phát triển một phương pháp số phục vụ tính toán các bài toán địa kỹ thuật

PHÁT TRIỂN MỘT PHƯƠNG PHÁP SỐ
PHỤC VỤ TÍNH TOÁN CÁC BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT

TS. Nguyễn Minh Tuấn
*
, ThS. Bùi Thanh Tùng
**

(*)
Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam (VAST); Email:

(**)
Công ty Tư vấn Địa kỹ thuật; Email:

Tóm tắt: Báo cáo trình bày một phương pháp tính toán số dựa trên sự kết hợp
phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phần tử biên. Phương pháp này có thể áp
dụng hiệu quả trong các tính toán các bài toán địa kỹ thuật khi miền vô hạn được thay
thế dưới dạng các phương trình tích phân trên biên, trong khi các phần tử hữu hạn được
sử dụng tại lân cận công trình. Một ví dụ tính toán bài toán địa kỹ thuật sử dụ
ng kỹ thuật
này sẽ được thực hiện trong báo cáo.
Từ khóa: phương trình tích phân, phần tử biên, phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng, …
1. Giới thiệu
Ngày nay, các phương pháp số luôn là một phần không thể thiếu trong tính toán các
bài toán kỹ thuật, bởi vì các công thức chính xác chỉ có thể áp dụng được trong một số
trường hợp cụ thể của bài toán. Trong trường hợp chung, khi dạng hình học của công
trình là b
ất kỳ, tải trọng phức tạp, …, các tính toán chỉ có thể được thực hiện với độ chính
xác cao với sự hỗ trợ của các phương pháp số.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều ưu điểm, đã được phát triển và sử

dụng rộng rãi để mô hình hóa các bài toán kỹ thuật nói chung và các bài toán địa kỹ thuật
nói riêng. Tuy nhiên, các bài toán liên quan đến miền vô hạn thường sử dụ
ng các điều
kiện biên tại những khoảng cách hữu hạn hoặc vô hạn để thỏa mãn một số điều kiện biên
về chuyển vị, ứng suất, … Các kết quả tính toán thường phụ thuộc các kích thước của
miền mô hình hóa và để nhận được các kết quả tin cậy, các kích thước lưới PTHH cần
phải lấy đủ lớn, dẫn đến số lượng phần t
ử tính toán tăng lên, làm ảnh hưởng đến khả năng
và thời gian tính toán, đặc biệt là trong các trường hợp tính toán ba chiều.
Được phát triển từ giữa thế kỷ trước, phương pháp phần tử biên (PTB) tuy có một số
nhược điểm, lại sở hữu những ưu điểm mà các phương pháp số khác không có được. Vì
vậy, cho đến nay, phương pháp PTB vẫn là một trong các phương pháp số được sử dụng
hiệ
u quả nhất, cùng với phương pháp PTHH.
Kết hợp PTHH/PTB cho phép tận dụng ưu điểm và tránh được các nhược điểm của
mỗi phương pháp, trong đó miền vô hạn được thay thế dưới dạng các phương trình tích
phân trên biên, trong khi các phần tử hữu hạn được sử dụng tại những vùng mà các
trường kết quả biến đổi mạnh như lân cận công trình ngầm, móng,… sẽ cho phép xem xét
các ứng xử phứ
c tạp của vật liệu, sự không đồng nhất, tính phân lớp của vật liệu,…
Cho đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu dựa trên phương pháp kết hợp
PTHH/PTB [1,3,4,8]. Bài viết này giới thiệu phương pháp kết hợp dựa trên phương pháp
độ cứng, trong đó một ma trận độ cứng tương đương được xây dựng cho các phần tử biên
- thay thế cho miền vô hạn, sau đó được ghép nối với ma trận độ cứng của các phần tử
hữu hạn. Đây là phương pháp được sử dụng phổ biến do có ưu điểm là cho phép tận dụng
một số lượng lớn chương trình phần tử hữu hạn có s
ẵn.
2. Công thức kết hợp PTHH/PTB

Hình 1. Lưới kết hợp PTHH/PTB

Kí hiệu
()
P
THH
và
()
P
TB
tương ứng là các chỉ số xác định các ma trận PTHH và
PTB. Các ma trận được viết như sau [4,5,8]:
[]
()
[]
()
[]
(
)
PTHH PTHH PTHH
KU F=
(1)
cho các PTHH, và:
[]
(
)
[]
(
)
[]

(
)
PTB PTB PTB
KU F=
(2)
cho các PTB.
Trong đó
[
]
[
]
[
]
K
,U ,F
là các ký hiệu tương ứng đối với ma trận độ cứng, vectơ chuyển
vị và vectơ lực tại các nút.
Tuy nhiên, phương pháp phần tử biên được dựa trên các công thức tích phân biên
luôn dẫn đến các ma trận độ cứng “đầy” và không đối xứng. Vì vậy, việc ghép nối không
thể được thực hiện do các ma trận PTHH có tính chất “dải” (band) và đối xứng. Để khắc
phục điểm này, ma trận trận độ
cứng tương đương cho các PTB cần phải được đưa về
dạng đối xứng. Ma trận độ cứng tổng thể cho toàn hệ (hình 1) được nhận bằng cách ghép
nối các ma trận PTHH và PTB [8] và dẫn đến hệ phương trình:
[]
()
[]
()
[]
()

[]
()
[]
()
[]
()
PTHH PTHH PTHH
PTB PTB PTB
K0uF
0K u F
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(3)
Việc giải hệ phương trình (3) cho phép nhận được các giá trị chuyển vị tại tất cả các
nút điểm.
3. Rời rạc hóa năng lượng và xây dựng ma trận độ cứng tương đương cho các
phần tử biên
Từ quan điểm của phương pháp phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng có liên quan đến
năng lượng đàn hồi
e
W
trong phần tử [5,8]. Sự đóng góp năng lượng đàn hồi cho tập hợp
các PTB được viết dưới dạng tổng quát [8]:
[
]
[
]

[
]
=
t
e
2W U Q T
(4)
Trong đó
[][]
U,T
tương ứng là các vectơ chứa các thành phần chuyển vị và lực bề
mặt tại nút,
[]
Q
là ma trận được liên quan đến hình học của các phần tử.
Mặt khác, từ mối quan hệ giữa lực và chuyển vị trên biên [5]:
[
]
[
]
[
]
[
]
=
H
UGT
(5)
dẫn đến:
[

]
[
]
[
]
[
]
−
=
1
TGHU
(6)
Thay (6) vào (4), dẫn đến:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
−

==
t1 t
e
2W U Q G H U U K U
(7)
Trong đó ma trận độ cứng:
[
]
[
]
[
]
[
]
−
=
1
KQGH
(8)
Do tính chất của phương pháp phương trình tích phân, ma trận
[
]
K
là không đối
xứng. Phương trình năng lượng (7) có thể được viết dưới dạng đối xứng của
[
]
K
:
[][][]

()
[]
=+
tt
e
1
2W U K K U
2
(9)
Và dẫn đến ma trận độ cứng tương đương cho tập hợp các phần tử biên
[]
()
PTB
K
:
[]
()
[][]
()
PTB t
1
K
KK
2
=+
(10)
Một chương trình tính toán ma trận độ cứng tương đương cho các phần tử biên đã
được chúng tôi phát triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB. Ma trận độ cứng tương
đương này có thể được ghép nối với ma trận độ cứng PTHH khi sử dụng các chương
trình PTHH để tính toán các bài toán địa kỹ thuật.

4. Ví dụ áp dụng
Xem xét một ví dụ về công trình ngầm có đường kính
D
10m
=
, chiều dày lớp vỏ hầm
d0.4m=
, được đặt tại độ sâu
H20m
=
. Các đặc trưng cơ - lý của vật liệu lấy như sau:
Bảng 1. Các đặc trưng cơ - lý của vật liệu
TT Vật liệu
3
(MN /m )
γ

E(MPa)
ν
c(MPa)

=
0
()
ϕφ

1 Nền (Mohr - Coulomb) 0.02 100 0.33 0.2 30
2 Bê tông (đàn hồi tuyến tính) 0.025 10000 0.30 - -

a. Lưới PTHH/PTB

b. Ứng suất
y
σ






Hình 2. Lưới tính toán kết hợp PTHH/PTB và ứng suất
y
σ



Hình 3. Chuyển vị bề mặt trong các pha tính toán

Vì lý do đối xứng, chỉ một nửa mô hình được xem xét. Việc mô hình hóa kết hợp
PTHH/PTB được thực hiện bằng chương trình PTHH CESAR-LCPC, trong đó miền
xung quanh công trình ngầm được mô hình hóa bằng các phần tử hữu hạn dạng tam giác
và tứ giác, biên dưới và biên phải của miền được thay thế bằng các phần tử hữu hạn, đặc
biệt có ma trận độ cứng tương đươ
ng được xây dựng trong mục 3. Trong bài viết này,
một lưới tính toán có kích thước 20m x 40m được sử dụng như trong hình 2.a.
Hình 2.b đưa ra các trường ứng suất, trong đó giá trị lớn nhất 0.800731MPa. Hình 3
đưa ra đường biểu diễn chuyển vị bề mặt gây ra do việc xây dựng công trình ngầm. Giá
trị chuyển vị lớn nhất đạt được tại trục đối xứng là v
max

= 6.92 x 10
-3
m.
5. Kết luận
Báo cáo đã trình bày một phương pháp tính toán kết hợp các PTHH với các PTB, cho
phép tận dụng ưu điểm của phương pháp PTB để hỗ trợ cho nhược điểm của phương
pháp PTHH khi xem xét đến miền vô hạn trong việc mô hình hóa.
Phương pháp kết hợp PTHH/PTB có thể được áp dụng cho các bài toán khác trong
tính toán địa kỹ thuật như nền - móng, hoặc các bài toán xây dựng theo các pha (thi công
hố đào hoặc công trình ngầm theo các pha,…).

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Aour B., Rahmani O. and Nait-Abdelaziz, 2007. A coupled FEM/BEM approach
and its accuracy for solving crack problems in fracture mechnics. International Journal
of Solids and Structures, 44, 2523-2539.
[2] Berker A.A. (1992). The Boundary Element Method in Engineeing- A complete
course. McGraw-Hill International (UK) Limited.
[3] Bonnet G., Seghir A., Corfdir A., 2009. Coupling BEM with FEM by direct
computation of the boundary stiffness matrix. Computer Method in Applied Mechanics
and Engineering 198, 2439-2445.
[4] Bonnet G., Corfdir A., Nguyen M.T. (2014). On the solution of exterior plane
problems by the boundary element method: a physical point of view. Engineering
Analysis with Boundary Elements 38,1, 40-48.
[5] Bonnet M. (1995). Équations intégrales et éléments de frontière. CNRS
ÉDITION/EYROLLES.
[6] Constanda C. (1997). The boundary integral equation method in plane elasticity.
Proceedings of the American Mathematical Society 123~(11), 3385 3396.
[7] Leung K.L., Zavareh P.B. (1995). 2-D elastostatic analysis by a symmetric
BEM/FEM scheme. Eng. Analysis with Boundary Elements 15, 67-78.
[8] Nguyen M.T., Bonnet G. (2010). Contribution à la formulation symétrique du

couplage équation intégrale- éléments finis. Thèse de doctorat, Université Paris-Est
(France).
[9] Panet M., Guénot A. (1982). Analysis of convergence behind the face of a
tunnel. Symposium International Tunneling 82, Brighton, pp.197-204.