Tỷ số H/V đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




NGUYỄN THỊ DUNG


PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN
VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC









Hà Nội - Năm 2014

2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ DUNG


PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN
VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN



Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 60 44 21


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. ĐÀO HUY BÍCH



Hà Nội - Năm 2014

1


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ tận tình của
thầy giáo hƣớng dẫn, sự ủng hộ của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Cơ –
Tin học và sự động viên của gia đình và bạn bè.

Với tất cả tình cảm của mình em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
sâu sắc đến thầy giáo hƣớng dẫn GS.TSKH Đào Huy Bích đã tận tình giúp đỡ
hƣớng dẫn em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Đồng thời em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong
khoa Toán– Cơ – Tin học đã nhiệt tình bảo ban, truyền đạt kiến thức kinh
nghiệm cho em trong suốt 4 năm đại học.
Cuối cùng em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, các anh
chị và bạn bè đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Dung



2

MỤC LỤC

Trang
Mở đầu………………………………………………………………… 4
Chƣơng 1: Các phƣơng trình và hệ thức cơ sở
1.1: Quan hệ biến dạng chuyển vị của vỏ cầu………………………… 6
1.2: Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu…………………………… 8
1.3: Phƣơng trình cân bằng……………………………………… 10
Chƣơng 2: Phân tích ổn định của vỏ cầu
2.1: Trạng thái màng trƣớc khi mất ổn định……………………………12
2.2: Phƣơng trình ổn định………………………………………………13
2.3: Phƣơng pháp giải ………………………………………………….15

Chƣơng 3: Khảo sát số về ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu
có cơ tính biến thiên
3.1: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn 25
3.2: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực tới hạn q 27
3.3: Khảo sát ổn định của vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của p và q 30
Tài liệu tham khảo………………………………………………… 32
Phụ lục…………………………………………………… ……….….

3

Mở đầu : VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ( FGM )
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là lớp vật liệu mới đƣợc tạo ra
nhằm để cải thiện tính kết cấu trong cấu trúc không gian. FGM là một loại vật
liệu composite có đặc điểm là những thuộc tính của chúng thay đổi từ từ và
liên tục từ mặt này sang mặt khác của kết cấu do đó làm giảm ứng suất tập
trung, giảm ứng suất nhiệt và ứng suất dƣ. Những vật liệu này thƣờng đƣợc
sản xuất từ hỗn hợp gốm và kim loại hoặc là tổ hợp của nhiều kim loại khác
nhau. Loại vật liệu này có thể chịu đƣợc sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn
định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động. Với những đặc điểm
ƣu việt đó mà lớp vật liệu này đang đƣợc nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi
trong thực tế đặc biệt là trong các nghành công nghiệp đóng tàu, hàng không,
vũ trụ, cơ khí, xây dựng v.v
Đáp ứng những đòi hỏi của thực tiễn, trong những năm gần đây, đã có
nhiều công trình nghiên cứu cho kết quả về sự ổn định của kết cấu bằng loại
vật liệu này. Đối tƣợng đƣợc nghiên cứu nhiều về ổn định và dao động
thƣờng là bản hoặc vỏ. V. Birman [13] đã đƣa ra các hệ thức về ổn định của
bản composite FGM, E. Feldman và J. Abouli [5] nghiên cứu về ổn định đàn
hồi của bản FGM bị nén, J. N. Reddy [6] đƣa ra phƣơng pháp nghiên cứu về
sự uốn của bản tròn và bản hình vành khăn FGM. Đối với vỏ nón, Tani đã
nghiên cứu tính mất ổn định động của vỏ nón cụt đẳng hƣớng dƣới tải dọc

trục tuần hoàn khi đã bỏ qua biến dạng uốn trƣớc khi mất ổn định [10] và
dƣới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến các biến dạng này [11] bằng việc sử
dụng lý thuyết vỏ Donnell và phƣơng pháp sai phân hữu hạn. Cũng sử dụng
phƣơng pháp này ông đã phân tích ảnh hƣởng của độ võng ban đầu đến ổn
định nhiệt của vỏ nón cụt đẳng hƣớng [12]. Xu và đồng sự sử dụng phƣơng

4
pháp Galerkin và phƣơng pháp cân bằng điều hòa để nghiên cứu dao động tự do
của vỏ nón cụt dày bằng vật liệu composite lớp [14]. Paczos và Zielnica áp dụng
phƣơng pháp Ritz để nghiên cứu sự ổn định của panel vỏ nón có lớp kép đàn hồi
dẻo dƣới tác động của tải nén và áp suất [9]. Đào Huy Bích và đồng sự đã sử
dụng phƣơng pháp Bubnov – Galerkin giải bài toán theo chuyển vị và nghiên
cứu ổn định của panel nón FGM dƣới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1].
Nath và Alwar [7] đã sử dụng phƣơng pháp khai triển chuỗi Chebyshev
để nghiên cứu và phân tích đáp ứng phi tuyến tĩnh và động của vỏ cầu đƣợc
ngàm. Dumir đã tìm đƣợc đáp ứng cực đại tức thời trong dao động phi tuyến
của chỏm cầu trên nền đàn hồi dƣới tác dụng của tải phân bố đều song song
với trục đối xứng [8]. Phân tích phi tuyến về ổn định của vỏ cầu thoải FGM
chịu áp suất ngoài bằng phƣơng pháp giải tích gần đúng đƣợc trình bày trong
công trình của Đào Huy Bích [3]. Gần đây, Đ. H. Bích cùng Đ.V.Dũng và
L.K Hòa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh và động của vỏ cầu
FGM có tính đến ảnh hƣởng của nhiệt độ [4]. Trong bài viết đó, các tác giả đã
sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển và phƣơng pháp Bubnov – Galerkin để xác định
lực tới hạn tác dụng lên vỏ trong trƣờng hợp ổn định tĩnh và phƣơng pháp số
Runge – Kutta để nghiên cứu ổn định động của vỏ. Ngoài ra, Đ.H.Bích và
H.V Tùng cũng đã công bố kết quả phân tích phi tuyến vỏ cầu đối xứng trục
bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dƣới tác dụng của lực phân bố đều đồng
thời chịu ảnh hƣởng của nhiệt độ [2].
Luận văn nghiên cứu sự ổn định của vỏ cầu nhẫn có cơ tính biên thiên
dƣới tác dụng của lực song song với trục đối xứng và áp suất ngoài. Phƣơng

pháp đƣợc sử dụng trong bài là phƣơng pháp Bubnov – Galerkin và áp dụng
tiêu chuẩn tĩnh về ổn định từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu. Tác giả cũng
đã sử dụng phần mềm Matlab để tính toán số nhằm khảo sát lực tới hạn khi

5
các yếu tố về tính chất vật liệu, kích thƣớc kết cấu thay đổi và đƣa ra một vài
nhận xét tƣơng ứng.
Chương 1: CÁC PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ
Trong phần này trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ nội
lực biến dạng, phương trình cân bằng của bài toán vỏ cầu nhẫn chịu lực phân bố
đều song song trục đối xứng và áp suất ngoài.
1.1 Quan hệ biến dạng, chuyển vị của vỏ cầu
Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu là R. Vỏ
cầu đƣợc làm từ hỗn hợp kim loại và gốm.
Gắn hệ trục tọa độ φ, theo hƣớng kinh tuyến và vĩ tuyến tƣơng ứng và
z theo hƣớng bán kính của vỏ cầu nhƣ hình 1.

Hình 1.

6
Chất liệu của bề mặt ngoài và bề mặt trong của vỏ cầu tƣơng ứng là gốm
và kim loại. Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện đƣợc khả năng chịu nhiệt độ
cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp. Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị
đứt gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao trong thời gian
rất ngắn. Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu thành phần thay
đổi liên tục theo độ dày của vỏ. Theo Javaheri và Eslami, modul đàn hồi E và
hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa.
Gọi và tƣơng ứng là các phân tố thể tích của kim loại và gốm.
Chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức:
trong đó :

với k là số mũ đặc trƣng tỉ phần khối lƣợng (k≥0).
Modul đàn hồi


Để đơn giản ta chọn const vì sự khác biệt của hệ số Poison của các
vật liệu không lớn. Trong bài toán với vỏ cầu thoải để tính toán thuận tiện ta
đặt: với r là bán kính hình tròn song song với mặt đáy. Khi đó:
do φ nhỏ nên , . Bằng cách này các
điểm ở mặt giữa có thể đƣợc biểu diễn theo 2 tọa độ và .

7
Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị và
biến dạng đƣợc biểu diễn bởi:

trong đó:






với: u, v, w là chuyển vị của các điểm ở mặt giữa theo hƣớng các tọa
độ , 𝜃 và z tƣơng ứng. ; ; là biến dạng ở mặt giữa.
tƣơng ứng là sự thay đổi độ cong và độ xoắn.

1.2 Quan hệ nội lực biến dạng của vỏ cầu
Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng của vỏ cầu:

8

Tích phân các phƣơng trình sức căng và momen theo độ dày của vỏ cầu
ta đƣợc biểu thức nội lực và momen tổng hợp.


trong đó:



Với:

9



Từ (1.4) và (1.5) ta có :

Ngƣợc lại từ (1.4) ta có :




1.3 Phƣơng trình cân bằng
Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu là R chịu
tác dụng của áp suất ngoài q và lực P song song với trục đối xứng.

10
Phƣơng trình cân bằng cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng :

Trong đó q là áp suất ngoài tác động lên vỏ.

Sử dụng (1.10) và (1.11) phƣơng trình (1.12) đƣợc viết lại dƣới dạng :



Сhƣơng 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU
Trong chương này nghiên cứu trạng thái màng trước khi vỏ cầu mất ổn
định. Từ đó xây dựng phương trình ổn định, tiến hành giải bài toán bằng cách
áp dụng tiêu chuẩn tĩnh và phương pháp Bubnov – Galerkin.

2.1 Trạng thái màng trƣớc khi mất ổn định.


11
Trạng thái lực màng trƣớc khi mất ổn định của vỏ cầu chịu lực phân bố P
song song với trục đối xứng và áp suất phân bố đều q đƣợc xác định từ hệ
phƣơng trình sau:



trong đó tải trọng tác dụng lên toàn vòm cầu có dạng:

Thay vào (2.1) ta đƣợc:

suy ra:

Thay vào (2.2) ta xác định đƣợc :


2.2 Phƣơng trình ổn định.
Các phƣơng trình ổn định tuyến tính có thể nhận đƣợc bằng cách sử
dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh.

12
Ký hiệu là chuyển vị ở trạng thái cân bằng xuất phát, ứng với
trạng thái cân bằng lân cận ta có chuyển vị
.
(u;v;w) là chuyển vị ở trạng thái cân bằng lân cận tƣơng ứng cùng dạng
tải trọng nhƣ dạng cân bằng , là gia số chuyển vị
nhỏ tùy ý. 𝛿 là gia số lực tổng hợp và
momen tổng hợp ứng với
Các lực tổng hợp và momen ; ; 𝛿 và 𝛿 đều thỏa mãn
các phƣơng trình (1.10); (1.11); (1.12), lấy hiệu hai phƣơng trình nhận đƣợc
tƣơng ứng và tuyến tính hóa phƣơng trình mới nhận này ta có:





Thay (1.1) vào (1.4) và (1.5) ta đƣợc các lực tổng và momen theo chuyển
vị ở hai trạng thái, qua đó xác định đƣợc gia số chuyển vị, gia số lực và
momen, giữ lại các đại lƣợng tuyến tính đối với và . Tiếp tục thay
các đại lƣợng này vào (2.4); (2.5) và (2.6) ta thu đƣợc phƣơng trình ổn định

13
với các ẩn và . Để đơn giản và không nhầm lẫn, từ đây ta ký hiệu

(2.7)
trong đó:









14








Điều kiện biên: Giả thiết cầu nhẫn tựa đơn tại ta có:


2.3. Phƣơng pháp giải.
Để giải quyết bài toán ta sử dụng phƣơng pháp Bubnov – Galerkin, với
điều kiện biên (2.9) đƣợc thỏa mãn nếu ta chọn:

15

Thay (2.10) vào (2.7) ta đƣợc hệ phƣơng trình tƣơng ứng:

trong đó:






16












17

18








Vì nên , ta nhân cả hai vế của phƣơng trình (2.11) và
(2.12) với , phƣơng trình (2.13) với rồi lấy tích phân trên khoảng
:



19

trong đó lần lƣợt là vế trái của các phƣơng trình (2.11),
(2.12), (2.13). Từ đó ta đƣợc hệ phƣơng trình:
(2.14)
Với:

20












21

Hệ phƣơng trình (2.14) có nghiệm không tầm thƣờng khi và chỉ khi định
thức:

từ đó ta có:

Các trƣờng hợp riêng:
1. Vỏ chỉ
chịu tác dụng của lực p:

2. Vỏ chỉ
chịu tác dụng của áp suất q:


3. Vỏ chịu tác dụng đồng thời của lực p và áp suất q:

22
Đặt khi đó ta có:


Trong các công thức (2.17) – (2.19) các giá trị p, q phụ thuộc vào các số
sóng m, n có mặt trong các hệ số . Lực tới hạn đƣợc xác định bởi các giá
trị nhỏ nhất p, q ứng với số sóng m, n tƣơng ứng:



Đặt :

Biểu diễn lại các hệ số ta đƣợc:





23