Sóng Rayleigh hai thành phần trong môi trường khôngnén được có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt

Mục lục
MỞ ĐẦU

3

Chương 1. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU

7

1.1

1.2

Phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần . . .

7

1.1.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Phương pháp tích phân đầu cho sóng ba thành phần . . . 14
1.2.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2

Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3

Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. SÓNG RAYLEIGH HAI THÀNH PHẦN TRONG
MÔI TRƯỜNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC, CÓ BIẾN DẠNG
TRƯỚC: CHỊU ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) VÀ CẮT

22

2.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2

Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chương 3. SÓNG RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN TRONG
MÔI TRƯỜNG MONOCLINIC VỚI MẶT PHẲNG ĐỐI
XỨNG

30

x1 = 0

3.1

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2

Sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3

Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1


KẾT LUẬN

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

40

2


MỞ ĐẦU
Sóng mặt Rayleigh [9] được phát hiện bởi Rayleigh từ hơn một
thế kỷ qua (vào năm 1885), đã và đang được nghiên cứu mạnh mẽ, bởi
những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều ngành khác nhau của khoa
học và kỹ thuật như: âm học, địa chấn học, khoa học vật liệu, khoa học
đánh giá không hư hỏng, công nghệ viễn thông...
Theo Destrade [4], xuất hiện cách đây khoảng 30 năm, các thiết
bị sóng mặt (Rayleigh) đã được sử dụng rộng rãi và hết sức thành công
trong ngành công nghiệp truyền thông.
Theo Hess [8], trong những năm gần đây sóng mặt (Rayleigh) tạo
ra bởi laze đã cung cấp những công cụ mới để nghiên cứu các tính chất
của vật liệu.
Có thể nói không quá rằng, sự phát hiện ra sóng mặt của Rayleigh
có ảnh hưởng to lớn và sâu rộng đến thế giới ngày nay, trải dài từ chiếc
mobile phone đến các nghiên cứu động đất, như Adams và các cộng sự
[2] đã nhấn mạnh.
Theo Malischewsky [6], vận tốc sóng Rayleigh là một đại lượng cơ
bản và quan trọng, thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà địa chất
học, khoa học vật liệu và các nhà nghiên cứu thuộc các lĩnh vực khác
của vật lý.
Vì vận tốc sóng Rayleigh là nghiệm của phương trình tán sắc, nên
phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu cơ bản khi nghiên
cứu sóng Rayleigh. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: nghiên cứu
sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh vào các tham số vật liệu (và các

tham số khác), đặc biệt nó được sử dụng để giải bài toán ngược: đánh
giá (không hư hỏng) các tham số vật liệu (và các tham số khác) thông
qua các giá trị đo được của vận tốc sóng.
Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng hoặc môi trường dị hướng
đơn giản (chẳng hạn môi trường đàn hồi trực hướng), để tìm phương
trình tán sắc của sóng Rayleigh ta sử dụng phương trình đặc trưng của

3


sóng. Vì nó là phương trình trùng phương nên ta dễ dàng tìm được biểu
thức nghiệm của nó. Tuy nhiên, đối với môi trường dị hướng phức tạp
hơn (chẳng hạn môi trường monoclinic [10]), phương trình đặc trưng của
sóng là bậc bốn đầy đủ. Do vậy, việc tìm biểu thức nghiệm của nó là rất
khó khăn, nếu không nói là không thể thực hiện được.
Để vượt qua khó khăn này, Mozhaev [7] đã đưa ra một phương
pháp được gọi là "phương pháp tích phân đầu" (Method of First Intergrals). Phương pháp này cho phép ta tìm được phương trình tán sắc của
sóng Rayleigh mà không cần sử dụng phương trình đặc trưng. Destrade
[3] cải tiến phương pháp tích phân đầu của Mozhaev [7] và đã ứng dụng
rất thành công vào các bài toán sóng Rayleigh hai thành phần. Theo
hướng này cũng cần kể đến nghiên cứu gần đây của Vĩnh và các cộng sự
[14].
Gần đây, Destrade [3] và Ting [12] đã khẳng định rằng: phương
pháp tích phân đầu trình bày bởi Mozhaev [7] không có hiệu lực với
sóng Rayleigh ba thành phần (chẳng hạn như sóng Rayleigh trong môi
trường monoclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = 0 hay x2 = 0, hoặc sóng
Rayleigh trong môi trường dị hướng tổng quát). Mới đây, Vĩnh và Nam
[1] đã áp dụng thành công phương pháp tích phân đầu cho sóng tựa
Rayleigh ba thành phần bắt nguồn từ sóng Stoneley truyền trong môi
trường đàn hồi có ứng suất trước. Các tác giả đã không xuất phát từ

phương trình đối với chuyển dịch như Mozhaev [7], mà dựa vào phương
trình đối với ứng suất, và không dừng lại ở hệ chín phương trình đại số
tuyến tính thuần nhất phụ thuộc lẫn nhau đối với chín ẩn số như Ting
[12], mà đi đến hệ gồm ba phương trình độc lập đối với ba ẩn số.
Mục đích chính của luận văn là:
1. Áp dụng phương pháp tích phân đầu tìm ra phương trình tán
sắc dạng tường minh của sóng Rayleigh hai thành phần trong môi trường
không nén được có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt [5].
Bài toán này đã được Destrade và Ogden [5] nghiên cứu vào năm 2005. Vì
sử dụng phương pháp vectơ phân cực [13] nên phương trình tán sắc tìm
4


được là rất cồng kềnh. Do vậy, phương trình tán sắc đã không được viết
dưới dạng tường minh. Trong luận văn này, bằng cách sử dụng phương
pháp tích phân đầu, tác giả đã thu được phương trình tán sắc, được viết
dưới dạng tường minh. Quá trình rút ra phương trình tán sắc ngắn gọn
hơn so với phương pháp vectơ phân cực.
2. Sử dụng phương pháp tích phân đầu đã được trình bày trong [1]
tác giả luận văn đã tìm ra được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
ba thành phần trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng

x1 = 0, dạng tường minh. Kết quả này trùng với kết quả đã được tìm
ra gần đây bởi Ting bằng phương pháp khác [11] mà quá trình tìm ra
là phức tạp hơn. Trái ngược với kết luận của Destrade [3] và Ting [12],
luận văn khẳng định phương pháp tích phân đầu [1] hoàn toàn có hiệu
lực đối với sóng Rayleigh ba thành phần.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Phương pháp tích phân đầu
Chương này nhằm mục đích giới thiệu phương pháp tích phần đầu

cho sóng Rayleigh hai thành phần dựa trên phương trình đối với ứng
suất [3], và phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành
phần theo Mozhaev [7]. Chương này cũng dẫn ra chứng minh chi tiết
khẳng định: "Phương pháp tích phân đầu của Mozhaev đối với sóng ba
thành phần chỉ dẫn đến một đồng nhất thức mà không dẫn đến phương
trình tán sắc như mong muốn".
Chương 2. Sóng Rayleigh hai thành phần trong môi trường không
nén được có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt.
Chương 3. Sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0.
Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy
Phạm Chĩ Vĩnh người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong bộ môn
Cơ học và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học đã trang bị kiến
5


thức giúp em hoàn thành luận văn này.
Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận ở
xemina "Sóng và ứng dụng" tại bộ môn Cơ học, khoa Toán - Cơ - Tin
học. Tác giả luận văn đã nhận được những góp ý bổ ích từ các thành
viên của xemina.

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Trịnh Thị Thanh Huệ

6

Chương 1
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU
1.1

Phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần
Trong mục này, phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành

phần được trình bày thông qua việc xét bài toán truyền sóng Rayleigh
trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0. Chú ý
rằng, bài toán này đã được công bố một cách vắn tắt bởi Destrade [3]
vào năm 2001.
1.1.1

Các phương trình cơ bản

Xét bán không gian x2 ≥ 0 được tạo bởi vật liệu monoclinic với
mặt phẳng đối xứng x3 = 0. Vật liệu được giả thiết là đàn hồi và nén
được.
Xét bài toán biến dạng phẳng:

ui = ui (x1, x2 , t),

i = 1, 2,

u3 ≡ 0

(1.1)

trong đó ui là các thành phần của vectơ chuyển dịch.
Khi đó, phương trình chuyển động có dạng:

σ11,1 + σ12,2 = ρ¨
u1
σ12,1 + σ22,2 = ρ¨
u2

(1.2)

trong đó: σij (i, j = 1, 2) là các thành phần của tenxơ ứng suất, ρ là mật
độ khối lượng của vật liệu, dấu "," chỉ đạo hàm theo các biến không
gian, dấu "." chỉ đạo hàm theo thời gian. Các thành phần của tenxơ
ứng suất σij (i, j = 1, 2) liên hệ với các thành phần của tenxơ biến dạng
7


ij (i, j

= 1, 2) bởi công thức:

σ11 = C11
σ12 = C16

σ22 = C12

+ C12
11 + C26
11 + C22
11

+ 2C16

22 + 2C66
22 + 2C26
22

12
12

(1.3)

12

với Cij là các hằng số đàn hồi của vật liệu và:
11

= u1,1,

22

= u2,2 ,

2

12

= u1,2 + u2,1.

(1.4)

Điều kiện tắt dần ở vô cùng:

u1 = u2 = 0 tại x2 = +∞.

(1.5)

Điều kiện tự do đối với ứng suất tại mặt biên x2 = 0:

σ12 = σ22 = 0 tại x2 = 0.
1.1.2

(1.6)

Sóng Rayleigh

Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng Ox1 với vận tốc c và tắt
dần theo hướng Ox2 . Khi đó, ta tìm nghiệm dưới dạng:

uj = Uj (y)eik(x1−ct) (j = 1, 2)
σj2 = iktj (y)eik(x1−ct) (j = 1, 2)

(1.7)

trong đó k là số sóng, y = kx2 .
Thay (1.7) vào (1.3)2 , (1.3)3 và sử dụng (1.4) ta có:
(1.8)

t = iP U + QU,
trong đó dấu ” ” là đạo hàm theo biến y và

U
U = U1 ,

2

t
t = t1 ,
2

C C
P = − C66 C26 ,
26
22

C C
Q = C16 C66 . (1.9)
12
26

Từ (1.8) suy ra:

U = −iP −1 t + iP −1 QU = iN1U + iN2 t,

(1.10)

trong đó:

−r −1
N1 = P −1 Q = −r6 0 ,
2

n n
N2 = −P −1 = n66 n26 ,

26
22
8

(1.11)


với:
2
∆ = C22 C66 − C26
,

r6 = −

1 C12 C16
S16
=
−
,
∆ C22 C26
S11

n26 = −

r2 =

1 C12 C26
S12
=
−

,
∆ C16 C66
S11

C26
C66
1 S11 S16
1 S11 S12
=
, n22 =
=
,
∆
S11 S12 S22
∆
S11 S12 S22
n66 =

C22
1 S11 S16
=
,
∆
S11 S16 S66

trong đó Sij là các hằng số độ mềm rút gọn của vật liệu [10].
Từ (1.2) vào (1.7) và tính đến (1.3)1 , (1.4) ta được:

t1 = −i(C11 − ρc2 )U1 − iC16U2 − C16U1 − C12U2
t2 = iρc2 U2 − it1

(1.12)

Sử dụng (1.10) để biểu diễn U1, U2 qua U1 , U2, t1 , t2 rồi thay các
biểu thức đó vào (1.12)1 ta thu được:

t1 = −(η − ρc2 )U1 − ir6 t1 − ir2 t2 ,

(1.13)

trong đó:

1 C11 C12 C16
1
C12 C22 C26 =
η = C11 − C12 r2 − C16r6 =
.
∆ C16 C26 C66
S11

(1.14)

Từ (1.10), (1.12)2 và (1.13) ta thu được hệ bốn phương trình vi
phân cấp một đối với bốn ẩn số là U1 , U2 , t1 , t2 . Dưới dạng ma trận nó
được viết như sau:
(1.15)

ξ = iN ξ,
trong đó:
 

U1
U
ξ =  t 2 ,
1
t2

N=

N1 N2
,
K N1T

K=

−(η − ρc2 ) 0
,
0
ρc2

(1.16)

N1 , N2 được xác định bởi (1.11). Chú ý rằng, dấu ” ” trong (1.15) chỉ
đạo hàm theo biến y = kx2 .
9


Phương trình (1.15) được viết lại như sau:

U
t

⇒

iN1 iN2
iK iN1T

U
t

(1.17)

U = iN1 U + iN2 t
t = iKU + iN1T

(1.18)

=

Khử U từ hệ (1.18) ta thu được hệ phương trình vi phân cấp hai
đối với ứng suất có dạng như sau:

αt − iβt − γt = 0,

(1.19)

trong đó:

α=K

−1

−1
2

=  η − ρc
0


0




1 ,
ρc2



2r6
1
r2
− 2
2
 η − ρc2
η
−
ρc
ρc  ,
−1 T
−1
β = K N1 + N1 K =  r


1
2
−
0
η − ρc2 ρc2


1
−r62
−r6 r2
 η − ρc2 + ρc2 − n66 η − ρc2 − n26
−1 T
.
γ = N1 K N1 − N2 = 


−r6 r2
−r22
−
n
−
n
26
22
η − ρc2
η − ρc2
(1.20)
Chú ý rằng α, β, γ là các ma trận thực đối xứng.
1.1.3

Phương trình tán sắc

Giả sử f (y), g(y) là các hàm giá trị phức của biến thực y ∈

[0, +∞). Ta định nghĩa tích vô hướng của chúng như sau:
+∞

< f, g >=

(f g¯ + f¯g)dy,

(1.21)

0

trong đó, f¯, g¯ là các giá trị liên hợp của f, g .
Dưới dạng thành phần, phương trình (1.19) được viết như sau:

αkl tl − iβkl tl − γkl tl = 0,
10

(k, l = 1, 2).

(1.22)


Nhân hai vế (1.22) với it¯m ta có:

¯ m = 0,

αkl itl t¯m + βkl tl ¯tm + γkl tl it

(k, l, m = 1, 2).

(1.23)

Lấy liên hợp hai vế (1.23) ta được:

αkl it¯ l tm + βkl t¯ l tm + γkl t¯l itm = 0.

(1.24)

Cộng vế với vế (1.23) và (1.24) dẫn đến:

¯ m) = 0. (1.25)
αkl (it¯ l tm + itl t¯m) + βkl (t¯ l tm + tl t¯m ) + γkl (t¯l itm + tl it
Đưa vào các ma trận vuông cấp 2: D, E, F mà các thành phần
của nó được xác định như sau:

Dlm =< itl , tm >; Elm =< tl , tm >; Flm =< tl ; itm > (l, m = 1, 2).
(1.26)
Khi đó bằng cách lấy tích phân hai vế (1.25) theo y từ 0 → +∞
ta thu được bốn phương trình sau:
αkl Dlm + βkl Elm + γkl Flm = 0 (k, m = 1, 2).

(1.27)

Hay dưới dạng ma trận:

αD + βE + γF = 0.

(1.28)

Ta sẽ chứng minh (1.27) tương đương với hệ ba phương trình ba
ẩn số. Trước hết ta sẽ chứng minh D, E, F là các ma trận phản đối xứng,
tức là:

Dlm = −Dml ;

Elm = −Eml ;

Flm = −Fml .

Thật vậy, từ (1.21) và (1.26)3 ta có:
+∞

Flm =
0

(−itl t¯m + t¯l itm )dy,

0
+∞

Fml =

+∞

¯ m + t¯l itm)dy =
(tl it

+∞

¯ l + t¯m itl )dy =
(tm it

0

(−itm t¯l + t¯mitl )dy.

0

Suy ra: Flm + Fml = 0, hay Flm = −Fml ⇒ (1.29)3 .
11

(1.29)


Từ (1.21) và (1.26)3 ta có:
+∞

Dlm =
0

+∞

(itl t¯m − it¯ l tm )dy;
+∞

⇒ Dlm + Dml =

0

= (itl t¯m −it¯ l tm +itm ¯tl −it¯ mtl )

Dml =
0

(itmt¯l − it¯ mtl )dy

(itl t¯m − it¯ l tm + itmt¯l − it¯ mtl )dy
+∞
0

+∞

−
0

(itl t¯ m−it¯ l tm +itmt¯ l −it¯ mtl )dy

= (itl t¯m − it¯ l tm + itmt¯l − it¯m tl )

+∞
0

Từ điều kiện tắt dần ở vô cùng và điều kiện tự do đối với ứng suất
tại mặt biên x2 = 0 ta có:

ti(0) = ti(+∞) = 0,

(1.30)

(i = 1, 2).

Thay (1.30) vào phần tính toán trên suy ra:

Dlm + Dml = 0 hay Dlm = −Dml
tức là ta có (1.29)1 .
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:

Elm + Eml

= (tl t¯m + t¯l tm )

+∞
0

= 0.

Suy ra: Elm = −Eml hay (1.29)2 được chứng minh. Vậy các ma
trận cấp hai D, E, F là ma trận phản đối xứng, nên chúng có các dạng
sau:

0 d
D = −d 0 ,

0 e
E = −e 0 ,

0 f

F = −f 0 ,

(1.31)

với d, e, f là các phần tử khác không.
Khi đó, (1.28) có dạng:
α11 α12
0 d
β11 β12
α12 α22 −d 0 + β12 β22

0 e
γ11 γ12
−e 0 + γ12 γ22

Hay dưới dạng thành phần:

−α d − β12e − γ12 f = 0


 12
α11 d + β11 e + γ11 f = 0
α12 d + β12 e + γ12 f = 0


α d + β e + γ f = 0
22
22
22
12

0 f
−f 0 = 0.
(1.32)

(1.33)


Do phương trình thứ nhất và thứ ba của hệ trùng nhau nên hệ
trên tương đương với hệ ba phương trình:

α11 d + β11 e + γ11 f = 0
α12 d + β12 e + γ12 f = 0

α22 d + β22 e + γ22 f = 0

(1.34)

Do d, e, f khác không nên định thức của hệ (1.34) phải bằng không,

tức là:

α11 β11 γ11
α12 β12 γ12 = 0
α22 β22 γ22

(1.35)

Đây chính là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi
trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0.

Do α12 = β22 = 0 nên (1.35) tương đương với:

β12 (α11 γ22 − α22 γ11) + α22 β11 γ12 = 0

(1.36)

Sử dụng (1.20), phương trình (1.36) trở thành:

(η − X){[(η − X)(n66X − 1) + r62 X] + X 2[(η − X)n22 + r22 ]}+
+ 2r6 X 2(η − X)[(η − X)[(η − X)n26 + r2 r6 ] = 0
(1.37)
(1.37) là phương trình bậc bốn đối với X = ρc2 .
Như vậy, điểm mấu chốt của phương pháp tích phân đầu cải tiến
(bởi Destrade) là phương trình vi phân cấp hai đối với các ẩn hàm có
giá trị bằng không trên biên. Cụ thể trong bài toán này chính là phương
trình vi phân cấp hai đối với vectơ t = [t1 t2 ]T của các thành phần
tenxơ ứng suất (trên mặt phẳng x2 = 0).
Chính các điều kiện biên: t(0) = t(+∞) = 0 đã làm cho các ma
trận D, E, F trở thành các ma trận phản đối xứng, nên việc tìm phương
trình tán sắc trở nên đơn giản, ngắn gọn (không cần thông qua phương
trình đặc trưng của sóng).
Mozhaev [7] vì xuất phát từ phương trình vi phân cấp hai đối với
vectơ chuyển dịch u = [u1 u2 ]T nên không sử dụng trực tiếp được điều
kiện tự do đối với ứng suất t(0) = 0. Do vậy, quá trình tìm ra phương
trình tán sắc dài và phức tạp hơn.
13


1.2
1.2.1

Phương pháp tích phân đầu cho sóng ba thành phần
Các phương trình cơ bản

Phần này trình bày "Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh
ba thành phần" được giới thiệu bởi Mozhaev [7]. Xét môi trường đàn
hồi bất đẳng hướng nén được tổng quát, chiếm phần không gian x3 ≥ 0.
Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng

∂σij
∂ 2 ui
=ρ 2,
∂xj
∂t

(1.38)

(i, j = 1, 2, 3).

Phương trình trạng thái (xem [10]):
  
σ11
C11 C12 C13 C14 C15
σ22  C12 C22 C23 C24 C25
σ33  C13 C23 C33 C34 C35
 =
σ23  C14 C24 C34 C44 C45
σ  C C C C C
13
15

25
35
45
55
σ12
C16 C26 C36 C46 C56



C16
11
C26   22 


C36 
  33 
C46  2 23 
C56  2 13 
C66
2 12

trong đó, σij là các thành phần của tenxơ ứng suất,

ij

(1.39)

là các thành phần

của tenxơ biến dạng được xác định bởi công thức

ij

1 ∂ui ∂uj
= (
+
),
2 ∂xj ∂xi

(i, j = 1, 2, 3).

(1.40)

Điều kiện tắt dần ở vô cùng

ui = σ3i = 0 (i = 1, 2, 3) tại x3 = +∞.

(1.41)

Điều kiện tự do đối với ứng suất trên mặt biên x3 = 0

σ3i = 0 (i = 1, 2, 3) tại x3 = 0.
1.2.2

(1.42)

Sóng Rayleigh

Giả sử sóng được truyền theo x1 và tắt dần theo hướng x3 . Khi
đó, nghiệm được tìm dưới dạng

uj = Uj (kx3 )eik(x1 −ct) ,
với k là số sóng, c là vận tốc sóng.
14

(1.43)


Thay (1.39) vào (1.38) có tính đến (1.40) và (1.43) ta thu được
phương trình

C55 C45
(αik ) = C45 C44
C35 C34

αik Uk + iβik Uk − γik Uk = 0,
(1.44)
2C15
C35
C14 + C56 C13 + C55
C34 , (βik ) = C14 + C56
2C46
C36 + C45 ,
C33
C13
C36 + C45
2C35

C11 − ρc2
C16
C15

C11 C16 C15
2
(γik ) =
C16
C66 − ρc
C56
= C16 C66 C56 − IX,
2
C15 C56 C55
C15
C56
C55 − ρc
I là ma trận đơn vị, X = ρc2 . Chú ý dấu ” ” ở đây là để chỉ đạo hàm
theo biến y = kx3 .
Nhân hai vế phương trình (1.44) với Uj (iUj ), lấy liên hợp hai vế,
rồi cộng hai phương trình với nhau, sau đó lấy tích phân hai vế phương
trình thu được theo y từ 0 → +∞ ta có
=0
αik < Uk , Uj > +βik < iUk , Uj > −γik < Uk , Uj >
αik < Uk , iUj > +βik < iUk , iUj > −γik < Uk , iUj > = 0

(1.45)

trong đó tích vô hướng < ., . > xác định ở phương trình (1.21). Đặt

Akj =< Uk , Uj >,
Dkj =< Uk , iUj >,

Bkj =< iUk , Uj >,

Ckj =< Uk , Uj >,

Ekj =< iUk , iU uj >,

Fkj =< Uk , iUj >,
(1.46)

khi đó (1.45) có dạng

αik Akj + βik Bkj − γik Ckj = 0,
αik Dkj + βik Ekj − γik Fkj = 0,

(i, j = 1, 2, 3)

(1.47)

Sử dụng (1.21) và (1.46), ta dễ dàng chứng minh được các đẳng
thức sau

Akj + Ajk = uk u
¯j + u¯k uj ,
Dkj − Bjk = −iuk + i¯
uk uj ,
1.2.3

Bkj + Bjk = 0,
Ekj − Cjk = 0,

Ckj + Cjk = uk u
¯j + u

¯k uj ,
Fkj + Fjk = 0.

(1.48)

Phương trình tán sắc

Để thu được phương trình tán sắc của sóng, Mozhaev [7] đã biến
đổi hệ (1.47) về hệ 18 phương trình tuyến tính thuần nhất của 18 ẩn
15


số. Quá trình biến đổi được Mozhaev giới thiệu qua bài báo [7] vào năm
1995. Mozhaev thu được phương trình tán sắc của sóng bằng cách cho
định thức của hệ này bằng 0. Quá trình biến đổi dẫn ra hệ 18 phương
trình 18 ẩn số của Mozhaev thực hiện như sau.
Trước tiên biểu diễn ma trận (Akj ) thành hai phần

(Akj ) = (A0kj ) + (∆Akj ),

(1.49)

trong đó

0
A12 −A31
A11
0 ∆A5
0
A23 , (∆Akj ) = ∆A6 A22

0 ,
(A0kj ) = −A12
A31 −A23
0
0 ∆A4 A33
∆A4 = A23 + A32 , ∆A5 = A31 + A13, ∆A6 = A12 + A21.
(1.50)
Chú ý rằng (A0kj ) là ma trận phản đối xứng.
Ta đưa vào kí hiệu a0ij = αik A0kj , khi đó ta có

(a0ij )

0
A12 −A31
0
A23 ,
= [α1 , α2 , α3 ] −A12
A31 −A23
0

(1.51)

với αi là cột thứ i của ma trận (αij ).
Đặt a∗ = [a011 a021 a031 a012 a022 a032 a013 a023 a033 ]T , từ (1.51) ta suy ra

a∗ = [α]A,

(1.52)

trong đó




0 α3 −α2
A23


[α] = α3 0 −α1 , A = A31 .
A12
α2 −α1 0

(1.53)

Kí hiệu ∆aij = αik ∆Akj , khi đó

α1 A11 + α2 ∆A6
A11
0 ∆A5
0
(∆aij ) = [α1 , α2 , α3 ] ∆A6 A22
= α2 A22 + α3 ∆A4
0 ∆A4 A33
α3 A33 + α1 ∆A5

T

.
(1.54)

Từ điều kiện tự do đối với ứng suất trên mặt biên x3 = 0 (1.42)
ta có

c55 c45 c35
c45 c44 c34
c35 c34 c33

U1
c15 c56 c55
U2 + i c14 c46 c45
c13 c36 c35
U3
16

U1
U2 = 0,
U3

(1.55)


suy ra

d0ik
Ui = −i
Uk = −idik Uk ,
det(αrs )

(1.56)

trong đó d13 = 1, d23 = d33 = 0,

c15 c45 c35
d11 = c14 c44 c34 ,
c13 c34 c33

c55 c15 c35
d21 = c45 c14 c34 ,
c35 c13 c33

c55 c45 c15
d31 = c45 c44 c14 ,
c35 c34 c13

c56 c45 c35
= c46 c44 c34 ,
c36 c34 c33

c55 c56 c35
d22 = c45 c46 c34 ,
c35 c36 c33

c55 c45 c56
d32 = c45 c44 c46 .
c35 c34 c36

d12

Từ (1.48)1 và (1.56) ta có

Akj + Ajk = Uk U¯ j + Uj U¯ k
= dkm djn (UmU¯n + U¯mUn )

(1.57)

= dkm djn Wmn ,
¯n + U¯mUn .
với Wmn = UmU
Từ (1.56) và (1.57) ta có

∆a∗ = ΛA W ,

(1.58)

trong đó ∆a∗ = [∆a11 ∆a21 ∆a31 ∆a12 ∆a22 ∆a32 ∆a13 ∆a23 ∆a33 ]T ,


d1m d1n
α
+ α2 d1m d2n
 1 2

 d2m d2n


ΛA = 
(1.59)
α
+
α

d
d
3 2m 3n  ,
 2 2
 d d

3m 3n
α3
+ α1 d3m d1n
2

W = [W11 W22 W33 W23 W13 W12 ]T .
Đặt aij = αik Akj , a = [a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ]T , từ
(1.49), (1.52), (1.58) ta có
a = [α]A + ΛAW .

(1.60)

Hoàn toàn tương tự ta có

c = [γ]C + ΛC W ,
17

(1.61)


trong đó cij = γik Ckj , c = [c11 c21 c31 c12 c22 c32 c13 c23 c33 ]T ,

C = [C23 , C31 , C12]T ,



γ1 /2 0
0
0 0 γ2
ΛC =  0 γ2 /2 0 γ3 0 0  ,
0
0 γ3 /2 0 γ1 0

[γ] có dạng (1.53) trong đó α thay bởi γ .
Chú ý rằng B là ma trận phản đối xứng nên tương tự như trên ta
có
b = [β]B
(1.62)
trong đó bij = βik Bkj , b = [b11 b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33 ]T ,

B = [B23 , B31 , B12 ]T , [β] có dạng (1.53) trong đó α thay bởi β .
Thay (1.60) và (1.61) vào (1.47)1 ta được
[α] [β] [γ] [0] [ΛA − ΛC ]

U
= 0,
W

(1.63)

 
A
F23
B 
 là ma trận 12 × 1, F = F31 . (Chú ý rằng F là ma

trong đó U = 
C 
F12
F
trận phản đối xứng).
Biến đổi tương tự như trên với phương trình (1.47)2 và sử dụng
(1.48) ta có
[0] [α] − [β] − [γ] [ΛE − ΛD ]

U
= 0,
W

trong đó



β1/2 0
0
0
ΛE =  0 β2 /2 0
0
0
0 β3 /2 β2

αk dk1
0
0

ΛD =

0
αk dk2
0
0
0
αk dk3
18


β3 0
0 β1  ,
0 β3

0
αk dk3 αk dk2
αk dk3
0
0 .
αk dk2 αk dk1
0

(1.64)


Vậy hệ phương trình chuyển động (1.38) được dẫn về dạng

[α] [β] −[γ] [0] [ΛA − ΛC ]
[0] [α] −[β] −[γ] [ΛE − ΛD ]

U

= 0.
W

(1.65)

với α, β, γ, ΛA , ΛC , ΛE , ΛD , U , W được xác định như trên.
Đây là hệ 18 phương trình 18 ẩn số. Mà theo Mozhaev, định thức
của các hệ số của hệ phương trình (1.65) chính là phương trình tán sắc
của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi dị hướng tổng quát. Tiếp
theo, ta sẽ chứng minh đây không phải là phương trình (tán sắc), mà
thực chất chỉ là một đồng nhất thức. Phần trình bày này dựa trên bài
báo của Ting [12].
Thật vậy, bằng cách đưa vào kí hiệu tích vô hướng
+∞

(g, h) =

¯ T )d(kx3 ).
(ghT + g¯h

(1.66)

0

phương trình (1.47) được Ting viết lại như sau

(Q − XI)(u, i¯
u) + (R + RT )(u , u¯) − T (u , i¯
u) = 0,
T

(Q − XI)(u, u
¯ ) − (R + R )(iu , u¯ ) − T (u , u¯ ) = 0.

(1.67)

trong đó Q, R, T được xác định bởi phương trình (3.4) trong [12].
Kí hiệu

A = (u , u¯ ),
D = (u , i¯
u),

B = (iu , u¯ ),

C = (u, u
¯ ,)

E = (u , u¯),

F = (u, i¯
u),

khi đó hệ phương trình (1.67) trở thành

(Q − XI)F + (R + RT )E − T D = 0
(Q − XI)C − (R + RT )B − T A = 0

(1.68)

Dễ dàng chứng minh được F, B là hai ma trận phản đối xứng và

E = CT .
Ta biểu diễn C dưới dạng tổng của một ma trận đối xứng và một
ma trận phản đối xứng. Cụ thể là
(u, u¯ ) + (u, u¯ )T (u, u¯ ) − (u, u
¯ )T
C = (u, u¯ ) =
+
= −W +W ∗ , (1.69)
2
2
19


trong đó −W là ma trận đối xứng, W ∗ là ma trận phản đối xứng.
Mặt khác

E = C T = (−W + W ∗ )T = −W T + W ∗ T = −W − W ∗ .

(1.70)

Ta lại có

D = (u , i¯
u) = −(iu , u¯ ) + 2N1 W = −B + 2N1 W.

(1.71)

Kí hiệu vế trái của (1.68)1 là (Zij )3×3 . Ta sẽ chứng minh T r(Z) =

0, điều này có nghĩa là 3 phương trình

Z11 = 0
Z22 = 0

Z33 = 0

(1.72)

của hệ 9 phương trình đầu của (1.68) phụ thuộc tuyến tính. Do đó, hệ 18
phương trình (1.68) là phụ thuộc tuyến tính, nên định thức của hệ (1.68)
đồng nhất bằng 0, tức là định thức của hệ (1.65) đồng nhất bằng 0. Đó
chính là điều phải chứng minh. Sau đây, ta sẽ chứng minh T r(Z) = 0.
Trước hết, ta sẽ chứng minh vết của tích của một ma trận đối xứng

với một ma trận phản đối xứng bằng 0. Thật vậy, giả sử A đối xứng, B
phản xứng ta có
n

n

T r(AB) =

Aij Bji = −
i,j=1

n

AjiBij ⇒
i,j=1

n

Aij Bji +
i,j=1

Aji Bij = 0
i,j=1

⇔ 2T r(AB) = 0 hay T r(AB) = 0
Mặt khác, theo [12] ta lại có

N1 = −N2 RT = −T −1 RT ⇒ T N1 = −RT
Chú ý rằng B, F, R − RT là ma trận phản đối xứng.
Ta có

T r(Z) = T r[(Q − XI)F + (R + RT )E − T D]
= T r[(Q − XI)F ] + T r[(R + RT )E] − T r(T D)
= T r[(Q−XI)F ]+T r[−(R+RT )W ]+T r[−(R+RT )W ∗ )]
20


−T r(−T B) − T r(2T N1 W ).
Do Q − XI, R + RT , T là ma trận đối xứng [12], F, B, W ∗ là ma
trận phản đối xứng nên
T r[(Q − XI)F ] = 0, T r[−(R + RT )W ∗ )] = 0, T r(−T B) = 0.
Suy ra

T r(Z) = T r[−(R + RT )W ] − T r(2T N1 W )
= T r(−RW − RT W + 2RT W ) = T r[(RT − R)W.

Vì RT − R là ma trận phản đối xứng, W là ma trận đối xứng
⇒ T r(Z) = T r[(RT − R)W = 0.
Vậy định thức của hệ (1.65) là một đồng nhất thức.
Như vậy, ta đã chứng minh được phương trình tán sắc của sóng
Rayleigh ba thành phần được tìm bằng phương pháp tích phân đầu của
Mozhaev [7] thực chất là một đồng nhất thức. Tức là, phương pháp tích
phân đầu được giới thiệu bởi Mozhaev [7] không có hiệu lực với sóng
Rayleigh ba thành phần. Tuy nhiên, trong chương ba tác giả luận văn
đã sử dụng thành công phương pháp tích phân đầu tìm phương trình tán
sắc của sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường monoclinic với
mặt phẳng đối xứng x1 = 0, trái với khẳng định gần đây của Destrade
[3] và Ting [12].

21


Chương 2
SÓNG RAYLEIGH HAI THÀNH PHẦN
TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC,
CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC: CHỊU ĐỒNG THỜI
KÉO (NÉN) VÀ CẮT
2.1

Các phương trình cơ bản
Xét vật thể đàn hồi không nén được mà ở trạng thái tự nhiên là

đẳng hướng, và chiếm bán không gian X2 ≥ 0. Giả sử vật thể chịu biến
dạng trước như sau [5]:

xˆ1 = µ1 X1 + κµ2X2 ;

xˆ2 = µ2 X2;

xˆ3 = µ3 X3 ,

(2.1)

ˆk là tọa độ của
trong đó: Xk là tọa độ của điểm ở trạng thái tự nhiên, x
điểm đó ở trạng thái ban đầu, µk , κ là các hằng số dương.
Biến dạng trước (2.1) là sự tổ hợp của biến dạng kéo (nén) và biến
dạng cắt, được thực hiện như sau:
Đầu tiên, vật thể chịu kéo (nén) theo ba trục tọa độ với các độ
giãn chính µk (µ1 µ2 µ3 = 1). Sau đó, vật thể chịu biến dạng cắt đặc trưng
bởi hằng số κ (xem hình 1).
Chú ý rằng, ở trạng thái ban đầu vật thể chiếm bán không gian

xˆ2 ≥ 0.
Với biến dạng trước (2.1) phương trình chuyển động đối với nhiễu
chuyển dịch (bỏ qua lực khối) là [5]:
∂ sˆji
∂ 2 uˆi
=ρ 2
∂ xˆj
∂t
22

(2.2)

3
1
2

1
1

(a)

(b)

(c)

Hình 1. Trạng thái vật thể có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt

trong đó ρ là mật độ khối lượng, u
ˆi là các thành phần của vectơ nhiễu
chuyển dịch và sˆij là các thành phần của tenxơ nhiễu ứng suất được xác
định bởi công thức sau [5]:

ˆijkl
sˆij = B

∂ uˆl
∂ uˆi
+p
− pˆδij ,
∂ xˆk
∂ xˆj

(2.3)

trong đó p là nhân tử Lagrange ở trạng thái ban đầu, pˆ là nhiễu của p,
ˆijkl là các thành phần của tenxơ môđun hằng số đàn hồi được xác định
B
như sau
với

ˆijkl = Ωip Ωjq Ωkr Ωls Bpqrs ,
B

(2.4)

cos θ − sin θ 0
[Ωij ] = sin θ cos θ 0 ,
0
0
1

(2.5)

Biijj = λiλj Wij , Bijkl = Bklij , (Wi = ∂W/∂λi , Wij = ∂ 2 W/∂λi ∂λj ),
Bijij = (λiWi − λj Wj )λ2i /(λ2i − λ2j ),
Bijji = Bjiij = Bijij − λiWi ,

i = j,

i = j,

(2.6)

W = W (λ1 , λ2 , λ3 ) là thế năng biến dạng đàn hồi và λk , θ được xác định
bởi [5]:
λ1 ± λ2 =
tan 2θ =

(µ1 ± µ2 )2 + κ2 µ22 ,

2µ22 κ/(µ21

−

µ22

+

23

κ2µ22 ).

λ3 = 1/(µ1 µ2 ),

(2.7)


Điều kiện không nén được đối với nhiễu chuyển dịch

uˆi,i = 0,

(2.8)

(i = 1, 2, 3).

Điều kiện tự do đối với nhiễu ứng suất trên mặt biên x
ˆ2 = 0

sˆ2i = 0,

(i = 1, 2, 3) tại x
ˆ2 = 0.

(2.9)

Điều kiện tắt dần ở vô cùng

uˆi = sˆ2i = 0,
2.2

(i = 1, 2, 3) tại xˆ2 = +∞.

(2.10)

Sóng Rayleigh
Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng x
ˆ1 với vận tốc v, số sóng

k, tắt dần theo hướng xˆ2 . Khi đó, nghiệm được tìm dưới dạng

x1 , xˆ2 , t) = Um(kˆ
x2 )eik(ˆx1−vt)

uˆm (ˆ
sˆmj (ˆ
x1 , x
ˆ2 , t) = kSmj (kˆ
x2 )eik(ˆx1−vt)

pˆ(ˆ
x1, xˆ2 , t) = ikP (kˆ
x2 )eik(ˆx1 −vt)

(2.11)

Thay (2.11) vào phương trình chuyển động (2.2) có tính đến phương

trình trạng thái (2.3) ta thu được hệ 3 phương trình đối với Uk (k =

1, 2, 3), trong đó phương trình thứ ba chỉ chứa U3 (không chứa U1 , U2 ),
còn hai phương trình đầu không chứa U3 . Vì vậy, không mất tính tổng
quát ta giả sử U3 = 0 (xem [4]). Do U3 = 0 và các đại lượng cần tìm
không phụ thuộc vào x
ˆ3 nên hệ phương trình chuyển động (2.2) trở thành
iS11 + S21 = −XU1
iS12 + S22 = −XU2

(2.12)

với X = ρv2 và dấu " " chỉ đạo hàm theo biến y = kˆ
x2 .
Từ phương trình trạng thái (2.3) và tính đến (2.11) ta suy ra


ˆ1111 + p)U1 + B
ˆ1121 U + iB
ˆ1112 U2 + B
ˆ1122U − iP

S11 = i(B

1
2


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
S12 = iB1211 U1 + (B1221 + p)U1 + iB1212 U2 + B1222U2
ˆ2111 U1 + B
ˆ2121 U + i(B
ˆ2112 + p)U2 + B
ˆ2122U

S21 = iB
1
2


S = iB
ˆ
ˆ
ˆ

ˆ
22
2211 U1 + iB2212 U2 + B2221 U1 + (p + B2222)U2 − iP
(2.13)
24


Đặt τ1 = −iS21 , τ2 = −iS22 ⇒ S21 = iτ1 , S22 = iτ2 , hệ phương
trình (2.13) trở thành

ˆ1111 + p)U1 + B
ˆ1121 U + iB
ˆ1112 U2 + B
ˆ1122U − iP

S11 = i(B

1
2


ˆ1211 U1 + (B
ˆ1221 + p)U + iB
ˆ1212 U2 + B
ˆ1222U
S12 = iB
1
2
ˆ
ˆ

ˆ
ˆ

iτ1 = iB2111U1 + B2121U1 + i(B2112 + p)U2 + B2122 U2


iτ = iB
ˆ2211U1 + iB
ˆ2212U2 + B
ˆ2221 U + (p + B
ˆ2222)U − iP
2
1
2

(2.14)

Thay (2.11)1 vào điều kiện không nén được (2.8) ta suy ra

U2 = −iU1
Thay (2.15) vào (2.14)3 ta suy ra
ˆ1121 − B
ˆ2122
B
U1 = − i
U1
ˆ2121
B
ˆ2121 − B
ˆ1221 − p)

ˆ2121 − (B
B
1
−i
U2 + i
τ
ˆ2121
ˆ2121 1
B
B

(2.15)

(2.16)

Mặt khác, trừ vế với vế phương trình (2.14)1 cho (2.14)4 ta có
ˆ1111 + p − B
ˆ1122)U1 + i(B
ˆ1112 − B
ˆ1222 )U2+
S11 =i(B
(2.17)
ˆ2122 )U + (B
ˆ1122 − B
ˆ2222 − p)U + iτ2
ˆ1121 − B
+ (B
1
2
Thay (2.14)2 , (2.16) vào (2.12) và sử dụng S21 = iτ1 , S22 = iτ2 suy

ra hệ phương trình (2.12) tương đương với hệ phương trình sau

ˆ1111 − p)U1 + (B
ˆ1222 − B
ˆ1112)U2 + i(B
ˆ1121 − B
ˆ2122 )U
ˆ1122 − B
(B
1
ˆ
ˆ
+i(B
− B2222 − p)U2 − τ2 + iτ1 = −XU1
 ˆ 1122
ˆ1212 U2 + i(B
ˆ1221 + p)U + B
ˆ1222U + iτ = −XU2
−B1112 U1 − B
1
2
2
(2.18)

Từ (2.18)1 và sử dụng (2.15) và (2.16) ta tính được
ˆ1121 − B
ˆ2122)2
(B
ˆ1111 + B
ˆ2222 − 2B

ˆ1122 − 2B
ˆ1221 )
τ1 =i[X +
− (B
ˆ
B2121
ˆ2121 + 2(B
ˆ2121 − B
ˆ1221 − p)]U1
− 2B
ˆ
ˆ
ˆ1222 − B
ˆ1112 ) + B1121 − B2122 [B
ˆ2121 − (B
ˆ2121 − B
ˆ1221 − p)]}U2
+ i{(B
ˆ
B2121
ˆ1121 − B
ˆ2122
B
−i
τ1 − iτ2 .
ˆ2121
B
(2.19)
25