Luận văn tốt nghiệp đại học sư phạm toán- rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp

Lời cảm ơn !
Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hơm nay, tơi xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Tốn và trường ĐHSP Huế đã tận
tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hồn thành tốt khóa luận
tốt nghiệp này.
Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo Trần
Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực
hiện khóa luận.
Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường
THPT Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi để khóa
luận này được hồn thành.

1


Mục lục
Trang
Mở đầu......................................................................................................................3
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn...................................................................... 5
1. Một số khái niệm cơ bản .................................................................................... 5
1.1. Phương pháp suy luận........................................................................................ 5
1.2. Suy luận suy diễn ............................................................................................... 5
1.3. Suy luận quy nạp................................................................................................ 5
2. Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp
suy luận suy diễn trong dạy học toán.................................................................... 7
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau........................................................... 8
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau......................................................... 8
3.Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán............... 10
4. Mục đích của dạy học tốn................................................................................ 13
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông......................... 14
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh.................... 14

5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
ở trường phổ thông.................................................................................................... 17
chương 2: Một số biện pháp thực hiện................................................................. 19
1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp.... 19
1.1. Phân tích và tổng hợp......................................................................................... 19
1.1.1.Mô tả...................................................................................................... 19
1.1.2. Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán........ 19
1.1.3. Ví dụ minh họa...................................................................................... 19
1.2. So sánh............................................................................................................... 23
1.2.1 Mơ tả...................................................................................................... 23
1.2.2 Tác dụng................................................................................................ 23
1.2.3. Ví dụ minh họa..................................................................................... 23
1.3. Thử nghiệm và nhận xét..................................................................................... 24
1.3.1.Mô tả...................................................................................................... 24
1.3.2. Tác dụng............................................................................................... 24

2


1.3.3.Ví dụ minh họa...................................................................................... 24
2. Tập cho học sinh nêu dự đốn.......................................................................... 25
2.1. Mơ tả................................................................................................................. 25
2.2. Tác dụng............................................................................................................ 25
2.2.1. Các trường hợp cụ thể........................................................................... 25
2.2.2. Tập dự đoán qua khái qt hóa và đặc biệt hóa.................................... 25
2.3.2. tập dự đốn qua tương tự...................................................................... 33
2.3.3. tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo.................................................. 36
3. Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập toán.................... 37
3.1. Giải thích........................................................................................................... 37
3.2. Tác dụng đối với học tốn................................................................................. 38

3.3. Ví dụ minh họa.................................................................................................. 39
Kết luận................................................................................................................... 45
Phụ lục I: Phiếu xin ý kiến.................................................................................... 46
Phụ lục II: Phiếu tổng hợp kết quả điều tra........................................................ 48
Phụ lục III: Giáo án thực nghiệm......................................................................... 51

3


mở đầu
1. lí do chọn đề tài
Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triển kinh
tế xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mới phương pháp
dạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọng
thực hành, thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức, tránh học chay, học vẹt.”
Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Tồn đã khẳng định:
“Tốn học là mơn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cách
dạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹ khả năng quy nạp”.
(Gs. Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993).
Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS. Hồng
Chúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phương pháp suy diễn
đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng. Song phương pháp xây
dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập và sáng tạo một
cách vững chắc hơn.”
Theo GS. Phạm Văn Hồn, “Giáo dục học mơn tốn” (xem [14], tr.22): “Tuy
suy diễn logic đóng vai trị chủ yếu trong phương pháp tốn học, nhưng vai trị của quy
nạp cũng khơng phải là khơng quan trọng. Vai trị của quy nạp thể hiện trong khi xây
dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nói
rằng những lúc các nhà tốn học dùng phương pháp quy nạp là những lúc quan trọng
trong sự phát triển toán học”.

Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suy
luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư duy độc
lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh. Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong
phần sau của khố luận này.
Là một sinh viên sư phạm tốn, tơi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề
đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao
của khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho

4


công tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển năng lực suy
luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thơng”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Cố gắng làm rõ phương pháp quy nạp thể hiện trong sách giáo khoa thí điểm
phân ban ở THPT với vai trị của nó trong giảng dạy toán học.
- Đưa ra một số biện pháp để thực hiện mục đích trên.
3. Nội dung
Đề tài khoá luận được thực hiện gồm 3 chương, cụ thể:
- Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chương II: Một số biện pháp thực hiện.
- Chương III: Thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu và vận dụng vào thực tế.
- Đề xuất phương pháp và thể hiện trên thực tế.

5


Chương I

cơ sở lí luận và thực tiễn

1. Một số khái niệm cơ bản
Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một số khái
niệm cơ bản có liên quan.
1.1. Phương pháp suy luận
Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đốn đã có (tiên đề)
ta rút ra được một số phán đoán mới (kết luận). Suy luận là một q trình nhận thức
hiện thực gián tiếp. Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suy
luận quy nạp ( xem [13]).
1.2. Suy luận suy diễn.
Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luật
phổ biến đến trường hợp cụ thể. Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng. Chẳng hạn một
quy tắc suy luận thường dùng là:
A ⇒ B, A
( tam đoạn luận khẳng định).
B

1.3. Suy luận quy nạp.
Theo từ điển tốn học thơng dụng (xem [7], tr. 494), phương pháp quy nạp là
phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp
riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát.
Sau đây là các loại suy luận quy nạp.
a) Quy nạp toán học
Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy
diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n=
0 (hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan
trọng trong tốn học, cơ sở của nó là ngun lí quy nạp tốn học. (Phương pháp này
được đưa vào chương trình đại số và giải tích 11).

b) Quy nạp hồn tồn
6


Quy nạp hồn tồn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra
trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.
Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng
thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái quát như
sau:
S1 là P

S 2 là P
...
Sn là P

_________
∀S là P.
tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P. Phương
pháp này được đưa vào chương trình tốn phổ thơng ở dạng ẩn tàng.
Ví dụ:
- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí:
Trong một đường trịn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng
chắn một cung.
- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD 2003,
Đồn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong tam giác:

a
b
c
=

=
= 2R
sin A sin B sin C
với A, B, C là ba đỉnh; a, b, c là ba cạnh và 2R là đường kính của đường trịn ngoại tiếp
của tam giác ABC.
c) Quy nạp khơng hồn tồn.
Quy nạp khơng hồn tồn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về
lớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng
của lớp ấy.
Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song
kết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới
chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi.
7


Quy nạp khơng hồn tồn khơng thể xem là một phương pháp chứng minh trong
tốn học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa
đến kết luận đúng. Chẳng hạn, để tìm cơng thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét các
trường hợp riêng:
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

...
Các kết quả này cho phép dự đoán 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n 2 , tức là tổng của n
số lẻ đầu tiên bằng n 2 . Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng minh bằng
quy nạp tốn học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp khơng hồn tồn cũng có thể đưa

đến kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng 22 + 1 (số Fermat). Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta
n

được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố. Do đó ta có thể nghĩ rằng
tất cả các số Fermat đều là các số nguyên tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4,
Euler đã chỉ ra rằng 2 2 +1 chia hết cho 641. Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng
4

phương pháp quy nạp khơng hồn tồn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được
chứng minh.
Trong tốn học, phương pháp quy nạp hồn tồn nói chung, chỉ được sử dụng
một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề tốn học được bao gồm vơ số trường hợp riêng.
Do đó nói chung khơng thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được. Cịn
phương pháp quy nạp khơng hồn tồn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý
nghĩa to lớn trong việc tìm tịi, dự đốn, tìm ra tri thức mới.
Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí
hay cịn được giáo sư Hồng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí”. Trong khố luận này
chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp khơng hồn tồn.

8


2. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn
trong dạy học toán
Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu).
Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, cịn suy luận
suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh. Để làm rõ mối quan hệ của
chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí.
Trong tốn học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh
nhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí.

Một chứng minh tốn học là suy luận chứng minh cịn kết luận quy nạp của các
nhà vật lí, hố học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn
chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học,... đều thuộc về
các suy luận có lí.
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau
a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, khơng chối cãi được và dứt
khốt, cịn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện.
b) Đối với tốn học cũng như các mơn khoa học khác, vai trị của suy luận
chứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân tốn học) khơng có khả
năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà
chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.
c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và
được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết
của các suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và
khơng một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và
có sự nhất quán như logic chứng minh.
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau
Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà
trái lại bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng
minh với dự đốn, chứng minh có căn cứ với dự đốn khơng có căn cứ. Trong một suy
luận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đốn hợp lí hơn với dự
đốn ít hợp lí hơn. Trong “tốn học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn
9


mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau:
“Toán học được xem là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó chỉ là một khía
cạnh của nó. Tốn học, trình bày dưới hình thức hồn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh
(đó là cách trình bày trong các sách giáo khoa). Nhưng tốn học trong q trình hình
thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Chúng ta cần

phải dự đốn về một định lí tốn học trước khi chứng minh nó, phải dự đốn về đường
lối và tư tưởng chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các
kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại
nhiều lần. Kết quả cơng tác sáng tạo của nhà tốn học là suy luận chứng minh, là chứng
minh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán. Nếu
việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành tốn học như thế nào thì trong
việc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đốn, cho suy luận có lí”.
Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suy
luận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết với
nhau, thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Chúng là một cặp phương pháp
luôn được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ
cho nhau. Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có
quy nạp (quy nạp khơng hồn tồn) để dự đốn ra cái chung đã. Nói cách khác, quy
nạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp,
khẳng định hay phủ định những dự đoán (giả thuyết) của bước quy nạp. Cứ như thế,
mỗi bước quy nạp sau, con người lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện
tượng, hiểu biết càng nhiều về bản chất chung của thế giới.
Trong từ điển tốn học thơng dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suy diễn
và quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bề
ngồi chúng có vẻ tương phản. Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quy
nạp, vì bất cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vật
một cách quy nạp. Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sự
nhận thức của quy luật chung”. Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ
cũng thống nhất với nhau trong q trình nhận thức.
Ví dụ:
10


Bài tốn định lí lớn Fermat: Phương trình x n + y n = z n (1) khơng có nghiệm
ngun khác khơng, với bất kì số ngun n ≥ 3 .

Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên.
Với n = 2: x 2 + y 2 = z 2 . Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác
vuông, với cạnh huyền a thì ln có

b 2 + c 2 = a 2 . Đây chính là nội dung định lí

Pythagore.
Với n = 3: x 3 + y 3 = z 3 là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh
năm 1770.
Với n = 4: x 4 + y 4 = z 4 cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat
chứng minh.
Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350
năm mới chứng minh hồn tồn định lí này.
Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết có
được bằng suy luận quy nạp khơng hồn tồn. Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có
nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫn
không được chứng minh hay bác bỏ. Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ
nhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của tốn học. Ví dụ “Một chân
trời mới cho giả thuyết Gơn - bac”, (xem Toán học & Tuổi trẻ, số 7/2004).
3. Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán.
“Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ
trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và
tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn tốn học trong q trình hình thành và phát
triển, trong q trình tìm tịi phát minh thì trong phương pháp của nó vẫn có mị mẫm,
dự đốn, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp. Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có
thể hướng dẫn học sinh hoc toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng mơn tốn để
thực hiện giáo dục toàn diện.” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25).
Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học
toán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau:
11

a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân
tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hố, trừu tượng hố,...khơng
những cần thiết cho việc học tốn mà cịn cần thiết cho các mơn khoa học khác, cho
cơng tác và hoạt động của con người.
Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi từ tam
uuu 2
r

uuur 2

uuu 2
r

giác ABC có góc A vng để đi đến biểu thức BC − AC − AB = 0 nhờ định lí
Pythagore, rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vng thì
uuu 2 uuur 2 uuu 2
r
r
BC − AC − AB ≠ 0 và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tự
như sau:
- Tam giác ABC vuông nên a 2 = b 2 + c 2 . Vơí tam giác ABC khơng vng thì a 2
sẽ bằng b 2 + c 2 thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ). Vấn đề của ta là tìm xem
lượng đó bằng bao nhiêu?
- Ta sử dụng công cụ vectơ:
uuu 2
r

uuur 2

uuu 2
r

+ a 2 = b 2 + c 2 được viết lại thành BC = AC + AB .
uuu
r

uuur uuu
r

+ Ta ln có: BC = AC − AB .
uuu 2
r

uuur uuu
r

uuu 2
r

uuur 2

uuu 2
r

uuur uuu
r

uuur uuu
r

Suy ra BC = ( AC − AB ) 2 ⇔ BC = AC + AB − 2 AC. AB cos( AC , AB ) ,
Dựa vào công thức tích vơ hướng của hai vectơ ta đưa đến kết quả:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A (*)

- So sánh: khi A = 900 thì (*) trở thành a 2 = b 2 + c 2 . Như vậy, định lí Pythagore
là một truờng hợp riêng của (*).
- Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta ln có:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A .

- Hơn thế nữa, bằng tương tự suy ra:

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B

và

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C .

Từ đây học sinh có thể tự mình trình bày nội dung định lí và cách chứng minh
nó vào vở một cách hoàn chỉnh.
b) Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn gốc, xuất xứ của khái niệm, định lí,
con đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm, định lí đó,... Học
12


sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục vụ thực tế, chẳng hạn
trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà u cầu là khơng được chặt nó

xuống,...việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp mà phải mở rộng, nghiên cứu
hình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính tốn trên thực tế. Đồng thời
thấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, của các ngành
khoa học khác, thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học
như vật lí, hố học, sinh học, kĩ thuật, kinh tế,... Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ
thuận biểu thị bởi cơng thức y = ax được sử dụng trong:
- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với
1
2

đường cao tương ứng h: S = ah .
- Tính quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc v và thời
gian t: s = v.t .
- Tính phân tử gam M của một chất khí biết số khối d của chất khí đó đối với
khơng khí: M = 29d .
c) Không những thế, bằng quy nạp, tự bản thân học sinh, với khả năng của
mình, có thể phát hiện ra các tri thức mới đối với bản thân, tập luyện “sáng tạo” toán
học ở mức độ người học sinh phổ thông. Vừa làm cho học sinh tiếp thu kiến thức một
cách chủ động, khơng cịn áp đặt như trước, học sinh vận dụng đúng các kiến thức
toán hơn, vừa làm cho học sinh tự tin hơn trong học toán cũng như trong học tập. Từ
đó mà khuyến khích học sinh học tốn, học tìm tịi và phát hiện - bước đầu tiên để trở
thành một nhà toán học, nhà khoa học vĩ đại trong tương lai.
Ví dụ: Khi dạy định lí đảo về dấu tam thức bậc hai theo sách giáo khoa thí điểm,
ta khơng đưa ngay nội dung định lí như đối với sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp
nhất 2000) mà ta dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai với nhận xét trường hợp
af ( x ) < 0 khi nào?

Tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghịêm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) thì
af ( x ) < 0 với mọi x  ( x1 , x2 ) ta hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo: ∃α ∈ R sao cho

13


af (α ) < 0 thì phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) và
x1 < α < x2 .

Nói tóm lại phương pháp quy nạp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học tốn. Bởi
thế mà giáo sư Hồng Chúng đã nói: “Do ý nghĩa to lớn của suy luận quy nạp, trong
dạy học hình học cần khai thác mọi cơ hội để hướng dẫn học sinh tìm tịi, phát hiện, dự
đốn các tính chất, các quan hệ. Những bài tập về tìm tịi và dự đốn bằng quy nạp có
nhiều tác dụng rèn luyện tư duy và gây hứng thú học tập cho học sinh”.
4. Mục đích của dạy học tốn
Trong "Phương pháp dạy học mơn tốn" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKH Nguyễn
Bá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thông là:
- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực
tiễn bởi thơng qua bộ mơn tốn chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một hệ thống
vững chắc các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng
những hiểu biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất.
- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy
biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng hợp, so sánh,
khái quát,...,các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập sáng tạo,...
- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ. Mơn tốn góp
phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện các phẩm
chất của người lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn thận, chính xác, có
mục đích, có kế hoạch, phương pháp, kỷ luật, sáng tạo, có óc thẩm mỹ,...
Phương pháp quy nạp có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc thực
hiện các mục đích nêu trên. Cụ thể:
- Qua thực hiện phương pháp quy nạp, học sinh tự mình tìm tịi, khám phá, rút
ra các tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến vận dụng
tốt hơn.

- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệt
là khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự...dẫn đến sáng tạo. Ngồi ra học sinh cịn rèn

14


luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa chọn nhằm phát triển
năng lực phê phán.
- Ngồi ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và khám
phá.
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một việc
phải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT.
Vì vậy sách giáo khoa tốn ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu hướng
tiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan trọng này cho
học sinh. Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các tính chất, định lý từ
sớm ( ngay từ lớp 7).
Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy nạp cho
học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Tồn có nêu: “Tốn học
là một mơn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic, nhưng cách dạy của
chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp”.
Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và đang đẩy
mạnh đổi mới phương pháp dạy học. Sách giáo khoa cũng đang được chỉnh sửa cho
phù hợp với xu hướng này. Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện nay đã thay đổi
cách trình bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên rèn luyện phương pháp
quy nạp cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học. Cụ thể như sau:
a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt để
học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái qt hóa hay trừu tượng hóa.
Ví dụ 1: Trong chương trình tốn 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong của

một tam giác bằng 1800”
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh.
- Sách giáo khoa mới:
+ Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác đó,
tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả.
15


+ Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề với góc
cịn lại. Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả.
+ Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánh góc mới
tạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó.
Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10)
- Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp định nghĩa.
- Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ lệ
thuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch: thời
gian hồn thành một khối lượng cơng việc với năng suất thực hiện cơng việc đó, bảng
nhiệt độ trong năm của một tỉnh, thành phố nào đó.
Qua đó giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp để nhận biết: ở mỗi
trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và một đại lượng
nữa có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai
Từ đó hướng dẫn học sinh nhận xét để rút ra dấu hiệu bản chất: Với mỗi phần
tử x thuộc tập số A đều tương ứng với mỗi phần tử xác định y thuộc tập hợp số B.
Sau cùng giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu định nghĩa có nội dung như
trong sách giáo khoa.
Ví dụ 3: Chẳng hạn như khi dạy bài vị trí tương đối của một mặt cầu với đường
thẳng và mặt phẳng (Hình học 11):
- Trước tiên ta phải làm cho học sinh thấy được vì sao cần phải xét các vị trí
tương đối này? Do ở bài trước ta đã biết được vị trí tương đối của một điểm đối với
một mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm, đường thẳng

và mặt phẳng. Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặt cầu, giờ cần nghiên
cứu vị trí tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng và mặt phẳng) với mặt cầu.
- Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn
đã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
trong không gian.

16


- Giới thiệu cho học sinh thấy các mơ hình trong thực tế, ví dụ như khi bổ một
quả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của một chậu nước,
cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tương đối giữa mặt phẳng
và mặt cầu.
- Qua đó học sinh có thể rút ra kết luận cuối cùng về các vị trí tương đối của một
mặt phẳng với một mặt cầu.
Việc đổi mới này nhằm giúp học sinh không thụ động khi nghe giảng, học sinh
phải động não và hoạt động theo những mức độ khác nhau để có thể trả lời các câu hỏi,
qua đó thực hiện các hoạt động tích cực xây dựng bài học.
b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính logic của
vấn đề mà chú trọng đến tính thực tế.
Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm
nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lí. Các tính chất và định lí này nhiều
lúc rất hiển nhiên, hồn tồn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứng
minh nó lại khơng đơn giản và khơng mang lại lợi ích gì nhiều. Chẳng hạn tính chất
duy nhất của vectơ đối (hình học 10). Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liên
hệ thực tiễn. sự cần thiết phải có chúng trong thực tế.
Ví dụ 1: Trong chương trình tốn 8, khi dạy về phương trình:
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của phương
trình.
- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, khơng đưa tập xác định vào ngay mà đợi

đến khi có vấn đề do khơng có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào, điều đó
vừa có tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa có tác dụng
giải thích lí do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xác định của phương
trình.
Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số và
giải tích 11).

17


- Sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000), tr.134-136 nêu ngay định
lí:
f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 suy ra ∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0 .
- Sách giáo khoa thí điểm do Trần Văn Hạo tổng chủ biên, tr. 190-191 sau khi
nêu định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) có nêu ý nghĩa hình học
của định lý, nhắc lại một hình ảnh thưc tế để nêu lên hệ quả khi đường thẳng y = m lại
là y = 0 (trục hồnh).
Tóm lại, sách giáo khoa thí điểm :
- Đã chú ý nhiều khi xây dựng kiến thức toán qua con đường quy nạp - thể hiện
một yêu cầu cần phải đạt dược trong khi dạy học toán, đồng thời cũng là một gợi ý để
khuyến khích chúng ta tìm nhiều cách dạy thích hợp khác nhằm thực hiện được yêu
cầu này.
- Cách xây dựng như vậy ở lớp 10 rõ nét hơn, nhiều hơn so với lớp 11. Đây
cũng là một điều dễ hiểu, vì phải phù hợp với sự phát triển tâm sinh lí của học sinh.
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ
thông
a) Qua trao đổi, dự giờ chúng tôi nhận thấy một trong những yếu điểm của hoạt
động dạy và học của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểu thầy giảng
trò ghi, thầy đọc trò chép, vai trị của học sinh có phần thụ động. Phương pháp đó làm
cho học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo, thói quen học lệch, học tủ,

học để đi thi mà thôi.
Trước đây khi sử dụng sách giáo khoa cũ, giáo viên cũng đã cố gắng tìm tịi làm
cho tốn học gần gũi với thực tế, giảm bớt yêu cầu chặt chẽ, cứng nhắc hơn cho học
sinh song cũng chưa nhiều và chưa đầy đủ, phương pháp quy nạp vẫn chưa được sử
dụng hiệu quả và khai thác triệt để.
Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ra đẩy mạnh phương pháp dạy
và học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của
học sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật và công nghệ
thông tin vào dạy học, phương pháp quy nạp đã được sử dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn.
18


Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm tốn học (Maple, Geometer’s Sketchpad,
Geospack,...), giáo viên có thể biểu diễn trực quan cho học sinh thấy được các hình ảnh
khơng gian 2 chiều, 3 chiều, các hình ảnh động,... qua đó học sinh dễ dàng phát hiện,
dự đốn các kiến thức “mới” phù hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương
trình giảng dạy. Đặc biệt là sách giáo khoa thí điểm khi đưa vào thực hiện đại trà sẽ là
một chổ dựa tin cậy cho giáo viên tiến hành rèn luyện và phát triển phương pháp quy
nạp cho học sinh.
b) Kết quả cuộc thăm dò ý kiến về việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
trong dạy học toán của giáo viên tại 3 trường: trung học phổ thơng Nguyễn Đình Chiểu
- Phong Điền - Huế, trung học phổ thông Hải Lăng - Quảng Trị và trung học phổ thông
Đào Duy Từ - Đồng Hới - Quảng Bình cũng đã thu thập được nhiều số liệu đáng lưu
ý:
*) Tất cả giáo viên được phỏng vấn đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện năng
lực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, thậm chí rất cần thiết, khơng thể xem
nhẹ. Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việc rèn luyện năng
lực này khi học theo sách giáo khoa thí điểm.
*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải khi tiến
hành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:

- Về chủ quan:
+ Giáo viên phải dành nhiều thời gian và công sức cho việc chuẩn bị bài, soạn
giáo án.
+ Phải thay đổi thói quen giảng dạy hiện nay.
- Về khách quan:
+ Khối lượng kiến thức và số lượng bài tập cần cung cấp, giảng giải cho học
sinh khá lớn mà thơì gian dành để thực hiện cịn ít, chưa hợp lý.
+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay.
Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lực chuyên
môn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học. Đồng thời họ cũng mong
cấp trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêu cầu đạt được và
thời gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh).
19


*) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho học
sinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâu
những điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tịi, phát hiện ra.
*) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạp trong giờ
học nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung, những tiên đề định lí
khơng chứng minh.
*) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh các thao
tác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết.

20


Chương 2

Một số biện pháp thực hiện

Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các ví dụ
minh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt,... cùng với hệ
thống câu hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút ra các khái niệm,
các định lí, các kiến thức mới.
Để rèn luyện năng lực quy nạp, khả năng sử dụng phương pháp suy luận cho
học sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây:
1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp
1.1. Phân tích và tổng hợp
1.1.1. Mơ tả
Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc từng thuộc
tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái tồn thể đó.
Ngược lại, tổng hợp là dùng trí óc để hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết
hợp lại những hay khía cạnh khác nhau đã được rút ra trong cái toàn thể.
Đây là hai thao tác trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong
một thể thống nhất.
1.1.2. Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán
- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẽ
nằm trong một khái niệm, một định lí,...
- Từ những thuộc tính riêng lẽ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác,
đầy đủ một khái niệm, một định lí,...
- Đây là hai thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành các thao tác
khác.
1.1.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khi dạy khái niệm “ hàm số f(x) liên tục tại điểm x0”. Giáo viên có thể
tiến hành như sau:
21


- Kiểm tra bài cũ bằng cách yêu cầu học sinh làm các bài tập sau:

 x2 −1

1) Cho hàm số f(x) =  x − 1
2


x ≠1

, khi
, khi

x =1

, khi
, khi

x>0
x≤0

Tính lim f ( x ) và f(1)?
x →1
 x2 + 1
2) Cho hàm số f(x) = 
2 x + 1

Tính xlim f ( x) , xlim f ( x) (nếu có), lim f ( x) và f(0) ?
x→0
→0
→0
+

−

 x2 + 1
3) Cho hàm số f(x) = 
x −1

x ≤1
x >1

, khi
, khi

lim
lim
Tính x→1 f ( x) , x →1 f ( x) ?
+

−

Học sinh tính tốn và đưa ra kết quả cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
- Hàm số có tính chất như ở 1) được gọi là hàm số liên tục, từ đó học sinh tổng
lim
quát nêu định nghĩa: x → x f ( x) = f ( x0 ) .
0

lim
lim
- Ta tiến hành phân tích định nghĩa: x → x f ( x) tồn tại khi nào? ( x → x f ( x) tồn tại
0

0

khi và chỉ khi tồn tại xlim f ( x) , xlim f ( x) và xlim f ( x) = xlim f ( x) ).
→x
→x
→x
→x
+
0

−
0

+
0

−
0

- Hàm số f(x) có f ( x0 ) tức là hàm số này xác định tại x0 .
lim
Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 ⇔ x→ x f ( x) = f ( x0 ) được phân tích thành:
0

+ tồn tại f ( x0 ) hay hàm số xác định tại x0 .
+ xlim f ( x) = a .
→x
+
0

+ xlim f ( x) = b .
→x
−
0

+ a = b = f ( x0 ) .
Tổng hợp lại ta có: một hàm số f(x) muốn liên tục tại điểm x0 thì phải thỏa mãn
cả 4 điều kiện trên. Như vậy hàm số ở 2) cũng là một hàm số liên tục nhưng hàm số ở
3) không phải là hàm số liên tục.
22


Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm số liên
tục tại điểm x0 . Giáo viên có thể sử dụng ln hai bài tập 1) và 2) làm hai ví dụ minh
họa.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết
luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt
được sự giống và khác nhau giữa các định lí gần gủi nhau. Chẳng hạn định lí về hai
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba.
Phân tích giả thiết kết luận:
giả thiết:

( α ) ⊥ ( γ )

( β ) ⊥ ( γ )

( α ) I ( β ) = ∆

kết luận:

∆ ⊥(γ ) .

Phân tích các bước nhỏ của q trình chứng minh:
- Hiểu rõ giả thiết: ( α ) ⊥ ( γ ) ⇔ ∃a ⊂ ( α ) và a ⊥ ( γ )

( β ) ⊥ ( γ ) ⇔ ∃b ⊂ ( β ) và b ⊥ ( γ ) .
- Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu
của kết luận. Phân tích thành các trường hợp sau:
*) a ≡ ∆ hoặc b ≡ ∆ suy ra định lí đã được chứng minh.
*) a ≠ ∆ và b ≠ ∆ ⇒ a// b
và a ⊂ ( α ) ⇒ a // ∆ ⇒ ∆ ⊥ ( γ ) với ( α ) I ( β ) = ∆ .
Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải hướng dẫn học sinh:
- Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào, phân
tích cái đã cho và cái phải tìm...
- Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẻ nhau. Sau khi phân tích được một số ý
thì tổng hợp lai để xem ta có thu được điều gì bổ ích khơng, cịn thiếu yếu tố nào nữa?
- Tách bài tốn đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài tốn thành phần, bài
toán đặc biệt đơn giản hơn và dể hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả.

23


Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau (Đề thi tuyển sinh ĐH 1987).
“Chứng minh a 3 + b3 ≤ a 4 + b 4 (2) cho biết a + b ≥ 2 (1)”.
- Biến đổi kết luận: Nhận thây trong hai vế của kết luận đều có chứa cả a lẫn b
nên đưa về một vế để đặt thành thừa số chung.
4
3
4

3
3
3
(2) ⇔ a − a + b − b ≥ 0 ⇔ a ( a − 1) + b ( b − 1 ≥ 0 ) (3).

- Làm cho giả thiết và kết luận gần nhau: Đưa 2 từ vế phải sang vế trái ở giả
thiết và tách ra để gần gũi với (3).
(1) ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 0 (4).
- Tiếp tục phân tích vế trái của giả thiết: Tổng của hai số mà khơng âm thì chỉ có
3 khả năng xảy ra:
a − 1 ≥ 0
a ≥ 1
⇔
. Lúc này (3) đương nhiên đúng. Bất đẳng thức đã chứng
b − 1 ≥ 0
b ≥ 1

+ 
minh xong.

a − 1 ≥ 0
a − 1 ≤ 0


+ b − 1 ≤ 0
hay b − 1 ≥ 0
. Hai khả năng này là tương tự, ta chỉ cần xét
 a −1 ≥ b −1
 a −1 ≤ b −1




một là đủ.
a − 1 ≥ 0
a ≥ 1


⇔ b ≤ 1
. Từ điều kiện b ≤ 1 ta phân tích được thành các
b − 1 ≤ 0
 a −1 ≥ b −1
a − 1 ≥ b − 1



trường hợp:
b = 0 hay b = 1 và a ≥ 1 thì (3) hiển nhiên đúng.
b < 0 suy ra b3 ≤ 0 và b – 1< 0 nên b3 (b − 1) > 0. Do đó (3) đúng.
0 < b < 1 kết hợp với a ≥ 1 và lưu ý rằng 1- b > 0. Lúc đó
a − 1 b3
≥
(3) ⇔ a (a − 1) ≥ b (1 − b) ⇔
. Bất đẳng thức này đúng vì:
1 − b a3
3

3

3
0 < b < 1

b
b
nên < 1 ⇒   < 1

a
a ≥ 1
a

a-1 > 1- b nên

a −1
> 1.
1− b

24


Cách chứng minh trên đây tuy hơi dài dòng hơn đáp án đã có nhưng rõ ràng là ta
đã rèn luyện được cho học sinh các thao tác trên một cách có hiệu quả.
1.2. So sánh
1.2.1. Mơ tả
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng.
Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với
nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống và khác nhau.
1.2.2. Tác dụng
- Hiểu sâu và đúng các đối tượng quan sát.
- Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng.
- Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này.
1.2.3 Ví dụ minh họa
•

So sánh những sự vật, hiện tượng bề ngồi có vẻ khác nhau nhưng thực

chất là giống nhau, thậm chí có khi chỉ là một.
Ví dụ 1: . cos 2 x + sin 2 x và số 1:
dx
sin 2 x + cos 2 x
=∫
dx
∫ sin x cos x
sin x cos x
sin 3 x + cos3 x = sin x − cos x ⇔ sin 3 x + cos3 x = ( sin x − cos x ) ( sin 2 x + cos 2 x )
sin 2 x = 1 ⇔ cos 2 x = 0

. góc −

π
3π
và
chỉ là một điểm biểu diễn trên đường trịn lượng
2
2

giác.
•

So sánh các sự vật, hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau. Có khi

chúng khác nhau ở khía cạnh này nhưng lại giống nhau ở khía cạnh khác.
Ví dụ 2: + Hai hàm số y = a x và y = log a x là khác nhau, nhưng khi 0 < a < 1

thì chúng cùng nghịch biến cịn khi a > 1 thì chúng cùng đồng biến.

25