Kinh nghiệm giải bài tập bất đẳng thức

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
A. PHN M U
Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh trong quỏ
trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT
u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt dng thng gp trong cỏc k thi hc
sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t.
giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng
cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh hot hn trong vic gii
cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip,
hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc.
ti gm 2 phn c bn:
Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.
Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc.
Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc c bn v bt
ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong sỏch giỏo khoa trung hc ph
thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin i ng thi nờu mt s vớ d minh ha.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
B. NI DUNG
Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC
1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp
2) Tam thc bc 2
3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s
4) Quy np
5) Lng giỏc húa
6) Phng phỏp hỡnh hc
7) Cỏc BT thụng dng
8) Mt s phng phỏp khỏc
I. S dng cỏc phộp bin i.
Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ

Gii: Vỡ a,b,c l 3 s dng nờn
ta cú
Cng v theo v ta c
Mt khỏc ta cú
Cng v theo v ta c
Vớ d 2: CM ta luụn cú
Gii:
Do ú
(pcm)
Vớ d 3:
CMR
Gii: Ta cú
Cho k=1, 2, n ri cng cỏc
ng thc theo v ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
21 <
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba
a
cba
c

ac
c
cba
b
cb
b
cba
a
ba
a
++
>
+++
>
+++
>
+
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<1
cba

cb
ac
c
cba
ba
cb
b
cba
ca
ba
a
++
+
<
+++
+
<
+++
+
<
+
2<
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b

ba
a
Rx
3
2
258
>+ xxxx
Rxx
x
x
x
xxx
xxxxxx
>+








+






=

++++=++
0
3
1
3
1
3
1
2
3
2
3
1
3
1
3
1
.
2
3
.2
4
3
42
.2
3
2
2
2
4

22
48258
3
2
258
>+ xxxx
Nn
nn
<
+
+++ 1
)1(
1

3.2
1
2.1
1
)(
1
11
)1(
1
*
Nk
kkkk

+
=
+

2
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vy ta cú pcm.
II. Phng phỏp Tam thc bc 2.
Vớ d 1: CMR
Gii: TX:
Gi thỡ
(*)
(*) cú nghim x thỡ
Vy
Du t bờn trỏi xy ra
Du t bờn phi xy ra
III. Phng phỏp hm s, dựng
o hm.
Vớ d 1 : CMR thỡ
Gii : Xột hm s
ng bin
Mt khỏc f(0)=0. Vy f(x)>0 vi mi x>0
hay vi mi x>0 thỡ
Vớ d 2: CMR nu 0<b<a thỡ
Gii: Xột hm s f(x)=lnx liờn tc v cú o hm trờn
. Theo nh lớ Lagrange tn ti x
0
vi
b<x
0
<a sao cho
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1
1

1
1
1
11

3
1
2
1
2
1
1
)1(
1

3.2
1
2.1
1
<
+
=
+
+++=
+
+++
nnnnn
11
5913
423

25
11
5913
2
2
+

++
+


xx
x
Rx
423
25
2
2
++
+
=
xx
x
P
0242)53(
2
=++ PPxxP
11
5913
11

5913
0102611
0)53)(24(0
2
2'
+



+

P
PP
PPP
11
5913
423
25
11
5913
2
2
+

++
+


xx
x

121
)5913(13
= x
121
)5913(13 +
= x
0>x
xx <sin
( ) sin
'( ) 1 cos 0
f x x x
f x x
=
=
)(xf
xx <sin
b
ba
b
a
a
ba
<<

ln
( )
+,0
x
xf
1

)(' =
ab
afbf
xf


=
)()(
)('
0
3
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vỡ b<x
0
<a nờn suy ra
pcm.
Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM
Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s
Xột hm s
f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R
Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt
hm bc 3 nờn tn ti sao cho
sao cho
Vy
Trong khai trin ta cú
Theo BT Cauchy
IV. Phng phỏp quy np.
Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s , vi cỏc bc
chng minh nh sau:
+ Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n

0
+ Bc 2. Gi s BT ỳng vi n=k ta cn chng minh BT ỳng vi n = k+1.
+ Bc 3. Kt lun BT ỳng vi mi .
Vớ d 1 : C/m ta cú :
Gii: + Khi n=2 ta cú ỳng.
+ Gi s BT ỳng vi n=k tc l
Ta cn chng minh (*) cng ỳng vi n=k+1. Tht vy
Ta cn chng minh
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
b
a
x
ba
ba
ba
x
ln
lnln1
00
=




=
bxa
111
0
<<
64

3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++

+++
dcba
))()()(()( dxcxbxaxxfy ==
321
,, yyy
dycybya
321
0)(')(')('
321
=== yfyfyf
))()((4)('
321
yxyxyxxf =
)(2)(4
)(4
133221
321
cdbdbcadacabyyyyyy
bcdabdacdabcyyy
+++++=++
+++=
3
2
321
133221
)(
3

yyy
yyyyyy

++
64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++

+++

Nn
)(
0
nk
Nn
*
,2 Nnn
(*)
13
1
2
12

6
5
.
4
3
.
2

1
+
<

n
n
n
<
7
1
8
3
(*)
13
1
2
12

6
5
.
4
3
.
2
1
+
<

k

k
k
)2( k
1 3 5 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1
. . . . .
2 4 6 2 2 4 2 2 2 2 2
3 1 3 1
k k k k
k k k k
k k
+ +
< <
+ +
+ +
4
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
n õy ta thy (*)
ỳng vi n=k+1.
Vy theo gi thit quy
np (*) ỳng vi
Vớ d 2: Cho x>0 CMR vi ta cú
Gii: +Vi n=1 ta cú
Vy
Vy BT ỳng vi
n=1.
+ Gi s BT ỳng vi n=k tc l
Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l :
Tht vy theo gi
thit quy np ta cú:
Nh vy ta cú

Do ú ta cú:
+Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi
V. S dng phng phỏp lng giỏc húa.
s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm vng cỏc tớnh cht,
cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú, trong mt s bi toỏn nu t cỏc
giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc thỡ rt thun tin.
Vớ d 1: CMR ta cú:
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1420419
)484)(13()43)(144(
)22.(1343).12(
43
1
1)1(3
1
22
12
.
13
1
22
>+<+
+++<+++
++<++
+
=
++
<
+
+

+
kkk
kkkkkk
kkkk
kk
k
k
k
2

n
1n
!

!3!2
1
32
n
xxx
xe
n
x
+++++>
(
]
xye
y
,01
011
00

>+>>>

xxexedydye
xx
xx
x
0)1( > xk
!

!3!2
1
32
k
xxx
xe
k
x
+++++>
)!1(

!3!2
1
132
+
+++++>
+
k
xxx
xe
k

x
0
!

!3!2
1
32
>+++++> x
k
xxx
xe
k
x
(
]
xy
k
yyy
ye
k
y
,0
!

!3!2
1
32
+++++>
2
0 0

2 3 1
(1 )
2! !
1
2! 3! ( 1)!
x x
k
y
k
x
y y
e dy y dy
k
x x x
e x
k
+
> + + + +
> + + + +
+

2 3 1
1
2! 3! ( 1)!
k
x
x x x
e x
k
+

> + + + + +
+
1

n
yx,
5
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Gii: t
Ta cú:
*) Mt s bi
tp:
1. CMR thỡ
2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món
CMR
VI. Phng phỏp hỡnh hc.
a) S dng cỏc BT v vect
1.
Du = xy ra cựng chiu
2.
Vớ d 1: Cho a, b, c l 3 s thc
bt kỡ CM
Gii: t thỡ
Ta cú suy ra pcm.
Vớ d 2: CM thỡ
Gii: t thỡ
Li ỏp dng suy ra pcm.
Vớ d 3: CM thỡ
Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu din cỏc thnh
phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng thng thi khi khụng cú s rng

Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
4
1
1()1(
)1)((
4
1
2
)222
2222

++


yx
yxyx







<<

==
2
,
2

tgytgx
dpcmA
b
tgtg
tgtgtgtg
yx
yxyx
A

+=
++=
=
++

=
++

=
4
1
)22sin()22sin(
2
1
)cos()cos()sin()sin(
)sinsincos)(coscossincos(sin
)1()1(
).1)((
1()1(
)1)((
22222222

2222
2222
)222
2222
2





Ryx ,
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22

++
+

yx
xyyx





=+

=+
1
1
22
22
dc
ba
11
+
bdac
vuvu ++
vu,
vuvuvuvu
222222
2)()( cacbacba +++++
);();( cbavcbau +==
)2;2( cavu =+
vuvu ++
Ryx ,
5101224964
2222
++++++ yxyxxyx
)23;1()2;3( yxvyxu =+=
)3;4(=+ vu
vuvu ++
cba ,,
444
)( cbacbaabc ++++
6
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc thỡ ta thng dựng phng phỏp ta .
b) Phng phỏp ta :
Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0.
CMR
Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7)
M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0 . Ly A

i xng A qua ta cú A

(5; 1)
Ta cú MA+MB=MA

+MBA

B
Hay
Du = xy ra
c) Cỏc phng phỏp khỏc:
Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM
Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v
Ta cú

Vớ d 6: Cho a, b,
c dng. CM
Gii: Dng
hỡnh nh hỡnh v sao cho:
OA=a ; OB=b ; OC=c
p dng nh lớ hm s cosin
trong tam giỏc ta cú:
Vy tc l

Du ng thc
xy ra
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
6)7()5()5()3(
2222
+++ baba
)()(

6)7()5()5()3(
2222
+++ baba
2
7
5 = ba
1)1()1(()1( <++ xzzyyx
[ ]
1)1()1()1(
1.1.60sin.
2
1
)1()1()1(60sin
2
1
00
<++
<++
<++

xzzyyx
xzzyyx

SSSS
ABCBNMCPNAMP
222222
3232 cacacbcbbaba ++++
00
3045 == BOCAOB
2 2
2 2
2
3
AB a ab b
BC b bc c
= +
= +
0 0 0 0 0 0
cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin45 sin30
1 3 1 1 1 3 1 1
. . . 2 3
2 2 2 2
2 2 2
AOC = + =

= = =
22
32 cacaAC +=
222222
3232 cacacbcbbaba ++++
7
x
y

M
A
A
B
A
C
P
N
A
z
c
b
a
A
O
B
C
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
*) Mt s bi tp
1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món
CM:
2. CMR ta cú
3. Cho x, y thừa
C/m
4. Cho x, y, z dng thừa món
xyz(x+y+z)=1
Tỡm MIN (x+y)(x+z)
VII. S dng cỏc BT quen thuc.
1. Bt ng thc Cauchy
a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú

. Du =
Dng khỏc Du =
b. Tng quỏt cho n s khụng õm
ta cú
Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s
dng tựy ý
CMR ta cú
Gii : p dng BT
Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :
Cng v theo v ta cú ta cú
pcm.
Du = xy ra khi v ch
khi x=0.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
0
2 1 2 3
sin75
4 4 2
AOB BOC AOC
ab bc ac
S S S ac b
a c

+
+ = + = =
+

+=++
+=++
)(1236
)(21
22
22
dcdc
baba
6226
)12()()()12( ++ dbca
x
31)13(21)13(2122
222
+++++++ xxxxxx






++
+
042
02
082
xy
yx
yx
20

5
16
22
+ yx
xy
yx

+
2
yx =
baba +
+
411
ba =
n
aaa , ,,
21
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
Rx

xxx
xxx
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++






+






+

x
xxx
x
xxx
x
xxx
a
bc
abca
c
ab
b
ca
c
ab
cabc
b
ca
a
bc
b
ca
bcab
a
bc
c
ab
2
.

2
2
.
2
2
.
2
=













+






=

+






=

+






8
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vớ d 2 : Vi a, b, c dng CM
Gii : ỏp dng BT Cauchy cho
cỏc cp s dng ta cú :
Cng v theo v ta cú :
Mt khỏc ta cú
Thay vo (1)
suy ra pcm.
Du = xy ra khi v ch khi a=b=c.
c. Mt s dng toỏn c bn s dng BT Cauchy tng quỏt c/m.
1) Cho n s thc dng thừa món
cho trc)
CMR
Vi
l cỏc s
nguyờn dng
tựy ý.
Gii: ỏp dng BT Cauchy cho s
ta cú:

Li ỏp dng cho m s dng ta cú
T (1) v (2) ta cú
()
Tng t
cho cỏc phõn thc cũn li cui cựng cng cỏc bt dng nh (*) li v theo v ta cú
*) Mt s bi tp
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
cabcab
a
c
c
b
b
a
++++
333
2
33
2
33
2
33
2.2
2.2
2.2
cca
a
c
ca
a

c
bbc
c
b
bc
c
b
aab
b
a
ab
b
a
=+
=+
=+
)1()(2
222
333
cbacabcab
a
c
c
b
b
a
+++++++
[ ]
cabcabcba
accbbabcacabcba

++++
++=++
222
222222
0)()()(
2
1
n
aaa , ,,
21
0(
1

11
21
>=+++ kk
aaa
n
1 1 2 2 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 2
1 1


1

n n n
n n n n
m a m a m a m a m a m a
k
m a m a m a m m m

+ +
+ + + + + +
+
+ + + + + +
n
mmm , ,,
21
n
mmmm +++=
21
)1(
21
212211
m
m
n
mm
nn
n
aaamamamam +++
)2(


21
21
2
2
1
1

m
m
n
mm
n
n
n
aaa
m
a
m
a
m
a
m
+++
nn
amamam +++
2211
2
2
2
1
1
m
a
m
a
m
a

m
n
n









+++
(*)
1

1
2
2
1
1
2
2211

++++
+++

n
n
nn
a
m
a
m
a
m
m
amamam
nnnnnn
mm
k
km
m
amamamamamam ++
=
+++
++
+++


).(
1

1


1
1
2
12112211
9
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
1. Cho 3 s dng a, b, c. CMR
2. CMR
Tng quỏt
3. Cho . Tỡm MIN
2. S dng BT Bunhiacopxki(BCS)
Vi 2 b s v bt kỡ ta cú
ng thc xy ra
Vi quy c a
i
=0 thỡ b
i
=0
Chng minh:
+Nu =0 suy ra BT luụn luụn
ỳng
+Nu >0. Xột tam thc
Vớ d 1: Cho 2 s thc x, y thừa món .
CMR
Gii: Theo BT BCS ta cú
Du = xy ra
Vớ d 2: a) Cho n s thc v n

s dng
CMR
b) CMR
Gii: a) p dng BT
BCS cho 2 b s dng
v
Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
accbbacba +
+
+
+
+
++
222111
3
abc
cba
a
c
c
b
b
a ++
++
n
n
n
kkk
aaa

aaa
a
a
a
a
a
a



21
21
2
1
2
1
2
1
+++









++

+











+
>
1
0,
ba
ba
ab
abS
1
+=
( )

n
aaa , ,,
21
( )
n
bbb , ,,
21
( )
) )( (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa +++++++++
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2

2
1
1
22
2
2
1

n
aaa +++
22
2
2
1

n
aaa +++
) )( () (
00)(
) () (2) ()(
)( )()()(
22
2
2
1
22
2
2
1
2

2211
'
22
2
2
12211
222
2
2
1
22
22
2
11
nnnn
nnnn
nn
bbbaaabababa
Rxxf
bbbxbababaxaaaxf
bxabxabxaxf
+++++++++

++++++++++=
+++=
23 =+ yx
3
8
32
22

+ yx
( )
3
8
32321
2
1
3.12.
2
1
2222
2
++






+






+ yxyxyx

=
=
=
33
4
3
2
1
3
2
1
2
y
x
yx
( )
n
aaa , ,,
21
( )
n
bbb , ,,
21
( )
n
n

n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
+++
+++
+++



21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
0,1
21
1
22

2
2
2
2
>
+
+
+
+
+
ba
ab
ba
b
ab
a








n
n
b
a
b
a

b
a
; ;;
2
2
1
1
( )
n
bbb ; ;;
21
( )
) (
) (

) (
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2

2
1
2
1
2
21
n
n
n
n
n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
bbb
b
a
b
a
b
a
aaa

+++
+++
+++
+++








++++++
10
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
b) p dng kt qu a) ta cú
pcm
Vớ d 3: Cho
ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng
CMR
Gii: p dng BT BCS ta cú a,
b, c dng nờn
=
VII. Cỏc phng phỏp
khỏc
1. S dng khai trin nh thc Newton
c/m AB ta cú th lm nh sau
a) Nu a A v dng
Ta tỡm cỏch c/m B
khụng ln hn tng T ca mt s phn t ca chui thỡ (cỏch ngt chui dng)

b) Nu a c B v dng
Ta tỡm cỏch ỏnh giỏ
mi s hng ca chui (*) khụng ln
hn cỏc biu thc T
J
m lỳc ú
Vớ d 1: Nu v n nguyờn, n>1 thỡ
Gii: Ta cú
Vỡ nờn . Vy
Vớ d 2: CMR nguyờn dng, m2 ta cú:
Gii:
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
=
+++++
++

+
+
+
+
+
1
1222
)1(
21
1
22
22
2
2

2
2
2
abbaab
ba
ab
ba
b
ab
a
2
)( cba
a
c
c
b
b
a
++++
( )
2
2
2
)(
)(
cba
a
c
c
b

b
a
a
c
c
b
b
a
cabcab
a
c
ca
c
b
bc
b
a
abcba
++++






++++

++=++
3
1
===== cba
a
c
ac
c
b
bc
b
a
ab


=

=+=
n
i
iini
n
n
baCbaA
0
)(

ATB
(*))(
0

=

=+=
n
i
iini
n
n
yxCyxB
AT
n
j
j


=0
ATB
n
j
j


=0
1<x
nnn
xx 2)1()1( <++

=

++++=++=
n
i
iini
n
nnnn
xxCxxxx
1
)1()1()1()1()11(2
1<x
1, 2,10)1()1( >+

nixx
iin
nnn
xx )1()1(2 ++>
m


)1(1
1
1
1.
1
2
12
2

2
<







+









+
m
m
m
m
2 1 2 2 1
2 2 2
1 1 1 2 1
(1) 1 1 1 1
1 1 1 1 ( 1)
m m

m m m m m
+ +

+ > + + > + +
ữ ữ ữ


11
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Mt khỏc ta cú:
pcm
Vớ d 3: Nu
n l s t nhiờn ln hn 1. CM
Gii: Vỡ . t . Lỳc ú ta cú
2. S dng phng phỏp phõn chia.
a) Nu hm s bin thiờn phc tp trong tp xỏc nh ta chia tp xỏc nh D thnh cỏc tp
con D
1
, D
2
,.sao cho vic tỡm cc tr ca hm s trờn cỏc tp con d dng hn.
b) Nu tớnh cht ca hm thay i c trờn cỏc tp con thỡ ta phõn tớch hm thnh tng ca
cỏc hm n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn.
Vớ d 1: Tỡm Max ca vi x,y l
cỏc s thc thừa món
Gii:
+ Khi ta cú . Du = xy ra
+ Khi ta cú
p dng BT Cauchy cho 2004 s khụng õm ta c

Vy
Vớ d 2: Tỡm Min
Gii: Xột cỏc trng hp:
+ . Lỳc ú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
2 2 1
1 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
1 1 1 2 1
1 1
1 1 1 1 ( 1)
m
m
m m m
C C C
m m m m m
+
+
+ + +

+ + + + > + +
ữ ữ


1
2
)1(
1
)1(3

)12)(12(
)1(
)12(
1
12
3314
232222
22

+

>

+
+

+
+

+

>
m
mm
mmm
m
mm
m
m
mm

n
n
n
2
1+<
11 >>
n
nn
)0(1 >+= xxn
n
n
n
n
x
n
x
n
xx
nn
nxx
nn
nxxn
n
nn
2
1
2
11
22

2
)1(
1
2
)1(
1)1(
222
+<+<+
<<

+>++

++=+=
)4(),(
2002
yxyxyxF =





+


6
0
0
yx
y
x

4+ yx
0F
4=+ yx
4<+ yx
04,0,0 yxyx
2002
2004
2002
2002
2004
2002 . . . .(4 )
2002 2002 2002
2002. 4
2002
2002
2002
2004 501
x x x
F y x y
x
y x y
F
=

+ +
ữ
=
ữ
ữ

2002
501
' ' 4
1
2002
501
x
x
y x y
y

=


= = =


=


2004
2002
501
2002
F
RxxxxF += 200220011)(
2002x
2002''
1)(40032)(
==

=
x
xFxxF
12
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
+
+
Vy Min
Vớ d 3: Tỡm Min trong ú x, y, z
l cỏc s thc thừa món
.
Gii: t
Ta cú:
ng thc xy ra
(1)
Ta cng cú
ng thc
xy ra
(2)
3. S dng
mi quan h
gia cỏc bt
ng thc:
Vớ d t ng thc ta cú bt .
T ú ta cú th chng minh d dng cỏc BT
Vớ d : t
Ta cú

v
Cng (2) v (3) ri bin

i ta cú:
Vi mt s mi quan h nh
trờn ta cú nhiu bt. Vỡ vy trong c/m cn s dng khộo lộo quan h ú.
Phn II: BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
( )
1)(2002,2001 = xFx
124003)(2001 = xxFx
2001''
==
x
[ ]
2002,20011)( = xxF
)()( yxzzyxA +++=
1
222
=++ zyx
2121
; AAAzxAzxyzxyA +==++=
2
1
020)(
11
2222
+++++ AAzyxzyx



=++
=++

1
0
222
zyx
zyx
2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
( ) (1 )
2 2 2 2 2
A z x z x y A= + =





=++
=
=

1
0
222
zyx
zx
y
1
2
(1)

1 1
1; ' ' 0
(2)
2 2
1
2
x
A y
z

=





+ = = =

ữ ữ




=


1=++ zxyzxy
20)(
2222
++++ zyxzyx

ac
ac
z
cb
cb
y
ba
ba
x

+
=

+
=

+
= ;;
)2(
2
5
)()()(
)1(2
2
22
2
22
2
22
222

+
+

+
+

+









+
+







+
+

+
ac
ac
cb
cb
ba
ba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
)3(
4
1
)()()(
222


+

+
ac

ca
cb
bc
ba
ab
4
9
)()()(
3
33
3
33
3
33



+


+


ac
ac
cb
cb
ba
ba
13

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
I. S liờn quan gia cỏc bt ng thc trong tam giỏc:
Trong quỏ trỡnh chng minh cỏc BT trong tam giỏc, bng cỏc phộp bin i tng
ng ta cú th tỡm c mi quan h mt thit t nhng bt ng thc cú v hon ton khỏc
nhau.
Vớ d 1: Xột BT (1)
trong ú l di 3 cnh 1 tam
giỏc ; l na chu vi.
CM: Theo BT Cauchy ta cú
Nhõn tng ng theo v
cỏc s khụng õm ta c
suy ra pcm.
Bõy gi ta bin i (1) nh
sau :
(2) l BT mi v hon
ton khỏc so vi (1)
CM (2) nh sau: Ta cú
( l BT c bn)
Tip tc bin i theo hng khỏc
:
(4) l mt BT mi liờn
quan gia cỏc gúc. CM (4) nh sau :
Suy ra pcm.
Tip tc bin i (1) :
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
8
))()((
abc
cpbpap
cba ,,

p
44
)(
))((
44
)(
))((
44
)(
))((
22
22
22
bapcp
apcp
acpbp
cpbp
cbpap
bpap
=
+

=
+

=
+

[ ]
2

2
8
))()((







abc
cpbpap
)2(2
84
.
8
8
.))()(()1(
2
rR
abc
p
R
abc
prabc
p
S
abc
pcpbpapp

)(2
2
1
1
2
3
1coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin4
2
cos
2
cos
2
cos4
sinsinsin2
sinsinsin
sinsinsin2
2
sinsinsin2
sinsinsin2sin
2
1
2

2
dpcmrRCBA
R
r
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
R
r
r
cba
CBAR
prCBARCabS
=++=
==
++
=
++
=
===
2
3
coscoscos ++ CBA
)3(
848
)1(
2
2

2
cba
R
abc
abc
p
R
abc
abc
p
S
++








)4(sinsinsinsinsinsin4 CBACBA ++
2
3
coscoscos
1
2
sin
2
sin
2

sin8
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin)4(
++


CBA
CBA
CBA
CBA
14
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
(5) l mt BT mi
liờn quan n cỏc
ng cao.
Ta bin i (1)
(6) l BT liờn quan n bỏn kớnh ng trũn bng tip v ng cao.
T cỏc bin i ta thy cỏc BT sau l tng ng :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
T (5) v (6) suy ra
(7)

Túm li, gia cỏc BT tam
giỏc trụng rt khỏc nhau nhng li cú mt mi quan h tng ng hoc h qu.
d nh v CM cỏc BT ta thng i t mt h thc hoc mt BT quen thuc ri
bin i v cỏc BT mi, t ú suy ra cỏch CM BT ú khi gp.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
)5(
4
1
4
1111
1
)3()1(
2
2
222
2
R
S
hhhhhh
RS
hhhhhh
R
abcabc
R
abc
cba
accbba
accbba
++

++
++

++

1 8 2 8( )
(1)
( )( )( ) ( )( )( )
p a b c
p a p b p c abc p a p b p c abc
+ +


2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 1 1 1
8
( )( )( )
1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
8
4
2( ) (6)
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca
r r r r r r h h h h h h
S S S S

r r r r r r h h h h h h
+ +

+ +
ữ



+ + + +
ữ


+ +
+ +
+ + + +
( ) ( ) ( ) 1 1 1
8
( )( )( )
1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca
+ +

+ +
ữ

+ + + +
ữ


8
))()((
abc
cpbpap
rR 2
cba
R
abc
++
2
CBACBA sinsinsinsinsinsin4
++
2
2
4
R
S
hhhhhh
accbba
++
)(2
accbbaaccbba
hhhhhhrrrrrr ++++
2
2

8
R
S
rrrrrr
accbba
++
15
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vớ d 2: Ta cú 2 h thc trong tam giỏc
T (1) ta cú th suy ra
cỏc BT
(3)
(4)
Vy t (1) cú
c (3),(4),
(5),(6).
Xut phỏt t (2) ta cú:
T (3) v (9)
(10)
Túm li
t mt s h
thc ta cú th
thy trong nú
n cha nhiu
BT cn
c khai
thỏc.
II. Nhng
phng phỏp chng minh chn lc cỏc BT tam giỏc.
Vic la chn phng phỏp chng minh cỏc BT c bn quen thuc trong tam giỏc

giỳp rỳt ngn thi gian lm bi.
Vớ d 1 : CM BT: (1)
Gii : (1) c CM theo nhiu
phng phỏp, sau õy l phng phỏp ngn gn:
Ta cú
Vớ d 2 : CM BT
(2) c CM n gin nh
sau :
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình





=++
=++
)2(1
222222
)1(
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A

tg
tgAtgBtgCtgCtgBtgA
33++ tgCtgBtgA
33tgAtgBtgC
)6(9)5(
)5(93)4(
222
3
222
++++
++
tgCtgAtgBtgCtgAtgBCtgBtgAtg
CBtgAtgtgtgCtgAtgBtgCtgAtgB
)9(
33
1
222
1
222222222
3
)8(1
2223
1
222
)7(
)7(3
222
3
222222
3

222
3
2
2
222
2

=






++






=






++++
++

=






++






++
C
tg
B
tg
A
tg
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B

tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
A
tg
C

tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
222
27
C
tg
B
tg
A
tgtgCtgBtgA ++
2
33
sinsinsin ++ CBA
2
33
1
2

1
3
2
62
cos
2
1
3
2
2
1
2
sin1
2
cos3
3
2
2
sin1
2
cos3
3
2
2
sin
2
cos
2
cos2sinsinsin
2

22
=






+













+=

++






+













+

=++
CCC

CCCBAC
CBA
)2(
2
3
coscoscos ++ CBA
16
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vớ d 3: CM BT
(3) c cm d dng t (1), nhng ta cng cú th cm (3) nh sau
Vớ d 4: CM BT
Ta cú
Vớ d 5 :
CM
Ta cú
C. KT LUN
Trờn õy l mt s kinh nghim ỳc rỳt trong quỏ trỡnh ging dy hn 30 nm qua, c
bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii. T nhng vn trỡnh by trờn õy cú th rỳt
ra kt lun rng: vic nghiờn cu gii cỏc bi toỏn v bt ng thc i vi hc sinh phi l
mt quỏ trỡnh thng xuyờn v c bit l phi c nghiờn cu chu ỏo ngay t nhng kin
thc c bn lp 10. Trong ú phng phỏp chng minh BT theo sut chng trỡnh t lp
10 v c hon thin lp 12 l tỡm cc tr v GTLN, GTNN ca hm s. BT lng giỏc
trong tam giỏc l mt s vn dng ca BT v cỏc h thc lng trong tam giỏc nhng li n
cha nhng phộp bin i rt tinh vi m ớt ngi cú th thy c.
Mc dự cú th cũn nhiu hn ch nhng tụi hy vng rng ti ny s úng gúp rt tt
cho cỏc bn ng nghip v hc sinh cú th tỡm hiu sõu sc hn v bt ng thc nhm nõng
cao hiu qu trong ging dy v hc tp. Tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca c
gi.
D. TI LIU THAM KHO
1. B sỏch giỏo khoa hp nht nm 2000.

Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
2
cos cos cos 2cos cos 1 2sin
2 2 2
A B A B C
A B C
+
+ + = + =
2sin cos sin 1
2 2 2
C A B C

+
ữ

2
1 3
2sin 1 sin 1 sin 1 sin 1
2 2 2 2 2 2
C C C C

+ + + =
ữ ữ

)3(
8
33
sinsinsin CBA
( )
8

33
3
cos21
8
3
3.
3
sin
cos1
4
1
.
2
1
3
3
sin
)cos1(
2
1
sin.cos)cos(
2
1
sinsinsin
22

+=








++








++=

C
C
C
C
CCCBACBA
)4(
8
1
coscoscos CBA
8
1
)coscos1(
4
1
.
2
1
cos)cos1(
2
1
coscos
2
cos
2
1
coscoscos
2
=+

=
CC
CCCC
BA
CBA
2
3
2
sin
2
sin
2
sin ++
CBA
4
sin21
4
cos
4
sin2
2
sin
2

sin
2
sin
2
BABABACBA +
+
+
=++
2
3
2
3
2
1
4
sin2
4
sin21
4
sin2
2
2
+

+
=
+
+
+

BABABA
17
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
2. B sỏch giỏo khoa-Ban khoa hc t nhiờn-B sỏch th nht-NXBGD 2003.
3. Phng phỏp tỡm GTLN v GTNN ca Phan Huy Khi
4. Ti liu bi dng giỏo viờn THPT chuyờn. Bt ng thc v cỏc vn liờn quan
ca Trn Nam Dung, Nguyn Vn Mu
5. Bt ng thc: suy lun v khỏm phỏ - Phm Vn Thun Lờ V
6. 500 Bt ng thc ca Cao Minh Quang.
7. Sỏng to bt ng thc - Phm Kim Hựng
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
18