bài giảng hình họa

1
Phần 1
HÌNH HỌA
2
Chương 1
Mở đầu
Cơ sở của biểu diễn
3
1.1 Giới thiệu môn học
Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng
trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế.
Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật
thể đều là các vật thể 3 chiều.
Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt
phẳng 2 chiều?
Hình họa
Gaspard Monge
Đối tượng môn học
- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt
phẳng
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng
4
1.2 - Phép chiếu xuyên tâm
a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc
Π và một điểm A bất kỳ.
- Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt
phẳng Π.
*Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu
+ Điểm S gọi là tâm chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của
điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm
A
A
A’
Hình 1.1 Xây dựng phép
chiếu xuyên tâm
S
П
5
- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’.
- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a)
- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b)
A
A’
Hình 1.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm
S
B’
B
C
D
C’=D’
b) Tính chất phép chiếu
S
C’
A’
B’
D’
F’

E’
T’
a)
b)
A
B
E
F
D
C
П
П
6
1.3- Phép chiếu song song
a) Xây dựng phép chiếu
- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s
không song song mặt phẳng Π và một
điểm A bất kỳ trong không gian.
- Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao
của đường thẳng a với mặt phẳng Π.
* Ta có các định nghĩa sau:
+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình
chiếu
+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu
+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song
của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π
theo phương chiếu s
+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của
điểm A
A

A’
Hình 1.3 Xây dựng phép chiếu
xuyên tâm
s
П
a
7
A
A’
Hình 1.4a,b Tính chất phép chiếu song song
s
B’
B
C
D
C’=D’
b) Tính chất phép chiếu
- Nếu đường thẳng AB không song song
với phương chiếu s thì hình chiếu song song
của nó là đường thẳng A’B’
- Nếu CD song song với phương chiếu s
thì hình chiếu song song của nó là một điểm
C’=D’
- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’
+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:
- Nếu MN//QP thì:
- Nếu IK// Π thì:
a)
b)
П

M
M’
M
s
N’
N
Q
P’
Q’
П
M’
P
K’
I’
I
K





=
PQ
MN
Q'P'
N'M'
Q'//P'N'M'




=
IKK'I'
//IKK'I'
MB
AM
B'M'
M'A'
=
8
1.4- Phép chiếu vuông góc
- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc
biệt của phép chiếu song song khi phương
chiếu vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu.
- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính
chất của phép chiếu song song, ngoài ra
có thêm các tính chất sau:
+ Chỉ có một phương chiếu s duy
nhất
+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:
A’B’=AB.cosφ
A’B’ ≤ AB
- Sau đây là những ứng dụng của phép
chiếu vuông góc mà ta gọi là phương
pháp hình chiếu thẳng góc
A
A’
Hình 1.5a,b. Phép chiếu vuông góc
s
П

a
A
A’
s
П
B
B’
φ
a)
b)
9
Chương 2
Biểu diễn liên thuộc
10
2.1 – Điểm
2.1.1– Xây dựng đồ thức của 1 điểm
a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
- Trong không gian lấy hai mặt phẳng
vuông góc nhau П
1
và

П
2
.
- Mặt phẳng П
1
có vị trí thẳng đứng.
- Mặt phẳng П
2

có vị trí nằm ngang.
- Gọi x là giao điểm của П
1
và

П
2
(x = П
1
∩П
2
)
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng
П
1
và

П
2
ta nhận được các hình chiếu A
1
và A
2
- Cố định mặt phẳng П
1
, quay mặt phẳng
П
2
quanh đường thẳng x theo chiều quay
được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П

2

trùng vớiП
1
. Ta nhận được đồ thức của điểm
A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A
1
A
2
A
x
x
AA
1
Π
1
x
A
x
Π
1
Π
2
A

2
Π
2
11
* Các định nghĩa và tính chất
- Mặt phẳng П
1
: mặt phẳng hình chiếu đứng
- Mặt phẳng П
2
: mặt phẳng hình chiếu bằng
- Đường thẳng x : trục hình chiếu
- A
1
: hình chiếu đứng của điểm A
- A
2
: hình chiếu bằng của điểm A
- Gọi A
x
là giao của trục x và mặt phẳng
(AA
1
A
2
)
- Trên đồ thức, A
1
,A
x

, A
2
cùng nằm trên một
đường thẳng vuông góc với trục x gọi là
đường dóng thẳng đứng.
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm
trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A
1
A
2
A
x
x
AA
1
Π
1
x
A
x
Π
1
Π
2
A
2

Π
2
12
* Độ cao của một điểm
- Ta có: gọi là độ cao của
điểm A
- Quy ước:
+ Độ cao dương : khi điểm A nằm
phía trên П
2
+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía
dưới П
2
.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ cao dương: A
1
nằm phía trên
trục x
+ Độ cao âm: A
1
nằm phía dưới trục x
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ
thống hai mặt phẳng hình chiếu
a)
b)
A
A
1
A

2
A
x
x
AA
1
Π
1
x
A
x
Π
1
Π
2
A
2
Π
2
AAAA
21x
=
13
* Độ xa của một điểm
- Ta có: gọi là độ xa của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa dương : khi điểm A nằm
phía trước П
1
+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía

sau П
1
.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa dương: A
2
nằm phía dưới
trục x
+ Độ xa âm: A
2
nằm phía trên trục x
*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ
thức là một cặp hình chiếu A
1
, A
2
. Ngược lại
cho đồ thức A
1
A
2
, ta có thể xây dựng lại
điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy
đồ thức của một điểm A có tính phản
chuyển
Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một
điểm trên hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu
x
A

x
A
2
Π
2
AAAA
12x
=
a)
A
A
1
A
2
A
x
x
Π
1
Π
2
b)
A
1
14
b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng
П
1’
П

2
,П
3
vuông góc với nhau từng đôi một.
+ Gọi x là giao điểm của П
1
và

П
2
(y = П
1
∩П
2
)
+ Gọi y là giao điểm của П
2
và

П
3
(y = П
2
∩П
3
)
+ Gọi z là giao điểm của П
1
và

П
3
(z = П
1
∩П
3
)
- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П
1
,

П
2
và

П
3
ta nhận được các hình chiếu A
1
, A
2
và

A
3
- Cố định mặt phẳng П
1
, quay mặt phẳng П
2
quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П

3
quanh
trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a
cho đến khi П
2
trùng với П
1
,П
3
trùng với П
1
. Ta
nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt
phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)
Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu
b)
A
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2

x
A
A
1
A
x
A
3
A
2
A
y
A
z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y

y
O
A
z
A
y
A
y
O
15
b) Các định nghĩa và tính chất
Bổ xung thêm các định nghĩa
và tính chất sau:
- Mặt phẳng П
3
: mặt phẳng hình chiếu cạnh
- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu
- A
3
: hình chiếu cạnh của điểm A
- Gọi
- Trên đồ thức:
+ A
1
, A
x
, A
2
cùng nằm trên một đường
thẳng vuông góc với trục x gọi là đường

dóng thẳng đứng
+ A
1
, A
z
, A
3
cùng nằm trên một đường
thẳng song song với trục x gọi là đường
dóng nằm ngang.
Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu
b)
A
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2
x
A
A
1

A
x
A
3
A
2
A
y
A
z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z

A
y
A
y
O
)AA(AzAz
)AA(AyAy
)AA(AxAx
31
32
21
∩=
∩=
∩=
16
b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)
* Độ xa cạnh của một điểm
- Ta có:
gọi là độ xa cạnh của điểm A
- Quy ước:
+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm
phía bên trái П
3
+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm
phía bên phải П
3
.
- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:
+ Độ xa cạnh dương: A
3

nằm phía bên
phải trục z
+ Độ xa cạnh âm: A
3
nằm phía bên trái
trục z
Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba
mặt phẳng hình chiếu
b)
A
A
1
x
A
x
A
2
a)
A
2
Π
2
x
A
A
1
A
x
A
3

A
y
A
z
Π
1
Π
3
z
y
Π
1
Π
3
Π
2
A
3
z
y
y
O
A
z
A
y
A
y
O
AAOAAAAA

3x2y1z
===
A
2
17
2.1.2 – Một số định nghĩa khác
a) Góc phần tư
- Hai mặt phẳng hình chiếu П
1
, П
2
vuông góc với nhau chia không gian thành bốn
phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.
+ Phần không gian phía trước П
1
, trên П
2
được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I)
+ Phần không gian phía sau П
1
, trên П
2
được gọi là góc phần tư thứ hai. (II)
+ Phần không gian phía sau П
1
, dưới П
2
được gọi là góc phần tư thứ ba. (III)
+ Phần không gian phía trước П
1

, dưới П
2
được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)
Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV
Hình 2.3. Góc phần tư I, II, III, IV
A
2
Π
1
Π
2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A
2
A
1
Π
2
Π
1
Hình 2.4. Các điểm A,B,C,D thuộc các
góc phần tư I, II, III, IV
B
2
B
1

C
1
C
2
D
2
D
1
18
b) – Mặt phẳng phân giác
- Có hai mặt phẳng phân giác
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1)
+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành
các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)
Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc
phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)
Hình 2.5. Mặt phẳng phân giác I và II
A
2
Π
1
Π
2
( I )
( IV )
( III )
( II )
x
A

2
A
1
Π
2
Π
1
Hình 2.6. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc
mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)
(Pg1)
(Pg2)
B
1
B
2
C
1
=D
2
D
1
=C
2
x
A
x
B
x
C
x

D
x
19
2.1.3 Bài toán: Tìm hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức
Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.
Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức
x(+)
A
x
A
2
A
3
z(+)
y(+)
O
A
z
A
y
A
y
A
1
Δ
Δ’
y(+)
x(+)
B
x

B
2
B
3
z(+)
y(+)
O
B
z
B
y
B
y
B
1
Δ
Δ’
x(+)
C
x
C
1
C
3
z(+)
y(+)
O
C
z
C

y
C
y
C
2
Δ
Δ’
x(+)
D
x
D
2
D
3
z(+)
y(+)
O
D
z
D
y
D
y
D
1
Δ
Δ’
y(+)
x(+)
E

x
=E
2
E
3
z(+)
y(+)
O
E
z
=E
y
E
1
Δ
Δ’
a)
d)
c)
e)
b)
y(+)
y(+)
y(+)
B
y
E
y
20
2.2 Đường thẳng

2.2.1 Biểu diễn đường thẳng
Vì một đường thẳng đươc xác định bởi
hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;
- l
1
đi qua A
1
B
1
gọi là hình chiếu đứng
của đường thẳng l
- l
2
đi qua A
2
B
2
gọi là hình chiếu bằng
của đường thẳng l
Hình 2.7. Đồ thức của một đường thẳng
A
1
B
1
l
1
l

2
B
2
A
2
)B,B(B
)A,A(A
B AAB
21
21
≠∈
,l
B
A
1
B
2
Π
1
Π
2
A
x
A
2
B
1
l
1
l

2
l
Chú ý: Nếu từ hình chiếu l
1
và l
2
của đường
thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất
trong không gian thì đồ thức đường thẳng có
tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần
cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l
21
2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng
a)- Trường hợp tổng quát
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh
là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu
bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.
Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng
A
1
l
1
l
2
A
2
A
1
Π
1

Π
2
A
x
A
2
l
1
l
2
l
x



∈
∈
⇔



∏
∈
22
11
3
A
A
)//(
A

l
l
l
l
22
b)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П
3
)
Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П
3
được gọi là đường cạnh
A
2
x
F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O
F
x
F
2
E

3
z
y
F
3
E
1
y
A
x
O
F
1
p
1
p
2
E2
1
α
β
p
3
p
3
Π
2
E
F
2

F
1
p
1
p
p
2
E
2
E
1
Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p
1
, p
2
ta không xác định được đường
thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.

α
23
PQIQPI
PQIQPI
333
333
∉⇔∉
∈⇔∈
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện
Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)
Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:
Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh

y
x
Q
2
P
3
z
y
Q
3
P
1
O
P
2



∈
∈
222
111
QPI
QPI
I
1
I
3
I
2

Q
1
24
PQI
QI
PI
QI
PI
PQI
QI
PI
QI
PI
22
22
11
11
22
22
11
11
∉⇔≠
∈⇔=
Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Nếu:
Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh
- Qua P
1
kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với
P

1
Q
1
một góc α tùy ý (nên lấy α<90
o
).
- Trên t lấy:
- Vẽ


22
221
QPQI
IPIP
=
=
I
Q
x
Q
2
P
1
P
2
I
1
I
2
I’

1
Q
1
t
α
11
Q Q//I' I
PQI
∉⇔
- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau
11
I'I ≠
PQI∈⇔
- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau
11
I'I ≡
25
c- Áp dụng. Tìm vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu
(Hình 2.12)
- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П
1
⇒ M
1
∈l
1
, M
2
∈x
- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П

2
⇒ N
1
∈x

, N
2
∈l
2
Hình 2.12. Vết của đường thẳng
N
1
M
2
Π
1
Π
2
x
N
2
M
1
l
1
l
2
l
N
1

l
1
l
2
x
M
1
N
2
M
2