BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC (DÀNH CHO SINH VIÊN HỆ ĐẠI HỌC TIỂU HỌC)

1











BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC
(DÀNH CHO SINH VIÊN HỆ ĐẠI HỌC TIỂU HỌC)

2

Chơng 1
Tập hợp Số Tự Nhiên
Đ.1.
Phép toán hai ngôi trên một tập hợp .
1.1.Phép toán hai ngôi :
Cho tập hợp X


. Mỗi ánh xạ :
XXXt

ì
:

;

),(),( yxtyx


đợc gọi là một phép toán hai ngôi .Ta gọi t(x,y) là kết quả của phép toán t thực
hiện trên hai phần tử x và y .
Quy ớc nếu t là phép toán trong X và x,y X , viết x * y hoặc x

y ,
thay cho t(x,y) .
1.2. Những tính chất thờng gặp của phép toán :
Giả sử * là phép toán xác định trong X .
a) Phép toán * có tính chất giao hoán nếu x* y = y* x , với mọi x,y X .
b) Phép toán * có tính chất kết hợp nếu (x* y) z = x*(y*z) , với mọi x,y z X .
Cho * là phép toán xác định trong X , A là một bộ phận của X . Ta nói A ổn
định đối với phép toán * nếu x* y A, với mọi x,y A ( ta gọi * là phép toán
cảm sinh trong A hay thu hẹp trong A ).
1.3. Những phần tử đặc biệt : Giả sử * là phép toán xác định trong X .
a) Phần tử trung lập :
- e X gọi là phần tử trung lập trái của * : e*x = x
- e X gọi là phần tử trung lập phải của * : x*e = x
- e X gọi là phần tử trung lập của * , nếu e*x = x*e = x , với mọi xX
Mỗi phép toán có không quá một phần tử trung lập .
b) Phần tử đối xứng : Cho X , phép toán * , phần tử trung lập e
- x

X gọi là phần tử đối xứng trái của x nếu : x

*x = e

- x

X gọi là phần tử đối xứng phải của x nếu : x*x

= e
- x

X gọi là phần tử đối xứng ( phần tử nghịch đảo , phần tử đối ) của x nếu
x * x

= x

*x , với mọi xX .
Đối với phép cộng ( + ) ký hiệu phần tử đối xứng của a là -a .
Đối với phép nhân (.) ký hiệu phần tử đối xứng của a là a
-1
(phần tử nghịch đảo ).

3

c) Phần tử chính qui :
Cho X , phép toán * ,
- x X gọi là chính qui bên trái nếu : x*y = x* z thì y = z .
- x X gọi là chính qui bên phải nếu : y*x = z* x thì y = z .
- x X gọi là chính qui nếu x là chính qui bên trái và chính qui bên phải .
1.4. Bộ phận ổn định phép toán cảm sinh .
-A X , A là ổn định đối với phép toán * trong X ,
nếu với mọi x , yA thì x*y A và * là phép toán cảm sinh trong A .

Đ.2.

Một số cấu trúc cơ bản

2.1. Nửa nhóm :
Giả sử * là phép toán xác định trong X . Ta nói X cùng với * là một nửa nhóm
, nếu phép toán * có tính chất kết hợp .
Nửa nhóm X có phần tử trung lập gọi là vị nhóm .
Cho X là một nửa nhóm . Nếu A ổn định đối với phép toán * trong X thì ta
gọi (A,* ) là một nửa nhóm con của X .
2.2. Nhóm , nhóm con
Tập G cùng với phép toán * là một nhóm , nếu thoả mãn :
(i) (x*y)*z = x*(y*z) , với mọi x,y z G .
(ii) Tồn tại phần tử trung lập e G .
(iii) Với mọi x G , tồn tại phần tử đối xứng x

G ,
sao cho x*x

= x*x =e .
Hơn nữa nếu G có tính chất giao hoán thì G là nhóm giao hoán aben .
Nếu G là một tập hợp hữu hạn , có n phần tử , ta nói G là nhóm hữu hạn cấp n .
Ngợc lại G là nhóm cấp vô hạn .
Bộ phận ổn định A của nhóm G là nhóm con ( của nhóm G ), nếu A với phép
toán cảm sinh là một nhóm .
Định lý : A là một bộ phận khác rỗng của nhóm G . Khi đó các phát biểu sau là
tơng đơng :
(i) A là một nhóm con của G .

4

(ii) A ổn định đối phép toán trong G và mỗi phần tử a A đều có phần tử

nghịch đảo a trong A .
2.3. Vành
Định nghĩa :Tập R cùng với hai phép toán ( ta thờng ký hiệu là + và . ) là một
vành , nếu thoả mãn :
(i) (R, + ) là một nhóm aben .
(ii) ( R , . ) là một nửa nhóm .
(iii) Giữa phép cộng và phép nhân có tính chất phân phối :
a. (b + c ) = ab + ac và ( b+ c ) a = ba + ca ; với mọi a,b,c R .
Hơn nữa nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì R là vành giao hoán .
Phép nhân có phần tử đơn vị thì R là vành có đơn vị .
2.4. Trờng :
Định nghĩa : Cho ( T , + ,. ) là một vành .
Ta nói T là một trờng , nếu (T \
{
}
0
, . ) là một nhóm aben .
Định lý 3.1 Giả sử ( R , + , . ) là một vành , khi đó với mọi a,b,c R , luôn có :
(i) a. (b - c ) = ab - ac và ( b- c ) a = ba - ca .
(ii) a.0 = 0 .
(iii) a(-b) = (-a ).b = - ab ; (- a ).( - b ) = ab .
Định lý 3.2. Cho R là một vành và a,b ,c R. Khi đó các phát biểu sau là tơng
đơng :
(i) Nếu ab = 0 thì a =0 hoặc b =0 .
(ii) Nếu a 0 và b 0 thì ab 0 .
(iii) Giả sử c 0 . Nếu ac = bc thì a = b ; nếu ca = cb thì a =b .
(iv) ab = 0 và a 0 thì b = 0 .
Cho R là một vành . Bộ phận A của R là vành con của vành R , nếu A
cùng với hai phép toán cảm sinh trong A cũng là một vành .
Định lý 3.3. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R . Khi đó các mệnh

đề sau là tơng đơng :
(i) (A) là vành con của vành R .
(ii) Với mọi a, b A , a+b A , ab A và - a A .

5

(iii) Với mọi a,b A , a-b A và ab A .
Cho T là một trờng . Bộ phận A của T là trờng con của trờng T , nếu A cùng
với hai phép toán cảm sinh trong A cũng là một trờng .

Đ3.
tập hợp Số Tự Nhiên
3.1 Tập hợp hợp tơng đơng, bản số.
3.1.1 Tập tơng đơng
Định nghĩa: Cho X,Y là hai tập hợp.
Ta nói tập hợp X tơng đơng với tập hợp Y , ký hiệu là X Y khi và chỉ khi có
một song ánh từ X lên Y.
Hai tập hợp tơng đơng còn đợc gọi là hai tập hợp có cùng lực lợng.
Ví dụ1 h : Z 2Z , với f( z) = 2z , 2Z là tập số nguyên chẵn. Ta chứng minh
đợc h là song ánh.Theo định nghĩa Z tơng đơng với tập 2Z.
Ví dụ 2: Tập A có 4 đĩa , tập B gồm 4 chén B A vì có song ánh f : B A
Ví dụ 3: X = {1, 2, 3, 4} , Y = { a, b, c, d} f là song ánh khi có f:
1 2 3 4
a b c d




3.1.2 Bản số của một tập hợp
Quan hệ cùng lực lợng giữa các tập hợp có các tính chất sau đây:

Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có:
A A (tính chất phản xạ)
Nếu A B thì B A (tính chất đó xứng)
Nếu A B và B C thì A C (tính chất bắc cầu)
Chứng minh:
- Ta đã biết ánh xạ đồng nhất 1
A
: A A là một song ánh. Điều đó
chứng tỏ, theo định nghĩa A A
- Nếu A B thì có song ánh f : A B . Ta đã biết nếu f là song ánh thì
f có ánh xạ ngợc f
-1
: B A cũng là một song . Song ánh f
-1
chứng tỏ B
A.

6

- Nếu A B thì có song ánh f : A B , nếu B C thì có song ánh
g : B C . Tích g.f của hai song ánh f, g cũng là một song ánh từ A lên C .
Song ánh này chứng tỏ A C.
Ta nhận thấy quan hệ có cùng lực lợng giữa các tập hợp có cả ba tính
chất của một quan hệ tơng đơng. Nh vậy ta có thể phân lớp các tập hợp : các
tập hợp có cùng lực lợng có cùng một lớp. Vì thế ta có thể dùng mỗi lớp để xác
định thuộc tính đặc trng về lực lợng của một tập hợp.
Thuộc tính đặc trng xác định mỗi lớp gọi là bản số của tập hợp. Các tập
hợp có cùng bản số khi và chỉ khi chúng có cùng lực lợng(bản số còn đợc gọi
là lực lợng). Bản số của tập hợp A ký hiệu là Card(A). Ta có thể viết
Card(A) = Card(B) A B

Nh vậy ta có thể hiểu bản số nh là một tính chất đặc trng phản ánh mặt
số lợng của tập hợp (đối với các tập hợp hữu hạn, khái niệm về bản số chính là
khái niệm về số lợng thông thờng)
3.2 Khái niệm tập hữu hạn, tập vô hạn
- Định nghĩa: Một đơn ánh từ tập X đến tập X , với X khác trống đợc gọi là đơn
ánh thực sự nếu nó không là toàn ánh.( Đơn ánh thực sự)
Ví dụ : g : Z Z
z 2z +1. ( Mọi số nguyên chẵn đều không có tạo ảnh) .
- Định nghĩa: một đơn ánh từ X vào Y gọi là đơn ánh thực sự nếu nó không là
toàn ánh.
- Định nghĩa: Một tập gọi là vô hạn nếu nó tơng đơng ( có cùng lực lợng )
với một bộ phận thực sự của nó.
Tập hợp không phải là vô hạn thì gọi là tập hữu hạn.
Từ định nghĩa suy ra:
Tập X đợc gọi là tập hữu hạn nếu không có một đơn ánh thực sự nào từ X đến
X. Một tập hợp đợc gọi là vô hạn nếu nó không phải là tập hữu hạn.
Ví dụ:

là tập hữu hạn, {a} tập hữu hạn.
3.3 Định nghĩa số tự nhiên
- Định nghĩa: Bản số của một tập hữu hạn đợc gọi là một số tự nhiên.

7

Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là N
Nh vậy nếu x là một số tự nhiên thì tồn tại một tập hợp hữu hạn X sao
cho Card(X) = x
Ví dụ:
Card ({a } ) = 1 Ta gọi là số 1.
Card ( ) = 0. Rõ ràng 1 0

Nếu X là tập hữu hạn có n phần tử thì car (X) = n .
Thừa nhận N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, , n, }
3.4 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
- Cho X = {1, 2, 3, 4}; U = {m, n, p}.Tập U X
1


X nếu tồn tại đơn ánh thực
sự f từ U đến X. Hay f(U)

X và U f(U) .
- Định lý Căng to: Nếu X và Y là hai tập hợp bất kỳ thì:
1- Hoặc X Y
1


Y , hoặc Y X
1


X
2- Nếu X Y
1


Y và Y X
1

X thì X Y
-Phát biểu dạng tơng đơng:

Nếu X,Y là hai tập hợp bất kỳ thì :
1- Trong các ánh xạ từ X đến Y và từ Y đến X bao giờ cũng có một đơn
ánh.
2- Nếu có một đơn ánh từ X đến Y và từ Y đến X thì sẽ có một song ánh
từ X đến Y.
Dựa vào địng lý Căngto ta sẽ xây dựng quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự
nhiên N nh sau :
- Định nghĩa:
Giả sử x và y là hai số tự nhiên và hai tập X, Y hữu hạn, sao cho x=
Card(X), y = Card(Y). Ta nói x nhỏ hơn hay bằng y ký hiệu là x

y

X Y
1


Y
Nếu x

y và x y ta viết x < y và đọc là x nhỏ hơn thực sự y
Khi x

y ta còn viết y x và đọc là y lớn hơn hoặc bằng x
- Định lý : Quan hệ "

" vừa định nghĩa là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N.

8

Chứng minh:
1) Quan hệ "

" là quan hệ thứ tự bộ phận, thỏa mãn:
-Tính chất phản xạ : Giả sử x= card(x) ,

x

X , luôn có X

X

x

x.
-Tính chất phản xứng: Giả sửb x= card(x), y = card(Y) , nếu có đồng thời x

y
và y

x , tức có X Y
1


Y và Y X
1

X , tức X Y . Do đó x = y.
-Tính bắc cầu: Nếu có x= card(X), y = card(Y), z = card(Z) , mà x

y, y

z .
Vì x

y nên tồn tại đơn ánh f : X Y. Vì y

z nên tồn tại đơn ánh g : Y T

gf: X T cũng là đơn ánh. Vậy X T
1


T hay x

z
- Ta chứng minh quan hệ thứ tự trong N là quan hệ thứ tự toàn phần:
Giả sử x, y

N , x= cardX, y = cardY.
Theo Căngto hoặc X Y
1


Y

x

y, hoặc Y X
1

X

y

x
3.5 Số liền sau: x, y

N sao cho x= card(X) , y = card(Y) và X

Y
Định nghĩa: Gọi y là số liền sau của số x

Card ( Y\ X) = 1. Ta cũng nói x là
số liền trớc của y. ( hai sốliền nhau).
Số liền sau của số tự nhiên x thờng ký hiệu là x
'

Rõ ràng tập hợp X \Y là tập đơn tử. Do đó bản số của nó là 1.
Ta có x < x' hay x' = x + 1. Số 1 là liền sau của số 0. Hay 0' = 1, , n' = n
+ 1,

n

N.
- Tính chất của số liền sau :
+ Mọi số tự nhiên x có một số liền sau. Giả sử x = card(X). Xét tập {X} là tập
đơn tử mà phần tử là tập X. Rõ ràng {X} không phải là phần tử của X.
Lúc đó Y = X {X} cũng là một tập hợp hữu hạn và ta có Card(Y-X) =

1. Vậy số tự nhiên y = Card(Y) là số liền sau của x.
+Ngời ta còn chứng minh đợc tính duy nhất của số liền sau: Mỗi số tự nhiên
có và chỉ có một số liền sau.
+ Số 0 không là số liền sau. Nói khác đi số 0 không có số liền trớc.
+ Mọi số tự nhiên x

0 đều là số liền sau của một số tự nhiên (nói khác đi mọi
số tự nhiên x

0 đều có số liền trớc).

9

Giả sử x là số tự hiên khác 0 và card(X) = x. Thế thì X

và do đó tồn tại a
X. Khi đó Y = X - {a} X và card(X-Y) = card({a}) = 1. Vậy x là số tự nhiên
liền sau của y = Card(Y)
+ Giữa hai số tự nhiên x và x' không có số tự nhiên nà khác. Thật vậy giả sử có
số tự nhiên y sao cho x < y < x
'
. Khi đó tồn tại các tập hợp hữu hạn X, Y, X' sao
cho x = Card(X) , y = Card(Y) , x' = Card(X') trong đó X Y X' . Theo định
nghĩa số liền sau Card(X- X
'
) = 1 hay X- X
'
là một tập hợp đơn tử. Nhng do Y-
X X'-X nên ta phải có hoặc Y-X = hoặc Y-X = X'-X. Điều đó có nghĩa ta
có hoặc Y=X hoặc Y = X' . Điều này mâu thuẫn với giả sử của số tự nhiên y.

Vậy không thể có số tự nhiên y ở giữa hai số x và x
'
.
Tính chất trên còn có thể phát biểu dạng khác: x và y là hai số tự nhiên nếu x < y
thì x'

y (x' là số liền sau của x)
Với khái niệm số liền sau và các tính chất nêu trên, ta có dãy các số tự nhiên
quen thuộc: 0, 0' = 1, 1' = 2 , 2' = 3, , n' = n + 1,
- Một số tính chất cơ bản khác
Định lý1: ( Tiên đề qui nạp). Nếu M là bộ phận của tập hợp các số tự nhiên thỏa
mãn hai điều kiện:
1) 0

M
2) Nếu x

M thì x'

M (x' là số liền sau của x). Khi đó M = N.
Định lý 2: Mọi bộ phận khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất.
Chứng minh: Giả sử M

N , M


. Ta chứng minh M có số nhỏ nhất. Nghĩa
là tồn tại số m

M , mà m

x với

x

M .
Xét M' = { n

N\ n

x ,

x

M } . Hiển nhiên 0

M' và nếu x

M thì x'

M , do x< x' .Chứng tỏ M'

N.Do M'

N nên có m

M' mà m'

M' vì nếu
không nh vậy thi M' = N ( Định lý 1) . Điều nay trái giả thiết M'

N.
Ta chứng minh m

M. Thật vậy , nếu m

thì từ m

x,

x

M ( Do m


M') ta phải có m <x,

x

M. Từ m < x ,

x

M ta lại có m'

x ,

x

M .

(Theo tính hất 4 của số liền sau) điều này chứng tỏ m'

M', mâu thuẫn với giả
thiết về m. Vậy m

M , nghĩa m là số nhỏ nhất của tập M.
3.6 Hệ tiên đề về số tự nhiên ( Hệ tiên đề Pêanô - Nhà toán học ý 1858- 1932)

10

Tập N mà các phần tử gọi là số tự nhiên với quan hệ liền sau sẽ đợc gọi là tập
hợp số tự nhiên nếu nó thỏa mãn 4 tien đề sau:
1) Có số tự nhiên đợc ký hiệu bằng 0.
2) Mỗi số tự nhiên đều có và chỉ có một số liền sau.
3) Số 0 không đứng liền sau bất kỳ số nào.
4) Nếu một bộ phận A của tập hợp số tự nhiên N có tính chất:
- Chứa số 0.
- Nếu x

A thì số liền sau x' xủa x cũng thuộc A. Khi đó A trùng với N.
Với 4 tiên đề trên có thể thiết lập đợc tất cả các tính chất của N.
nh lý : Hệ tiên đề Peano là không mâu thuẫn, đầy đủ và độc lập.
Bài tập thực hành
Bài1 : Chứng minh rằng tập hợp các số Tự nhiên là tập vô hạn.
Thật vậy nếu tập N vô hạn thì tồn tại song ánh
f: N 2N , 2N= {2n\ n

N}
n

2n


n
1
,n
2


N , giả sử n
1


n
2


2n
1


2n
2
hay f(n
1
)

f(n
2
) , f là đơn ánh. Mỗi

Nn
2

, N
n
n =
2
sao f(n) = f(
2
n
) = 2.
2
n
= n, f là song ánh

Tập 2N ~ N, 2N


N, N vô hạn.
Bài 2: Chứng minh tính chất giao hoán của phép nhân; Tính chất kết hợp của
phép cộng và phép nhân trên tập hợp các số tự nhiên.
- Tính chất giao hoán của phép nhân :
Nba


,
, ab = ba.
Thật vậy , Gỉa sử
Nba

,
, khi dó tồn tại hai tập hợp hữu hạn A,B sao cho a =
card(A) , b = card(B) . Ta có : a.b = card(A
ì
B) , b.a = card(B
ì
A) .
Ta chứng minh (A
ì
B) ~ (B
ì
A).
Thật vậy : xét ánh xạ f: (A
ì
B) (B
ì
A)
(a,b)

(b,a)
Rõ ràng f là song ánh Giả sử ( a
1
, b
1
) , (a
2
,b
2
)

(A
ì
B) và ( a
1
, b
1
)

(a
2
,b
2
)
Khi đó f((a
1
, b
1
)) = ( b
1
, a
1
), f((a
2
, b
2
)) = ( b
2
, a
2
), vì

21
21
bb
aa
f((a
1
, b
1
))

f((a
2
, b
2
))

11

f là toàn ánh , vì mỗi (b,a)
)( AB
ì

luôn có cặp (a,b)
)( BA

ì

để f((a,b)) =
(b,a).Vậy flà song ánh
BA
ì

~
A
B
ì
.
Do đó card(
B
A
ì
) = card(
A
B
ì
), hay a.b = b.a.
- Tính chất kết hợp
+ Phép cộng: (a+b)+c = a+(b+c) ,
Ncba


,,

Giả sử
Ncba

,,
, khi đó

các tập hữu hạn A, B, C sao cho card(A) = a,
card(B) = b, Card(C) = c và A

B = A

C = B

C =

, ta có :(A

B)

C
= A

(B

C)

Card((A

B)

C) = Card(A

(B

C)) hay ( a+b)+c =
(a+b) +c
+ Phép nhân :
Ncba


,,
; (a.b).c = a.(b.c)
Giả sử a, b, c

N , khi đó tồn tại A, B, C hữu hạn mà a = card(A) , b = card(B) ,
c = card(C) và f: (A
ì
B)
ì
C A
ì
(B
ì
C)
(( a,b),c)

(a,(b,c)) , f là song ánh


(A
ì
B)

ì
C ~ A
ì
(B
ì
C)

card((A
ì
B)
ì
C) = card(A
ì
(B
ì
C))
hay (a.b).c = a.(b.c)
Đ
4. Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên
.
4.1 Phép cộng và phép nhân.
Định nghĩa phép cộng và phép nhân: Cho a,b là hai số tự nhiên và A, B là hai tập
hữu hạn sao cho a = card ( A) , b = card ( B) .
- Phép cộng: Giả sử A B = , khi đó c = card ( A

B ) gọi là tổng của a và
b. ký hiệu là : a+b = c . Qui tắc cho phép xác định tổng của hai số tự nhiên a,b
gọi là phép cộng gọi là phép cộng các số tự nhiên .
Từ định nghĩa suy ra muốn cộng nhiều số tự nhiên với nhau ta cộng hai số với
nhau, cứ nh vậy cho đến hết.

- phép nhân: Số tự nhiên d = card ( A ì B) gọi là tích của hai số tự nhiên a và
b. Ký hiệu là: a.b = d ( hoặc a ì b ). Qui tắc cho phép xác định tích hai số tự
nhiên gọi là phép nhân các số tự nhiên .
Từ định nghĩa : Nhân nhiều số tự nhiên với nhau ta nhân hai số với nhau, cứ nh
vậy cho đến hết. Khi đó a, b còn gọi là các thừa số và gọi là các ớc của c.
Tính chất: a, b, c

N ta có
- Tính chất giao hoán:

12

a + b = b + a
a.b = b.a
- Chứng minh tính chất 1: a + b = b + a a, b

N
Giả sử a = Card(A) , b = Card (b) , (A B ) = . Vì A

B = B A ( T/c giao
hoán phép hợp hai tập hợp) suy ra card(A

B) = cadr( B

A .Vậy a+ b = b + a
Chứng minh : ab = ba . Vì a,b

N nên tồn tại hai tập hữu hạn A, B sao
cho card(A) = a và card(B) = b. Mặt khác theo tính chất của tập hợp hai tập hợp
ta có: A

B = B

A, A

B =


Thiết lập ánh xạ f: A
ì
B B
ì
A
(a,b)

(b,a) . Ta chứng minh f là song ánh

A
ì
B B
ì

A. Do đó Card( A
ì
B) = Card ( A
ì
B) . Vậy ab = ba Đợc chứng minh.
- Tính chất kết hợp:
- ( a + b ) + c = a + ( b + c)
- ( a.b ).c = a. ( b. c)

HD chứng minh.
(A

B)

C = A

(B

C ) từ đó suy ra điều chứng minh
f: (A
ì
B)
ì
C A
ì
(B
ì
C)
((a,b),c)

(a, (b,c)) là song ánh , từ đó suy ra điều chứng minh.
Phần tử trung lập ( Phần tử trung hòa)
- a + 0 = 0 + = a ,
Na



- a.1= 1.a = a ,
Na

Có nghĩa là số 0 là phần tử trung lập của phép cộng, số 1 là phần tử trung lập của
phép nhân.
Chứng minh;
Ta có 0 = card

, A


=



A ,

A nên có a + 0 = 0 + a = a.
Tơng tự f: {x}
ì
A A , ta chứng minh đợc f là song ánh. Do đó a.1 = 1.a
= a
(x,a)

a
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
- a.(b+c) = a.b + a.c
- (b + c) .a = ba + ca

13

- Luật giản ứớc
- Từ đẳng thức a + b = b + c suy ra a = c.
- Với c

0 từ đảng thức ac = bc suy ra a = b
- Với mọi số tự nhiên a, ta luôn có :
- a + 1 = a' , a + 1 là số liền sau của a.
- a.0 = 0
Chứng minh:
Giả sử a = Card (A) và x

A nên có a + 1 = Card(A

B), nhng A

A

{x}
và
A

{x} \ A = {x} là tập đơn tử nên theo định nghĩa có a + 1 = a'.
Lại có A

ì
=

. Suy ra a.0 = 0.a = 0.
4.2 Định nghĩa phép trừ , tính chất

Định nghĩa : Cho a,b

N , nếu có số tự nhiên x sao cho : b + x = a thì ta nói
rằng có phép trừ a cho b và x gọi là hiệu của a và b. Ký hiệu là x = a - b .
Định lý: Với mọi số tự nhiên a,b nếu b

a thì tồn tại duy nhất số tự nhiên c sao
cho b + c = a.
Chứng minh: Vì b a nên tồn tại hai tập hữu hạn A, B sao cho B

A và
cardA= a, Card(B) = b .Khi đó A \ B là tập hữu hạn và B

( A \ B) =


Đặt c = Card(A \ B), c

N, b+ c = Card(B

( A \ B)) = card(A) = a. (tính
duy nhất suy ra từ luật giản ớc của phép cộng).
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: Với mọi a, b, c là các số tự
nhiên, mà c

b ta có:
- a.(b - c) = ab - ac
- (b - c) a = ba - ca
Chứng minh:
Theo định nghĩa phép trừ có: c+ ( b- c ) = b. Do đó a[c + (b - c )] = ab.

Theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta có :
ac + a( b - c ) = ab nhng đẳng thức này chứng tỏ a(b - c) là hiệu của ab
và ac a( b - c) = ab - ac.
Ví dụ : Biết
cdab
= 18 . Vậy :
-
cdab 11
bằng bao nhiêu ?

14

-
00 cdab
bằng bao nhiêu ?
Ta có :
cdab 11
= 100 + 10a + b - 100 - ( 10c + d)
=
cdab

= 18.

00 cdab
= 100a + 10b - 100c - 10d
= 10(
cdab
)
= 10
ì

18 = 180.
4.3 Định nghĩa phép chia:
4.3.1 Định nghĩa phép chia hết: Cho số tự nhiên a, b và b 0 . Nếu có một số
tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b ký hiệu
là a

b, khi đó a gọi là bội của b, b là ớc của a.
Khi a

b ta còn nói b chia hết a. Ký hiệu b\ a
- Từ định nghĩa suy ra:
Số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0.
Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1.
Quan hệ "\" là quan hệ thứ tự bộ phận trong N
*
.
Thật vậy:
Quan hệ chia hết có tính phản xạ :
*
Na
luôn có a

a
Tính đối xứng :

a,b

N* nếu có a

b và b

a thì a = b.
Tính chất bắc cầu :

a,b,c

N* nếu có a

b và b

c thì a

c .
Và 1 là phần tử bé nhất, vì

a

N
*
thì 1 \ a.
Nếu b chia hết các số a
1
, a
2
, ,a
n
thì b chia hết

=
n

i
ii
xa
1
, x
i


N, i =
n
,1

Quan hệ thứ tự không là quan hệ thứ tự tuyến tính , vì

a,b

N* không có a \ b
hoặc b \ a.
4.3.2 Phép chia có d
Định lý:

a, b

N, b

0 ,

! q, r

N sao cho a = bq + r, 0

r <b .
Chứng minh;
- Tồn tại cặp số q, r

N.
Xét tập M các bội của b nhỏ hơn hay bằng a, M = { x

N \ x

b, x

a}.

15

Dễ thấy M


vì 0

N và M bị chặn trên bởi a, suy ra M có số lớn nhất, gọi số
lớn nhất là x
0
= bq.
Vì b

0 nên bq < bq+ b = b( q + 1) và b( q + 1) là bội của b lớn hơn bq
nên b(q + 1)

M và a < b(q + 1) = bq + b. Vậy có bq

a < bq + b.
Nếu lấy r = a - bq thì a = bq + r, với 0

r <b . Vậy tồn tại q, r

N.
- Tính duy nhất
Giả sử có q
1
, r
1
cũng thỏa đẳng thức a = bq
1
+ r
1
, 0

r
1
< b.
Vậy a = bq + r = bq
1
+ r
1
; 0

r, r
1

< b.
Giả sử r
1

r , ta có ( r - r
1
) = b(q
1
- q )

( r - r
1
)

b. Nhng 0

r - r
1
< b
r - r
1
= 0, tức r = r
1
và q = q
1
.
Từ định lý có định nghĩa sau:
Định nghĩa: Số q, r tồn tại trong định lý trên đợc gọi lần lợt là thơng ( thơng
hụt) và d trong phép chia a cho b.
Nếu r = 0 thì a = bq.Ta có phép chia hết.

Nếu r

0 thì a = bq + r , q thơng hụt (thơng gần đúng), r là số d.
- Ví dụ1 : Khi chia 315 cho một số tự nhiên b ta đợc thơng hụt là 10.Hãy tìm
số chia và d.
Bài giải
Ta có 315 = b.10 + r, 0

r<b

r = 315 - b.10 , từ đó có:
0

315 -10.b < b

10b

315 <11b




<

b
b
11315
31510

<

b
b
6,28
5,31
5,316,28

<

b

Vì b

N nên nếu : b = 29 thì r = 315 - 10b = 25.
b= 30 thì r = 315 - 10b = 15.
b = 31 thì r = 315 - 10b = 5.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia
hết cho n.
Bài giải: Giả sử có dãy n số tự nhiên liên tiếp là : a,a + 1, a + 2 , , a + (n - 1).
Xét a chia cho n
- Trờng hợp 1: Nếu a : n d 0 thì a

n

có điều phải chứng minh.
- Trờng hợp 2: Nếu a : n d 1 thì số a + (n - 1)

n

có điều phải chứng minh.
- Trờng hợp 3: Nếu a : n d 2 thì a + (n -2)

n

có điều phải chứng minh


16

- Trờng hợp thứ n : Nếu a : n d n - 1 thì (a + 1)



có điều phải chứng
minh.
Vậy trong mọi trờng hợp đều có 1 số chia hết cho n.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng trong m số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số là bội của
m.
Giả sử a, a+1, a+2, ,a+(m-1) là m số tự nhiên liên tiếp, a

N. Thực hiện phép
chia có d của a cho m có a = mq + r , 0
r

< m
Nếu r = 0

a = mq

a
m


Nếu 0 < r < m , ta xét số tự nhiên
( a+(m-1) = ( mq + r ) + (m -1)
= ( mq + 1) + ( m-1)
= m(q+1)
m


Vậy trong m số tự nhiên liê tiếp có 1 số tự nhiên là bội của m
Ví dụ 4: Tìm x sao cho 113 + x hia cho 7 d 5.
Ta có 113 + x = 7q+ 5

113 + x + 5 = 7q

108+ x = 7q

(7.15+ 3) + x + 7q.
Hay 7.15 + ( x + 3) = 7q

x = 4.
Thử lại 113 + 4 = 117 chia cho 7 d 5 đúng.Vậy x= 4.
2.4 mối liên hệ giữa các phép toán và quan hệ thứ tự trong N
Tính chất tơng thích của thứ tự và phép cộng:
Với ba số tự nhiên tùy ý a, b, c ta có:

1- a

a + b
2- Nếu a

b thì a + c

b + c và ngợc lại nếu b + c

a + c thì a

b
Chứng minh.
1. Là hiển nhiên
2. Chứng minh nếu a

b thì a + c

b + c. Thật vậy :
Giả sử a= cardA, b = cardB, c= cardC, A

C =

, B

C =

. Vì a<b nên
A

B, A

B , Khi đó cũng có A

C

B

C và A

C

B

C . Vậy a + c


b + c.
Ngợc lại nếu a + c

b + c , ta chứng minh a

b. Thật vậy giả sử mệnh đề sai,
nghĩa là có a + c

b + c nhng a

b. Theo chứng minh trên từ b

a suy ra

ngay b + c

a + c mâu thuẫn .

17

Tính chất tơng thích giữa thứ tự và phép nhân.
Với ba số tự nhiên tùy ý a,b,c ta có:
1- Với b

0 , a

ab
2- Nếu c

0 thì a

b

ac

bc và ngợc lại nếu ac

bc thì a

b
Chứng minh:
1- Giả sử a= cardA, b = cardB, c= cardC, theo giả thiết có A

B khi đó có

A
ì
C

B
ì
C . Vậy ac

bc .
2- Bằng phản chứng : Giả sử có ac

bc nhng a > b.Theo tính chất 1 suy ra ac
bc

ac bc. Mâu thuẫn.
Chú ý nếu c = 0 thì ac = bc =0.

Đ.5.
Hệ đếm và hệ ghi cơ số g
5.1. Hệ đếm thập phân - cách ghi số :
Bổ đề 1: Với 2 số tự nhiên a, b > 0 luôn tồn tại số tự nhiên n
sao cho n.b > a
Bổ đề 2: Với a,b

, b>0 , tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q,r sao cho
a = bq + r , 0 r < b
Cách ghi số
Kí hiệu đã biết : 0 = card ( )
1 = card({a} ),
n' = card( X {a} ) .

Không thể dùng kí hiệu này với mọi số tự nhiên. Ngời ta đã chọn 10 số tự
nhiên đầu tiên trong hệ thập phân : 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để biểu diễn số tự
nhiên a tuỳ ý.
1) Nếu a 9 thì a viết một trong 10 ký hiệu trên.
2) Nếu a = 9 ( Kề sau 9) áp dụng bổ đề 2 , đến bớc thứ n ta có
a = 10
n
q
n
+ 10
n-1
r
n -1
+ + 10r
2
+ r
1
, với 0 r
1
, , r
n
9.
Ta ký hiệu : a =
2 1
1

n
n
n
r

q
r r
r


Khi a là số cụ thể ta bỏ gạch trên.
Vị trí thứ nhất bên phải là đơn vị

18

vị trí tiếp theo là hàng chục , hàng trăm , hàng nghìn,
5.2.Hệ ghi số g- phân
Giả sử g là một số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó mỗi số tự nhiên a > 0 đều
biểu diễn một cách duy nhất dới dạng
a = g
n
c
n
+ g
n-1
c
n -1
+ + g c
1
+ c
0
,
với n 0 , 0 ci g -1 , i= 0,1, ,n và c
n
> 0 .

Giả sử a là số tự nhiên khác 0 ; g là một số tự nhiên lớn hơn 1, nếu
a = g
n
c
n
+ g
n-1
c
n -1
+ + g c
1
+ c
0
,
với n 0 , 0 ci g -1 , i=0,1, ,n và c
n
> 0
thì ta viết a =
1 1 0

n n
c c c c


và nói là sự biểu diễn số tự nhiên a trong hệ g - phân .
5.3 Thực hành phép tính trong hệ ghi cơ số g
Chú ý:
- Chỉ thực hiện trong cùng một cơ số
- Thực hiện nh trong hệ thập phân nhng đến g thì phải nhớ
5.3.1 Lập bảng cộng g = 6

Bảng cộng Bảng nhân

5.3.2 Thực hành phép tính
+) Phép cộng :
6 6 6
23145 3452 31041
+ =

( Sinh viên tự lấy VD khác và thực hiện)
+Phép trừ :
+

0

1

2 3 4

5

0

0

1

2 3 4

5

1

1

2

3 4 5

10

2

2

3

4 5 10

11

3

3

4

5 10

11

12

4

4

5

10

11

12

13

5

5

10

11

12

13

14

.

0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 10

12

14

3 0 3 10

13

20

23

4 0 4 12

20

24

32

5 0 5 14

23

32

41


19

6 6 6
31041 3452 23145
+ =

( Sinh viªn tù lÊy VD kh¸c vµ thùc hiÖn)
+) PhÐp nh©n :
6 6 6
23145 32 1230004
+ =

( Sinh viªn tù lÊy VD kh¸c vµ thùc hiÖn)
+) PhÐp chia :

6 6 6
1230004 : 32 23145
=

( Sinh viªn tù lÊy VD kh¸c vµ thùc hiÖn)
5.3.4 Đổi một số trong hệ cơ số tùy ý thành hệ thập phân
- Khai triển a = (anan
-1
ao)

g
=
n
0i =
∑
aigi = angn + an
+1
.gn
−1
+ + a
1
.g + ao.
- Dùng sơ đồ Horner
an an
-1
ao
g
x
an
+

an.g + an
−1

a
Ví dụ: a = (245)
6
= 2.6
2
+ 4.6 + 5 = 101.

Đổi một số từ hệ thập phân thành hệ g - phân
Ví dụ: Viết số 427 trong hệ 8 - phân
- Ta chia 427 cho 8, dư 3 và thương 53. Sau đó chia 53 cho 8, dư 5. Quá
trình cứ tiếp tục cho đến khi thương của phép chia bằng không.
427
3
8
53
5 6
0
8
8
6
-


⇒ 427 = (653)
8

8.3.3. Đổi một số viết trong hệ cơ số a sang hệ cơ số b: (a, b
≠
10)
Ta đổi số đó từ hệ cơ số a thành hệ thập phân sau đó đổi sang hệ cơ số b.
Ví dụ: Đổi số a = (1551)
6
sang hệ bát phân.
Ta có: a = (1551)
6
= 427.
Sau đó: 427 = (653)

8
Do đó: (1551)
6
= (653)
8
.

20

Đ. 6. Dấu hiệu chia hết

6.1.Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 :
Định lý: Một số chia hết cho 2 hoặc 5

chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho
2 hoặc 5
Chứng minh: Giả sử a =
011
cccc
nn
= c
n
10
n
+ c
n-1
10
n-1
+ +10c
1

+ c
0

= 10(c
n
10
n-1
+ c
n-1
10
n-2
+ + c
1
) + c
0

= 10q + c
0
.
Vì 10

2 và 10

5

nếu c
0


2 hoặc c

0


5 thì a

2 hoặc a

5
6.2.Dấu hiệu chia hết 4 và 25 :
Định lý: Một số chia hết cho 4 hoặc 25

số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó
chia hết cho 4 hoặc 25.
Chứng minh: Ta có a =
011
cccc
nn
= 10
2
(c
n
10
n-2
+ c
n-1
10
n-3
+ +c
2
) +10c

1
+ c
0

Vì 10
2


4 và 10
2


25

01
cc

4 hoặc 10
2


25 thì a

4 hoặc a

25 .
6.3.Dấu hiệu chia hết 3 và 9 :
Định lý: Một số chia hết cho 3 hoặc 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia
hết cho 3 hoặc 9
Chứng minh :

a =
011
cccc
nn
= c
n
10
n
+ c
n-1
10
n-1
+ +10c
1
+ c
0

Lại có: 10
n
= ( 9+1)
n
= 9
n
+ c
1
n
9
n-1
+ + c
n-1

n
.9 + 1 = 9.q
n
+ 1

a = c
n
(9q
n
+1) + c
n-1
(9q
n
+1) + + c
1
(9+1) + c
0

= 9Q
n
+ (c
n
+c
n-1
+ + c
1
+c
0
)
Đẳng thức cuối chứng tỏ

9
3


a
a
(c
n
+c
n-1
+ + c
1
+c
0
) chia hết cho 3 hoặc 9.
6.4.Dấu hiệu chia hết 11 :
Định lý: Một số chia hết cho 11

tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các
chữ số hàng lẻ là bội của 11.
Chứng minh: Ta biết lũy thừa của 10 có dạng 11q + 1 hoặc 11q - 1 . Thật vậy :
10
n
= ( 11 - 1)
n
= 11

n
- c
1
n
11
n-1
+ + (-1)
n-1
(1+9-1))
n


21

= 11( 11
n-1
- c
1
n
11
n-2
+ + (-1)
n
c
n-1
n
+ (-1)
n

10
n
= 11q + (-1)
n
=



=
+=+
knKhiq
knkhiq
2111
12111
, k là số tự nhiên.
Từ đó a =
011
cccc
nn
= c
0
+ c
1
(11q
1
- 1) + c
2
(11q
2

+1) + + c
n
(11q
n
+(-1)
n
)
= ( c
0
+c
2
+ + c
2k
) - ( c
1
+ c
3
+ + c
2k+1
) + 11q . Đẳng thức chứng tỏ
a

11

( c
0
+c
2
+ + c
2k

) - ( c
1
+ c
3
+ + c
2k+1
)
Ví dụ: Không chia , cho biết số 9873215 có chia hết cho 11 không?
Ta có tổng chữ số hàng chẵn là: 5

+ 2+ 7+ 9 = 23
Tổng chữ số hàng lẻ là: 1+ 3+ 8 = 12
Hiệu là 23 - 12 = 11 là bội của 11 . Vậy số 9873215

11
5.5 Dấu hiệu chia hết cho 8 hoặc 125
Định lý: Một số chia hết cho 8 hoặc 125

số tạo bởi ba chữ số cuối cùng của
nó chia hết cho 8 hoặc 125.
Chứng minh:
Ta có a =
011
cccc
nn
= 10
3
(c
n
10

n-3
+ c
n-1
10
n-4
+ +c
3
) +10
2
c
2
+10c
1
+ c
0

Vì 10
3


8 và 10
3


125

012
ccc

8 hoặc

012
ccc


25 thì a

8 hoặc a

125 .


22

Chơng 2
Tập hợp số nguyên
Đ.1.
Xây dựng tập hợp số nguyên


1.1. Đặt vấn đề :
- Sự ra đời của tập hợp số tự nhiên N : Khoảng 1550 năm TCN , đã có sự khảo
sát , nghiên cứu về phân số .
- Số âm : đợc nghiên cứu khoảng TK 16 - SCN.
- Về mặt toán học : Phơng trình a = x + b , khi nào có nghiệm do đó xây dựng
tập hợp số nguyên

.
1.2. Xây dựng tập hợp số nguyên

:

1). Quan hệ tơng đơng trên
ì

:
Định nghĩa :
ì

= { ( a,b ) a , b
N
}
( a,b ) ( c,d ) a + d = b + c
Mệnh đề : Quan hệ trên
ì

là một quan hệ tơng đơng.
2).Tập hợp

:
Ký hiệu


=
ì

/
Đặt

( , )
a b

, nếu ( a,b)

ì


( , )
a b
,
( , )
c d


:
( , )
a b
=
( , )
c d
a + d = b + c
1.3.Các phép toán trên

:
Đặt x =
( , )
a b
, y =
( , )
c d

1). Định nghĩa phép cộng , phép nhân :
x + y =
( , ) ( , ) ( , )
a b c d a c b d
+ = + +

x.y =
( , ).( , ) ( , )
a b c d ac bd da bc
= + +

2). Phép cộng và phép nhân trong định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn
phần tử đại diện .
Giả sử
( , )
a b
,
' '
( , )
a b
là đại diện của x
và
( , )
c d
,
' '
( , )
c d

là đại diện của y , khi đó :
( , )
a b
+
( , )
c d
=
' '
( , )
a b
+
' '
( , )
c d


23

( , )
a b
.
( , )
c d
=
' '
( , )
a b
.
' '
( , )

c d

Đ.2.
Vành số nguyên

2.1. Định lý 1.
(

, +
) là một nhóm cộng giao hoán
Hớng dẫn c/m : x , y


; x =
( , )
a b
, y =
( , )
c d
, ta có
1) x + y = y + x
2) ( x + y ) + z = x + ( y + z )
3) Phần tử trung hoà
0

=
(0,0)
=
( , )
n n

4) Với x =
( , )
a b
thì - x =
( , )
b a


có
( , )
a b
+
( , )
b a
=
0

2.2.Định lý 2.
(

, .
) là một vị nhóm nhân giao hoán
Hớng dẫn c/m : x , y


; x =
( , )
a b
, y =

( , )
c d
, ta có
1) x . y = y . x
2) ( x . y ) . z = x . ( y . z )
3)Phần tử trung hoà
1
=

(1,0)

N



2.3. Định lý 3.
(

, + , .
)Tập hợp số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân là một vành giao
hoán có đơn vị
Hớng dẫn c/m :
1) Theo Đlý 1 : (

, +
) là một nhóm cộng giao hoán
2) Theo Đlý 2 : (

, .
) là một vị nhóm nhân giao hoán

3) C/m : x , y , z

, ta có x.( y + z ) = xy + xz .
2. 4. Định lý 4.
vành số nguyên


không có ớc của
0
.
Nghĩa là : x , y


và x
0
, y
0
thì x.y
0
.
Thật vậy x =
( , )
a b
, y =
( , )
c d
a b , c d , x.y =
( , ).( , ) ( , )
a b c d ac bd da bc
= + +

Nếu x.y =
0
ac + bd = ad + bc , trừ hai vế cho bc & bd :
ac bc = ad bd
( a-b ).c = ( a- b). d , vì a b c = d ( vô lý ) .


24

Đ.3.
Ký hiệu số nguyên

Mệnh đề :
Một số nguyên bất kỳ có dạng
( , 0)
n
hoặc là số đối của nó có dạng nh vậy .
: Xét x =
( , )
a b
, a , b


.
- Nếu a b a b N : ( a, b ) ( a-b , 0 ) , đặt n = a b x =
( , 0)
n

.

- Nếu a < b b - a N : ( a, b ) ( 0 , b- a ) , đặt m = b a x =
(0, )
m

.
Chú ý :
Đặt
+

=
{
}
( ,0);
n n

;


=
{
}
(0, );
m m

.
Ta có
+
=

.
Đ.4.
Quan hệ giữa số tự nhiên và số nguyên
.
4.1. Xét ánh xạ :
f :





( ) ( , 0)
n f n n
=


Ta thấy :
a) f là đơn ánh .
b)f(

) =
+


c) f bảo toàn phép cộng và phép nhân các số tự nhiên .
4.2. Đồng nhất mỗi số tự nhiên n với ảnh f(n) =
( , 0)
n
, ta đợc
+

, do đó



.
Nh vậy x =
( , 0)
n
. Viết x = n .
4.3.Ký hiệu số nguyên :
4.3.1. Mỗi số nguyên là một sô tự nhiên hoặc là số đối của số tự nhiên .
4.3.2.


= { , -3 , -2 , -1, 0 , 1 , 2 , 3 , }
4.4. Phơng trình : b + x = a và phép trừ trong

.
Định lý : Phơng trình : b + x = a , a , b

luôn có nghiệm .
Do

là vị nhóm cộng , với mọi b

, tồn tại b

, với a

đặt
x = (- b) + a , ta có b + x = b + (-b + a) = 0 + a = a . vậy b + a là nghiệm của
phơng trình .
Phép trừ trong

. Nghiệm của phơng trình : b + x = a gọi là hiệu của a và b ,
kí hiệu là a b , đọc a trừ b . Ta có a b = a + (- b) .


25

Đ.5.
Thực hành các phép toán trong

.

5.1. Giá trị tuyệt đối :
Định nghĩa : Giá trị tuyệt đối của số nguyên x , ký hiệu là x đợc xác định
nh sau :
+ x = x nếu x


+ x = - x nếu x


.
Chú ý : x

và x = -x .
5.2. Thực hành phép cộng trong

.

Giả sử x , y

, xét các trờng hợp
1) Nếu x, y

: x = n =
( , 0)
n

,y= m =
( ,0)
m

.
x + y =
( , 0)
n
+
( , 0)
m
= n +m
2) Nếu x, y

: x =-n =
(0, )
n

,y = - m =
(0, )
m

.
x + y =
(0, )
n
+
(0, )
m
=
(0, )
n m
+
= - ( n +m) = - ( x + y )
3) x

, y


: x = n =
( , 0)
n

, y = - m =
(0, )
m
,
thì :
x + y =
( , 0)
n
+
(0, )
m
=
( , )
n m

, xảy ra :
- Nếu x y thì x + y = n m = x - y
- Nếu x < y thì x + y = - ( m n ) = - ( y - x )
5. 3. Thực hành phép nhân trong

.

Giả sử x , y

, xét các trờng hợp
1)Nếu x, y

: x = n =
( , 0)
n

,y = m =
( ,0)
m

.
x . y =
( , 0)
n
.
( ,0)
m
= n .m
2)Nếu x, y


: x =-n =
(0, )
n

,y = - m =
(0, )
m

.
x . y =
(0, )
n
.
(0, )

m
=
( . ,0)
n m
= ( n . m) = x . y
3) x

, y


: x = n =
( , 0)
n

, y = - m =
(0, )
m
,
thì :
x . y =
( , 0)
n
.
(0, )
m
=
(0, . )
n m
= -
n .m = - x . y .

Đ.6.
Quan hệ thứ tự trong


6.1.Khái niệm