một số vấn đề về giải tích trên đa tạp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN









Đề tài:
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ
GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: Sư phạm Toán







Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:
ThS. Đặng Văn Thuận Trần Văn Phúc
Lớp: Sp Toán 01-K31
MSSV: 1050059

Cần Thơ, Tháng 5 năm 2009

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version


Lời cảm ơn

Được làm luận văn tốt nghiệp để hoàn thành khóa học
là niềm vinh hạnh đối với một sinh viên, càng vinh hạnh hơn
khi em được làm luận văn với sự hướng dẫn rất nhiệt tình của
Thầy Đặng Văn Thuận. Sau một thời gian nổ lực làm việc
cuối cùng em đã hoàn thành luận văn. Em xin tỏ lòng biết ơn
sâu sắc và xin gửi những lời chúc tốt lành đến:

o Cha mẹ, gia đình đã yêu thương nuôi nấng em
nên người.
o Tất cả Thầy cô kính mến đã dạy em từ trước
đến nay. Đặc biệt, em vô cùng biết ơn Thầy
Đặng Văn Thuận đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ
em hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
o Tất cả các bạn bè, người quen đã nhiệt tình

giúp đỡ. Đặc biệt là các bạn lớp Sư phạm Toán
khóa 31.

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi
những khiếm khuyết. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý
báu từ quý Thầy cô và các bạn.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
MỤC LỤC
Ï-Ò
A - PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… 1
B - PHẦN NỘI DUNG
Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
0.1. Hàm và tính liên tục .………………………………………………3
0.2. Phép tính vi phân ………………………………………………… 3
0.3. Phép tính tích phân .……………………………………………… 6
Chương 1: TÍCH PHÂN THEO CÁC XÍCH
1.1. Một số kiến thức cơ bản về đại số ……………………………… 9
1.2. Một số kiến thức cơ bản về hình học …………………………… 22
1.3. Trường và dạng ………………………………………………… 24
1.4. Tích phân theo các xích ………………………………………… 29
1.5. Bổ đề Poăngcare ………………………………………………….31
Bài tập chương 1 ………………………………………………………33
Chương 2: TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP
2.1. Đa tạp khả vi …………………………………………………… 40
2.2. Trường và dạng trên đa tạp ………………………………………46
2.3. Định lý Stoke trên đa tạp …………………………………………52
2.4. Phần tử thể tích ………………………………………………… 55
2.5. Các định lý cổ điển ……………………………………………….58
Bài tập chương 2 ………………………………………………………60
C - PHẦN KẾT LUẬN ………………………………………………………….69
D - TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………… 70

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

1
A - PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hiện nay Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ, với phương pháp
nghiên cứu mới các khái niệm của Giải tích hàm nhiều biến như ánh xạ khả vi,
phép tính vi phân, tích phân các dạng vi phân, đa tạp, công thức Stoke trên đa tạp…
đã được trình bày lại một cách chính xác, rõ ràng, chặt chẽ và hiện đại. Quyển sách
Giải tích trên đa tạp của M.Xpivak khá hay và khá nổi tiếng trình bày các vấn đề của
Giải tích theo quan điểm hiện đại. Do các vấn đề ông viết khá cô đọng nên gây một số
khó khăn cho người đọc. Mặt khác tài liệu tham khảo về Giải tích trên đa tạp bằng
tiếng Việt khá hạn hẹp. Nhờ sự gợi ý và tận tình hướng dẫn của Thầy Đặng Văn Thuận
nên em đã chọn đề tài “Một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp” để hoàn thành luận văn
tốt nghiệp.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận văn nhằm tìm hiểu lý thuyết về tích phân theo các xích; tích phân trên
đa tạp và giải các bài tập cơ bản và điển hình. Ngoài ra còn giúp em có cơ hội củng cố
lại những thức về Hình học, Đại số, đặc biệt là Giải tích hàm nhiều biến và giúp em
làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của Toán học.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là
phân tích, tổng hợp, so sánh. Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu về Giải tích trên đa tạp.
Sau đó, phân tích và so sánh để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề.
IV. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn trình bày một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp gồm các phần sau:
Chương 0: Kiến thức chuẩn bị
Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về phép tính
vi phân và phép tính tích phân làm nền tảng cho các chương sau.

Chương 1: Tích phân theo các xích
Chương này trình bày các vấn đề cơ bản về Đại số như tích tenxơ trên
không gian vectơ, luân phiên, phép nhân ngoài, định hướng, phần tử thể tích, tích
vectơ trong không gian
n
R
; các vấn đề cơ bản về Hình học như hình lập phương kỳ dị,
xích kỳ dị; trường và dạng; tích phân theo các xích, định lý Stoke và bổ đề Poăngcare;
một số bài tập cơ bản và điển hình.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

2

Chương 2: Tích phân trên đa tạp
Chương này trình bày khái niệm đa tạp, đa tạp có biên; trường và dạng trên
đa tạp; tích phân trên đa tạp, định lý Stoke trên đa tạp; các định lý cổ điển như Định lý
Green, Định lý Gauss-Ostrogradski…; một số bài tập cơ bản và điển hình.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

3
B - PHẦN NỘI DUNG
Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

0.1. HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC
Định nghĩa 0.1.1
Hàm
mn
f RR →:
còn được gọi là hàm vectơ
n

biến là một quy tắc biến mỗi
n
x
R∈ thành một điểm nào đó thuộc
m
R
, ký hiệu là
(
)
xf
.
Cách viết
mn
Af RR →⊂:
được hiểu là
(
)
xf
chỉ xác định với
A
x
∈
,
A
được
gọi là miền xác định của hàm
f
.
Nếu
mn

gf RR →:,
thì các hàm
g
f
fggfgf ,,, −+
được xác định giống như
trường hợp một chiều. Nếu
mn
Af RR →⊂:
,
pm
Bg RR →⊂:
thì hàm hợp
fg

được xác định bởi đẳng thức
(
)
(
)
(
)
xfgxfg
=

có miền xác định là
(
)
BfA
1−

∩
.
Hàm
mn
Af RR →⊂:
xác định
m
hàm tọa độ R
→
Aff
m
:, ,
1
nhờ
đẳng thức
(
)
(
)
(
)
(
)
xfxfxf
m
, ,
1
=
. Ngược lại, với
m

hàm bất kỳ
R
→
Aff
m
:, ,
1

luôn xác định duy nhất hàm
mn
Af RR →⊂:
. Ta ký hiệu
(
)
m
fff , ,
1
=
. Đặc biệt
nếu
nn
RR →
:
π là ánh xạ đồng nhất, tức
(
)
xx
=
π
thì các hàm tọa độ

i
π
được gọi là
phép chiếu thứ
i
.
Định nghĩa 0.1.2
Ta gọi giới hạn của hàm
f
khi
x
dần tới
a
bằng
L
, ký hiệu là
(
)
Lxf
ax
=
→
lim
được định nghĩa như sau

(
)
(
)
{

}
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
<
−
∀
>
∃
>
∀
⇔
=
→
LxfaxxLxf
ax
,:0,0lim .
Hàm
f
được gọi là liên tục tại
a
nếu
(
)
(
)

afxf
ax
=
→
lim .
Hàm
mn
Af RR →⊂:
được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi
A
x
∈
.

0.2. PHÉP TÍNH VI PHÂN
Định nghĩa 0.2.1
Hàm
mn
f RR →:
được gọi là khả vi tại
n
a
R∈ nếu tồn tại duy nhất ánh xạ
tuyến tính
mn
RR →
:
λ sao cho

(

)
(
)
(
)
0lim
0
=
−−+
→
h
hafhaf
h
λ
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

4
Khi đó ánh xạ
λ
được gọi là đạo hàm của hàm
f
tại
a
, ký hiệu là
(
)
aDf .
Ta có thể định nghĩa đạo hàm
(

)
aDf đối với cả những hàm
f
chỉ xác định
trên một tập mở chứa
a
. Ta nói rằng
f
khả vi trên tập
A
nếu
f
khả vi tại mọi điểm
A
a
∈
. Hàm
mn
Af RR →⊂:
được gọi là khả vi nếu nó có thể mở rộng thành một
hàm khả vi trên một tập mở nào đó chứa
A
.
Định lý 0.2.1
i) Nếu
mn
f RR →:
là hàm hằng thì
(
)

n
aaDf R∈∀= ,0 .
ii) Nếu
mn
f RR →:
là ánh xạ tuyến tính thì
(
)
n
afaDf R∈∀= , .
iii) Nếu
(
)
m
fff , ,
1
=
thì
f
khả vi tại
a
khi và chỉ khi
i
f
khả vi tại
a
. Khi đó
(
)
(

)
(
)
(
)
aDfaDfaDf
m
, ,
1
=
.
iv) Nếu
mn
gf RR →:,
khả vi tại
a
thì

(
)
(
)
(
)
(
)
aDgaDfagfD
±
=
±

;

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
aDgafaDfagafgD
+
=
.
Ngoài ra, nếu
(
)
0
≠
ag
thì

()
(
)
(

)
(
)
(
)
()()
2
ag
aDgafaDfag
a
g
f
D
−
=








.
Định lý 0.2.2
Nếu
mn
f RR →:
khả vi tại
a

và
pm
g RR →:
khả vi tại
(
)
af
thì hàm hợp
pn
fg RR →:
khả vi tại
a
và
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
aDfafDgagfD .
=
 .
Định nghĩa 0.2.2
Giả sử
RR →
n

f :
và
(
)
n
n
aaa R∈= , ,
1
. Nếu tồn tại

(
)
(
)
h
aafahaaf
nni
h
, ,, ,, ,
lim
11
0
−
+
→

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng thứ
i
của hàm
f

, ký hiệu là
(
)
afD
i
.
Nếu
R
R
→
:
g
xác định bởi công thức
(
)
(
)
n
axafxg , ,, ,
1
=
thì đạo hàm
thông thường của hàm
g
tại điểm
i
a chính là đạo hàm riêng
(
)
afD

i
, tức là

(
)
(
)
ii
agafD '
=
.
Nếu
f
có đạo hàm riêng thứ
i
tại mọi
n
x
R∈ thì ta sẽ có hàm đạo hàm
RR →
n
i
fD :
. Đạo hàm riêng thứ
j
của
fD
i
tại điểm
x

, ký hiệu là
(
)
xfD
ij
, tức là

(
)
(
)
(
)
xfDDxfD
ijij
=
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

5
Nếu fD
ij
và fD
ji
liên tục trên một tập mở chứa
a
thì fDfD
jiij
=
. Hàm

fD
ij
được gọi là đạo hàm riêng (hỗn hợp) cấp hai của hàm
f
. Đạo hàm riêng
cấp cao được định nghĩa tương tự. Với điều kiện thích hợp ta có thể chứng minh sự
bằng nhau của các đao hàm riêng (hỗn hợp) cấp cao. Nếu
f
có đạo hàm riêng mọi cấp
thì thứ tự của
k
ii , ,
1
trong
fD
k
ii
1
không quan trọng, khi đó
f
được gọi là hàm thuộc
lớp
∞
C
.
Định lý 0.2.3
Cho
mn
f RR →:
,

(
)
m
fff , ,
1
=
. Nếu
f
khả vi tại
n
a
R∈
thì
(
)
afD
ji
tồn tại
đối với mọi
mjni ,1,,1 ==
. Ngược lại, nếu các đạo hàm riêng
(
)
xfD
i
tồn tại trong
một tập mở chứa
a
và liên tục tại
a

thì f khả vi tại
a
.
Định lý 0.2.4
Nếu
RR →⊂
n
Af :
đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) tại điểm trong
a
của
A

và
(
)
afD
i
tồn tại thì
(
)
niafD
i
,1,0 ==
.
Định nghĩa 0.2.3
Cho hàm
mn
f RR →:
khả vi tại

n
a
R∈ . Ma trận của ánh xạ tuyến tính
(
)
aDf

đối với các cơ sở chính tắc của
n
R
và
m
R
được gọi là ma trận Jacôbi của hàm
f

tại
a
, ký hiệu là
(
)
af '
. Do vậy ta có
()()
(
)
(
)
(
)

()()()
()()()














==
afDafDafD
afDafDafD
afDafDafD
aDfaf
nnnn
n
n




'
21

22221
11211
.
Định lý 0.2.5
Giả sử
pn
f RR →:
(
)
np
≤
là một hàm khả vi liên tục trên một tập mở chứa
điểm
(
)
n
n
xxx R∈, ,
1
. Nếu
(
)
0
=
xf
và
n
p
×
ma trận

(
)
(
)
xfD
ji
có hạng
p
. Khi đó
tồn tại tập mở
n
U
R⊂
và hàm khả vi
n
U
h
R→
:
có hàm ngược khả vi và

(
)
(
)
npnn
xxxxhf , ,, ,
11 +−
=


.
Định nghĩa 0.2.4
Giả sử
V
U
,
là các tập mở trong
n
R
. Hàm khả vi
V
U
h
→
:
có hàm ngược
khả vi
U
V
h
→
−
:
1
sẽ được gọi là một vi phôi.
0.3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

6
Định nghĩa 0.3.1

Ta có phép chia
P
một khoảng đóng
[
]
ba,
theo định nghĩa là một dãy điểm
k
tt , ,
0
, trong đó
btta
k
=
≤
≤
=

0
. Phép chia
P
sẽ chia
[
]
ba,
thành
k
khoảng
[
]

(
)
kitt
ii
,1,
1
=
−
.
Phép chia hình hộp
[
]
[
]
nn
baba , ,
11
×
×
được định nghĩa như là tập
(
)
n
PPP , ,
1
=
, trong đó
i
P là phép chia
[

]
ii
ba , . Nếu
i
P là phép chia
[
]
ii
ba , thành
i
N
khoảng thì
P
chia hình hộp
[
]
[
]
nn
baba , ,
11
×
×
thành
i
n
i
NN
1=
Π= . Ta gọi các hình hộp

đó là các hình hộp của phép chia
P
.
Định nghĩa 0.3.2
Giả sử
RAf
→
:
là hàm bị chặn với
A
là hình hộp và
P
là phép chia của
hình hộp. Đối với mỗi hình hộp
S
của phép chia
P
, ta đặt

(
)
(
)
{
}
;:inf Sxxffm
S
∈
=

(
)
(
)
{
}
.:sup SxxffM
S
∈
=

Giả sử
(
)
Sv
là thể tích của hình hộp
S
. Tổng trên và tổng dưới của
f
đối với
hình hộp được định nghĩa lần lượt bởi các công thức sau

(
)
(
)
(
)
∑

=
S
S
SvfmPfL ,
;

(
)
(
)
(
)
∑
=
S
S
SvfMPfU , .
Từ định nghĩa ta có
(
)
(
)
PfUPfL ,,
≤
.
Giả sử
'
P
là cái thác triển của
P

(tức là mỗi hình hộp bất kỳ của phép chia
'
P

đều chứa trong một hình hộp nào đó của phép chia
P
). Khi đó

(
)
(
)
',, PfLPfL
≤
và
(
)
(
)
',, PfUPfU
≤
.
Hơn nữa ta có
(
)
(
)
PfUPfL ,',
≤
đối với các phép chia bất kỳ

P
và
'
P
.
Suy ra cận trên đúng của tất cả các tổng dưới không vượt quá cận dưới đúng của tất cả
các tổng trên của
f
.
Định nghĩa 0.3.3
Hàm RR →⊂
n
Af : được gọi là khả tích trên hình hộp
A
nếu nó bị chặn và
(
)
{
}
(
)
{
}
PfUPfLSup ,inf,
=
. Giá trị chung này được gọi là tích phân của f theo
A
,
ký hiệu là
∫

A
f
hoặc
(
)
n
A
n
dxdxxxf , ,
11
∫
.
Định nghĩa 0.3.4
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

7
Tập
n
A
R
⊂
được gọi là có độ đo 0 nếu với
0
>
ε
bất kỳ, tồn tại cái phủ
{
}
,
21

UU
sao cho
()
ε<
∑
∞
=1i
i
Uv
.
Từ định nghĩa ta có
i) Tập con của tập có độ đo 0 cũng có độ đo 0;
ii) Tập không quá đếm được có độ đo 0;
iii) Hợp tùy ý các tập có độ đo 0 cũng có độ đo 0;
Định nghĩa 0.3.5
Tập bị chặn
C
mà biên có độ đo 0 được gọi là tập đo được Joocđăng.
Tích phân
∫
C
1
được gọi là thể tích (
n
chiều) của tập
C
. Ta biết thể tích một
chiều được gọi là độ dài, thể tích hai chiều được gọi là diện tích.
Định nghĩa 0.3.6
Giả sử

O
là một cái phủ của tập
n
A
R
⊂
. Khi đó tồn tại một họ
Φ
các hàm
ϕ

thuộc lớp
∞
C
xác định trên một tập mở chứa
A
sao cho
i)
(
)
Axx
∈
∀
≤
≤
,10
ϕ
;
ii)
(

)
∑
Φ∈
∈
∀
=
ϕ
ϕ
Axx ,1
;
iii) Đối với mỗi
Φ
∈
ϕ
tồn tại một tập mở
O
U
∈
sao cho
0
=
ϕ
ngoài một
tập đóng chứa trong
U
.
Họ
Φ
thỏa điều kiện i và ii được gọi là
∞

C
-phân hoạch đơn vị đối với tập
A
.
Nếu họ
Φ
thỏa thêm điều kiện iii thì ta nói phù hợp với cái phủ
O
.
Định nghĩa 0.3.7
Ta biết
∫
A
f
có thể không tồn tại ngay cả trong trường hợp
A
là một tập mở và
tập các điểm gián đoạn của
f
có độ đo 0. Nhưng tập mở
A
bất kỳ luôn tồn tại một
cái phủ mở
O
sao cho mọi
O
U
∈
đều chứa trong
A

và mỗi
O
U
∈
đều đo được
Joocđăng. Nếu
O
là cái phủ như vậy thì
Φ
là phân hoạch đơn vị của
A
phù hợp với
cái phủ đó thì
f
ϕ
là khả tích với mỗi
Φ
∈
ϕ
. Khi đó ta xác định
∫
A
f
như là
∑
∫
Φ∈ϕ
ϕ
A
f

với
giả thiết tổng đó hội tụ.

Định lý 0.3.1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

8
Giả sử
n
A
R
⊂
là một tập mở và
n
Ag R→:
là ánh xạ 1-1 liên tục khả vi
sao cho
0'det
≠
g
đối với mọi
A
x
∈
. Khi đó đối với mọi hàm
(
)
n
Agf R→:
ta có

()
(
)
∫∫
=
AAg
ggff 'det
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

9
Chương 1: TÍCH PHÂN THEO CÁC XÍCH

1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ
Định nghĩa 1.1.1
Giả sử
V
là một không gian vectơ thực, ta ký hiệu
VVVV ×××=

k
.
Hàm RV →
k
T
:
được gọi là hàm đa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với
từng biến, có nghĩa là với bất kì i
(
)

ki ,1=
, mọi số thực
a
ta có

(
)
(
)
(
)
k
i
kik
i
i
vvvTvvvTvvvvT , ,', ,, ,, ,, ,', ,
111
+=+ ;

(
)
(
)
kiki
vvvaTvvavT , ,, ,, ,, ,
11
=
.
Hàm đa tuyến tính RV →

k
T
:
được gọi là
k
-tenxơ trên
V
.
Tập hợp tất cả các
k
-tenxơ được ký hiệu là
(
)
V
k
T
là một không gian vectơ
thực với hai phép toán được định nghĩa như sau

(
)
(
)
(
)
(
)
kikiki
vvvTvvvSvvvTS , ,, ,, ,, ,, ,, ,
111

+=+
;

(
)
(
)
(
)
kiki
vvvaSvvvaS , ,, ,, ,, ,
11
=
với
(
)
V
k
TTS ∈,
,
R
∈
a
.
Định nghĩa 1.1.2
Cho
(
)
(
)

VV
lk
TTTS ∈∈ , . Khi đó tích tenxơ
(
)
V
lk
TTS
+
∈⊗
được định nghĩa
bởi công thức
(
)
(
)
(
)
lkkklkkk
vvTvvSvvvvTS
++++
=⊗ , ,., ,, ,,, ,
1111
.
Định lý 1.1.1
i)
(
)
TSTSTSS
⊗

+
⊗
=
⊗
+
2121
;
ii)
(
)
21
2
1
TSTSTTS
⊗
+
⊗
=
+
⊗
;
iii)
(
)
(
)
(
)
TSaaTSTaS
⊗

=
⊗
=
⊗
;
iv)
(
)
(
)
UTSUTS
⊗
⊗
=
⊗
⊗
.
(
)
UTS
⊗
⊗
và
(
)
UTS
⊗
⊗
thường được ký hiệu đơn giản là
U

T
S
⊗
⊗
.
Các tích tenxơ
k
TT
⊗
⊗

1
được định nghĩa một cách tương tự.
Chứng minh
i) Ta có
(
)
(
)
lkkk
vvvvTSS
++
⊗+ , ,,, ,
11
21


(
)
(

)
(
)
lkkk
vvTvvSS
++
+= , ,., ,
11
21


(
)
(
)
(
)
(
)
lkkkk
vvTvvSvvS
++
+= , ,., ,, ,
11
2
1
1


(

)
(
)
(
)
(
)
lkkklkkk
vvTvvSvvTvvS
++++
+= , ,., ,, ,., ,
11
2
11
1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

10

(
)
(
)
lkkklkkk
vvvvTSvvvvTS
++++
⊗+⊗= , ,,, ,, ,,, ,
11
2

11
1


(
)
(
)
lkkk
vvvvTSTS
++
⊗+⊗= , ,,, ,
11
21
.
Vậy
(
)
TSTSTSS
⊗
+
⊗
=
⊗
+
2121
.
ii) Chứng minh tương tự tính chất i.
iii) Ta chứng minh
(

)
(
)
TSaTaS
⊗
=
⊗
.
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
lkkklkkk
vvTvvaSvvvvTaS
++++
=⊗ , ,., ,, ,,, ,
1111


(
)
(
)

lkkk
vvTvvaS
++
= , ,., ,
11


(
)
(
)
(
)
lkkk
vvTvvSa
++
= , ,., ,
11


(
)
(
)
lkkk
vvvvTSa
++
⊗= , ,,, ,
11

(
)
(
)
(
)
lkkk
vvvvTSa
++
⊗= , ,,, ,
11
.
Vậy
)()( TSaTaS
⊗
=
⊗
.(1-1)
Chứng minh tương tự ta có
(
)
(
)
TSaaTS
⊗
=
⊗
.(1-2)
Từ (1-1) và (1-2) ta có

(
)
(
)
(
)
TSaaTSTaS
⊗
=
⊗
=
⊗
.
iv) Ta có
(
)
(
)
mlklklkkk
vvvvvvUTS
++++++
⊗⊗ , ,,, ,,, ,
111


(
)
(
)
mlklklkkk

vvUvvvvTS
++++++
⊗= , ,., ,,, ,
111


(
)
(
)
(
)
(
)
mlklklkkk
vvUvvTvvS
++++++
= , ,., ,., ,
111


(
)
(
)
(
)
(
)
mlklklkkk

vvUvvTvvS
++++++
= , ,., ,., ,
111


(
)
(
)
mlklklkkk
vvvvUTvvS
++++++
⊗= , ,,, ,., ,
111


(
)
(
)
., ,,, ,,, ,
111 mlklklkkk
vvvvvvUTS
++++++
⊗⊗=
.
Vậy
(
)

(
)
UTSUTS
⊗
⊗
=
⊗
⊗
.£
Nhận xét
i)
(
)
*
1
VV =T
(Trong đó
*
V là không gian liên hợp của
V
được định nghĩa là
không gian các phiếm hàm tuyến tính từ
V
vào
R
).
ii) Các phép toán
⊗
cho phép ta biểu diễn các không gian
(

)
V
k
T
qua các
không gian
(
)
V
1
T
. Giả sử
{
}
Ii
i
v
∈
là cơ sở của
V
. Đối với mỗi
I
i
∈
, ta ký hiệu
i
ϕ
là
phiếm hàm tuyến tính duy nhất mà
(

)
ij
j
i
v δϕ = . Một phiếm hàm tuyến tính như vậy
tồn tại do tính chất tổng quát của cơ sở. Nếu
n
=
V
dim
,
{
}
ni
i
v
,1=
là cơ sở của
V
thì
{
}
ni
i
,1=
ϕ
là cơ sở của
*
V . Ta gọi
{

}
ni
i
,1=
ϕ
là cơ sở đối ngẫu của cơ sở
{
}
ni
i
v
,1=
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

11
Định lý 1.1.2
Giả sử
{
}
ni
i
v
,1=
là cơ sở của
V
và
{
}
ni

i
,1=
ϕ
là cơ sở đối ngẫu của không gian
liên hợp
*
V . Khi đó tập hợp tất cả các tích tenxơ cấp
k
,
{
}
nii
ii
k
k
≤≤
⊗
⊗
, ,1
1
1

ϕ
ϕ
là cơ
sở của không gian
(
)
V
k

T
. Do đó
(
)
kk
nT =Vdim
.
Chứng minh
* Ta chứng minh
{
}
nii
ii
k
k
≤≤
⊗
⊗
, ,1
1
1

ϕ
ϕ
là hệ sinh của không gian
(
)
V
k
T

.
Ta có
(
)
(
)
(
)
kk
k
k
k
k
jiji
j
i
j
i
jj
ii
vvvv δδϕϕϕϕ , ,
11
1
1
1
1
==⊗⊗ .
Với
k
vectơ tuỳ ý

k
ww , ,
1
của
V
,
j
n
j
ij
vaw
∑
=
=
1
1
, với mọi
(
)
V
k
TT ∈
ta có
(
)
(
)
∑∑∑
≤≤==
=









=
njj
jj
kjj
n
j
j
kj
n
j
j
j
k
k
k
k
vvTaavavaTwwT
, ,1
1
11
1
1

1
1
1
, , , ,, , .
Mặt khác ta có
(
)
ij
j
n
j
ijji
i
ji
avaw =








=
∑
=1
ϕϕ .
Đặt
(
)

k
k
jj
jj
avvT

1
1
, , =
ta được
(
)
(
)
∑
≤≤
⊗⊗=
njj
k
jjjj
k
k
kk
wwawwT
, ,1
1

1
1
11

, , , , ϕϕ
.
Hay
∑
≤≤
⊗⊗=
njj
jjjj
k
kk
aT
, ,1

1
11
ϕϕ
.
Vậy
{
}
nii
ii
k
k
≤≤
⊗
⊗
, ,1
1
1

ϕ
ϕ
là hệ sinh của không gian
(
)
V
k
T
.(1-3)
* Ta chứng minh
{
}
nii
ii
k
k
≤≤
⊗
⊗
, ,1
1
1

ϕ
ϕ
độc lập tuyến tính.
Giả sử
0
, ,1

1
11
=⊗⊗
∑
≤≤ njj
jjjj
k
kk
a ϕϕ
. Khi đó
(
)
0, ,
, ,1
1

1
11
=⊗⊗
∑
≤≤ njj
k
jjjj
k
kk
vva ϕϕ
hay 0

1

=
k
jj
a .
Suy ra
{
}
nii
ii
k
k
≤≤
⊗
⊗
, ,1
1
1

ϕ
ϕ
độc lập tuyến tính.(1-4)
Từ (1-3) và (1-4) ta có
{
}
nii
ii
k
k
≤≤
⊗

⊗
, ,1
1
1

ϕ
ϕ
là cơ sở của không gian
(
)
V
k
T
.
Do đó
(
)
kk
nT =Vdim
.£
Định nghĩa 1.1.3
2-tenxơ
T
trên
V
được gọi là một tích trong nếu nó thỏa các điều kiện sau
i)
(
)
(

)
V∈∀= wvvwTwvT ,,,,
;
ii)
(
)
0,0, ≠∀> vvvT
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

12
Định lý 1.1.3
Nếu
T
là một tích trong trên
V
thì
V
có cơ sở
{
}
ni
i
v
,1=
sao cho
(
)
ij
ji

vvT δ=,
.
Khi đó cơ sở
{
}
ni
i
v
,1=
được gọi là cơ sở trực giao đối với
T
. Do đó tồn tại một đẳng cấu
VR →
n
f :
sao cho
(
)
(
)
(
)
n
yxyxyfxfT R∈∀= ,,,, .
Trong đó .,. là tích vô hướng trên
n
R
.
Chứng minh
* Ta chứng minh mệnh đề: Nếu

T
là một tích trong trên
V
thì
V
có cơ sở
{
}
ni
i
v
,1=
sao cho
(
)
ij
ji
vvT δ=, bằng quy nạp.
Nếu
V
là một không gian vectơ một chiều thì tồn tại V∈≠ ww ,0 . Ta đặt
()
wwT
w
v
,
= . Khi đó
{
}
v

là một cơ sở trực giao đối với
T
.
Giả sử mệnh đề đúng với mọi không gian vectơ
V

n
-chiều, ta chứng minh
mệnh đề đúng với không gian vectơ
(
)
1
+
n -chiều. Thật vậy:
Không gian vectơ
(
)
1
+
n -chiều luôn tồn tại một không gian vectơ con
'
V

n
-chiều. Khi đó theo giả thiết qui nạp, trong
'
V
tồn tại một cơ sở trực giao đối với
T

là
{
}
ni
i
v
,1=
vì vậy hệ này độc lập tuyến tính trong
V
, ta bổ sung vào hệ này một vectơ
a
thuộc
V
để
{
}
ni
i
av
,1
,
=
là cơ sở của
V
.
Xét
(
)
avvaTb
n

i
ii
−=
∑
=1
,
. Khi đó
(
)
(
)






−=
∑
=
j
n
i
iij
vavvaTTvbT ,,,
1
(
)
(
)

(
)
j
n
i
jii
vaTvvTvaT ,,,
1
−=
∑
=


(
)
(
)
0,, =−=
jj
vaTvaT
.
Đặt
()
bbT
b
v
n
,
1
=

+
thì
{
}
1,1 += ni
i
v là cơ sở trực giao đối với
T
của
V
.
Vậy
T
là một tích trong trên
V
thì
V
có cơ sở
{
}
ni
i
v
,1=
sao cho
(
)
ij
ji
vvT δ=, .

* Gọi
{
}
ni
i
e
,1=
là cơ sở chính tắc của
n
R
.
Lập tương ứng
VR →
n
f :
được xác định như sau với mọi
∑
=
∈=
n
i
n
ii
eax
1
R
có
ảnh là
()
∑∑

==
=






=
n
i
i
i
n
i
ii
vaeafxf
11
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

13
Dễ thấy tương ứng trên là một đẳng cấu.
Mặt khác ta có

()()()







=


















=
∑∑∑∑
====
n
i
i
i
n
i

i
i
n
i
ii
n
i
ii
vbvaTebfeafTyfxfT
1111
,,,

yxba
n
i
ii
,
1
==
∑
=
.£
Chú ý
Một ánh xạ tuyến tính
WV
→
:f
xác định tương ứng
(
)

(
)
WV
kk
TTf →:*

xác định theo quy tắc
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
VV ∈∀∈∀=
k
k
kk
vvTTvfvfTvvTf , ,,,, ,, ,*
111
.
Khi đó định lý 1.1.3 ta có thể phát biểu lại như sau: “Nếu
T
là một tích trong trên
V

thì

V
có cơ sở
{
}
ni
i
v
,1=
sao cho
(
)
ij
ji
vvT δ=, . Khi đó cơ sở
{
}
ni
i
v
,1=
được gọi là cơ sở
trực giao đối với
T
. Do đó tồn tại một đẳng cấu
VR →
n
f :
sao cho .,.*
=
Tf ”.

Định nghĩa 1.1.4

k
-tenxơ
(
)
V
k
T∈ω được gọi là
k
- tenxơ phản đối xứng nếu
(
)
(
)
kijkji
vvvvvvvv , ,, ,, ,, ,, ,, ,
11
ωω −=

V∈∀
k
vv , ,
1

Tập hợp tất cả các
k
-tenxơ phản đối xứng là một không gian con của
(
)

V
k
T
.
Ký hiệu là
(
)
V
k
Λ
.
Định nghĩa 1.1.5
Cho
(
)
V
k
TT ∈
ta định nghĩa luân phiên của
T
, ký hiệu là
(
)
TAlt
, xác định
như sau
()
(
)
() ()

(
)
∑
∈
=
k
S
kk
vvT
k
vvTAlt
σ
σσ
σ , ,sgn
!
1
, ,
11
.
Trong đó
k
S là phép thế cấp
k
và
σ
sgn
là dấu của phép thế.
Định lý 1.1.4
i) Nếu
(

)
RV ∈∈ aTTS
k
,,
thì
(
)
(
)
(
)
TAltSAltTSAlt
+
=
+
;
(
)
(
)
SaAltaSAlt
=
;
ii) Nếu
(
)
V
k
TT ∈ thì
(

)
(
)
V
k
TAlt Λ∈ ;
iii) Nếu
(
)
V
k
Λ∈ω
thì
(
)
ω
ω
=
Alt
;
iv) Nếu
(
)
V
k
T∈ω
thì
(
)
(

)
(
)
ω
ω
AltAltAlt
=
.
Chứng minh
i) Dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
ii) Với
k
S
∈
σ
ta đặt
(
)
.,' ji
σ
σ
=

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

14
Khi đó
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
kkijji
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
=
=
',','
nếu
jik ,
≠
.
Ta có
(
)
(
)
kji

vvvvTAlt , ,, ,, ,
1

(
)
∑
∈
=
k
S
kji
vvvvT
k
σ
σσσσ
σ
)()()()1(
, ,, ,, ,sgn
!
1


(
)
∑
∈
−
=
k
S

kji
vvvvT
k
'
)(')(')(')1('
, ,, ,, ,'sgn
!
1
σ
σσσσ
σ


(
)
(
)
kij
vvvvTAlt , ,, ,, ,
1
−=
.
Vậy
(
)
(
)
V
k
TAlt Λ∈

.
iii) Nếu
(
)
V
k
Λ∈ω
và
(
)
ji,
=
σ
thì
(
)
(
)
kk
vvvv , ,sgn, ,
1)()1(
σωω
σσ
=
.
Do đó
()
(
)
(

)
∑
∈
=
k
S
kk
vv
k
vvAlt
σ
σσ
σωω
)()1(1
, ,sgn
!
1
, ,


()
(
)
(
)
k
S
k
vvvv
k

k
, ,, ,sgn
!
1
11
2
ωωσ
σ
==
∑
∈
.
Vì vậy
(
)
ω
ω
=
Alt
.
iv) Hệ quả của ii và iii.£
Định nghĩa 1.1.6
Giả sử
(
)
V
k
Λ∈ηω,
ta định nghĩa phép nhân ngoài của
ω

và
η
, ký hiệu là
η
ω
∧
được xác định bởi công thức

(
)
()
ηωηω ⊗
+
=∧ Alt
l
k
lk
!
!
!
,
(
)
(
)
V
lk+
Λ∈∧ηω .
Định lý 1.1.5
i)

(
)
η
ω
η
ω
η
ω
ω
∧
+
∧
=
∧
+
2121
;
ii)
(
)
2121
η
ω
η
ω
η
η
ω
∧
+

∧
=
+
∧
;
iii)
(
)
(
)
(
)
η
ω
η
ω
η
ω
∧
=
∧
=
∧
aaa
;
iv)
(
)
ωηηω ∧−=∧
kl

1
;
v)
(
)
(
)
(
)
η
ω
η
ω
*** fff
∧
=
∧
.
Chứng minh
i) Ta có
()
(
)
()()
ηωωηωω ⊗+
+
=∧+
2121
!
!

!
Alt
l
k
lk


(
)
()
ηωηω⊗+⊗
+
=
21
!
!
!
Alt
l
k
lk


(
)
()()()
ηωηω⊗+⊗
+
=
21

!
!
!
AltAlt
l
k
lk

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

15

(
)
()
(
)
()
ηωηω ⊗
+
+⊗
+
=
21
!
!
!
!
!
!

Alt
l
k
lk
Alt
l
k
lk


η
ω
η
ω
∧
+
∧
=
21
.
Vậy
(
)
η
ω
η
ω
η
ω
ω

∧
+
∧
=
∧
+
2121
.
ii) Chứng minh tương tự tính chất i.
iii) Ta có
()
(
)
()
ηωηωηω ⊗
+
=∧=∧ aAlt
l
k
lk
a
!
!
!
(
)
()()
ηω⊗
+
= aAlt

l
k
lk
!
!
!


(
)
()()
ηωηω ∧=⊗
+
= aAlt
l
k
lk
a
!
!
!
.
Vậy
(
)
(
)
η
ω
η

ω
∧
=
∧
aa
.(1-5)
Chứng minh tương tự ta có
(
)
(
)
η
ω
η
ω
∧
=
∧
aa
.(1-6)
Từ (1-5) và (1-6) ta có
(
)
(
)
(
)
η
ω
η

ω
η
ω
∧
=
∧
=
∧
aaa
.
iv) Xét
lk
S
+
∈
0
σ
,








++
+++
=
k

kll
lkk
l
k 1
1
2
2
1
1
0
σ .
Ta có
(
)
kl
1sgn
0
−=σ
. Do đó

(
)
(
)
lk
vvAlt
+
⊗ ,,
1
ηω

()
(
)
)(
)1(
,, sgn
!
1
lk
S
vv
lk
lk
+
∈
⊗
+
=
∑
+
σ
σ
σ
ηωσ

()
(
)

(
)
)(
)1(
)(
)1(
,, ,, sgn
!
1
lk
k
k
S
vvvv
lk
lk
+
+
∈
∑
+
+
=
σ
σ
σ
σ
ηωσ

()

(
)
(
)
)('
)1('
)('
)1('
'
0
,, ,, 'sgnsgn
!
1
kl
l
l
S
vvvv
lk
lk
+
+
∈
∑
+
+
=
σ
σ
σ

σ
σ
ωησσ

()
()
(
)
)(')1('
'
, ,'sgn
!
1
1
lk
S
kl
vv
lk
lk
+
∈
⊗
+
−=
∑
+
σσ
σ
ωησ

(
)
(
)
(
)
lk
kl
vvAlt
+
⊗−= , ,1
1
ωη
(Với
0
.'
σ
σ
σ
=
).
Ta suy ra
(
)
ωηηω ∧−=∧
kl
1
.
v) Ta có

(
)
(
)
lk
vvf
+
∧ , ,*
1
ηω


(
)
(
)
(
)
(
)
lk
vfvf
+
∧= , ,
1
ηω


(
)

()
(
)
(
)
(
)
lk
vfvfAlt
l
k
lk
+
⊗
+
= , ,
!
!
!
1
ηω


(
)
()
(
)
(
)

(
)
)()1(
, ,sgn
!
1
!!
!
lk
S
vfvf
lklk
lk
lk
+
∈
⊗
+
+
=
∑
+
σσ
σ
ηωσ

(
)
()
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)()1()()1(
, ,, ,sgn
!
1
!!
!
lkkk
S
vfvfvfvf
lklk
lk
lk
++
∈
∑
+
+
+
=

σσσσ
σ
ηωσ
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

16

(
)
(
)
)()1()()1(
, ,*, ,*sgn
)!(
1
!!
)!(
lkkk
S
vvfvvf
lklk
lk
lk
++
∈
∑
+
+
+
=

σσσσ
σ
ηωσ


(
)
()
(
)
lk
vvffAlt
l
k
lk
+
⊗
+
= , ,**
!
!
!
1
ηω

), ,(**
1 lk
vvff
+
∧= ηω

.
Vậy
)(*)(*)(*
η
ω
η
ω
fff
∧
=
∧
.£
Định lý 1.1.6
i) Nếu
(
)
(
)
VV
lk
TTTS ∈∈ ,
và
(
)
0
=
SAlt
hoặc
(
)

0
=
TAlt
thì
(
)
(
)
0
=
⊗
=
⊗
STAltTSAlt
.
ii)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
θ
η
ω
θ

η
ω
θ
η
ω
⊗
⊗
=
⊗
⊗
=
⊗
⊗
AltAltAltAltAlt
.
iii) Nếu
(
)
V
k
Λ∈ω
,
(
)
V
l
Λ∈η
,
(
)

V
m
Λ∈θ
thì

()()
(
)
()
θηωθηωθηω ⊗⊗
+
+
=∧∧=∧∧ Alt
m
l
k
mlk
!
!
!
!
.
Chứng minh
i) Ta chỉ chứng minh cho trường hợp
(
)
0
=
TAlt
.

Ta có
()
(
)
()
(
)
(
)
)(
)1(
)(
)1(1
,, ,, sgn
!
1
,,
lk
k
k
S
lk
vvTvvS
lk
vvTSAlt
lk
+
+
∈
+

∑
+
+
=⊗
σ
σ
σ
σ
σ .
Giả sử
lk
SG
+
⊂
gồm tất cả các phép hoán vị
'
σ
giữ nguyên các số
lkk
+
+
, ,1
. Khi đó
(
)
(
)
)()1()()1(
, ,, ,sgn
lkkk

S
vvTvvS
lk
++
∈
∑
+
σσσσ
σ
σ


(
)
(
)
0, ,, ,'sgn
1)(')1('
'
==
++
∈
∑
+
lkkk
S
vvTvvS
lk
σσ
σ

σ
.
Giả sử
G
∉
0
σ
ta đặt
{
}
GG
∈
=
σ
σσ
σ
:
00
và
(
)
(
)
lklk
wwvv
++
= , ,, ,
1)()1(
00
σσ

.
Khi đó
(
)
(
)
)()1()()1(
, ,, ,sgn
0
lkkk
G
vvTvvS
++
∈
∑
σσσ
σσ
σ

(
)
(
)
0, ,, ,'sgn
1)(')1('
'
==
++
∈
∑

+
lkkk
S
wwTwwS
lk
σσ
σ
σ .
Ta có
φ
σ
=
∩
0
GG . Thật vậy, giả sử tồn tại
0
σ
σ
GG
∩
∈
thì
0
'
σ
σ
σ
=
với
(

)
G
∈
'
σ
. Suy ra
(
)
G∈=
−
σσσ
1
0
' (mâu thuẫn).
Tiếp tục như vậy ta sẽ chia
lk
S
+
thành những tập con không giao nhau mà tổng
lấy theo mỗi tập đó bằng 0.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

17
Vậy
(
)
0
=
⊗
TSAlt

.
Chứng minh tương tự ta được
(
)
0
=
⊗
STAlt
.
Vậy
(
)
(
)
0
=
⊗
=
⊗
STAltTSAlt
.
ii) Theo định lý 1.1.4 ta có
(
)
(
)
(
)
θ
η

ω
θ
η
ω
⊗
⊗
=
⊗
⊗
AltAltAlt
.(1-7)
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
θ
η
θ
η
θ
η
θ
η

⊗
−
⊗
=
⊗
−
⊗
AltAltAltAltAlt


(
)
(
)
0
=
⊗
−
⊗
=
θ
η
θ
η
AltAlt
.
Theo i ta suy ra

(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
θ
η
ω
θ
η
ω
θ
η
θ
η
ω
⊗
⊗
−
⊗
⊗
=
⊗
−
⊗

⊗
=
AltAltAltAltAlt0 .
Hay
(
)
(
)
(
)
θ
η
ω
θ
η
ω
⊗
⊗
=
⊗
⊗
AltAltAlt
.(1-8)
Từ (1-7) và (1-8) ta có
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
θ
η
ω
θ
η
ω
θ
η
ω
⊗
⊗
=
⊗
⊗
=
⊗
⊗
AltAltAltAltAlt
.
iii) Ta có
()
(
)
()
()()
θηωθηω ⊗∧

+
+
+
=∧∧ Alt
mlk
mlk
!!
!


(
)
()
(
)
()






⊗⊗
+
+
++
= θηωAlt
lk
lk
Alt

mlk
mlk
!!
!
!!
!


(
)
()
(
)
()()
θηω⊗⊗
+
+
+
+
= AltAlt
lk
lk
mlk
mlk
!!
!
!!
!

(
)
()
θηω⊗⊗
+
+
= Alt
m
l
k
mlk
!
!
!
!
. (1-9)
Chứng minh tương tự ta có
()
(
)
()
θηωθηω ⊗⊗
+
+
=∧∧ Alt
m
l
k
mlk
!

!
!
!
.(1-10)
Từ (1-9) và (1-10) ta có
()()
(
)
()
θηωθηωθηω ⊗⊗
+
+
=∧∧=∧∧ Alt
m
l
k
mlk
!
!
!
!
.£
Định lý 1.1.7
Giả sử
{
}
n
i
v
,1

là cơ sở của
V
và
{
}
n
i
,1
ϕ
là cơ sở đối ngẫu của nó. Khi đó tập hợp
tất cả
k
ii
ϕ
ϕ
∧
∧

1
, ( nii
k
≤
≤
≤
≤
1
1
) là cơ sở của không gian
(
)

V
k
Λ . Do đó
(
)
k
n
k
C=Λ Vdim
.
Chứng minh
* Nếu
(
)
(
)
VV
kk
T⊂Λ∈ω thì
∑
≤≤
⊗⊗=
nii
iiii
k
kk
a
, ,1

1

11
ϕϕω .
Vì mỗi
(
)
k
ii
Alt
ϕ
ϕ
⊗
⊗

1
khác tích ngoài tương ứng
k
ii
ϕ
ϕ
∧
∧

1
chỉ bởi một
hằng số nên tích ngoài này sẽ sinh ra
(
)
V
k
Λ

.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

18
Vậy
k
ii
ϕ
ϕ
∧
∧

1
(
nii
k
≤
≤
≤
≤
1
1
) là hệ sinh của không gian
(
)
V
k
Λ
.
* Mặt khác hệ

k
ii
ϕ
ϕ
∧
∧

1
độc lập tuyến tính. Thật vậy:
Giả sử 0
, ,1

1
11
=⊗⊗
∑
≤≤ nii
iiii
k
kk
a ϕϕ . Khi đó
(
)
0, ,

, ,1

1
1
1

11
==⊗⊗
∑
≤≤
k
k
k
kk
ii
jj
nii
iiii
avva ϕϕ

Vậy
k
ii
ϕ
ϕ
∧
∧

1
( nii
k
≤
≤
≤
≤
1

1
) là cơ sở của không gian
(
)
V
k
Λ
. Do đó
(
)
k
n
k
C=Λ Vdim
.£
Nhận xét
Nếu
V
là không gian vectơ
n
-chiều thì
(
)
V
n
Λ
là không gian vectơ một chiều
và cơ sở của nó là
n
ϕ

ϕ
∧
∧

1
. Đặc biệt
n
RV = và
(
)
),1(, ,
1
niaav
ini
i
==
thì

(
)
(
)
ij
S
nn
n
n
aaavv
n
det sgn, ,

)(1)1(
1
1
==∧∧
∑
∈σ
σσ
σϕϕ .
Định lý 1.1.8
Giả sử
{
}
n
i
v
,1
là cơ sở của
V
và
(
)
V
k
Λ∈ω
. Đối với
n
vectơ bất kỳ
∑
=
=

n
j
j
ij
i
vaw
1
thuộc
V
),1( ni =
ta có
(
)
(
)
(
)
n
ij
n
vvaww , ,det, ,
11
ωω = .
Chứng minh
Xét ánh xạ RRR →××
nn

:
θ được xác định theo quy tắc sau

()()()








=
∑∑
==
n
n
j
nj
n
j
jnnnn
vavaaaaa
1
1
1
11111
, ,, ,, ,, , ωθ
.
Dễ thấy
(
)
nn

RΛ∈θ
.
Theo nhận xét trên ta có
(
)
ij
adet
λ
θ
=
. Khi đó

(
)
(
)
()





=
=
λθ
ωθ
n
n
n
ee

vvee
, ,
, ,, ,
1
1
1
.
Suy ra
(
)
λω =
n
vv , ,
1
.
Vậy
(
)
(
)
(
)
n
ij
n
vvaww , ,det, ,
11
ωω = .£
Định lý trên cho ta tiêu chuẩn phân chia các cơ sở của không gian vectơ
V

thành hai nhóm, một nhóm gồm các cơ sở
{
}
n
i
v
,1
sao cho
(
)
0, ,
1
>
n
vvω
, nhóm còn lại
gồm các cơ sở
{
}
n
i
v
,1
sao cho
(
)
0, ,
1
<

n
vvω .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

19
Định nghĩa 1.1.8
Nếu
{
}
n
i
v
,1
và
{
}
n
i
w
,1
là hai cơ sở của
V
và
(
)
ij
aA
=
là ma trận chuyển cơ sở

{
}
n
i
v
,1
sang
{
}
n
i
w
,1
thì
{
}
n
i
v
,1
và
{
}
n
i
w
,1
thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi
0
det

>
A
.
Tiêu chuẩn đó không phụ thuộc vào
ω
và luôn luôn có thể dùng để chia các cơ sở của
V
ra thành hai nhóm. Mỗi một trong hai nhóm đó được gọi là định hướng của
không gian
V
. Định hướng chứa cơ sở
{
}
n
i
v
,1
được ký hiệu là
[
]
n
i
v
,1
.
Định hướng
[
]
n
i

e
,1
được gọi là định hướng chuẩn tắc trong
n
R
.
Định nghĩa 1.1.9
Giả sử trên
V
cho một tích vô hướng
T
, nếu
{
}
n
i
v
,1
và
{
}
n
i
w
,1
là hai cơ sở trực
chuẩn của
V
đối với
T

và
(
)
ij
aA
=
là ma trận chuyển cơ sở
{
}
n
i
v
,1
sang
{
}
n
i
w
,1
ta có
(
)
(
)
∑∑∑∑
====
==







==
n
lk
jkik
n
lk
lk
jlik
n
l
l
jl
n
k
k
ik
ji
ij
aavvTaavavaTwwT
1,1,11
,,,δ
.
Nói cách khác
I
AA
=

*
(với
I
là ma trận đơn vị), tức là
1
det
±
=
A
. Từ định lý
1.1.8 ta suy ra nếu
(
)
V
k
∈ω
và
(
)
1, ,
1
±=
k
vvω
thì
(
)
1, ,
1
±=

k
wwω
.
Nếu trên
V
còn cho một định hướng
µ
thì tồn tại duy nhất phần tử
(
)
V
k
∈ω

sao cho
(
)
1, ,
1
=
k
vvω
đối với bất kỳ cơ sở trực chuẩn
{
}
n
i
v
,1
mà

[
]
µ=
n
i
v
,1
. Phần tử
ω
đó được gọi là phần tử thể tích của
V
xác định bởi tích vô hướng
T
và
định hướng
µ
. Ngược lại mỗi phần tử khác không
(
)
V
k
Λ∈ω
đều là phần tử thể tích
được xác định bởi tích vô hướng
T
và định hướng
µ
nào đó.
Chú ý
det(.) là phần tử thể tích của không gian

n
R
xác định bởi vô hướng chuẩn tắc
T
và định hướng chuẩn tắc
µ
. Khi đó
(
)
1, ,det
1
=
n
vv là thể tích hình hộp căng trên
các đoạn thẳng nối O và các điểm
n
vv , ,
1
.
Định nghĩa 1.1.10
Giả sử
n
n
vv R∈
−11
, ,
và
(
)
.

ϕ
được xác định như sau
()














=
−
w
v
v
w
n1
1

detϕ .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

20

Ta thấy
(
)
n
R
1
Λ∈ϕ
nên tồn tại duy nhất
n
z
R
∈
sao cho
()














==
−

w
v
v
wzw
n1
1

det, ϕ
.
Vectơ
z
như trên được ký hiệu là
11

−
×
×
n
vv và được gọi là tích vectơ của các
vectơ
11
, ,
−n
vv
.
Định lý 1.1.9
i)
)1()1(11
sgn
−−

×
×
=
×
×
nn
vvvv
σσ
σ
;
ii)
(
)
1111

−−
×
×
=
×
×
×
×
nni
vvavavv
;
iii)
111111
' )'(
−−−

×
×
×
×
+
×
×
×
×
=
×
×
+
×
×
nininii
vvvvvvvvvv .
Chứng minh
i) Ta có
()
()















=














=××
−
−
−
w
v
v
w
v
v

vvw
n
n
n
1
1
1
1
11

detsgn

det ,
σ
σ
σ


()()
11
,sgn
−
××=
n
vvw
σσ
σ

()()
11

sgn,
−
××=
n
vvw
σσ
σ
.
Suy ra
)1()1(11
sgn
−−
×
×
=
×
×
nn
vvvv
σσ
σ
.
ii) Ta có





















=





















=××××
−−
−
w
v
v
v
a
w
v
av
v
vavvw
n
i
n
i
ni
1
1
1
1
11


det

det ,


1111
, ,
−−
×
×
=
×
×
=
nn
vavwvvwa .
Suy ra
(
)
1111

−−
×
×
=
×
×
×
×
nni

vvavavv .
iii) Ta có
(
)
1
'
1
,
−
××+××
nii
vvvvw





















+




















=





















+
=
−−
−
w
v
v
v
w
v
v
v
w
v
vv
v

n
i
n
i
n
ii
1
1
1
1
1
'
1

'

det


det


det

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

21
1111
' , ,
−−

×
×
×
×
+
×
×
×
×
=
nini
vvvwvvvw
1111
' ,
−−
×
×
×
×
+
×
×
×
×
=
nini
vvvvvvw .
Suy ra
111111
' )'(

−−−
×
×
×
×
+
×
×
×
×
=
×
×
+
×
×
nininii
vvvvvvvvvv
.£
Định lý 1.1.10
Nếu
{
}
n
n
i
v R⊂
−1,1
là hệ độc lập tuyến tính thì
[

]
1111
,, ,
−−
×
×
nn
vvvv là
định hướng chuẩn tắc trong
n
R
.
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh
0


det
11
1
1
>















××
−
−
n
n
vv
v
v
.
Giả sử
(
)
(
)
1,1, ,
1
−== niaav
inii
. Khi đó
()()





















−










−=××
−−−
−

−
−−
−
1,11,1
1,111
12
,12,1
112
11



det1, ,



det1
nnn
n
n
nnn
n
n
n
aa
aa
aa
aa
vv .
Suy ra















××
−
−
11
1
1


det
n
n
vv
v
v

()()































−










−
=
−−−
−
−
−−
−−
1,11,1
1,111
12
,12,1
112
,11,1
111



det1

det1



det
nnn
n
n
nnn
n
n
nnn
n
aa
aa
aa
aa
aa
aa


=
0



det

det
1,11,1
1,111
2
,12,1
112
2
>










++











−−−
−
−− nnn
n
nnn
n
aa
aa
aa
aa
.£
Vậy
[
]
1111
,, ,
−−
×
×
nn
vvvv là định hướng chuẩn tắc trong
n
R
.
Định lý 1.1.11
Tích vectơ trong không gian
3
R

còn gọi là tích có hướng, có các tính chất sau
i)
(
)
(
)
(
)
312212311312332
ewvwvewvwvewvwvwv
−
+
−
+
−
=
×
.
ii) 0
11
=
×
ee ;
312
eee
−
=
×
;
213

eee
=
×
;

321
eee
=
×
; 0
22
=
×
ee ;
123
eee
−
=
×
;
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

22

231
eee
−
=
×
;

132
eee
−
=
×
;
0
33
=
×
ee
.
iii)
()
2
,,,,sin wvwwvvwvwvwv −==×
;
0,,
=
×
=
×
wwvvwv .
iv) wvzvzwzwv
×
=
×
=
×
,,, ;

(
)
zwvwzvzwv ,,
−
=
×
×
;

(
)
.,, vzwwzvzwv
−
=
×
×

Chứng minh
Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ định nghĩa.

1.2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC
Định nghĩa 1.2.1
Ánh xạ liên tục
[
]
Ac
n
→1,0:
, trong đó

[
]
[
]
[
]

n
n
1,0 1,01,0 ××= và
A
là một
tập mở trong
(
)
nm
m
≥R
, được gọi là lập phương kỳ dị
n
-chiều trong
A
.
Khi
0
=
n
ta có lập phương kỳ dị
0
-chiều trong

A
là ánh xạ liên tục
{
}
Ac
→
0:
.
Ta có
[
]
n
n
n
I R→1,0:
xác định theo quy tắc
), ,(), ,(
11 nn
n
xxxxI =
được gọi
là lập phương chuẩn tắc
n
-chiều.
Xích kỳ dị (dây chuyền kỳ dị)
n
-chiều trong
A
là tổng hữu hạn các lập phương
kỳ dị

n
-chiều trong
A
với hệ số nguyên. Tức là
c
là một xích kỳ dị
n
-chiều trong
A

khi và chỉ khi
∑
=
=
k
i
ii
cac
1
, trong đó
i
c
(
ki ,1=
) là lập phương kỳ dị
n
-chiều trong
A

và

i
a là các số nguyên.
Định nghĩa 1.2.2
Với mỗi
i
(
)
ni
≤
≤
1
và mỗi số
α
(
α
bằng 0 hoặc 1), ta lập các lập phương
kỳ dị
(
)
1
−
n
-chiều
n
i
I
),( α
trong
A
xác định theo quy tắc

), ,,,, ,(), ,(
11111),( −−−
=
niin
n
i
xxxxxxI α
α
.
Khi đó biên của lập phương chuẩn tắc là một xích kỳ dị
(
)
1
−
n -chiều trong
A
,
ký hiệu là
n
I
∂ , được định nghĩa như sau

()
∑∑
==
+
−=∂
n
i
n

i
i
n
II
11,0
),(
1
α
α
α
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version