

(1 − y)(1 − θy). Sau một số
phép biến đổi ta có tỷ số:
u
1
(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)
=
√
1 − θy

(2θ −1)
√

1 − y +
√
1 − θy

(1 − θy)

√
1 − y +
√
1 − θy

(1.70)
=
(2θ −1)
√
1 − y +
√
1 − θy
√
1 − θy

√
1 − y +
√
1 − θy

=
2

(1 − y)(1 − θy) − 2 + y

−y
√
1 − θy
Mặt khác phương trình tán sắc của sóng Rayleigh đối với môi trường đàn hồi
đẳng hướng nén được, không có biến dạng trước được cho bởi:
(2 − y)
2
= 4

(1 − y)(1 − θy) (1.71)
Sử dụng (1.71) vào (1.70) ta có :
u
1
(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)
=
2
√
1 − y
2 − y
=
4
√
1 − y

4
√
1 − θy
.
Vậy công thức H/V được xác định bởi:
χ =
4
√
1 − y
4
√
1 − θy
. (1.72)
Đây chính là công thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13].
18
Chương 2
Công thức H/V đối với môi trường
đàn hồi, chịu biến dạng trước,
không nén được
2.1 Các phương trình cơ bản
Xét một vật thể đàn hồi đẳng hướng, không nén được mà ở trạng thái tự
nhiên (không có ứng suất) chiếm bán không gian X
2
≤ 0. Giả sử vật thể chịu
biến dạng ban đầu thuần nhất (1.1). Sau khi chịu biến dạng ban đầu (1.1) vật
thể chiếm miền không gian x
2
< 0 với biên là x
2
= 0. Xét trạng thái biến dạng

phẳng (1.2). Khi đó, bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động có dạng [5]:
B
1111
u
1,11
+ (B
1122
+ B
2112
)u
2,21
+ B
2121
u
1,22
− p
∗
,1
= ρ¨u
1
,
(B
1221
+ B
2211
)u
1,12
+ B
1212
u

2,11
+ B
2222
u
2,22
− p
∗
,2
= ρ¨u
2
, (2.1)
trong đó p
∗
là nhiễu của áp lực thủy tĩnh ban đầu, ρ là mật độ khối lượng của
vật liệu, dấu chấm (trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàm
theo các biến không gian (x
j
), B
ijkl
là các thành phần của tenxơ hạng bốn được
xác định bởi các công thức sau [5, 16]:
B
iijj
= λ
i
λ
j
∂
2
W

∂λ
i
∂λ
j
. (2.2)
19
B
ijij
=









(λ
i
∂W
∂λ
i
− λ
j
∂W
∂λ
j
)
λ

2
i
λ
2
i
− λ
2
j
, (i = j, λ
i
= λ
j
)
1
2
(B
iiii
− B
iijj
+ λ
i
∂W
∂λ
i
) (i = j, λ
i
= λ
j
)
(2.3)

B
ijji
= B
jiij
= B
ijij
− λ
i
∂W
∂λ
i
(i = j) (2.4)
với i, j ∈ {1, 2, 3}, W = W(λ
1
, λ
2
, λ
3
) (chú ý rằng J = λ
1
λ
2
λ
3
= 1) là hàm năng
lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích, các thành phần còn lại của B
ijkl
bằng
không. Nếu vật thể không có ứng suất trước, từ (2.2)-(2.4) suy ra:
B

iiii
= B
ijij
= µ (i = j), B
iijj
= B
ijji
= 0 (i = j). (2.5)
Giả sử biên của bán không gian tự do đối với ứng suất, khi đó ta có [5]:
B
2121
u
1,2
+ (B
2121
− σ
2
)u
2,1
= 0 khi x
2
= 0 ,
(B
1122
− B
2222
− p)u
1,1
− p
∗

= 0 khi x
2
= 0 (2.6)
trong đó p là áp lực thủy tĩnh ở trạng thái ban đầu, σ
j
(j = 1, 2, 3) là ứng suất
Côsi được xác định bởi:
σ
j
= λ
j
∂W
∂λ
j
− p (2.7)
Do vật liệu không nén được nên ta có:
u
1,1
+ u
2,2
= 0 (2.8)
Từ phương trình (2.8) suy ra tồn tại hàm ψ phụ thuộc vào x
1
, x
2
và t sao cho:
u
1
= ψ
,2

, u
2
= −ψ
,1
(2.9)
Khử p
∗
từ phương trình (2.1) và sử dụng phương trình (2.7) đưa đến phương
trình xác định hàm ψ như sau [5]:
αψ
,1111
+ 2βψ
,1122
+ γψ
,2222
= ρ(
¨
ψ
,11
+
¨
ψ
,22
) (2.10)
trong đó :
α = B
1212
, γ = B
2121
, 2β = B

1111
+ B
2222
− 2B
1122
− 2B
1221
(2.11)
Từ điều kiện eliptic mạnh của hệ (2.1) suy ra [5]:
α > 0, γ > 0, β > −
√
αγ (2.12)
20
2.2 Sóng Rayleigh
Đạo hàm hai vế (2.6) theo x
1
và sử dụng (2.1), (2.7) và (2.9) thế vào (2.6)
dẫn đến:
γ(ψ
,22
− ψ
,11
) + σ
2
ψ
,11
= 0 khi x
2
= 0,
(2β + γ − σ

2
)ψ
,112
+ γψ
,222
− ρ
¨
ψ
,2
= 0 khi x
2
= 0. (2.13)
Xét sự truyền sóng theo hướng x
1
và tắt dần theo hướng x
2
. Để chuyển dịch u
1
và u
2
tắt dần ở vô cùng thì hàm ψ phải dần tới không khi x
2
→ −∞. Do vậy
hàm ψ được tìm dưới dạng:
ψ = (Ae
ks
1
x
2
+ Be

ks
2
x
2
) exp(kx
1
− ωt) (2.14)
trong đó A, B là hằng số, ω là tần số sóng, k là số sóng, c là vận tốc sóng, và
s
1
, s
2
là nghiệm của phương trình :
γs
4
− (2β − ρc
2
)s
2
+ α − ρc
2
= 0 (2.15)
Từ (2.15) ta có:
s
2
1
+ s
2
2
= (2β − ρc

2
)/γ, s
2
1
s
2
2
= (α − ρc
2
)/γ. (2.16)
Để hàm ψ tắt dần khi x
2
→ −∞, s
1
, s
2
phải có phần thực dương. Các nghiệm
s
2
1
, s
2
2
của phương trình (2.15) hoặc đều là số thực (và do vậy đều dương do s
1
,
s
2
phải có phần thực dương) hoặc chúng là số phức liên hợp của nhau. Trong cả
hai trường hợp ta đều có: s

2
1
s
2
2
> 0. Từ (2.16) và γ > 0 suy ra:
0 < ρc
2
< α, (2.17)
hay
0 < c
2
< c
2
2
= α/ρ, (2.18)
2.3 Công thức H/V
Thế (2.14) vào (2.9) ta được:
u
1
= ψ
,2
= k

s
1
Ae
ks
1
x

2
+ s
2
Be
ks
2
x
2

e
(kx
1
ωt)
, (2.19)
21
u
2
= −ψ
,1
= −k

Ae
ks
1
x
2
+ Be
ks
2
x

2

e
(kx
1
−ωt)
, (2.20)
trong đó A, B là các hằng số được xác định từ điều kiện biên (2.11). Từ (2.17)
và (2.18) ta có:
χ
(12)
=




u
1
(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)





=




(As
1
+ Bs
2
)k
(A + B)(−k)




=




As
1
+ Bs
2
A + B




. (2.21)

Thay (2.14) vào (2.13)
1
ta có:
(γs
2
1
+ γ − σ
2
)A + (γs
2
2
+ γ − σ
2
)B = 0, (2.22)
suy ra:
A = −
γs
2
2
+ γ − σ
2
γs
2
1
+ γ − σ
2
B. (2.23)
Thay (2.23) vào (2.21) dẫn đến:
χ
(12)

=




u
1
(x
2
= 0)
u
2
(x
2
= 0)




=




(s
1
− s
2
)(−γ + σ
2

+ s
1
s
2
γ)
γ(s
1
− s
2
)(s
1
+ s
2
)




=




−γ + σ
2
+ s
1
s
2
γ

γ(s
1
+ s
2
)




, (2.24)
trong đó s
1
, s
2
là hai nghiệm có phần thực dương của phương trình (2.15). Dễ
dàng chứng minh rằng P > 0, S + 2
√
P > 0 và :





s
1
s
2
=
√
P ,

s
1
+ s
2
=

S + 2
√
P ,
(2.25)
trong đó:





S = s
2
1
+ s
2
2
= (2β − ρc
2
)/γ,
P = s
2
1
s
2

2
= (α − ρc
2
)/γ.
(2.26)
Thật vậy:
Trường hợp 1: Nếu ∆ ≥ 0 thì s
2
1
, s
2
2
là hai nghiệm thực, do vậy chúng phải là
các số thực dương (để đảm bảo s
1
, s
2
có phần thực dương). Khi đó s
1
s
2
> 0 nên
s
1
s
2
=
√
P . Và ta có: s
1

+ s
2
=

S + 2
√
P
Trường hợp 2: Nếu ∆ < 0 thì s
2
1
, s
2
2
là hai số phức liên hợp. Giả sử: s
1
= a + ib
thì s
2
= a − ib với a, b > 0. Từ đây ta có: s
1
s
2
= a
2
+ b
2
và s
1
+ s
2

= 2a. Do đó ta
suy ra: s
1
s
2
=
√
P và s
1
+ s
2
=

S + 2
√
P
Vậy tỷ số H/V được biểu diễn bằng công thức sau:
χ
(12)
=





−γ + σ
2
+ γ
√
P

γ

S + 2
√
P





. (2.27)
22
Từ (2.27) rõ ràng rằng tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc sóng Rayleigh c. Theo
Vinh [18], vận tốc sóng Rayleigh c được tính bởi công thức chính xác sau:
Trường hợp 1: Nếu δ
3
= 0 và
√
δ
1
+ 2δ
2
+ 2δ
3
−
δ
2
3
√
δ

1
> 0, trong đó:
δ
1
= γ/α, δ
2
= β/α, δ
3
= γ
∗
/α, (γ
∗
= γ − σ
2
) (2.28)
Khi đó vận tốc sóng Rayleigh x
(12)
r
= ρc
2
/α được tính bởi công thức:
x
(12)
r
= 1 −

3

R +
√

D +
q
2
3

R +
√
D
−
a
2
3

2
, (2.29)
trong đó
δ
1
= γ/α, δ
2
= β/α, δ
3
= γ
∗
/α,
a
0
= −
δ
2

3
√
δ
1
, a
1
= 2δ
2
+ 2δ
3
− 1, a
2
=
√
δ
1
,
q
2
= (a
2
2
− 3a
1
)/9, R = (−2a
3
2
+ 9a
1
a

2
− 27a
0
)/54
D = (4a
0
a
3
2
− a
2
1
a
2
2
− 18a
0
a
1
a
2
+ 27a
2
0
+ 4a
3
1
)/108.
(2.30)
Trường hợp 2: Nếu δ

3
= 0 và −
√
δ
1
< 2δ
2
< 1, khi đó x
(12)
r
được xác định bởi
công thức:
x
(12)
r
=

4 −


δ
1
− 8δ
2
+ 4 −

δ
1

2


/4 (2.31)
Công thức (2.27) trong đó P , S và ρc
2
xác định bởi (2.26) và (2.29)
hoặc (2.31) biểu diễn chính xác và hoàn toàn tường minh tỷ số H/V
như là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suất
trước).
Xét truyền sóng theo hướng x
3
và tắt dần theo hướng x
2
, với phương pháp
làm hoàn toàn tương tự như trên ta có tỷ số H/V được xác định như sau:
χ
(32)
=





−¯γ + σ
2
+ ¯γ
√
P
¯γ

S + 2

√
P





(2.32)
trong đó S và P được xác định bởi công thức:
S = s
2
1
+ s
2
2
= (2
¯
β − ρc
2
)/¯γ,
P = s
2
1
s
2
2
= (¯α −ρc
2
)/¯γ,
¯α = B

3232
, ¯γ = B
2323
, 2
¯
β = B
3333
+ B
2222
− 2B
3322
− 2B
3223
(2.33)
23