ổn định đàn hồi của tấm và vỏ composite có cơ tính biến đổi

Đại học quốc gia hà nội
Trường đại học khoa học tự nhiên







Hoàng Văn Tùng



Ổn định đàn hồi của tấm và vỏ
composite có cơ tính biến đổi





Luận án tiến sĩ cơ học









Hà Nội - 2011

Đại học quốc gia hà nội
Trường đại học khoa học tự nhiên





Hoàng Văn Tùng



Ổn định đàn hồi của tấm và vỏ composite có cơ tính
biến đổi

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số : 62 44 21 01


Luận án tiến sĩ cơ học

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TSKH. Nguyễn đình đức
2. PGS. TS. Đào văn Dũng





Hà nội- 2011

iii
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ và chữ viết tắt vi
Danh mục các bảng vii
Danh mục các hình vẽ viii
Mở đầu 1
Chương 1: Tổng quan 4
1.1. Vật liệu composite có cơ tính biến đổi 4
1.2. Các nghiên cứu về các kết cấu FGM 7
1.2.1. Phân tích tĩnh và động các kết cấu FGM 8
1.2.2. Phân tích ổn định tĩnh các kết cấu FGM 9
1.2.3. ổn định động lực học của các kết cấu FGM 12
1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước 13
1.4. Phân loại ổn định và tiêu chuẩn ổn định 13
1.4.1. Phân loại ổn định 13
1.4.1.1. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh 13
1.4.1.2. Mất ổn định theo kiểu cực trị 14
1.4.2. Các tiêu chuẩn ổn định 14
1.4.2.1. Tiêu chuẩn chuyển động 14
1.4.2.2. Tiêu chuẩn tĩnh 14
1.4.2.3. Tiêu chuẩn năng lượng 15
1.5. Mục tiêu nghiên cứu của luận án 15
Chương 2: ổn định đàn hồi của các tấm chữ nhật FGM 17
2.1. ổn định phi tuyến của các tấm chữ nhật FGM 17
2.1.1. Giới thiệu 17
2.1.2. Tấm chữ nhật FGM 19
2.1.3. Các phương trình cơ bản 20
2.1.4. Phân tích ổn định 24
2.1.4.1. ổn định của tấm FGM chịu nén trên các cạnh 26

2.1.4.2. ổn định của tấm FGM chịu tải nhiệt 27
2.1.4.3. ổn định của tấm FGM chịu tác dụng của tải cơ và nhiệt kết hợp 32
2.1.5. Một số kết quả tính toán 33
2.1.6. Một số nhận xét 38

iv
2.2.
ổn định phi tuyến của các tấm chữ nhật FGM đối xứng với các tính chất
vật liệu phụ thuộc nhiệt độ …………………………………………………… 39
2.2.1. Giới thiệu 39
2.2.2. Tấm chữ nhật FGM đối xứng qua mặt giữa 40
2.2.3. Các phương trình cơ bản 42
2.2.4. Phân tích ổn định 45
2.2.4.1. ổn định của tấm FGM đối xứng chịu tải nén trên các cạnh 46
2.2.4.2. ổn định của tấm FGM đối xứng chịu tải nhiệt 47
2.2.4.3. ổn định của tấm FGM đối xứng chịu tác dụng của tải cơ - nhiệt 49
2.2.5. Một số kết quả tính toán 50
2.2.6. Một số nhận xét 57
2.3. Kết luận chương 2 58
Chương 3: ổn định đàn hồi của các vỏ fgm 59
3.1. ổn định phi tuyến của các panel trụ FGM 59
3.1.1. Giới thiệu 59
3.1.2. Panel trụ FGM 61
3.1.3. Các phương trình cơ bản 62
3.1.4. Phân tích ổn định 63
3.1.4.1. ổn định của panel trụ FGM dưới tác dụng của áp lực ngoài 65
3.1.4.2. ổn định của panel trụ FGM dưới tác dụng của tải nén dọc trục 68
3.1.4.3. ổn định của panel trụ FGM dưới tác dụng của tải nhiệt 69
3.1.4.4. ổn định của panel trụ FGM dưới tác dụng của tải cơ - nhiệt 71
3.1.5. Một số kết quả tính toán 73

3.1.5.1. Nghiên cứu so sánh 74
3.1.5.2. Trường hợp panel chỉ chịu áp lực ngoài 76
3.1.5.3. Trường hợp panel chịu áp lực ngoài và nhiệt độ 78
3.1.5.4. Trường hợp panel chịu lực nén dọc trục 82
3.1.5.5. Trường hợp panel chịu tải nhiệt 85
3.1.5.6. Trường hợp panel chịu đồng thời tải nén dọc trục và nhiệt độ 86
3.1.5.7. ảnh hưởng của áp lực ngoài và tính không hoàn hảo 87
3.1.6. Một số nhận xét 88
3.2. ổn định phi tuyến của vỏ trụ tròn thoải FGM - đặt bài toán theo ứng suất 89
3.2.1. Giới thiệu 89
3.2.2. Mô hình vỏ trụ tròn FGM loại B 91

v
3.2.3. Các phương trình cơ bản 92
3.2.4. Phân tích ổn định của vỏ trụ tròn thoải FGM loại B 92
3.2.4.1. ổn định của vỏ trụ thoải FGM loại B chịu nén dọc trục 94
3.2.4.2. ổn định của vỏ trụ thoải FGM loại B chịu tải nhiệt 95
3.2.5. Một số kết quả tính toán 96
3.2.6. Một số nhận xét 98
3.3. ổn định phi tuyến của vỏ trụ tròn không thoải - đặt bài toán theo chuyển vị 99
3.3.1. Giới thiệu 99
3.3.2. Mô hình vỏ trụ tròn FGM loại A 100
3.3.3. Các phương trình cơ bản 101
3.3.3.1. Nhiệt độ tăng đều 103
3.3.3.2. Sự truyền nhiệt theo chiều dày của vỏ 103
3.3.4. Phân tích ổn định của các vỏ trụ tròn không thoải FGM loại A 104
3.3.5. Một số kết quả tính toán 106
3.3.6. Một số nhận xét 109
3.4.
ổn định phi tuyến đối xứng trục của vỏ cầu thoải FGM chịu áp lực ngoài

có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ …………………………………………….110
3.4.1. Giới thiệu 110
3.4.2. Mô hình vỏ cầu thoải FGM 111
3.4.3. Các phương trình cơ bản 112
3.4.4. Phân tích ổn định 115
3.4.4.1. Phân tích ổn định cơ học 116
3.4.4.2. Phân tích ổn định cơ - nhiệt 116
3.4.5. Một số kết quả tính toán 118
3.4.6. Một số nhận xét 124
3.5. Kết luận chương 3 125
Kết luận 127
Những vấn đề có thể phát triển từ luận án 129
Danh mục công trình khoa học của tác giả
liên quan đến luận án 130
Tài liệu tham khảo 131
Phụ lục 141



vi
Danh mục các thuật ngữ và chữ viết tắt
FGM
Functionally Graded Material - Vật liệu (composite) có cơ tính biến
đổi.
DQM
Differential Quadrature Method - (tạm dịch) Phương pháp cầu
phương vi phân.
meshfree
(phương pháp) không lưới.
Buckling

Sự vồng (của kết cấu).
Postbuckling
ứng xử sau vồng (sau tới hạn) của kết cấu.
perfect
Hoàn hảo (trong hình dáng kết cấu).
imperfect
Không hoàn hảo (trong hình dáng kết cấu) .
CPT
Classical Plate Theory – Lý thuyết tấm cổ điển.
FSDT
First order Shear Deformation Theory – Lý thuyết biến dạng trượt
bậc nhất.
FM
Freely Movable – (các cạnh tấm, vỏ, panel) có thể tự do dịch
chuyển.
IM
Immovable – (các cạnh tấm, vỏ, panel) không thể dịch chuyển.
T-D
Temperature-dependent – (các tính chất vật liệu) phụ thuộc nhiệt độ.
T-ID
Temperature-independent – (các tính chất vật liệu) độc lập với nhiệt
độ.
Snap-through
Hiện tượng hóp của các kết cấu vỏ.
GPa
GygaPascal = 10
9
Pascal.
mode
Kiểu dáng, dạng (vồng).

vii
Danh mục các bảng
Bảng 1.1: Tính chất của một số vật liệu thành phần của FGM 5
Bảng 2.1: Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của silicon nitride và thép không rỉ [83] 51
Bảng 2.2: ảnh hưởng của chỉ số
N
và tỷ số
/ab
lên tải nhiệt tới hạn
cr
T
(K) 52
Bảng 2.3: ảnh hưởng của tỷ số
/bh
lên tải nhiệt tới hạn
cr
T
(K) 53
Bảng 2.4: ảnh hưởng của nhiệt độ lên tải nén tới hạn
()
x
P GPa
của tấm FGM 53
Bảng 2.5: Đánh giá sự chênh lệch

(%) của các tải nhiệt
T

(K) 54
Bảng 3.1: So sánh các tải tới hạn
xcr
P bh
(
MN
) của các panel trụ chịu nén dọc trục 74
Bảng 3.2: Tải vồng rẽ nhánh
xb
P
(GPa) của panel trụ FGM chịu nén dọc trục 82
Bảng 3.3: So sánh nhiệt độ tới hạn
0cr cr
T T T  
(K) của vỏ trụ FGM loại B 96
Bảng 3.4: Sự thay đổi nhiệt độ tới hạn
cr
T
(
o
C
) của các vỏ trụ FGM loại B 97
Bảng 3.5: Lực nén dọc trục tới hạn
xcr
P
(GPa) của các vỏ trụ FGM loại A 106
Bảng 3.6: Tải vồng trên
u
q
(GPa) của vỏ cầu thoải FGM chịu áp lực ngoài 121

viii
Danh mục các hình vẽ

Hình 1.1: Mô hình kết cấu làm từ vật liệu FGM 6
Hình 1.2: Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic qua chiều dày thành kết cấu 6
Hình 1.3a: Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh (mất ổn định loại một) 13
Hình 1.3b: Mất ổn định theo kiểu cực trị (mất ổn định loại hai) 13
Hình 2.1: Hình dáng và hệ toạ độ của một tấm chữ nhật FGM 19
Hình 2.2: Minh họa ràng buộc dịch chuyển tại cạnh tấm 25
Hình 2.3: So sánh độ võng-tải trọng của tấm đẳng hướng chịu nén một phía 33
Hình 2.4: So sánh độ võng-nhiệt độ của tấm đẳng hướng chịu nhiệt độ tăng đều 33
Hình 2.5: ảnh hưởng của chỉ số
k
lên sự ổn định của các tấm FGM chịu nén 35
Hình 2.6: ảnh hưởng của điều kiện biên lên sự ổn định của các tấm FGM chịu nén 35

Hình 2.7: ảnh hưởng của
k
lên sự ổn định của tấm FGM chịu nhiệt độ tăng đều 36
Hình 2.8: ảnh hưởng của
k
lên sự ổn định của tấm FGM chịu sự truyền nhiệt 36
Hình 2.9: ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên sự ổn định của tấm FGM chịu nén 36
Hình 2.10: ảnh hưởng của tải nén lên sự ổn định của tấm FGM chịu nhiệt tăng đều 36
Hình 2.11: ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên ổn định của tấm chịu nén 37
Hình 2.12: ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên ổn định của tấm chịu nhiệt 37
Hình 2.13: Tấm FGM đối xứng qua mặt giữa 40
Hình 2.14: So sánh ứng xử sau vồng của các tấm FGM đối xứng chịu nhiệt 51
Hình 2.15: ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ lên sự ổn định của tấm FGM 54
Hình 2.16: ảnh hưởng của chỉ số
N
lên sự ổn định của các tấm FGM chịu nhiệt 54
Hình 2.17: ảnh hưởng tỷ số
/ab
lên ứng xử sau vồng của tấm FGM chịu nhiệt 55
Hình 2.18: ảnh hưởng tỷ số
/ab
và điều kiện biên lên ứng xử sau vồng của tấm 55
Hình 2.19: ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên ổn định của tấm FGM chịu nén 56
Hình 2.20: ảnh hưởng của lực nén lên ổn định của tấm FGM chịu tải nhiệt 56
Hình 2.21: ảnh hưởng của không hoàn hảo lên ổn định của tấm FGM đối xứng 57
Hình 3.1: Hình dáng và hệ toạ độ của panel trụ 61
Hình 3.2a: Hóp ngay lập tức (immediate snap-through) 67
Hình 3.2b: Hóp chậm (delayed snap-through) 67
Hình 3.3: So sánh các đường cong độ võng - áp lực ngoài của các panel trụ FGM 75
Hình 3.4a: Độ võng dương (võng vào trong) của panel trụ 75

Hình 3.4b: Độ võng âm (võng ra ngoài) của panel trụ 75
Hình 3.5: ảnh hưởng của
k
lên ứng xử phi tuyến của panel FGM chịu áp lực 77
Hình 3.6: ảnh hưởng của
/bh
lên ứng xử phi tuyến của panel FGM chịu áp lực 77
Hình 3.7. ảnh hưởng của
/ab
lên ứng xử phi tuyến của panel FGM chịu áp lực 77

ix
Hình 3.8: ảnh hưởng của
/aR
lên ứng xử phi tuyến của panel FGM chịu áp lực 77
Hình 3.9: ảnh hưởng của điều kiện biên lên ổn định của panel FGM chịu áp lực 78
Hình 3.10: ảnh hưởng của nhiệt độ lên ổn định của panel FGM (trường hợp 1) 78
Hình 3.11: ảnh hưởng của nhiệt độ lên ổn định của panel FGM (trường hợp 2) 79
Hình 3.12: ảnh hưởng của nhiệt độ lên ổn định của panel FGM (trường hợp 3) 79
Hình 3.13: ảnh hưởng của sự truyền nhiệt lên ổn định của panel (trường hợp 1) 80
Hình 3.14: ảnh hưởng của sự truyền nhiệt lên ổn định của panel (trường hợp 2) 80
Hình 3.15: ảnh hưởng của phía truyền nhiệt lên ổn định của các panel FGM 82
Hình 3.16: ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên ổn định của panel FGM 82
Hình 3.17: ảnh hưởng của
k
lên sự ổn định của các panel FGM chịu nén 83
Hình 3.18: ảnh hưởng của
/bh
lên sự ổn định của các panel FGM chịu nén 83
Hình 3.19: ảnh hưởng của

/ab
lên sự ổn định của các panel FGM chịu nén 84
Hình 3.20: ảnh hưởng của
/aR
lên sự ổn định của các panel FGM chịu nén 84
Hình 3.21: ảnh hưởng của ràng buộc cạnh lên ứng xử của panel FGM chịu nén 85
Hình 3.22: ảnh hưởng của
k
lên ứng xử của panel FGM chịu nhiệt độ tăng đều 85
Hình 3.23: ảnh hưởng độ cong lên ứng xử của các panel FGM trong trường nhiệt 86
Hình 3.24: ảnh hưởng của tải nén lên ứng xử của các panel trong trường nhiệt 86
Hình 3.25: ảnh hưởng của

và áp lực ngoài lên ứng xử của panel chịu nén 87
Hình 3.26: ảnh hưởng của áp lực và nhiệt độ lên ứng xử của panel chịu nén 87
Hình 3.27: Mô hình và hệ tọa độ của vỏ trụ FGM loại B 91
Hình 3.28: ảnh hưởng của
k
lên ứng xử sau vồng của vỏ trụ FGM - B chịu nén 97
Hình 3.29: ảnh hưởng của mode vồng lên ổn định của vỏ trụ FGM - B chịu nén 97
Hình 3.30: ảnh hưởng của
/Rh
lên ổn định của vỏ trụ FGM loại B chịu nén 98
Hình 3.31: ảnh hưởng của
k
lên sự ổn định của vỏ trụ FGM loại B chịu nhiệt 98
Hình 3.32: Mô hình và hệ toạ độ của vỏ trụ FGM loại A 100
Hình 3.33: ảnh hưởng của
k
lên ứng xử sau vồng của vỏ trụ FGM loại A chịu nén 107

Hình 3.34: ảnh hưởng của
/LR
lên ứng xử sau vồng của trụ FGM loại A chịu nén. 107
Hình 3.35: ảnh hưởng của lực nén lên ứng xử của trụ FGM - A chịu áp lực
3n
108
Hình 3.36: ảnh hưởng của lực nén lên ứng xử của trụ FGM - A chịu áp lực
5n
108
Hình 3.37: ảnh hưởng của nhiệt độ lên ổn định của vỏ trụ FGM - A chịu áp lực 108
Hình 3.38: ảnh hưởng của sự truyền nhiệt lên ổn định của trụ FGM - A chịu áp lực 108
Hình 3.39: Hình dáng và hệ toạ độ của vỏ cầu thoải 111
Hình 3.40: So sánh các tải vồng trên của vỏ cầu đẳng hướng 119
Hình 3.41: ảnh hưởng của
k
lên sự ổn định của vỏ cầu FGM chịu áp lực ngoài 119
Hình 3.42: ảnh hưởng của
hR/
lên ổn định của vỏ cầu FGM chịu áp lực ngoài 120
Hình 3.43: ảnh hưởng của
Ra/
lên ổn định của vỏ cầu FGM chịu áp lực ngoài 120

x
Hình 3.44: ảnh hưởng của điều kiện biên lên ổn định của các vỏ cầu FGM 121
Hình 3.45: Sự biến đổi của các tải vồng trên
u
q
và dưới
l

q
theo tỷ số
Ra/
121
Hình 3.46: ảnh hưởng của nhiệt độ lên ổn định của vỏ cầu FGM chịu áp lực 122
Hình 3.47: ảnh hưởng của sự truyền nhiệt lên ổn định của vỏ cầu chịu áp lực 122
Hình 3.48: ảnh hưởng của phía truyền nhiệt lên ổn định của vỏ cầu FGM 123
Hình 3.49: ảnh hưởng của nhiệt độ và

lên ổn định của vỏ cầu FGM 123

1
Mở đầu
Các kết cấu thành mỏng như là các tấm, vỏ và panel từ lâu đã được sử dụng
phổ biến trong nhiều ngành kỹ thuật. Chúng ta có thể tìm thấy sự ứng dụng của các
loại kết cấu này từ các ngành công nghiệp dân dụng như xây dựng, đóng tàu, giao
thông, … đến các ngành công nghiệp quốc phòng và hàng không như máy bay, tên
lửa, các trạm không gian,… Vì vậy các bài toán liên quan đến ứng xử của các loại
kết cấu này rất cần được quan tâm để có thể đưa ra các dự đoán chính xác và đáng
tin cậy vì mục đích thiết kế tối ưu và an toàn của các loại kết cấu này. Sự ổn định
của các loại kết cấu này khi chúng chịu các loại tải khác nhau là một trong những
vấn đề được quan tâm đầu tiên khi thiết kế các loại kết cấu này. Bài toán ổn định
bao gồm xác định giá trị tải trọng mà ở đó dạng cân bằng ban đầu bị mất đi (thường
được biết như tải tới hạn) và ứng xử của kết cấu sau khi tải tác dụng vượt quá giá trị
tới hạn, tức là sự làm việc và khả năng mang tải của kết cấu trong giai đoạn sau tới
hạn. Khi các kết cấu làm bằng vật liệu đồng nhất đẳng hướng (ví dụ như kim loại)
và các loại composite thông thường như composite nền – sợi, sự ổn định của các kết
cấu này đã được giải quyết nhiều. Tuy nhiên sự ra đời của các loại vật liệu mới với
các đặc tính cơ lý mới tiếp tục đặt ra các vấn đề cần nghiên cứu, nhất là bài toán ổn
định kết cấu.

Vật liệu có cơ tính biến đổi là một loại composite thế hệ mới với các tính chất
được biến đổi thông minh theo chiều dày kết cấu để phù hợp với các yêu cầu cụ thể
của kết cấu. Đặc tính kháng nhiệt nổi bật của loại vật liệu này (sẽ được phân tích
trong phần sau) giúp cho nó trở thành sự lựa chọn lý tưởng cho các kết cấu thường
xuyên làm việc trong các môi trường nhiệt độ rất cao và chịu sự truyền nhiệt lớn
như là các thiết bị luyện kim, các thiết bị trong lò phản ứng hạt nhân và các kết cấu
của máy bay, tên lửa, … Tuy nhiên, mặc dù có tầm quan trọng rất lớn trong ứng
dụng thực tế, các nghiên cứu về sự ổn định của các loại kết cấu được chế tạo từ vật
liệu có cơ tính biến đổi nói chung vẫn còn hạn chế, nhất là khi các loại kết cấu này
chịu các loại tải nhiệt và cơ - nhiệt đồng thời và kể đến các ảnh hưởng phức tạp như

2
tính phi tuyến hình học, tính không hoàn hảo hình dáng kết cấu. Với lý do trên, luận
án này nghiên cứu đề tài “ổn định đàn hồi của tấm và vỏ composite có cơ tính biến
đổi”.
Mục tiêu của luận án
Nghiên cứu sự ổn định của các kết cấu được sử dụng phổ biến trong kỹ thuật
khi chúng được chế tạo bằng vật liệu composite có cơ tính biến đổi và chịu các tải
cơ, nhiệt và cơ - nhiệt đồng thời. Luận án sẽ xác định các tải tới hạn của các kết cấu
và khảo sát khả năng làm việc của chúng khi tải tác dụng vượt giá trị tới hạn.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án sẽ tập trung nghiên cứu sự ổn định phi tuyến của các tấm chữ nhật,
các loại vỏ thoải như panel trụ và vỏ cầu thoải, và các vỏ trụ tròn làm từ vật liệu có
cơ tính biến đổi khi các loại kết cấu này chịu các tải cơ, nhiệt và cơ - nhiệt.
Phương pháp nghiên cứu
Phân tích ổn định được thực hiện dựa trên giả thiết độ võng tương đối lớn, vật
liệu là đàn hồi và không xảy ra sự phá huỷ kết cấu. Phương pháp được sử dụng
trong luận án này là phương pháp giải tích kết hợp với thuật toán lặp trong trường
hợp các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ. Các kết quả tính toán theo cách
tiếp cận trong luận án được so sánh với các kết quả được thu được của các tác giả

khác bằng các phương pháp khác trong những trường hợp có thể để kiểm tra độ tin
cậy của phương pháp tiếp cận hiện tại. Cách tiếp cận theo hướng này có thể cho ta
các biểu thức giải tích của các tải tới hạn và các đường cân bằng phi tuyến liên hệ
độ võng – tải trọng trong giai đoạn sau khi kết cấu bị vồng.
ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Bài toán ổn định phi tuyến là một trong những vấn đề được quan tâm nhiều
trong lĩnh vực cơ học kết cấu. Các kết quả nhận được trong phân tích ổn định của
các kết cấu làm từ vật liệu có cơ tính biến đổi sẽ cung cấp các thông tin quan trọng
trong việc thiết kế các loại kết cấu này. Hơn nữa các kết quả nhận được là dưới

3
dạng giải tích (dạng hiển) nên sẽ dễ dàng được sử dụng trong tính toán thiết kế và
so sánh với các kết quả số được sử dụng trong tương lai.
Theo chiến lược phát triển năng lượng hạt nhân vì mục đích hoà bình đã được
Thủ tướng Chính phủ và Quốc hội thông qua, nước ta sẽ xây dựng nhà máy điện hạt
nhân ở Ninh Thuận, ở đó chắc chắn các loại vật liệu composite có cơ tính biến đổi
sẽ được lựa chọn sử dụng. Vì vậy luận án nghiên cứu sự ổn định đàn hồi của các
tấm và vỏ composite có cơ tính biến đổi có ý nghĩa thực tiễn rất lớn.
Bố cục của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận, danh mục các công trình
nghiên cứu của tác giả liên quan đến nội dung luận án, tài liệu tham khảo và phụ
lục. Nội dung chính của các chương bao gồm:
- Chương 1 trình bày các khái niệm về vật liệu có cơ tính biến đổi và tổng
quan tình hình nghiên cứu các kết cấu làm từ loại vật liệu này ở trong nước và trên
thế giới. Chương này cũng trình bày cách phân loại ổn định và tiêu chuẩn ổn định.
- Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu cho bài toán ổn định phi tuyến
của các tấm chữ nhật làm từ vật liệu có cơ tính biến đổi.
- Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu cho bài toán ổn định phi tuyến
của các panel trụ, vỏ trụ tròn và vỏ cầu thoải làm từ vật liệu có cơ tính biến đổi.
Nôi dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây.

4


Chương 1
Tổng quan
1.1. Vật liệu composite có cơ tính biến đổi
Vật liệu composite là loại vật liệu được cấu thành từ hai hoặc nhiều loại vật
liệu thành phần khác nhau nhằm đạt được các tính chất ưu việt như khối lượng nhẹ,
độ cứng và độ bền cao, khả năng kháng nhiệt, chống ăn mòn hoá học tốt, [3].
Gần đây một số loại vật liệu composite có các chức năng thông minh đã ra đời
nhằm đáp ứng nhu cầu thực tiễn trong việc chế tạo các kết cấu hiện đại và thoả mãn
các điều kiện làm việc khắc nghiệt như là các vật liệu gia cường sợi SMA (shape
memory alloy), vật liệu có cơ tính biến đổi. Các vật liệu có cơ tính biến đổi này có
thể cấu thành từ một số vật liệu thành phần như vật liệu nền, các hạt, các sợi, có
cơ tính khác nhau và các tính chất vật liệu hiệu dụng của chúng có thể được xác
định bằng phương pháp tiếp cận vi mô (micromechanical approach) như được trình
bày trong các tài liệu [23, 68, 124]. Tuy nhiên, từ nguồn tài liệu mở có thể thấy loại
vật liệu có cơ tính biến đổi điển hình và được quan tâm nghiên cứu nhiều trong
những năm gần đây là vật liệu composite hai thành phần có cơ tính biến đổi được

cấu thành từ các vật liệu ceramic và kim loại. Luận án này cũng chỉ tập trung
nghiên cứu sự ổn định của các kết cấu tấm và vỏ làm từ vật liệu composite hai thành
phần có cơ tính biến đổi.
Vật liệu có cơ tính biến đổi với tên quốc tế là Functionally Graded Material và
thường được viết tắt phổ biến là FGM đã được phát triển và đặt tên bởi một nhóm
các nhà khoa học vật liệu ở Viện Sendai của Nhật Bản vào năm 1984 [36, 83, 119].
Vật liệu này là một loại composite thế hệ mới, composite thông minh, ra đời như là
kết quả của những đòi hỏi thực tế về một loại vật liệu có thể khắc phục được những
nhược điểm của các loại kim loại truyền thống và các composite thông thường như
vật liệu composite nền polymer - cốt sợi trong nhiều ngành công nghiệp hiện đại

5
đặc biệt là trong các kết cấu chịu nhiệt độ cao. Vật liệu có cơ tính biến đổi loại này
được tạo thành từ hai loại vật liệu thành phần là ceramic và kim loại trong đó tỷ lệ
thể tích của mỗi thành phần biến đổi (graded) một cách trơn và liên tục từ mặt này
sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu cho phù hợp với thế mạnh đặc trưng của
các vật liệu thành phần. Do có mô đun đàn hồi
E
cao cùng với hệ số truyền nhiệt
K
và hệ số dãn nở nhiệt

rất thấp nên thành phần ceramic làm cho vật liệu có cơ
tính biến đổi có độ cứng cao và khả năng kháng nhiệt rất tốt. Trong khi đó thành
phần kim loại làm cho vật liệu có cơ tính biến đổi trở nên mềm dẻo hơn, bền hơn và
khắc phục sự rạn nứt có thể xảy ra do tính giòn của vật liệu ceramic khi chịu nhiệt
cao (xem bảng 1.1)
Bảng 1.1. Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM [135]
Vật liệu

Các tính chất
E
(
2
/Nm
)


1
()
o
C



( / )K W mK

3
( / )kg m


Kim loại: Nhôm (
Al
)
9
70.0 10

0.30

6

23.0 10



204

2707


64Ti Al V

9
105.7 10

0.298

6
6.9 10



18.1

4429

Ceramic: Zirconia (
2
ZrO
)
9

151 10

0.30

6
10 10



2.09

3000

Nhôm oxit
9
320 10

0.26

6
7.2 10



10.4

3750

Điều đặc biệt là các thành phần vật liệu biến đổi một cách trơn và liên tục từ
mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu nên các vật liệu có cơ tính biến

đổi tránh được các nhược điểm thường gặp trong các loại composite nền – sợi thông
thường như là sự bong tách giữa các lớp hoặc các pha vật liệu, sự đứt gãy các sợi và
sự tập trung ứng suất cao trong vật liệu, những điều có thể gây phá huỷ vật liệu và
làm giảm hiệu quả làm việc của các kết cấu, đặc biệt là trong các kết cấu chịu nhiệt.
Đối với vật liệu composite hai thành phần có cơ tính biến đổi tạo thành từ sự
kết hợp của kim loại và ceramic, tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu được giả
thiết biến đổi theo chiều dày thành kết cấu
h
theo một hàm luỹ thừa của biến chiều
dày
z
như sau [31-33, 35, 39, 40, 81-83, 85-90, 96-99, 102-105, 129-136]

6

2
()
2
k
c
zh
Vz
h





,
( ) 1 ( )

mc
V z V z
(1.1)
trong đó
k
là một số không âm được gọi là chỉ số tỷ lệ thể tích (volume fraction
index) có thể được chọn để tối ưu ứng xử của kết cấu và các chỉ số dưới
c
và
m
để
chỉ thành phần ceramic và kim loại (metal) tương ứng. Rõ ràng giá trị
0k 
tương
ứng với trường hợp kết cấu đồng nhất đẳng hướng được làm từ vật liệu ceramic,
1k 
là trường hợp các thành phần ceramic và kim loại phân bố tuyến tính qua
chiều dày thành kết cấu và khi
k
tăng thì tỷ lệ thể tích của thành phần ceramic
trong kết cấu giảm (xem hình 1.2).


kim lo¹i
bÒ mÆt giµu
x
z
h/2
h/2
ceramic

bÒ mÆt giµu


Hình 1.1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu
có cơ tính biến đổi FGM.

Hình 1.2. Sự biến đổi của tỷ lệ ceramic
qua chiều dày thành kết cấu.
Các tính chất hiệu dụng
eff
P
của vật liệu có cơ tính biến đổi xác định theo quy
tắc hỗn hợp sau đây

( ) Pr ( ) Pr ( )
eff c c m m
P z V z V z
(1.2)
trong đó
Pr
ký hiệu một tính chất cụ thể của vật liệu như mô đun đàn hồi
E
, hệ số
dãn nở nhiệt

hoặc hệ số truyền nhiệt
K
. Khi thay (1.1) vào (1.2) ta nhận được
biểu thức sau đây của các tính chất hiệu dụng

 
m
k
mceff
h
hz
zP Pr
2
2
PrPr)( 








. (1.3)

7
Theo phân bố luật luỹ thừa này thì mặt
/2zh
của kết cấu là ceramic thuần
tuý và mặt
/2zh
là kim loại thuần tuý và tính chất vật liệu hiệu dụng biến đổi
một cách liên tục, trơn từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày kết cấu.
Do tính chất kháng nhiệt ưu việt, các vật liệu có cơ tính biến đổi là sự lựa chọn
lý tưởng khi kết cấu làm việc trong những môi trường nhiệt độ rất cao hoặc chịu sự

truyền nhiệt lớn như các phần tử kết cấu của máy bay, tàu vũ trụ, tên lửa, lò phản
ứng hạt nhân, các thiết bị thí nghiệm, luyện kim, Hiện nay, các vật liệu có cơ tính
biến đổi được phát triển để sử dụng phổ biến trong nhiều ngành kỹ thuật khác nhau
như điện tử, quang học, hoá học, (xem [36, 83, 119]). Công nghệ chế tạo của loại
vật liệu với cơ tính biến đổi trơn và liên tục này có thể tham khảo trong [36, 119].
1.2. Các nghiên cứu về các kết cấu FGM
Để cho ngắn gọn cách diễn đạt, trong khuôn khổ luận án này cụm từ “vật liệu
composite có cơ tính biến đổi” sẽ được viết tắt là FGM (Functionally Graded
Material) và các kết cấu (tấm, vỏ, panel) được chế tạo từ vật liệu composite có cơ
tính biến đổi sẽ được gọi tắt là các kết cấu (tấm, vỏ, panel) FGM. Kể từ khi ra đời
năm 1984 FGM đã nhận được sự quan tâm của đông đảo các nhà khoa học trong
các lĩnh vực vật lý, hoá học, vật liệu và đặc biệt là các nhà cơ học vật liệu và cơ học
kết cấu. Từ các tài liệu nghiên cứu được xuất bản có thể thấy, trong khoảng hơn 10
năm sau khi loại vật liệu này ra đời, các nghiên cứu về nó chủ yếu tập trung vào
khía cạnh tối ưu hoá vật liệu [72], tức là nghiên cứu xem ở mức độ phân bố tỷ lệ thể
tích các thành phần như thế nào thì sự tập trung ứng suất là nhỏ nhất và chịu nhiệt
tốt nhất, và công nghệ chế tạo vật liệu [36, 119]. Sau đó trong khoảng năm năm
cuối của thế kỷ trước đã xuất hiện một số phân tích tĩnh và động đầu tiên của các
kết cấu FGM. Từ đầu thế kỷ này đến nay các nghiên cứu về dao động, ổn định tĩnh
(các ứng xử vồng và trạng thái làm việc sau khi vồng của kết cấu), ổn định động lực
học của các kết cấu FGM xuất hiện nhiều hơn. Hiện nay tình hình nghiên cứu về
ứng xử của các kết cấu FGM vẫn đang diễn ra rất sôi động, điều này xuất phát từ
nhu cầu sử dụng ngày càng nhiều của loại vật liệu này trong các ngành công nghiệp

8
hiện đại. Có thể nói rằng sự xuất hiện của loại composite thế hệ mới này đã đặt ra
cho các nhà cơ học kết cấu những bài toán mới cần được giải quyết. Một số vấn đề
chính đã được quan tâm nghiên cứu về ứng xử của các kết cấu FGM trong hơn 20
năm qua được nhìn lại trong các phần dưới đây, trong đó sự phân chia các chủ đề
nghiên cứu cụ thể chỉ mang tính tương đối.

1.2.1. Phân tích tĩnh và động các kết cấu FGM
Các bài toán phân tích tĩnh và động kết cấu tấm, vỏ làm từ vật liệu phân lớp
truyền thống đã được mở rộng cho các kết cấu FGM, đồng thời ảnh hưởng của nhiệt
độ lên các tính chất vật liệu và ứng xử cơ - nhiệt của kết cấu FGM đã được xét đến.
Reddy và các cộng sự trong nhóm nghiên cứu của ông ấy đã trình bày các nghiên
cứu về phân tích ứng xử tĩnh và động các tấm và vỏ trụ FGM [80-83]. Họ đã sử
dụng phương pháp phần tử hữu hạn và các lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất [81,
83] và biến dạng trượt bậc cao [80, 82] để phân tích ứng suất và độ võng của các
tấm và vỏ trụ chịu tải ngang phân bố đều, nhiệt độ và tải cơ - nhiệt tác dụng đồng
thời. Trong các công trình này các nhà nghiên cứu cũng đã xét sự phân bố nhiệt độ
trong tấm theo thời gian trong bài toán truyền nhiệt không dừng, tương tác cơ -
nhiệt trong kết cấu khi kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ lên các tính chất vật liệu.
Ngoài ra ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu (chỉ số
k
), biến dạng trượt, các tham số
hình học của kết cấu và tính phi tuyến hình học theo nghĩa Von Karman, tức là biến
dạng nhỏ và độ võng nhỏ vừa, cũng đã được xem xét trong các nghiên cứu này.
Arciniega và Reddy [6] đã phân tích độ võng của các tấm và vỏ chịu các mô men
uốn ở cạnh và tải cơ bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Trong bài báo này các
phương trình cơ bản được thiết lập trong khuôn khổ lý thuyết biến dạng trượt bậc
nhất và sử dụng các toạ độ cong. Ma và Wang [52] đã sử dụng lý thuyết biến dạng
trượt bậc cao và phương pháp bắn (shooting method) để nghiên cứu ứng xử uốn phi
tuyến của các tấm tròn FGM chịu tải cơ phân bố đều trên bề mặt và tải nhiệt. Trong
[84] các tác giả cũng nghiên cứu ứng xử uốn và ổn định của tấm tròn bằng cách tiếp
cận giải tích và lý thuyết biến dạng trượt bậc cao không ràng buộc, tức là bỏ qua giả
thiết về tự do ứng suất tiếp trên các mặt trên và dưới của tấm. Matsunaga [54] đã

9
tính toán độ võng và ứng suất của các tấm chữ nhật FGM chịu tải cơ và nhiệt.
Trong bài báo này tác giả đã sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao và nguyên lý

công ảo để dẫn ra các phương trình cơ bản dưới dạng chuyển vị và sau đó giải
chúng bằng phương pháp chuỗi luỹ thừa.
Các nghiên cứu về dao động của các kết cấu FGM cũng đạt được một số kết
quả trong thời gian qua như các công trình [53, 55, 70, 73, 77, 113, 129, 130, 133].
Yang và Shen [129] đã sử dụng phương pháp DQM để nghiên cứu dao động tự do
và cưỡng bức của các tấm chữ nhật FGM trong đó có kể đến ảnh hưởng của nhiệt
độ môi trường lên các tính chất vật liệu. Mở rộng công trình này họ còn nghiên cứu
dao động tự do của các panel trụ FGM bằng cách tiếp cận tương tự. Malekzadeh
[53] cũng sử dụng phương pháp DQM để nghiên cứu dao động tự do của các tấm
dày FGM trên nền đàn hồi hai tham số. Các phương trình cơ bản trong bài báo này
được thiết lập bằng lý thuyết đàn hồi ba chiều (tức là bỏ qua giả thiết ứng suất
phẳng) và rồi được rời rạc bằng quy tắc cầu phương của phương pháp DQM. Trước
đó Nie và Zhong [70] cũng đã nghiên cứu dao động của các tấm tròn. Trong [133]
các tác giả đã phân tích dao động tự do của các tấm chữ nhật FGM chịu tải cơ học
bằng phương pháp không lưới.
1.2.2. Phân tích ổn định tĩnh các kết cấu FGM
Trong khoảng mười năm trở lại đây các bài báo liên quan đến kết cấu FGM
tập trung nhiều hơn đến phân tích ổn định tĩnh tuyến tính và phi tuyến các kết cấu
tấm và vỏ FGM bằng một vài cách tiếp cận khác nhau. Hai vấn đề chính cần được
quan tâm trong bài toán ổn định kết cấu. Vấn đề thứ nhất là xác định tải tới hạn tức
là giá trị tải mà ở đó kết cấu bị vồng lên (buckling), vấn đề này liên quan đến trường
hợp phân tích ổn định tuyến tính với giả thiết về độ võng nhỏ sau khi vồng. Vấn đề
thứ hai là phân tích ứng xử của kết cấu ở giai đoạn sau khi tải tác dụng vượt quá giá
trị tới hạn, thường được biết đến như trạng thái ổn định phi tuyến của kết cấu khi kể
đến ảnh hưởng của độ võng lớn sau khi vồng, vì vậy đôi khi còn được gọi là ứng xử
độ võng lớn hay trạng thái sau vồng (postbuckling) hay sau tới hạn của kết cấu. Bên

10
cạnh các nghiên cứu cho các kết cấu hoàn hảo còn có các nghiên cứu cho kết cấu
không hoàn hảo hình dáng. Các kết cấu không hoàn hảo hình dáng là các kết cấu mà

bề mặt của nó bị lệch đi so với trạng thái lý tưởng của nó, ví dụ như các tấm không
tuyệt đối phẳng, các trụ và panel không tuyệt đối tròn, … Sự không hoàn hảo hình
dáng là một hiện tượng khó tránh khỏi do công nghệ chế tạo làm cho bề mặt kết cấu
bị lệch đi một lượng nhỏ so với dáng điệu phẳng, trụ hoặc cầu của kết cấu, và sự
lệch nhỏ ban đầu này đôi khi làm ứng xử của kết cấu thay đổi hoàn toàn. Vấn đề
chính được quan tâm trong giai đoạn sau vồng là mối quan hệ phi tuyến giữa tải
trọng tác dụng và độ võng của kết cấu, tức là khả năng mang tải sau khi bị vồng của
kết cấu. Sau đây là một số nét chính về các nghiên cứu ổn định của các kết cấu
FGM trong thời gian qua.
Eslami và các cộng sự đã nghiên cứu ổn định tuyến tính của các tấm chữ nhật
FGM chịu tải nén [31] và tải nhiệt [32] bằng lý thuyết tấm cổ điển. Họ sau đó đã
mở rộng các nghiên cứu này cho các tấm dày và sử dụng lý thuyết tấm biến dạng
bậc cao [33, 88] và kể đến ảnh hưởng của tính không hoàn hảo hình dáng ban đầu
của tấm lên tải tới hạn [85-87]. Lanhe [38] đã nghiên cứu ổn định của các tấm chữ
nhật FGM hơi dày chịu tải nhiệt bằng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất. Trong các
công trình vừa nêu các phương trình cân bằng theo độ võng được dẫn bằng phương
pháp biến phân hoặc cân bằng nội lực và sau đó các phương trình ổn định được thiết
lập nhờ sử dụng tiêu chuẩn cân bằng lân cận với giả thiết độ võng bổ sung sau khi
vồng là nhỏ (phân tích ổn định tuyến tính). Nghiệm của phương trình ổn định được
chọn là chuỗi Navier một số hạng thoả mãn điều kiện biên tựa bản lề trên bốn cạnh
và cho biểu thức giải tích của tải tới hạn. ổn định tuyến tính của các vỏ trụ tròn
FGM đã được nghiên cứu trong các công trình [40, 89] bằng lý thuyết vỏ cổ điển và
[90] bằng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến khi bỏ qua giả thiết về tính thoải của vỏ. Na
và Kim [61] đã phân tích ổn định của tấm phân lớp FGM, tức là tấm gồm lớp giữa
FGM và hai lớp mỏng bên ngoài làm bằng các vật liệu kim loại và ceramic, chịu tải
nhiệt có kể đến sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu. Phương pháp phần
tử hữu hạn với phần tử khối 18 nút đã được sử dụng trong nghiên cứu này. Họ cũng

11
đã sử dụng cách tiếp cận tương tự để phân tích trạng thái sau vồng của các tấm

FGM chịu tải nhiệt [62]. Gần đây, Liew và các cộng sự [134] đã xác định tải tới hạn
của các tấm chữ nhật FGM khi chúng chịu các tải nén cơ học và nhiệt bằng phương
pháp không lưới. ổn định tuyến tính của các tấm tròn FGM theo cách tiếp cận giải
tích được giới thiệu trong các công trình [64] khi tấm chịu nén và [65] khi tấm chịu
tải nhiệt và kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt bậc nhất. ổn định tuyến tính của
các vỏ nón cụt FGM bằng phương pháp giải tích đã được nghiên cứu trong các công
trình [63, 113, 114, 116] khi các vỏ này chịu áp lực ngoài [113, 116], chịu lực nén
hoặc nhiệt độ [63, 114]. Sự phân tích ổn định phi tuyến của các vỏ cầu thoải FGM
chịu tải cơ học được giới thiệu trong [10], trong khi ổn định tuyến tính của các vỏ
cầu FGM chịu tải nhiệt được trình bày trong [92].
Ngoài các nghiên cứu ổn định tuyến tính kể trên, ứng xử sau vồng của các kết
cấu FGM cũng nhận được sự quan tâm trong các công trình dưới đây. Shen và các
cộng sự đã giới thiệu một số nghiên cứu về ứng xử của các tấm chữ nhật, vỏ trụ tròn
và panel trụ FGM trong giai đoạn sau vồng điển hình như các công trình [96-105,
131, 132]. Trong các nghiên cứu này các tác giả đã sử dụng phương pháp khai triển
tiệm cận theo tham số bé kết hợp với phương pháp lặp để xác định các tải tới hạn và
các đường cong liên hệ độ võng - tải trọng phi tuyến khi các tải vượt quá giá trị tới
hạn. Nhiều ảnh hưởng phức tạp của các yếu tố như tính phi tuyến hình học, biến
dạng trượt bậc cao, các tính chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ, tương tác cơ - nhiệt,
các lớp vật liệu áp điện, và tính không hoàn hảo hình dáng của tấm, vỏ lên ứng xử
của chúng đã được xem xét. Hơn nữa, họ cũng đã đề xuất lý thuyết lớp biên
(boundary layer theory) trong bài toán ổn định của vỏ [106, 107], tức là kể đến ảnh
hưởng của biến dạng phi tuyến trong giai đoạn trước vồng ở hai đầu vỏ, và áp dụng
lý thuyết này kết hợp với các lý thuyết biến dạng trượt bậc cao để dự đoán chính
xác hơn ứng xử ổn định phi tuyến của các vỏ và panel trụ khi chúng chịu các tải nén
dọc trục, áp lực ngoài hoặc tải kết hợp đồng thời có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ
môi trường. Tuy nhiên, phương pháp tiếp cận của Shen là rất cồng kềnh và phức tạp
về mặt toán học. ứng xử sau vồng của các kết cấu tấm và panel vỏ trụ FGM cũng

12

được quan tâm giải quyết trong các công trình [50, 127, 128] khi các tác giả sử
dụng kết hợp các phương pháp DQM và lặp. Woo và cộng sự [125] đã nghiên cứu
ứng xử sau vồng của các tấm chữ nhật và vỏ thoải FGM chịu tải cơ và nhiệt bằng
việc sử dụng các chuỗi lượng giác. Gần đây Zhao và Liew đã sử dụng phương pháp
không lưới để xác định mối quan hệ độ võng - tải trọng trong giai đoạn sau vồng
của tấm và vỏ dưới tác dụng của các tải cơ và nhiệt [135, 136].
1.2.3. ổn định động lực học của các kết cấu FGM
Cùng với các nghiên cứu về ổn định tĩnh đề cập ở mục trên, các nghiên cứu
về ổn định động lực học của các kết cấu FGM cũng đã đạt được một số kết quả ban
đầu. Ba vấn đề chính được quan tâm là ổn định của các kết cấu FGM chịu tải xung,
bài toán nhiệt động lực học và bài toán ổn định khí động lực.
ổn định động lực học của các tấm chữ nhật FGM chịu đồng thời tải cơ - nhiệt
được nghiên cứu trong [39] bằng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và phương pháp
DQM. Trong khi đó ổn định động lực học của các vỏ trụ FGM chịu tải dọc trục tuần
hoàn bằng phương pháp nửa giải tích được giới thiệu trong [16]. Sofiyev đã sử dụng
cách tiếp cận giải tích để phân tích ổn định động lực của các vỏ trụ và vỏ nón cụt
FGM dưới tác dụng của tải xung [111, 112]. Shariyat đã nghiên cứu bài toán ổn
định động lực học của vỏ trụ tròn FGM chịu đồng thời tải nén dọc trục và sự truyền
nhiệt không dừng bằng phương pháp phần tử hữu hạn [93]. Nghiên cứu này sau đó
được mở rộng cho trường hợp vỏ trụ lai gồm lớp FGM và các lớp vật liệu áp điện
chịu đồng thời các tải cơ - nhiệt - điện [94]. Gần đây Shariyat cũng đã giải quyết bài
toán dao động và ổn định động lực của các tấm lai FGM chịu các điều kiện kết hợp
khác nhau của các tải cơ - nhiệt - điện [95]. Nhiều ảnh hưởng phức tạp lên tải tới
hạn và ứng xử sau khi tải vượt giá trị tới hạn của kết cấu như tính phi tuyến hình
học, không hoàn hảo hình dáng, các điều kiện nhiệt độ và sự phụ thuộc nhiệt độ của
các tính chất vật liệu đã được xem xét trong các công trình này. Một bài toán gặp
phổ biến trong các kết cấu của các vật thể bay với vận tốc siêu âm (supersonic) và
lớn hơn (hypersonic) là sự ổn định khí động lực của các kết cấu này, thường được

13

chế tạo từ FGM, khi chúng chịu đồng thời áp suất khí động, sự truyền nhiệt không
dừng và tải cơ học. Một vài cách giải quyết cho bài toán loại này được trình bày
trong các công trình [68] bằng phương pháp Runge - Kutta và [78, 117, 118] bằng
phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên những nghiên cứu liên quan đến ổn định
động lực học của các kết cấu FGM chịu đồng thời các điều kiện tải trọng phức tạp
liên quan đến khí động lực học nói chung còn rất hạn chế về số lượng. Thực tế này
phần nào đó xuất phát từ tính phức tạp của bài toán trong cả việc mô hình tải trọng
và tính toán.
1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước
ở Việt Nam các nghiên cứu về FGM và các kết cấu liên quan đã bắt đầu được
quan tâm. Công trình [9] đã nghiên cứu ổn định động lực học và dao động phi tuyến
của các vỏ thoải FGM trong điều kiện đẳng nhiệt và có xét đến ảnh hưởng của tính
không hoàn hảo hình dáng ban đầu. Trong [10] tác giả đã khảo sát bài toán mất ổn
định phi tuyến của các vỏ cầu thoải FGM chỉ chịu áp lực ngoài với cạnh được tự do
dịch chuyển. Tuy nhiên, theo hiểu biết của nghiên cứu sinh thì mặc dù có tầm quan
trọng và tiềm năng ứng dụng cao nhưng các nghiên cứu về cả vật liệu và các kết cấu
FGM ở trong nước còn rất hạn chế. Đây cũng là một trong những lý do để luận án
này nghiên cứu ổn định của một số kết cấu FGM.
1.4. Phân loại ổn định và tiêu chuẩn ổn định
1.4.1. Phân loại ổn định
Xuất phát từ hai quan niệm khác nhau về trạng thái tới hạn của Euler và
Poincarre, có thể chia thành hai loại mất ổn định với các đặc trưng như sau (xem
tham khảo [5])

14
tải p
điểm rẽ
nhánh
điểm cực trị
độ võng

W
(1)
(2)

Hỡnh 1.3a. Mt n nh theo kiu r nhỏnh
(mt n nh loi 1); (1) - cho tm hon ho,
(2) - cho v hon ho.
điểm cực trị
tải p
W
độ võng
We

Hỡnh 1.3b. Mt n nh theo kiu cc
tr (mt n nh loi 2) ca cỏc kt
cu v.
1.4.1.1. Mt n nh theo kiu r nhỏnh
Mt n nh theo kiu r nhỏnh (bifurcation type buckling) nh c minh
ho trong hỡnh 1.3a l trng hp ti ti hn t c ti im r nhỏnh, tc l kt
cu vn cha b vng khi ti cha t giỏ tr ti hn, v khi ti t ti hn thỡ kt cu
b vng ngay lp tc. Cỏc c trng ca mt n nh loi ny (trong [5] gi l mt
n nh loi mt) l:
+) Dng cõn bng cú kh nng r nhỏnh.
+) Phỏt sinh dng cõn bng mi khỏc dng cõn bng ban u v tớnh cht.
+) Trc trng thỏi ti hn dng cõn bng ban u l duy nht v n nh, sau
trng thỏi ti hn dng cõn bng ban u l khụng n nh.
1.4.1.2. Mt n nh theo kiu cc tr
Mt n nh theo kiu cc tr (extremum type buckling) nh c minh ha
trong hỡnh 1.3b l trng hp ti ti hn t c im cc tr ca ng cong
vừng ti trng, tc l kt cu b vừng ngay t khi t ti, v khi vừng t n

giỏ tr
e
W
thỡ s mt n nh xy ra. Cỏc c trng ca mt n nh loi ny (trong
[5] gi l mt n nh loi hai) l:
+) Dng cõn bng khụng phõn nhỏnh.
+) Bin dng v dng cõn bng ca kt cu khụng thay i v tớnh cht.

15
Giá trị của tải
p
tương ứng với khi độ võng tăng mà không cần tăng tải trọng gọi là
tải tới hạn. Trạng thái giới hạn xác định từ điều kiện
/0dp dW 
.
1.4.2. Các tiêu chuẩn ổn định
Nghiên cứu ổn định của hệ đàn hồi có một số tiêu chuẩn sau đây [1, 5].
1.4.2.1. Tiêu chuẩn chuyển động
Theo tiêu chuẩn này, hệ cân bằng ổn định nếu như đầu tiên nó ở cân bằng,
sau đó kích động nó một ít, thì tự nó sẽ có xu hướng trở lại vị trí ban đầu, sau khi
thực hiện một dao động nhỏ.
1.4.2.2. Tiêu chuẩn tĩnh
Theo tiêu chuẩn này, ta cần khảo sát kết cấu ở trạng thái lệch khỏi dạng cân
bằng cơ bản. Với một giá trị nào đấy của tải có thể tồn tại dạng cân bằng mới đồng
thời với dạng cân bằng cơ bản. Nếu ở trạng thái lệch này sự cân bằng có thể thực
hiện được thì ta cần tìm giá trị
*
p
của tải trọng từ các điều kiện cân bằng tĩnh học
của kết cấu ở trạng thái lệch để đối chiếu với giá trị

p
của tải trọng đã cho ở trạng
thái ban đầu (xem [5]) và
+) Nếu
*
pp
, kết cấu cân bằng ổn định.
+) Nếu
*
pp
, kết cấu cân bằng không ổn định.
+) Nếu
*
pp
, kết cấu cân bằng phiếm định.
Khi sự cân bằng ở trạng thái lệch không thể thực hiện được thì ta cần căn cứ
vào tải tác dụng trên kết cấu để dự đoán ứng xử ổn định. Nếu độ võng tăng thì sự
cân bằng là không ổn định (như ứng xử hóp của kết cấu vỏ) còn nếu độ võng giảm
thì sự cân bằng là ổn định.
1.4.2.3. Tiêu chuẩn năng lượng
Theo tiêu chuẩn này (áp dụng cho hệ bảo toàn), điều kiện đủ để hệ ổn định là
ở trạng thái cân bằng ổn định thế năng toàn phần của hệ có giá trị cực tiểu.