cs-môđun và môđun hầu như m-nội xạ

LỜI NÓI ĐẦU
Môđun nội xạ là một đối tượng nghiên cứu của lý thuyết vành và
môđun. Vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết vành và môđun trở nên
hiển nhiên vào những năm 1960, 1970 và lâu hơn nữa. Trong suốt quá
trình phát triển của lý thuyết, nó được rất nhiều nhà toán học quan tâm và
do đó nó không ngừng được phát triển. Người ta đã mở rộng khái niệm
này thành khái niệm môđun M–nội xạ, môđun tự nội xạ. Sau đó nó lại tiếp
tục mở rộng thành các khái niệm môđun gần M–nội xạ, môđun M–nội xạ
cốt yếu. Rồi vào những năm 80, những nhà toán học như M. Harada (Nhật
Bản), B. Muller (Đức) đã đóng góp nhiều công trình trong việc nghiên cứu
môđun π–nội xạ (hay môđun tựa liên tục) và tổng quát hơn là CS–môđun.
Vào năm 1988, Yoshitomo Baba (Nhật Bản) đã đưa ra khái niệm môđun
hầu như M–nội xạ. Vào năm 2008, Saunder K. Jain, nhà toán học Hoa Kì
tiếp tục công bố những kết quả mới về môđun hầu như M–nội xạ trong bài
báo mang tên:
“A note on almost injective modules”.
Từ đầu thập niên 90 trở lại đây, nhiều bài toán về CS- môđun và
những dạng tổng quát khác của môđun nội xạ được đặt ra và nghiên cứu
rộng rãi. Đó là việc khảo sát cấu trúc, thiết lập điều kiện đặc trưng và cho
những ứng dụng vào lý thuyết vành đối với một số lớp môđun có liên hệ
gần với tính CS. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài luận
văn là:
“ CS-môđun và môđun hầu như M-nội xạ”
Mục đích của bản luận văn này là tìm hiểu môđun hầu như M–nội
xạ, đặc biệt là những môđun hầu như M–nội xạ không phân tích được và
tìm hiểu mối liên hệ giữa CS–môđun với môđun hầu như M–nội xạ.
Đề tài nhằm trình bày một cách hệ thống chi tiết những kiến thức nền tảng
về môđun nội xạ làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn.
Luận văn ngoài phần mở đầu, phần kết luận, được bố cục thành ba
chương nội dung:
Chương 1: Trình bày những kiến thức chuẩn bị, các khái niệm của môđun

như: Môđun,môđun con cốt yếu, môđun Uniform, môđun nội xạ, môđun con
bù. Kết quả chủ yếu là chiều Uniform và về sự phân tích môđun nội xạ.
Chương 2: Trình bày về môđun M-nội xạ, môđun tự nội xạ, CS-môđun,
môđun tựa liên tục,… gọi chung là các dạng yếu hơn của tính chất nội xạ
và xem xét mối liên hệ giữa chúng. Trong đó quan trọng là định lí 2.6.7
phát biểu một tính chất đặc trưng của môđun tựa liên tục được S. K. Jain
đưa ra.
Chương 3: Là chương chính của đề tài nghiên cứu về môđun hầu như N-
nội xạ là mở rộng của môđun nội xạ, cùng với vành các tự đồng cấu của
môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được và quan trọng nhất là
mối liên hệ giữa môđun hầu như M-nội xạ và CS-môđun. Trong chương
này chúng tôi xem xét tính chất CS đối với f.c.uniform và tính chất của
å
-CS môđun thể hiện qua mệnh đề 3.1.2 và định lí 3.3.8. Mệnh đề và
định lí này dã được A.Alahmadi và S.K.Jain đưa ra trong các công trình
nghiên cứu của họ.
Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự lao động nghiêm túc của
bản thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Thuận.
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Duy
Thuận, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số và Lý thuyết số, ban chủ
nhiệm khoa Toán, Phòng quản lý Sau đại học trường ĐHSP Hà Nội, cùng
các thầy cô giáo phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp
nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động
viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố
gắng, nỗ lực. Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn
nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý chân tình của thầy cô và các bạn để
bản luận văn được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn !
Chương I
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MÔĐUN NỘI XẠ
Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết
quả đã biết về môđun nội xạ, bao nội xạ môđun con cốt yếu,…Ta quy ước
nếu nói: Môđun con M mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là môđun phải M.
Các vành đều được giả thiết là có đơn vị, các môđun đều là Unita (Nghĩa
là
.1
R
x x=
với mọi
R
x MÎ
).
1.1 Môđun con cốt yếu
Khái niệm môđun con cốt yếu được sử dụng xuyên suốt trong luận văn.
1.1.1. Định nghĩa.
1) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con cốt yếu của M
nếu với mọi
B MÌ
thoả mãn
0A B =Ç
thì
0B =
.
Kí hiệu
*
A MÌ
.

Ta còn gọi A là môđun con lớn của M.
2) Đồng cấu
: A M
a
®
được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu
*
Im M
a
Ì
,
1.1.2. Mệnh đề. M là R môđun,
A B MÌ Ì
. Khi đó,
*A MÌ
khi và chỉ
khi
*A BÌ
và
*B MÌ
.
1.1.3. Mệnh đề. Giả sử A là môđun con của M khi đó
A M*Ì
khi và chỉ
khi
m M m r R mr, 0, , 0" ι$ι
mà
mr AÎ
.
1.1.4. Mệnh đề. Cho họ

( )
i
A
các môđun con của M
1)
1
* , 1, , *
n
i i
A M i n A M" =Ì Þ Ç Ì
2)
, , * ,
n
i i i i
i I
M M M M A M i
Î
= "ÅÌÌ
.
Khi đó,
1
1
n
n
i i
A A A= = Å
å
và
*A MÌ
.

1.2 Phần bù
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử A là môđun con của M .
1) Môđun con
*
A
của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong
M nếu
*
A A M+ =
và
*
A
là môđun con tối tiểu có tính chất
*
A A M+ =
.
2) Môđun con A’ của M được gọi là phần bù theo giao (hay
Ç
-bù ) nếu
' 0A A =Ç
và A’ là môđun con tối đại có tính chất
' 0A A =Ç
.
1.2.2. Mệnh đề. Mọi môđun con của môđun M đều có bù giao.
1.2.3. Mệnh đề.
1) Nếu
,A M B M
⊂ ⊂
và
0A B

=
I
. Khi đó :
( )
*
' / /B A A B B M B= ⇔ + ⊂
.
2) Nếu
'B A
=
và
"A B
=
thì A’ bù giao đối với
"A
trong M.
3) Nếu
"A A
⊂
thì
*
"A A
⊂
.
1.3 Môđun uniform
Tính chất uniform quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ và các dạng
suy rộng của tính chất này. Bởi vậy môđun uniform có mặt hầu kháp nơi
trong luận văn. Đi cùng với nó là khái niệm chiều uniform.
1.3.1. Định nghĩa. Môđun con M được gọi là môđun Uniform (thuần
nhất) nếu mỗi môđun con khác không của M đều là môđun con cốt yếu

của M.
(Nói cách khác, M là Uniform nếu mọi môđun con khác không A và B ta
có
A BÇ ¹ Æ
).
1.3.2. Ví dụ.
a) Mỗi R môđun đơn là uniform.
b) Mỗi môđun con khác không của một môđun uniform là uniform.
Thật vậy, giả sử
, 0N M NÌ ¹
.
Mọi
B MÌ
mà
0N B =Ç
nên
0B =
. Vì nếu
0B ¹
thì do giả thiết M là
Uniform ta sẽ có:
0N BÇ ¹
(mâu thuẫn với giả thiết
0N B =Ç
).
Vậy
*N MÌ
.
Nhận xét. Mỗi R môđun M chứa một môđun con uniform N, N cốt yếu
trong M thì M là uniform.

Chứng minh. Giả sử
*N MÌ
, N uniform thì M uniform:
0 , .U V M¹ Ì
Vì
* 0N M N UÌ Þ Ç ¹
và
0N VÇ ¹
.
Khi đó
( ) ( )
N U N V 0Ç Ç Ç ¹
suy ra
( )
N U V 0Ç Ç ¹
hay
U V 0Ç ¹
.
Vậy M là uniform.
1.3.3. Mệnh đề. M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trực
tiếp vô hạn các môđun con khác không. Khi đó M chứa một môđun con
uniform.
1.3.4. Mệnh đề. Giả sử
*N MÌ
, với
1 2

n
N U U U= ÅÅÅ
.

(
i
U
là uniform trong M,
1,i n" =
). Thế thì mỗi môđun con
0K ¹
của M
là cốt yếu trong M khi và chỉ khi
0
i
K UÇ ¹
với
1,i n" =
.
1.3.5. Mệnh đề. Giả sử M là một R-môđun và
*
1
n
i
i
U M
=
Å Ì
, trong đó mọi
i
U
đều là môđun uniform. Khi đó,
1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất n
hạng tử.

2) Nếu
*
1
k
i
i
V M
=
Å Ì
, với
i
V
là những môđun uniform thì k=n.
Chứng minh.
1) Giả sử tồn tại trong M tổng trực tiếp:
1 2 1
, 0
n i
K K K K
+
Å Å Å ¹
, (
1, , 1i n= +
),
i
K MÌ
.
Thế thì
2 1
*

n
K K M
+
Å Å Ë
( vì có
1
0K ¹
, sao cho
( )
1 2 1
0
n
K K K
+
=Ç Å Å
).
Theo mệnh đề 1.3.4 tồn tại
( 1, , )
i
U i n=

sao cho:
( )
2 3 1
0
n i
K K K U
+
=Å Å Å Ç
.

Giả sử
1i
U U=
, ta có tổng trực tiếp trong M:
1 2 1

n
U K K
+
Å Å Å
Ta lại có:
1 3 1
*
n
U K K M
+
Å Å Å Ë
(Vì
( )
1 3 1 2
0
n
U K K K
+
=Å Å Å Ç
).
Do đó tồn tại
j
U
sao cho:

( )
1 3 1
0
j n
U U K K
+
=Ç Å Å Å
với (
1j ¹
)
Chẳng hạn
2j
U U=
,
khi đó ta có tổng trực tiếp:
1 2 3 1

n
U U K K
+
Å Å Å
.
Sau n bước như vậy ta có tổng trực tiếp:
1 2 1

n n
U U U K
+
Å Å Å Å
.

Suy ra
( )
1 1
0
n n
U U K
+
=Å Å Ç
.
Vì
1
*
n
U U MÅ Å Ì
nên
1
0
n
K
+
¹
(Trái với giả thiết
1
0
n
K
+
¹
).
Vậy 1) được chứng minh.

2) Nếu
1
*
k
V V MÅ Å Ì
. Ta có theo 1)
k n£
. Mặt khác thay đổi vai trò
của
i
V
thành
i
U
và lại áp dụng 1) ta có
n k£
. Vậy
n k=
.
Như vậy với môđun
0M ¹
ta có môđun M không chứa một tổng trực tiếp
vô hạn các môđun con khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số nguyên
dương n sao cho M chứa một môđun cốt yếu dạng:
1 2

n
U U UÅ Å Å
, U
i

uniform (i=1,…,n).
1.3.6. Định nghĩa. Số n bất biến với môđun M trong mệnh đề 1.3.5 gọi là
chiều uniform của môđun M. Kí hiệu UdimM.
1.3.7. Mệnh đề. Cho
M
và
N
là các R – môđun,
N
là môđun con của
M

1)
*N MÌ
khi đó
U Mdim
hữu hạn khi và chỉ khi
U Ndim
hữu hạn và
trong trường hợp này
U M U Ndim dim=
.
2) Giả sử
N
và
M N/
có chiều uniform hữu hạn thì
M
cũng có chiều
uniform hữu hạn và

U M U N U M Ndim dim dim /= +
.
1.4 Môđun nội xạ
Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, môđun nội xạ là điểm xuất
phát đi đến những vấn đề nghiên cứu của luận văn. Mặc dù không là đối
tượng nghiên cứu chính nhưng tính chất nội xạ xuất hiện thường xuyên
trong các khảo sát của chúng tôi.
1.4.1. Định nghĩa. Môđun
Q
được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu
: A B
a
®
và mọi đồng cấu
: A Q
b
®
, tồn tại đồng cấu
: B Q
g
®
thoả
mãn
ga b
=
.
Q
α
0

b
A
Khi đó ta nói
g
là một mở rộng của
b
theo đơn cấu
a
.
1.4.2. Định lí. Đối với môđun
Q
các mệnh đề sau tương đương:
i)
Q
là môđun nội xạ
ii) Mỗi đơn cấu
: A B
a
®
đều cảm sinh một toàn cấu:
* : ( , ) ( , )Hom B Q Hom A Q
a
®
xác định bởi
( )
* f f
a a
=
, với
( )

,f Hom B QÎ
.
iii) Mỗi đơn cấu
: Q M
a
®
đều chẻ ra.
1.4.3. Định lý (Tiêu chuẩn Baer). Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ
khi mỗi R đồng cấu
I E®
từ một iđêal I của R (xem như R-môđun) vào
E luôn mở rộng được thành một đồng cấu
R E®
.
1.4.4. Định lý. Giả sử E là R môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) E là nội xạ.
(ii ) Mỗi dãy khớp
0 ' 0E M M
j
® ¾ ¾® ® ®
các R môđun đều chẻ ra.
(iii) Mỗi dãy khớp
0 ' 0E M M
j
® ¾ ¾® ® ®
các R môđun, với M’ là môđun xyclic đều chẻ ra.
(iv) Nếu dãy các R môđun
0 ' '' 0N N N
a
® ¾ ¾® ® ®

là khớp thì dãy
( ) ( ) ( )
0 ", , ', 0Hom N E Hom E N Hom N E® ® ® ®
là khớp.
1.5 Bao nội xạ
Khái niệm bao nội xạ có liên quan chặt chẽ với môđun nội xạ và mở
rộng cốt yếu của nó.
1.5.1. Định nghĩa. Cho
M
là một R môđun. Một R môđun E được gọi là
bao nội xạ của
M
và kí hiệu là
( )
E M
nếu E là R môđun nội xạ và là một
mở rộng cốt yếu của M.
1.5.2. Định lý. Cho E là một R môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương
đương:
(i) E là R môđun nội xạ.
(ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức là nếu E’ là một mở rộng
cốt yếu của E thì
'E E@
.
1.5.3. Hệ quả. Cho E là một mở rộng của R môđun M. Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
(i) E là một bao nội xạ của M.
(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.
1.5.4. Định lý. Mỗi R môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa,
giả

sử E và E’ là những bao nội xạ của M khi đó tồn tại một R đẳng cấu
: 'f E E®
sao cho
( )
f x x=
với mọi
x MÎ
.
1.6 Môđun nội xạ không phân tích được
Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết môđun là vấn đề phân
tích một môđun thành tổng trực tiếp các môđun con.
1.6.1. Định nghĩa.
1) Một R môđun khác không
M
được gọi là không phân tích được, nếu
M

chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là 0 và
M
.
2) Một R môđun con
N
của
M
được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại
hai môđun con
1 2
,N N
chứa thực sự N sao cho
1 2

N N N= Ç
.
1.6.2. Định lý. Cho E là một R môđun nội xạ khác không. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
(i) E là không phân tích được.
(ii) E là bao nội xạ của mọi R môđun con khác không của E.
(iii) Môđun không của E là bất khả quy.
(iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất.
(v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó .
1.6.3. Hệ quả. Cho R môđun M và N là một R môđun con của M. Khi đó
bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun con bất khả
quy của M.
1.6.4. Hệ quả. Bao nội xạ của một R môđun đơn là môđun không phân
tích được.

Chương II
MÔĐUN A-NỘI XẠ VÀ CS-MÔĐUN
Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, nội dung chương này bao gồm các
kết quả nghiên cứu tính chất nội xạ suy rộng. Môđun tựa nội xạ và môđun
tựa liên tục đã được đặc trưng bởi tính chất bất biến qua một tập thích hợp
những tự đồng cấu của bao nội xạ.
2.1 Môđun A-nội xạ
2.1.1. Định nghĩa. Cho A và M là các R-môđun. Môđun M được gọi là A-
nội
xạ nếu và chỉ nếu với môđun con X của M và với mỗi đồng cấu
: X M
j
®
,
j

có thể mở rộng đến đồng cấu
: A M
y
®
.
M
A

ϕ
ψ
X
2.1.2. Mệnh đề. Giả sử
A B C
a b
0 ® ¾ ¾® ¾ ¾® ® 0
là một dãy khớp
ngắn. Nếu M là B-nội xạ thì M cũng là A-nội xạ và C-nội xạ.
2.1.3. Mệnh đề. M là môđun A-nội xạ và
B AÌ
. Khi đó M là B-nội xạ và
/A B
-nội xạ.
2.1.4. Mệnh đề. Cho A và M là những R - môđun. M là A-nội xạ khi và
chỉ
khi M là aR-nội xạ với mỗi
a AÎ
.
2.1.5. Mệnh đề. M là R-môđun, M là
i
i I

A
Î
Å
-nội xạ khi và chỉ khi M là
i
A
-
nội
xạ, với mọi
i IÎ
.
2.1.6. Mệnh đề. Giả sử môđun M là A-nội xạ,
*
N MÌ
. Khi đó các điều
kiện sau tương đương:
(i) N là A –nội xạ.
(ii)
( )
A N
a
Ì
,
( , )Hom A M
a
" Î
.
2.1.7. Mệnh đề. Môđun
i
i I

M
Î
Õ
là A–nội xạ khi và chỉ khi M
i
là A
_
nội xạ với
mỗi
i IÎ
.
2.1.8. Định lý. Đối với các R –môđun A và M các mệnh đề sau tương
đương
(i) M là A-nội xạ.
(ii)
( ) ( )
( )
( )
, ,f A M f Hom E A E M"Ì Î
.
(iii) Nếu dãy
K A B0 ® ® ® ® 0
là dãy khớp ngắn thì dãy
( )
( )
( )
, , ,Hom B M Hom A M Hom K M0 ® ® ® ® 0
cũng là dãy khớp ngắn.
(iv) M là K nội xạ với mọi môđun xyclic
K AÌ

.
2.2 Môđun tự nội xạ
Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson-Wong đưa ra
2.2.1. Định nghĩa. Một môđun M gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu M là M-
nội xạ.
2.2.2. Hệ quả. Mọi môđun nội xạ đều là môđun tựa nội xạ.
2.2.3. Hệ quả. M là tự nội xạ
( )
f M MÛ Ì
với mọi
( )
( )
f End E MÎ
.
2.2.4. Mệnh đề. Cho các môđun
M
1
và
M
2
. Khi đó
M M
1 2
Å
là tựa nội xạ
khi và chỉ khi
i
M
là
j

M
-nội xạ (
, ,i j = 12
).
2.2.5. Hệ quả. Giả sử
i
i I
M M
Î
= Å
, khi đó M là tựa nội xạ khi và chỉ khi
i
M

là
j
M
-nội xạ với
, ,i j n= 1
.
2.2.6. Định nghĩa. Cho R-môđun M,
N MÌ
thì N gọi là môđun con hoàn
toàn bất biến của M nếu
( ) ( )
,f N N f End M"Ì Î
.
2.2.7. Mệnh đề. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun con
hoàn toàn bất biến của môđun
( )

E M
.
2.3 Môđun con đóng
2.3.1. Định nghĩa. Môđun con N của môđun M được gọi là đóng trong M
nếu mọi mở rộng cốt yếu của nó trong M đều trùng với nó.
2.3.2. Mệnh đề. Giả sử N là một môđun con của M, L là bù giao của N
trong M, K là bù giao của L trong M và
N KÌ
. Khi đó,
1)
K L M
*
Å Ì
.
2) K là môđun con đóng trong M.
2.3.3. Mệnh đề. Giả sử K, L là những môđun con của môđun M và
K LÌ
.
Nếu
L K M K
*
Ì
thì
L M
*
Ì
.
2.3.4. Định lí. Giả sử K, L, N là những môđun con của môđun M và
K LÌ
. Thế thì

1) Tồn tại một môđun con đóng H của M sao cho
N H
*
Ì
.
2) Môđun con K đóng trong M khi và chỉ khi với mỗi môđun
*
Q MÌ
sao
cho
K QÌ
thì
Q K M K
*
Ì
.
3) Nếu L là môđun con đóng trong M thì
L K
đóng trong
M K
.
4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.
( )
' 'K K L+ =Ç 0
.
2.4 CS-Môđun
Ở phần trên chúng ta nghiên cứu các tính chất nội xạ suy rộng là
những trường hợp đặc biệt của tính chất CS.
2.4.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là một CS-môđun (hay một
môđun Extending) nếu nó thoả mãn điều kiện sau: Mỗi môđun con N của

M đều là môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M
Vành R được gọi là CS-vành bên phải nếu môđun
R
R
là CS-môđun.
2.4.2. Ví dụ. Mỗi môđun nửa đơn là CS-môđun vì mỗi môđun con là tổng
trực tiếp. Hơn nữa, mỗi môđun uniform là CS-môđun vì mỗi môđun con
khác không là cốt yếu.
2.4.3. Mệnh đề. Đối với R-môđun M, hai điều kiện sau đây tương đương:
(i) M là CS- môđun
(ii) Mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M.
2.4.4. Mệnh đề. M là môđun không phân tích được. Khi đó, M là CS–
môđun khi và chỉ khi M là môđun uniform.
2.4.5. Hệ quả. Mỗi hạng tử trực tiếp của một CS-môđun là một CS-môđun.
2.4.6. Định nghĩa. Họ các môđun
( )
i
i I
M
Î
và
M
2
được gọi là nội xạ tương
hỗ nếu
i
M
là
j
M

-nội xạ với mọi
i j¹
.
2.4.7. Bổ đề. Giả sử
M M M
1 2
= Å
. Thế thì
M
1
là
M
2
-nội xạ khi và chỉ khi
với mọi môđun con
N MÌ
sao cho
N M
1
=Ç 0
đều tồn tại một môđun
con
'M MÌ
sao cho
'M M M
1
= Å
và
'N MÌ
.

2.4.8. Mệnh đề. Giả sử
M
1
và
M
2
là những CS-môđun và
M M M
1 2
= Å
.
Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi mỗi môđun con đóng
K MÌ
thoả
mãn điều kiện
K M
1
=Ç 0
hoặc
K M
2
=Ç 0
đều là một hạng tử trực tiếp
của M.
2.4.9. Định lí. Giả sử
n
i
i
M M
=1

= Å
với các
i
M
là những môđun nội xạ tương
hỗ. Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi mọi
i
M
là CS-môđun.
2.5 Uniform CS-môđun
2.5.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là một uniform CS-môđun
(f.c.uniform CS-môđun) nếu mỗi môđun con uniform (f.c.uniform) đều là
môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M.
2.5.2. Mệnh đề. Giả sử M là một uniform CS-môđun và
K MÌ
là
môđun con đóng có chiều uniform hữu hạn. Khi đó K là một hạng tử
trực tiếp của M.
2.5.3. Định lí. Giả sử udim M=n <
¥
. Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ
khi M là uniform CS-môđun.
2.6 Môđun tựa liên tục
Khái niệm môđun tựa liên tục được Utumi đưa ra. Đây là một trường
hợp đặc biệt của CS-môđun.
2.6.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun tựa liên tục nếu nó là
một CS – môđun và với hai hạng tử trực tiếp
M
1
,

M
2
của M mà
M M
1 2
=Ç 0
thì
M M
1 2
Å
cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
2.6.2. Mệnh đề. Mọi môđun Uniform đều là môđun tựa liên tục.
2.6.4 Bổ đề. Cho môđun M,
f EndMÎ
. Nếu f luỹ đẳng thì:
( ) ( )
M f M f M= -Å1
.
Ngược lại, nếu
M M M
1 2
= Å
thì tồn tại
( )
e End MÎ
, e luỹ đẳng sao cho:
( )
M e M
1
=

và
( )
M e M
2
= -1
.
2.6.5 Định lý . Cho R - môđun M. Các mệnh đề sau tương đương:
( )
i
M là môđun tựa liên tục
( )
ii

M X Y= Å
với mỗi cặp môđun con X, Y của M mà chúng là phần
bù của nhau.
( )
iii
( )
f M MÌ
với mỗi luỹ đẳng
( )
( )
f End E MÎ
.
( )
iv
Nếu
( )
i

i I
E M E
Î
= Å
thì
i
i I
M M E
Î
= Å I
.
2.6.6. Định lý. Giả sử
( )
E E M=
. Các mệnh đề sau tương đương:
(i) M là môđun tựa liên tục.
(ii) Nếu
,N N M
1 2
Ì
và
N N
1 2
=Ç 0
thì tồn tại
,M M M
1 2
Ì
sao cho
M M M

1 2
= Å
, trong đ ó
i i
N MÌ
,
,i = 12
.
(iii) Nếu
,N N M
1 2
Ì
và
N N
1 2
=Ç 0
thì tồn tại
( )
f End MÎ
sao cho
N Kerf
1
Ì
và
( )
N Ker f
2
-Ì 1
.
(iv) Nếu

,N N M
1 2
Ì
và
N N
1 2
=Ç 0
thì đơn cấu sau chẻ ra:
( ) ( )
/ /M M N M N
1 2
® Å
( )
,x x N x N
1 2
+ +®
.
( )
( ) ( )
f x f y= + -1
.
2.6.7. Định lí. Đối với môđun M các mệnh đề sau tương đương:
i) M là một môđun tựa liên tục.
ii) Với hai môđun con bất kì
M
1
,
M
2
của M mà

M M
1 2
=Ç 0
thì mỗi phép
chiếu chính tắc
:
i i
p M M M
1 2
Å ®
, (i=1; i=2) đều mở rộng được thành
một tự đồng cấu của M.
Chứng minh.
( ) ( )
i iiÞ
Giả sử M là môđun tựa liên tục,
,M M
1 2
là hai môđun con bất kì của M
sao cho:
M M
1 2
=Ç 0
,
:
i i
p M M M
1 2
Å ®
,

{ }
;i = 12
, là phép chiếu chính tắc.
Ta chứng minh
i
p
mở rộng được thành tự đồng cấu của M.
Nếu
M
1
= 0
thì
p
1
= 0
. Do đó nó mở rộng được thành tự đồng cấu 0 của M.
Nếu
M
2
= 0
, thì
M
p
1
2
= 1
. Do đó nó mở rộng được thành tự đồng cấu
M
1
.

Nếu
,M M
1 2
¹ 0 ¹ 0
thì tồn tại những hạng tử trực tiếp
,K K
1 2
của M sao
cho:
* *
,M K M K
1 1 2 2
Ì Ì
.
Khi đó
K K
1 2
=Ç 0
.
Thật vậy nếu
x K K
1 2
0 ¹ Î I
thì tồn tại
r RÎ
sao cho
xr K
2
0 ¹ Î
.

Vì
xr K
2
0 ¹ Î
nên tồn tại
s RÎ
sao cho
xrs M
2
0 ¹ Î
.
Do đó
xrs M M
1 2
=0 ¹ Î 0I
.
Mâu thuẫn này chứng tỏ
x = 0
. Vậy
K K
1 2
=Ç 0
.
Vì
M
là tựa liên tục nên
K K
1 2
Å
là hạng tử trực tiếp của M, chẳng hạn

M K K L
1 2
= ÅÅ
.
Gọi
:q M K
1 1
®
là phép chiếu chính tắc, và
:u K M
1 1
®
là phép nhúng
chính tắc.
:f u q M M
1 1 1
= ®
.
Với
x x M M
1 2 1 2
+ ÎÅ
,
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
f x x u q x x u x x p x x
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2
+ = + = = = +
.
Vậy

i
f
là mở rộng của
i
p
.
Tương tự
p
2
mở rộng được thành một tự đồng cấu của M.
( ) ( )
ii iÞ

Giả sử
( )
ii
được thoả mãn. Để chứng minh M là môđun tựa liên tục
ta sẽ chứng minh điều kiện
( )
iv
trong định lý 2.6.6 được thoả mãn:
Giả sử
,M M
1 2
là hai môđun con của M mà
M M
1 2
=Ç 0
, ta chứng minh
rằng đồng cấu

( ) ( )
: / /h M M M M M
1 2
® Å
,
xác định bởi
( )
( )
,h x x M x M
1 2
= + +
, với
x MÎ
, bị chẻ ra
Theo
( )
ii
, phép chiếu
:
i i
p M M M
1 2
Å ®
mở rộng được thành tự đồng cấu
i i
f M M: ®
.
Chọn
f f
2 1

= -1
, với
x x M M
1 2 1 2
+ ÎÅ
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f x x f x x x x f x x
x x x x p x x
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
1 2 1 2 2 1 2
+ = - + = + - +1
= + - = = +
Ta xác định ánh xạ như sau
( ) ( )
: / /k M M M M M
1 2
Å ®
theo quy tắc
( )
( )
( )
k x M y M f x f y,
1 2 2 1
+ + = -
Đó là một ánh xạ vì nếu có:

,x M y M

1 2
Î Î
thì
( )
( )
( ) ( )
,f x p x f y p y
2 2 1 1
= + = = + =0 0 0 0
.
Với
x MÎ
, ta có:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
kh x k x M x M f x f x f f x
f f x x
,
1 2 1 2 1 2
1 1
= + + = - = -
= + - =1
nghĩa là
M

kh = 1
.
Vậy M là tựa liên tục.
Chương 3
MÔĐUN HẦU NHƯ N-NỘI XẠ
Nội dung chính của chương này là nghiên cứu về môđun hầu như N-
nội xạ và các tính chất liên quan đến khái niệm này
3.1 Môđun hầu như N-nội xạ
Môđun hầu như N-nội xạ có định nghĩa khá phức tạp. Trong phần
này chúng tôi đưa ra mệnh đề 3.1.2, mệnh đề này đã được đưa ra trong bài
báo của A.Alahmadi và S.K.Jain .
3.1.1. Định nghĩa. Giả sử M và N là hai R- môđun. M được gọi là môđun
hầu như N-nội xạ nếu với mỗi môđun con X của N và mỗi đồng cấu
:f X M®
thì hoặc là tồn tại một đồng cấu
:g N M®
sao cho biểu đồ (1)
sau đây giao hoán hoặc tồn tại một hạng tử trực tiếp
1
0N ¹
của N và một
đồng cấu
1
:h M N®
sao cho biểu đồ sau đây giao hoán:
0
X
1 2
N N N= ⊕
M

N
1
f
h
p
i
0
N
X
M
g
f

(1) (2)
Trong đó i, p lần lượt là phép nhúng và phép chiếu chính tắc.
Nếu M là hầu như M - nội xạ thì ta nói M là môđun hầu như tự nội xạ.
Vành R được gọi là vành hầu như tựa nội xạ nếu nó là R-môđun hầu như
tự nội xạ.
3.1.2. Mệnh đề. Mỗi môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được
đều là môđun tựa liên tục, do đó là môđun uniform.
Chứng minh. Ta có M là hầu như tự nội xạ không phân tích được nên M
chỉ có hai hạng tử trực tiếp là 0 và M.
Giả sử
1 2
,M M
là hai môđun con của M mà
1 2
0M M =Ç
.
Khi đó phép chiếu chính tắc

1 2
:
i i
p M M MÅ ®
đều mở rộng thành tự đồng
cấu của M.
Thật vậy, nếu có một
0
i
M =
, chẳng hạn
1
0M =
.
Khi đó
1
0p =
,
2
2
1
M
p =
.
Thế thì mở rộng của
1
p
là đồng cấu 0, mở rộng của
2
p

là
1
M
. Giả sử
1 2
0, 0M M¹ ¹
và
i
p
không mở rộng được thành tự đồng cấu của M.
Vì M là môđun hầu như tự nội xạ nên tồn tại đồng cấu
:h M M®
sao cho
1
1
1
M
hp =
. Suy ra
1
p
là đơn cấu.
Nhưng
1
p
không phải là đơn cấu vì
1 2
0Kerp M= ¹
.
Mâu thuẫn này chứng tỏ

1
p
mở rộng được thành tự đồng cấu của M.
Tương tự đối với
2
p
.
Vậy M là môđun tựa liên tục.
Do đó mỗi môđun con khác không của M là môđun con cốt yếu của M
(định nghĩa môđun tựa liên tục, điều kiện 1). Do vậy là môđun uniform
(Định nghĩa môđun uniform).
3.1.3. Định lí. Giả sử M và N là hai môđun uniform. Thế thì M là môđun
hầu như N-nội xạ khi và chỉ khi với mỗi
( ) ( )
:f E N E M®
ta có
( )
f N MÍ

hoặc f là một đẳng cấu và
( )
1
f M N
-
Í
.
3.1.4. Định lý. Giả sử R là một vành không có phần tử luỹ đẳng không
tầm thường. Các mệnh đề sau đây tương đương:
(i) R là vành hầu như tự nội xạ.
(ii) Với mỗi phần tử

( )
R
c E RÎ
thì
c RÎ
hoặc tồn tại một
r RÎ
sao cho
1cr =
.
3.2 Vành các tự đồng cấu của môđun hầu như tự nội xạ và không
phân tích được
Tính chất địa phương của vành các tự đồng cấu của một môđun ảnh
hưởng sâu sắc đến sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp đồng thời có
quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ.
3.2.1. Định nghĩa.
1) Một vành được gọi là vành địa phương nếu tập hợp các phần tử
không khả nghịch của nó đóng kín đối với phép cộng.
2) Môđun M được gọi là môđun uniserial nếu tập hợp các môđun con
của nó là tập sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm.
3) Vành R được gọi là vành uniserial bên trái nếu môđun trái
R
R
là
môđun uniserial.
3.2.2. Mệnh đề. Giả sử M là môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích
được và f, g
( )
S End M=Î

1) Nếu Ker(f)
¹
Ì
Ker(g) thì Sg
¹
Ì
Sf.
2) Nếu Ker(f)= Ker(g) thì Sf
Í
Sg hoặc Sg
Í
Sf.
3.2.3. Mệnh đề. Nếu M là môđun uniserial và hầu như tự nội xạ thì
( )
R
S End M=
là vành uniserial bên trái.
3.2.4. Mệnh đề. Giả sử M là môđun không phân tích được, hầu như tự nội
xạ
và S =End(M). Thế thì iđêan trái H sinh bởi các đơn cấu không phải là
đẳng cấu trong S là một iđêan hai phía.
3.2.5. Định lí. Nếu M là môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được
thì End(M) là vành địa phương.
3.3 Mối liên hệ giữa môđun hầu như M-nội xạ và CS-môđun.
Đây là phần nội dung chính của bản luận văn. Trong phần này đưa ra
định lí 3.3.8 đưa ra điều kiện để
I
M M
a
a

Î
= Å
là
-
å
CS môđun hữu hạn và
i
EndM
là vành địa phương và một ví dụ về một môđun có vành các tự
đồng cấu là vành địa phương nhưng không phải là
-
å
CS môđun hữu
hạn .
3.3.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun hoàn toàn không phân
tích được nếu vành các tự đồng cấu của nó là vành địa phương.
3.3.2. Định nghĩa.
1) Giả sử
I
M M
a
a
Î
= Å
. Môđun con N của M được gọi là hữu hạn chứa
trong tổng trực tiếp ứng với cách phân tích
I
M M
a
a

Î
= Å
nếu tồn tại
một số hữu hạn những
1
a
,
2
a
,…
n
a
trong I sao cho
1
i
n
i
N M
a
=
Ì Å
.
Viết tắt là f.c môđun.
2) Ta nói rằng M có tính chất CS đối với f.c môđun uniform nếu mỗi
f.c. môđun uniform đều là môđun cốt yếu của một hạng tử trực tiếp
của M.
3) Giả sử
0 x M¹ Î
và
1 2

n
i i i
x x x x= + + +
với
0
k
i
x ¹
. Ta nói x có độ
dài n. Nếu
( ) ( )
1

n
i i
ann x ann x= =
thì x được gọi là nhẵn.
Tập hợp các phần tử nhẵn của M được kí hiệu bởi
S
(M). Môđun con
của M được gọi là nhẵn nếu mọi phần tử của nó đều nhẵn.
3.3.3. Mệnh đề. Giả sử
F
là tập con của
S
(M) thoả mãn điều kiện (*) và
j IÎ
. Nếu mỗi môđun con xyclic sinh bởi một phần tử x thuộc
F

j
MÇ
có
thể mở rộng cốt yếu đến một hạng tử trực tiếp của M thì
j
M
là môđun
uniform.
3.3.4. Định lý. Giả sử
F
như trong mệnh đề 3.3.3 và nếu
1
m
i
i
x
=
Î
å
F
, thì
i j
x x+ Î
F
đối với mọi
, ,
i i
i j x MÎ
. Thế thì các mệnh đề sau tương đương:

( )
i
Mọi môđun con xyclic của M sinh bởi một phần tử trong
F
đều có thể
mở rộng cốt yếu đến một hạng tử trực tiếp của M.
( )
ii
Đối với mọi cặp
( )
,i j
, mỗi môđun con xyclic sinh bởi một phần tử
trong
F
( )
i j
M MÇ Å
có thể mở rộng cốt yếu đến một hạng tử trực tiếp của
i j
M MÅ
.
( )
iii
Mỗi
i
M
là uniform và với mỗi cặp
( )
,i j
với

,
i i j j
x M x MÎ Î
sao cho
i j
x x+ Î
F
, đều tồn tại một đơn cấu
:
i j
g M M®
hoặc
:
j i
g M M®
sao
cho
( )
i j
g x x=
hoặc
( )
j i
g x x=
.
3.3.5. Định lí. Giả sử mỗi
i
M
đều là môđun uniform. Các mệnh đề sau
tương đương:

( )
i
M có tính chất CS đối với môđu con uniform, nhẵn.
( )
ii
Với mỗi cặp
( )
,i j
và mỗi đơn cấu f tuỳ ý từ môđun con
i
A
của
i
M
vào
j
M
đều mở rộng được đến một đơn cấu từ
i
M
đến
j
M
hoặc
1
f
-
mở rộng
được đến một đơn cấu từ
j

M
đến
i
M
.
3.3.6. Định lí. Giả sử
{ }
I
M
a
a
Î
là tập những môđun uniform hoàn toàn
không
phân tích được, mỗi
M
a
đều là uniform và
I
M M
a
a
Î
= Å
. Thế thì hai là điều
kiện sau là tương đương:
( )
i
M có tính chất CS của môđun f.c.uniform.
( )

ii
Với mỗi cặp tuỳ ý
a
,
b
trong I,
M
a
là hầu như
M
b
-nội xạ.
3.3.7. Định nghĩa. CS-môđun M được gọi là
-
å
CS môđun hữu hạn
nếu tổng trực tiếp hữu hạn những bản sao của M cũng là một CS-môđun.
3.3.8. Định lí. Giả sử
1
n
i
i
M M
=
= Å
, với các
i
M
là những môđun không phân
tích được. Các mệnh đề sau là tương đương:

(i)
M MÅ
là CS-môđun và
( )
i
End M
là vành địa phương với mọi i.
(ii) M là môđun
CS-
å
hữu hạn và
( )
i
End M
là vành địa phương với mọi i.
(iii)
i
M
là hầu như
j
M
-nội xạ với mọi
{ }
, 1,2, i j nÎ
.
Chứng minh.
( ) ( )
i iiÞ

Chỉ cần chứng minh M là

-
å
CS hữu hạn.
Vỡ
M M
l CS mụun nờn theo h qu 2.4.5, chng 2, M l CS
mụun.
Do ú M cú tớnh cht CS i vi f.c.mụun uniform.
Vỡ th M tho món iu kin
( )
ii
ca nh lý 3.3.4. Nhng
( )
k
M
cng tho
món iu kin y.
Vỡ th li theo nh lớ ny
( )
k
M
li cú tớnh cht CS i vi f.c mụun
uniform.
Vỡ
dimU M < Ơ
nờn
( )
dim
k
U M < Ơ

nờn vi mi mụun con uniform
cng l f.c.mụun uniform.
Do ú theo nh lớ 2.5.3, chng 2,
( )
k
M
l CS-mụun.
( ) ( )
ii iiiị

Vỡ M l mụun
-
ồ
CS hu hn nờn
M M
l CS mụun. Do ú,
nú cú tớnh cht CS i vi f.c.mụun uniform.
Tc l nú tho món iu kin
( )
i
ca nh lớ 3.3.4.
Do ú
i
M
l mụun hu nh
j
M
ni x vi mi
,i j
m

, 1,i j n=
( ) ( )
iii iị

Gi s
( )
iii
c tho món, ngha l iu kin
( )
ii
trong nh lớ 3.3.4
i vi M c tho món, nú cng tho món i vi
M M
.
Do ú
M M
cú tớnh cht CS i vi f.c.mụun uniform v hin
nhiờn l uniform CSmụun.
p dng nh lớ 2.5.3, chng 2 ta cú
M M
l CS mụun .
Theo gi thit
i
M
l mụun hu nh
j
M
ni x vi mi cp
( )
,i j

.
Th thỡ mi
i
M
cng l mụun hu nh t ni x.
Theo nh lớ 3.2.6,
( )
i
End M
l vnh a phng.
3.3.9. Vớ d.
Gi s
( )
1 2
, , , ,
n
F Q x x x=
,
( )
2 2 2
1 2
, , , ,
n
S Q x x x=
v
0
F
A
S
F

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
:f F Sđ
xỏc nh bi
( )
f a a=
vi mi
a Qẻ
v
( )
2
i i
f x x=
.
t:
0
, '
'
( )
k

R k k F
k
f k
ỡ ỹ
ổ ử
ù ù
ù ù
ữ
ỗ
ù ù
ữ
ỗ
= ẻ
ớ ý
ữ
ỗ
ữ
ù ù
ỗ
ữ
ố ứ
ù ù
ù ù
ợ ỵ
.
Th thỡ R l CS- mụun trờn R, cú vnh cỏc t ng cu l vnh a
phng nhng khụng phi l mụun
-
ồ
CS hu hn.