bài giảng phương trình vi phân đạo hàm riêng

Khoa Toán - Cơ - Tin học
Bộ môn Giải tích

Phơng trình
vi phân
đạo hàm riêng
Hà Nội, 2006
i Phơngtrìnhđạohmriêng
Mục lục
Chơng 1 Mở đầu. Phân loại phơng trình tuyến tính cấp hai 1
1.1 Giới thiệu chung . . . . . . . . . 1
1.2 Một số phơngtrìnhđạohàmriêngtiêubiểu 2
1.2.1 Các phơng trình đạo hàm riêng 2
1.3 Mộtsốvídụdẫntớicácbàitoánbiêncủaphơng trình đạo hàm riêng 3
1.3.1 Phơng trình dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Phơng trình truyền nhiệt trong môi trờng đẳng hớng 5
1.3.3 PhơngtrìnhLaplace 7
1.4 Phân loại phơng trình vi phân cấp hai trong trờng hợp hai biến . . . . 7
1.5 Tính đặt chỉnh của bài toán phơng trình đạo hàm riêng. Phản ví dụ
củaHadamard.ĐịnhlýCauchy-Kovalevskaia
13
Chơng 2 Phơng trình hyperbolic. Phơng trình truyền sóng trên dây 19
2.1 Đặtbàitoán 19
2.2 Phơng trình chuyển dịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy của phơng trình truyền sóng. Công thức
DAlembert
22
2.4 Nghiệm của bài toán biên-ban đầu. Phơngpháptáchbiến 25
2.5 Trờng hợp ngoại lực khác không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Giải bài toán biên-ban đầu với vế phải khác không . . . . . . . . . . . . 27
2.7 ý nghĩa vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chơng 3 Phơng trình elliptic. Bài toán biên của phơng trình Laplace 32
3.1 Hàm điều hoà. Các tính chất cơbản 32
3.1.1 Hàm điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Nghiệm cơ bản của phơngtrìnhLaplace 33
3.1.3 Công thức Green đối với toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.4 Các tính chất cơ bản của hàm điều hoà . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 BàitoánDirichlettrong(Bàitoánbiênthứnhất) 38
3.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Hàm Green. Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Bài toán Dirichlet ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 BàitoánNeumann 42
3.4 Giải bài toán Dirichlet trong trên mặt tròn bằng phơngpháptáchbiến 43
i
ii Mục lục
Chơng 4 Phơng trình parabolic. Phơng trình truyền nhiệt 50
4.1 Mở đầu. Định lý cực đại cực tiểu 50
4.2 Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban
đầu của bài toán Cauchy . . .
51
4.3 Giải bài toán Cauchy bằng phơngpháptáchbiến 51
4.4 Bài toán biên ban đầu thứ nhất 54
4.5 ý nghĩa vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Giải một số bài tập 57
Tài liệu tham khảo 66
1 Phơngtrìnhđạohmriêng
Chơng 1
Mở đầu. Phân loại phơng trình tuyến tính cấp hai
1.1 Giới thiệu chung
Phơng trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Có rất nhiều
mô hình trong tự nhiên đợc mô tả bởi một phơng trình hoặc một hệ phơng trình vi

phân nói chung và phơng trình vi phân đạo hàm riêng nói riêng.
Định nghĩa 1.1. Một phơng trình liên hệ giữa ẩn hàm
u(x
1
, ,x
n
), các biến độc lập
x
i
và các đạo hàm riêng của nó đợc gọi là một phơng trình vi phân đạo hàm riêng
(hay phơng trình đạo hàm riêng cho gọn). Nó có dạng
F
à
x, u(x),
u
x
1
, ,
u
x
n
, ,

k
u
x
k
1
1
ãããx

k
n
n
,
ả
=0, (1.1)
trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó, với ký hiệu x =(x
1
, ,x
n
) R
n
,
u(x)=u(x
1
, ,x
n
)
(a)
.
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của
u có mặt trong phơng trình đợc gọi là cấp
của phơng trình.
Phơng trình đợc gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và các đạo
hàm riêng của ẩn hàm. Ví dụ phơng trình tuyến tính cấp hai tổng quát đối với hàm
u = u(x, y) có dạng
a(x, y)

2
u

x
2
+2b(x, y)

2
u
xy
+ c(x, y)

2
u
y
2
+ d(x, y)
u
x
+ e(x, y)
u
y
+ f(x, y)u = g(x, y). (1.2)
Phơng trình đợc gọi là á tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với đạo hàm riêng cấp
(a)
Ngời ta thờng sử dụng ký hiệu
D
k
u =

|k|
u
x

k
1
1
ãããx
k
n
n
, với k =(k
1
, ,k
n
) N
n
.
2 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
cao nhất của ẩn hàm. Ví dụ phơng trình á tuyến tính cấp hai tổng quát có dạng
a(x, y, u, u
x
,u
y
)

2
u
x
2
+2b(x, y, u, u
x
,u
y

)

2
u
xy
+ c(x, y, u, u
x
,u
y
)

2
u
y
2
+ d(x, y, u, u
x
,u
y
)=0. (1.3)
Lý thuyết phơng trình đạo hàm riêng có hai n ét đặc thù cơ bản. Thứ nhất là
mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý, vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật
lý và cơ học dẫn đến các bài toán phơng trình đạo hàm riêng, vì vậy ngời ta còn
gọi phơng trình đạo hàm riêng là phơng trình vật lý toán. Những nhà tiên phong
trong lĩnh vực này là J.DAlembert (1717-1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli
(1700-1782), J.Lagrange (1736-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840),
J.Fourier (1768-1830). Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phơng trình đạo hàm
riêng với các ngành Toán học khác nh giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô, đại số, giải
tích phức.
Trong khuôn khổ chơng trình học, chúng ta sẽ đề cập đến các phơng trình tuyến

tính cấp hai cơ bản nhất và các bài toán biên hoặc bài toán giá trị ban đầu tơng ứng,
thông qua các phơng trình đặc trng của mỗi loại: đó là phơng trình Laplace, phơng
trình truyền nhiệt trên một thanh và phơng trình truyền sóng trên dây căng thẳng, đặc
trng cho phơng trình elliptic, parabolic và hyperbolic.
1.2 Một số phơng trình đạo hàm riêng tiêu biểu
Trongmụcnàytagiớithiệumộtsốphơng trình đạo hàm riêng tiêu biểu, có ứng
dụng trong thực tiễn trong các ngành khoa học thực nghiệm nh vật lý, hoá học, môi
trờng, khoa học trái đất,
1.2.1 Các phơng trình đạo hàm riêng
1. Phơng trình Laplace do Laplace đa ra vào khoảng năm 1780
u =
n
X
i=1
u
x
i
x
i
=0,x R
n
.
2. Phơng trình Helmholtz đợc Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860
u = u.
3. Phơng trình chuyển dịch tuyến tính
u
t
+
n
X

i=1
b
i
u
x
i
=0.
3 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
4. Phơng trình Liouville đợc nghiên cứu vào khoảng 1851
u
t

n
X
i=1
(b
i
u)
x
i
=0.
5. Phơng trình truyền nhiệt đợc Fourier công bố năm 1810-1822
u
t
= u.
6. Phơng trình Schrodinger (1926)
iu
t
+ u =0.
7. Phơng trình truyền sóng đợc DAlembert đ a ra năm 1752

u
tt
u =0.
và dạng tổng quát của nó
u
tt

n
X
i=1
a
ij
u
x
i
x
j
+
n
X
i=1
b
i
u
x
i
=0.
Trên đây là một số phơng trình đạo hàm riêng dạng tuyến tính, bên cạnh đó còn rất
nhiều phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến cũng nh hệ phơngtrìnhtiêubiểumà
trong khuôn khổ một giáo trình 30 tiết ta sẽ không đề cập đến. Mục tiếp sau đây sẽ

cho ta thấy một số cách xây dựng nên phơng trình đạo hàm riêng từ thực tiễn.
1.3 Một số ví dụ dẫn tới các bài toán biên của phơng trình đạo hàm
riêng
1.3.1 Phơng trình dao động của dây
Xét sợi dây căng thẳng theo trục Ox. Tác động làm sợi dây dao động. Ta sẽ nghiên
cứu quy luật dao động của sợi dây. Ta có các giả thiết:
Sợi dây rất mảnh và không cỡng lại sự uốn.
Có lực căng T tơng đối lớn so với trọng lợng của dây, tức là bỏ qua đợc trong
lợng của sợi dây.
Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là khi dao động, các phần tử
của dây chỉ chuyển động theo phơng vuông góc với trục
Ox, không xét các dao
động của dây nằm ngoài mặt phẳng
0ux.
4 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
XéttạivịtríđiểmM trênsợidây,kýhiệuđộlệchcủaM sovớivịtrícânbằnglàu,
khi đó
u = u(x, t),vớix là toạ độ của M trên dây và t là thời gian. Tại thời điểm
t = t
0
cho trớc ta có
u = u(x, t
0
)=f(x), (1.4)
tứclàtạiđiểmt = t
0
,tanhậnđợc hình dáng của dây rung u = f(x). Giả thiết thêm
rằng độ lệch của dây
u(x, t) và đạo hàm riêng
x

u là rất nhỏ và có thể bỏ qua đại
lợng
(
x
u)
2
. Xét đoạn dây giới hạn bởi hai điểm M
1
, M
2
với hoành độ tơng ứng x
1
và x
2
. Vì ta có thể bỏ qua đại lợng u
2
x
nên độ dài của đoạn dây M
1
M
2
bằng:
l
0
=
Z
x
2
x
1

p
1+u
2
x
dx x
2
x
1
= l, (1.5)
tức là bằng độ dài của đoạn M
1
M
2
ở trạng thái cân bằng, hay độ dài của sợi dây không
đổi khi nó dao động. Vậy, theo định luật Hooke, lực căng của sợi dây cũng không
thay đổi
T = T
0
. Tasẽthiếtlậpphơng trình dao động của dây dựa vào nguyên lý
DAlembert: Trong chuyển động của đ oạn dây, tổng các lực tác động vào đoạn dây,
kể cả lực quán tính bằng không; do đó tổng các hình chiếu của các lực trên một trục
bất kỳ là bằng không. Ta có hình chiếu lên trục
u của tổng các lực tác dụng lên đoạn
dây
M
1
M
2
, bao gồm lực căng của dây, ngoại lực tác dụng và lực quán tính bằng không.
Khiđótacólựccăngcủadâyhớng theo phơng tiếp tuyến tại

M
1
và M
2
,bằngT
0
.
Nh vậy tổng hình chiếu các lực căng tại
M
1
và M
2
lên trục u bằng
Y = T
0
[sin (x
2
) sin (x
1
)], (1.6)
với (x) là góc hợp với trục Ox của véctơ tiếp tuyến tại điểm x. Thay
sin (x)=
tan (x)
p
1+tan
2
(x)
=
u
x

q
1+
Ă
u
x
Â
2

u
x
(1.7)
vào (??),tađợc
Y = T
0
"
à
u
x
ả
x=x
2

à
u
x
ả
x=x
1
#
= T

0
Z
x
2
x
1

2
u
x
2
dx. (1.8)
Giả sử p(x, t) là ngoại lực tác động vào sợi dây, song song với trục u và phân phối trên
một đơn vị chiều dài. Khi đó hình chiếu trên trục
u của ngoại lực tác động lên đoạn
dâyđangxétlà
P =
Z
x
2
x
1
p(x, t)dx. (1.9)
Gọi tỷ trọng dài của sợi dây là (x) (tức là mật độ phân bố vật chất theo chiều dài).
Khiđólựcquántínhcủađoạndâyđangxétlà
Z =
Z
x
2
x

1
(x)

2
u
t
2
dx. (1.10)
5 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
Từ (??), (??), (??), áp dụng nguyên lý DAlembert ở trên ta đợc
Y + P + Z =
Z
x
2
x
1
à
T
0

2
u
x
2
(x)

2
u
t
2

+ p(x, t)
ả
dx. (1.11)
Chúýrằngx
1
và x
2
là những vị trí bất kỳ, ta suy ra biểu thức dới dấu tích phân
của
(??) phải triệt tiêu, tức là
(x)

2
u
t
2
= T
0

2
u
x
2
+ p(x, t). (1.12)
Phơng trình (??) đợc gọi là phơng trình dao động của dây. Trong trờng hợp dây
đồng chất, ngoại lực tác động bằng không, phơng trình
(??) trở thành

2
u

t
2
= a
2

2
u
x
2
, với a =
s
T
0
(x)
. (1.13)
Lẽ dĩ nhiên, phơng trình (??) có vô số nghiệm. Để xác định đợc nghiệm ta cần ấn
định thêm một số điều kiện phụ nào đấy, từ đó thiết lập nên các bài toán biên và bài
toán giá trị ban đầu cho phơng trình
(??). Việcnghiêncứucácbàitoánbiênvàbài
toán giá trị ban đầu đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu phơng trình vi phân đạo
hàm riêng. Khi số chiều của không gian tăng lên, ta có các bài toán truyền sóng trên
màng rung (
u = u(x, y, t)) và bài toán truyền âm trong không gian (u = u(x, y, z, t)).
Việc thiết lập các phơng trình đó đợc tiến hành tơng tự nh cách ở trên.
1.3.2 Phơng trình truyền nhiệt trong môi trờng đẳng hớng
XétmộtvậtthểrắnV giới hạn bởi mặt kín trơn S, mà nhiệt độ của nó tại điểm
(x, y, z) tại thời điểm t là một hàm u(x, y, z, t). Khi nhiệt độ tại các phần của vật thể
khácnhauthìtrongvậtthểđócósựtraođổinhiệtlợng từ phần nóng hơn sang phần
lạnh hơn. Xét một diện tích
S trong vật thể. Khi đó nhiệt lợng Q truyền qua diện

tích đó trong khoảng thời gian
t sẽ tỷ lệ với tích St và với
u
n
, trong đó vectơ

n
là vectơ pháp tại phần mặt S hớng theo chiều truyền nhiệt, tức là
Q = k
u
n
St, (1.14)
k
đợc gọi là hệ số truyền nhiệt. Vì môi trờng đang xét là đẳng hớng nên hệ số k
không phụ thuộc vào phơng của mảnh S mà chỉ phụ thuộc vào (x, y, z).Tathiết
lập sự thay đổi nhiệt lợng trong
V trong khoảng thời gian t
1
đến t
2
bất kỳ, từ đó thiết
lập đợc phơng trình truyền nhiệt. Gọi
(x, y, z) là nhiệt dung và (x, y, z) là tỷ khối
của
V tại điểm (x, y, z),phầnthểtíchV sẽ hấp thụ đợc một nhiệt lợng Q
1
là
Q
1
=[u(x, y, z, t

2
) u(x, y, z, t
1
)](x, y, z)(x, y, z)V. (1.15)
Từ đó suy ra thể tích V sẽ hấp thụ một lợng nhiệt là
Q
1
=
ZZZ
V
[u(x, y, z, t
2
) u(x, y, z, t
1
)](x, y, z)(x, y, z)dV (1.16)
6 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
hay
Q
1
=
Z
t
2
t
1
dt
ZZZ
V

u

t
dV. (1.17)
Mặt khác, nhiệt lợng Q
1
bằng tổng nhiệt lợng Q
2
truyền từ ngoài vào qua biên S và
lợng nhiệt
Q
3
tự sinh trong V do các nguồn nhiệt khác nhau trong V .Tacó
Q
2
=
Z
t
2
t
1
dt
ZZ
S
k(x, y, z)
u
n
dS, (

n là pháp tuyến trong của S). (1.18)
Gọi F là mật độ nguồn nhiệt trong vật thể tại từng điểm. Khi đó
Q

3
=
Z
t
2
t
1
dt
ZZZ
V
F (x, y, z, t)dV. (1.19)
Kết hợp (??), (??), (??) và hệ thức Q
1
= Q
2
+ Q
3
,tađợc
Z
t
2
t
1
dt
ZZZ
V

u
t
dV =

Z
t
2
t
1
dt
ZZ
S
k(x, y, z)
u
n
dS +
Z
t
2
t
1
dt
ZZZ
V
F (x, y, z, t)dV.
(1.20)
áp dụng công thức Oxtrogradski, chú ý rằng ~n là pháp tuyến trong của S,tađợc
Z
t
2
t
1
dt
ZZZ

V
à

u
t
div(k

gradu) F (x, y, z, t)
ả
dV =0. (1.21)
Vì thể tích V đợc lấy bất kỳ, ta có

u
t
=div(k

gradu)+F (x, y, z, t). (1.22)
Phơng trình này gọi là phơng trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hớng không
thuần nhất.Trongtrờng hợp thuần nhất, các hệ số
, và k đềulàhằngsố,phơng
trình truyền nhiệt ở trên trở thành
u
t
= a
2
à

2
u
x

2
+

2
u
y
2
+

2
u
z
2
ả
+ f(x, y, z, t):=u + f(x, y, z, t), (1.23)
với
a =
s
k

,f(x, y, z, t):=
F (x, y, z, t)

.
Khi số chiều giảm, ta sẽ đợc các phơng trình truyền nhiệt trên bản mỏng (u =
u(x, y, t)) và trên thanh (u = u(x, t)). Tơng tự phơng trình truyền sóng, ta cũng thiết
lập các điều kiện ban đầu và điều kiện biên để xác định nghiệm của phơng trình
truyền nhiệt, ta dẫn đến bài toán giá trị biên-ban đầu của phơng trình truyền nhiệt
hoặc bài toán Cauchy c ủa phơng trình truyền nhiệt.
7 Chơng1.Mởđầu.Phânloại

1.3.3 Phơng trình Laplace
Xét phơng t rình (??). Giả sử sau một thời gian nào đó, nhiệt độ trong môi trờng
ổn định, không có sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian. Khi đó ta dẫn đến phơng trình
u =

2
u
x
2
+

2
u
y
2
+

2
u
z
2
=0, (1.24)
gọi là phơng trình Laplace. Đối với phơng trình loại này, ta thiết lập các bài toán
biên, với các giá trị trên biên đợc cho dới dạng trực tiếp (
u|
S
= (P )) hoặc gián tiếp
(
u
n

|
S
= (P )). Bài toán tìm phân bố dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ
đãchotrênbiênđợc gọi là Bài toán Dirichlet, theo tên nhà toán học L.Dirichlet là
ngời đầu tiên nghiên chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán này. Bài toán tìm
nghiệm của phơng t rình dừng khi biết giá trị trên biên của đạo hàm theo hớng p háp
tuyến của ẩn hàm đợc gọi là Bài toán Neumann. Bài toán tìm nghiệm của phơng
trình khi biết giá trị trên biên của tổng giữa ẩn hàm cần tìm và đạo hàm theo hớng
pháp tuyến của ẩn hàm gọi là Bài toán hỗn hợp. K hi vế phải của phơng trình là một
hàm khác không thì ta gọi là Phơng trình Poisson. Việc nghiên cứu các phơng trình
ở trên cũng nh các bài toán tơng ứng không chỉ có ý nghĩa về mặt định tính mà
còn có ứng dụng rất thực tiễn trong các bài toán vật lý, hoá học, sinh thái học,
.
Có thể nêu một ví dụ đơn giản nhất là mô tả chuyển động không xoáy của chất lỏng
lý tởng (thuần nhất, không nén đợc), tức là vect ơ vận tốc
v của chất lỏng lý tởng
sẽ là vector thế, tức là tồn tại hàm thế
(x, y, z) sao cho ~v(x, y, z)=

grad. Khi đó
phơng trình chuyển động liên tục cho ta
div ~v =0,
hay
div

grad =0,
tức là

2

x
2
+

2

y
2
+

2

z
2
=0.
1.4 Phân loại phơng trình vi phân cấp hai trong trờng hợp hai biến
Chúng ta đi phân loại phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai trong trờng hợp
hai biến. Xét phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với các hệ số thực
a(x, y)u
xx
+2b(x, y)u
xy
+ c(x, y)u
yy
+ F(x, y, u, u
x
,u
y
)=0, (1.25)
và điểm (x

0
,y
0
) cố định. Phơng trình (??) tại điểm (x
0
,y
0
) đợc gọi là
a) thuộc loại ellip (hay phơng trình elliptic) nếu tại điểm đó
b
2
ac < 0,
b) thuộc loại hyperbol (hay phơng trình hyperbolic) nếu tại điểm đó
b
2
ac > 0,
8 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
c) thuộc loại parabol (hay phơng trình parabolic) nếu tại điểm đó b
2
ac =0.
Nếu phơng trình
(??) thuộc một loại nào đó tại mọi điểm thuộc miền G thì nói rằng
phơng trình thuộc loại đó trong miền
G.Ngời ta chứng minh đợc rằng qua phép
đổi biến bất kỳ
= (x, y),
= (x, y),
với (x, y), (x, y) C
2
(G) và

D(, )
D(x, y)
6=0, (1.26)
loại của phơng trình sẽ không thay đổi. Từ đó, thông qua phép đổi biến (x, y) (, ),
ta sẽ đaphơng trình đợc xét về một phơng trình có dạng chính tắc. Thật vậy, với
phép đổi biến ở trên, ta có
u
x
= u


x
+ u


x
,
u
y
= u


y
+ u


y
,
u
xx

= u


2
x
+2u


x

x
+ u


2
x
+ u


xx
+ u


xx
,
u
xy
= u

x

y
+ u

(
x

y
+
y

x
)+u


x

y
+ u


xy
+ u


xy
,
u
yy

= u


2
y
+2u


y

y
+ u


2
y
+ u


yy
+ u


yy
.
Thay các đại lợng trên vào phơng trình (??) ta đợc
a
1
(, )u

+2b
1
(, )u

+ c
1
(, )u

+ F
1
(, ,u,u

,u

)=0, (1.27)
với
a
1
= a
2
x
+2b
x

y
+ c
2
y
,
b

1
= a
x

x
+ b(
x

y
+
y

x
)+c
y

y
, (1.28)
c
1
= a
2
x
+2b
x

y
+ c
2
y

.
Tính toán đơn giản ta đợc
b
2
1
a
1
c
1
=(b
2
ac)(
x

y

y

x
)
2
. (1.29)
Nếu chọn , là các hàm thoả mãn phơng trình
az
2
x
+2bz
x
z
y

+ cz
2
y
=0, (1.30)
thì trong (??) ta có a
1
= c
1
=0,tứclàphơng trình ban đầu trở nên đ ơn giản hơn,
từ đó đaphơng trình đợc xét về phơng trình dạng chính tắc. Bổ đề dới đây thể
hiện mối liên quan giữa nghiệm của phơng trình
(??) với việc đaphơng trình (??)
về dạng đơn giản hơn.
9 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
Bổ đề 1.1. Nếu z = (x, y) là một nghiệm của phơng trình (??) thì hệ thức
(x, y)=C, C R, (1.31)
xác định nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thờng
ady
2
2bdxdy + cdx
2
=0. (1.32)
Ngợc lại, nếu (x, y)=C là nghiệm tổng quát của phơng trình (??) thì hàm z = (x, y)
là nghiệm riêng của phơng trình (??).
Chứng minh.
()
Theo giả thiết, vì z = (x, y) là nghiệm của (??) nên ta có
a
2
x

+2b
x

y
+ c
2
y
=0, (1.33)
hay
a
à


x

y
ả
2
2b
à


x

y
ả
+ c =0. (1.34)
Theo định lý hàm ẩn, hàm y = y(x) đợcxácđịnhtừhệthức(??) có đạo hàm bằng
y
0

(x)=

x

y
. (1.35)
Từ đó suy ra (??).
() Ngợc lại, nói rằng biểu thức (??) là nghiệm của (??) có nghĩa là ẩn hàm y(x)
xácđịnhtừhệthức(??) thoả mãn (??) với mọi giá trị nào đó của hằng số C.
Để chứng minh hàm
z = (x, y) là nghiệm của (??) ta hãy chứng minh rằng (??)
đợc thoả mãn tại mọi điểm (x
0
,y
0
) bất kỳ trong miền xác định của (x, y). Thật vậy,
xét điểm
(x
0
,y
0
),đặtC
0
= (x
0
,y
0
) và xét ẩn hàm y(x) xácđịnhtừhệthức
(x, y)=C
0

.
Theo giả thiết, hàm y nh trên sẽ thoả mãn (??), tức là thoả mãn (??) tại điểm (x
0
,y
0
).
Theo
(??),tacó
y
0
(x
0
)=

x
(x
0
,y
0
)

y
(x
0
,y
0
)
. (1.36)
Thay vào (??) ta đợc (??) tại điểm (x
0

,y
0
) và do đó có (??) tại (x
0
,y
0
).Từđósuyra
điều phải chứng minh.
Phơng trình (??) đợc gọi là Phơng trình các đờng đặc trng của (??),đờng cong
tích phân
(x, y)=C đợc gọi là đờng cong đặc trng của (??). Nếu từ hệ thức (??)
10 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
ta không suy ra đợc ẩn hàm y theo x thì ta tráo đổi vai trò của y và x, tìm ẩn hàm
x = x(y) thoả mãn phơng trình
a 2bx
0
+ cx
0
2
=0.
Trong những trờng hợp cụ thể ta có thể đacácphơng trình về dạng chính tắc nh
sau:
Trờng hợp phơng trình hyperbolic Ta có = b
2
ac > 0.
1. Trờng hợp
a 6=0. Khi đó phơng trình (??) có hai nghiệm thực đối với y
0
là
y

0
1,2
=
b

b
2
ac
a
,
từ đó suy ra hai nghiệm
y = f
1
(x, C
1
),
y = f
2
(x, C
2
),
hay viết dới dạng tích phân tổng quát

1
(x, y)=C
1
,

2
(x, y)=C

2
,
áp dụng bổ đề ta có thể xét phép đặt
=
1
(x, y),
=
2
(x, y),
và thay vào phơng trình (??) thì a
1
= c
1
=0,vàphơng trình ban đầu sẽ
có dạng chính tắc
u

= F

1
(, ,u,u

,u

). (1.37)
2. Trờng hợp a =0.Khiđóphơng trình các đờng đặc trng của (??) có
dạng
a 2bx
0
+ cx

0
2
=0, ta có ngay dạng chính tắc
u
xy
= F

(x, y, u, u
x
,u
y
). (1.38)
3. Nếu thực hiện phép đổi biến
= , = + ,
thì dạng chính tắc của phơng trình (??) có dạng
u

u

= (, ,u,u

,u

). (1.39)
11 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
Ví dụ 1.
u
xx
7u
xy

+12u
yy
+ u
x
2u
y
3u =0. (1.40)
Phơng trình đờng đặc trng y
0
2
+7y
0
+12=0có biệt thức =1> 0. Từ đó,
áp dụng bổ đề
?? ởtrêntađợc nghiệm của phơng trình đờng đặc trng là
y
0
= 3 và y
0
= 4.Từđótacóhaiđờng cong tích phân tổng quát tơng ứng
y +3x = C
1
, (1.41)
y +4x = C
2
. (1.42)
Đặt = y +3x, = y +4x.Từđóphơng trình chính tắc là
u
00

+ u

+2u

+3u =0. (1.43)
Trờng hợp phơng trình elliptic Ta có = b
2
ac < 0. Giả thiết rằng a, b, c là những
hàm giải tích đối với
x và y.Phơng trình đờng đặc trng của (??) có hai
nghiệm phức liên hợp. Khi đó nghiệm tổng quát của phơng trình đờng đặc
trng có dạng
(x, y)=C và

(x, y)=C.Đặt
= (x, y),
=

(x, y),
ta đợc
a
1
= a
2
x
+2b
x

y
+ c

2
y
=0, (1.44)
c
1
= a
2
x
+2b

x


y
+ c
2
y
=0. (1.45)
Ký hiệu (x, y)=(x, y)+i(x, y),với, là các đại lợng thực. Tách phần
thực và phần ảo trong
(??) ta đợc
a
2
x
+2b
x

y
+ c
2

y
= a
2
x
+2b
x

y
+ c
2
y
, (1.46)
a
x

x
+ b(
x

y
+
y

x
)+c
y

y
=0. (1.47)
Bây giờ xét phép đổi biến

= (x, y),
= (x, y),
ta có
D(, )
D(x, y)
6=0,
(Thực chất ở đây ta đặt
=
1
2
((x, y)+

(x, y)), =
1
2
((x, y)

(x, y))
12 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
mà thôi!). Từ các tính toán ở trên, phơng trình (??) sẽ trở thành
a
2
u

+2bu

+ c
2
u

+ F
2
(, ,u,u

,u

)=0, (1.48)
với a
2
= c
2
,b
2
=0,vàa
2
c
2
b
2
2
> 0.Phơng trình chính tắc của phơng trình (??)
sẽ có dạng
u

+ u

= (, ,u,u

,u

). (1.49)
Ví dụ 2.
u
xx
+2u
xy
+5u
yy
2u
x
+3u
y
=0. (1.50)
Phơng trình đờng đặc trng: y
0
2
2y
0
+5= 0 có biệt thức = 4 < 0.Từđó
phơng trình có nghiệm phức
y
0
=1+2i, kéo theo đờngcongtíchphântơng
ứng
y x 2ix = C
1
.Đặt
= y x, (1.51)
= 2x. (1.52)
Từ đó phơng trình chính tắc tơng ứng là

u

+ u

+
1
25
(u

+4u

)=0. (1.53)
Trờng hợp phơng trình parabolic Tơng ứng với trờng hợp = b
2
ac =0.Khi
đó phơng trình đờng đặc trng có nghiệm kép
(x, y)=C. (1.54)
Ta dùng phép thế biến
= (x, y), = (x, y), (1.55)
với (x, y) tùyýthoảmãn
D(, )
D(x, y)
6=0. (1.56)
Tính toán tơng tự trờng hợp hyperbolic, các hệ số a
1
,b
1
triệt tiêu, còn c
1
không

triệt tiêu. Khi đó phơng trình chính tắc của phơng trình
(??) trong trờng hợp
nàycódạng
u

= (, ,u,u

,u

). (1.57)
Chúýrằngtrongtrờng hợp b =0thì phơng trình (??) có sẵn dạng (??).
13 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
Ví dụ 3.
u
xx
+4u
xy
+4u
yy
+5u
x
+ u
y
+12u =0. (1.58)
Ta có phơng trình đờng đặc trng là y
0
2
+4y
0
+4=0 có biệt thức =0,vậyđâylà

phơng trình parabolic. Phơng trình đặc trng có nghiệm
y
0
= 2,suyray +2x = C.
Xét phép đổi biến
= y +2x, (1.59)
= y. (1.60)
Rõ ràng và trực giao với nhau. Theo phần lý thuyết, các hệ số a
1
và b
1
triệt tiêu,
còn
c
1
=4. Vậy ta có dạng chính tắc của phơng trình đã cho là
4u

+5(2u

)+u

+ u

+12u =0 (1.61)
u

+
11
4

u

+
1
4
u

+3u =0. (1.62)
1.5 Tính đặt chỉnh của bài toán phơng trình đạo hàm riêng. Phản ví
dụ của Hadamard. Định lý Cauchy - Kovalevskaia
Trong các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán của phơng trình đạo hàm riêng,
một vấn đề thực tiễn đặt ra là các sai số do thực nghiệm, đo đạc các số liệu thực tiễn
sẽ ảnh hởng đến sai số của nghiệm. Do đó việc mô hình hóa toán học các quá trình
vật lý cần thỏa mãn các đòi hỏi sau:
Nghiệm của bài toán phải tồn tại trong một lớp hàm X nào đó.
Nghiệm đó là duy nhất trong một lớp hàm Y nào đó.
Nghiệm của bài toán phụthuộcliêntụcvàocácdữkiệnđãchocủa bải toán
(điều kiện ban đầu, điều kiện cho trên biên, số hạng tự do, các hệ số của phơng
trình.
J.S.Hadamard (186-1963) đã đarakháiniệmvềtínhđặt chỉnh (đặt đúng đắn,
đặt tốt well-posed) của một bài toán phơng trình vi phân đạo hàm riêng: Một bài
toán đợc gọi là đặt đúng đắn nếu thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Nếu không thỏa mãn
một trong ba điều kiện trên thì bài toán đợc gọi là bài toán đặt không đúng đắn (đặt
không chỉnh ill-posed problem).
Ví dụ 4. 1. Xét bài toán Cauchy cho phơng trình vi phân thờng
y
0
= f(x, y),y(x
0
)=y

0
.
Ngời ta chứng minh đợc rằng v ớ i f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y và
liên tục theo
(x, y) trong một miền nào đó chứa (x
0
,y
0
) thì bài toán là đặt đúng
đắn.
14 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
2. Xét bài toán Cauchy cho phơng trình Laplace đối với hàm u(x, t):
u
tt
= u
xx
trong , (1.63)
u(x, 0) = 0,u
t
(x, 0) =
1
k
sin kx, (1.64)
0 <t<,x R,
k là một số nguyên dơngnàođótùyý,ởđâycoiX = Y = C
2
(),với
=(0, ) ì R. Nghiệm của bài toán (??)- (??) là hàm
u
k

(x, t)=
sh(kt)
k
2
sin kx. (1.65)
Nếu k thì
1
k
sin kx hội tụ đều theo x đến không. Tuy nhiên, với x 6= j, j =
1, 2, thì dãy hàm u
k
(x, t)=
sh(kt)
k
2
sin kx không hội tụ đều về không khi k .
Vậy bài toán Cauchy
(??)- (??) không đặt chỉnh trong lớp hàm C
2
().
Xét
R
n
là một miền trong R
n
. Ta xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của phơng
trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát
n
X
i,j=1

a
ij
(x)

2
u
x
i
x
j
+
n
X
i=1
a
i
(x)
u
x
i
+ a(x)u = f(x), (1.66)
ởđâya
ij
, a
i
, a, f là các hàm đủ trơn. Ta nhắc lại rằng bài toán tìm nghiệm của phơng
trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu tại
t = t
0
là bài toán Cauchy. Trong phơng trình

vi phân thờng, ứng với trờng hợp
n =2, ta đã có định lý Cauchy khẳng định rằng
bài toán Cauchy có nghiệm giải tích duy nhất trong một lận cận nào đó của
t
0
, nếu các
hệ số và số hạng tự do của phơng trình là các hàm giải tích trong khoảng
(a, b) 3 t
0
.
Một cách tự nhiên, ta tìm cách mở rộng kết quả trên cho trờng hợp phơng trình
đạo hàm riêng. Giả sử biến của phơng trình là
x =(x
1
,x
2
, ,x
n
) đợc tách thành
x =(x
0
,x
n
)=(x
0
,t),trongđóx
0
=(x
1
,x

2
, ,x
n1
), t = x
n
,ởđâyt đóng vai trò
biến thời gian còn
x
0
đóng vai trò biến không gian. Bài toán Cauchy của phơng trình
đạo hàm riêng
(??) là tìm nghiệm của phơng trình biết rằng trên mặt phẳng t = t
0
và
trongmộtlâncậncủa
x
0
0
có các điều kiện ban đầu
u|
t=t
0
= u
0
(x
0
),
u
t

t=t
0
= u
1
(x
0
). (1.67)
Định lý sau, mang tên nhà nữ toán học Nga S. V. Kovalevskaia (1850 - 1891), sẽ chỉ
ra các điều kiện (cần và đủ) để bài toán Cauchy có nghiệm giải tích duy nhất. Giả sử
viết phơng trình
(??) dới dạng

2
u
t
2
=
n1
X
i,j=1
b
ij
(x)

2
u
x
i

x
j
+
n1
X
i,j=1
b
in
(x)

2
u
x
i
t
+
n
X
i=1
b
i
(x)
u
x
i
+ b(x)u + h(x), (1.68)
Định lý 1.1. Giả sử b
ij
, b
in

, b
i
, b, h là các hàm giải tích trong một lân cận nào đó của
điểm x
0
còn u
0
, u
1
, là các hàm giải tích trong một lận cận nào đó của điểm x
0
0
. Khi đó
bài toán Cauchy (??)- (??) có nghiệm giải tích
(b)
trong một lân cận nào đó của điểm x
0
và là nghiệm duy nhất trong lớp các hàm giải tích.
(b)
Còn gọi là nghiệm cổ điển của phơng trình đạo hàm riêng
15 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
Việc chứng minh định lý này có ở phần phụ lục cuối giáo trình. Cũng có thể tham
khảo các sách trong phần tham khảo. Một chú ý cuối cùng của chơng này là định lý
Cauchy - Kovalevskaia cũng đúng trong trờng hợp phơng trình cấp cao hơn 2, khi
đó ta sẽ có những phát biểu tơng tự định lý vừa nêu.
16 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
Bài tập chơng 1
0. (Mô hình hoá) Quan sát một đoạn đờng dài 50m không có điểm đỗ trong một
thời gian 50 phút trong nhiều ngày, bạn thu đợc các kết quả sau. (Coi tất cả các loại
phơng tiện giao thông là nh nhau).

1. Trong ngày đầu tiên, ta thấy rằng trong suốt thời gian quan sát, tất cả các phơng
tiện giao thông đều di chuyển với vận tốc hữu hạn và không gặp rắc rối gì.
2. Trong ngày thứ hai, ta vẫn quan sát đợc hiện tợng trên, đồng thời nhận thấy
rằng: Trong thời gian nói trên đã xuất hiện các vụ tai nạn giao thông và làm
những phơng tiện trực tiếp liên quan đến tai nạn không lu thông đợc nữa và
không ảnh hởng đến các phơng tiện giao thông khác. Trên đoạn đ ờng nói
trên, tại mỗi điểm tỷ lệ xuất hiện tai nạn giao thông là một hằng số
> 0 phụ
thuộc vào mật độ phơng tiện giao thông tại đó.
3. Trong ngày thứ ba, các phơng tiện giao thông không gặp tai nạn di chuyển theo
một trờng vận tốc thay đổi, và không phụ thuộc vào mật độ phơng tiện giao
thông.
4. Trong ngày thứ t,tanhậnrarằngcómộtmậtđộxecộcựcđại

max
R tại mỗi
điểm trên đờng, sao cho khi khi mật độ xe cộ vợt qua

max
thì tỷ lệ tai nạn
giao thông sẽ gia tăng tại điểm đó.
Hãy mô tả các quá trình trên thành các phơng trình đạo hàm riêng tơng ứng.
I. Đacácphơng trình sau về dạng chính tắc và phân loại chúng
1.
u
xx
7u
xy
+12u
yy

+ u
x
2u
y
3u =0,
2. u
xx
+2u
xy
+5u
yy
2u
x
+3u
y
=0,
3. u
xx
6u
xy
+9u
yy
u
x
+ u
y
+ u =0,
4. u
xx
+2u

xy
3u
yy
+2u
x
+6u
y
=0,
5. u
xx
2cosxu
xy
(3 + sin
2
x)u
yy
yu
x
=0,
6. y
2
u
xx
+2xyu
xy
+2x
2
u
yy
+ yu

y
=0,
7. e
2x
u
xx
+2e
x+y
u
xy
+ e
2y
u
yy
=0,
8. tan
2
xu
xx
2y tan xu
xy
+ y
2
u
yy
+tan
3
xu
x
=0.

II.1. Tìm nghiệm tổng quát của các phơng trình sau:
1.
u
xx
2sinxu
xy
cos
2
xu
yy
cos xu
y
=0,
2. xu
xx
yu
yy
+
1
2
(u
x
u
y
)=0,
17 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
3. (x y)u
xy
u
x

+ u
y
=0, (gợi ý: đặt v =(x y)u),
4.
u
xy
+ yu
x
+ xu
y
+ xyu =0, (gợi ý: đặt u = e
(x
2
+y
2
)/2
v),
II.2. Tìm tích phân tổng quát của các phơng trình sau:
1.
u
xx
a
2
u
yy
=0,
2. u
xx
2u
xy

3u
yy
=0,
3. u
xy
+ au
x
=0,
4. 3 u
xx
5u
xy
2u
yy
+3u
x
+ u
y
2=0,
5. u
xy
+ au
x
+ bu
y
+ abu =0,a,b=const,
6.
u
xy
2u

x
3u
y
+6u =2e
xy
.
III. Tìm các miền elliptic, hyperbolic, parabolic của phơng trình
( + x)u
xx
+2xyu
xy
y
2
u
yy
=0,
theo .
IV. Đavềdạngchínhtắctrongmiềnmàloạiphơng trình vẫn giữ nguyên.
1.
u
xx
+4u
xy
+ u
yy
+ u
x
+ u
y
+2u x

2
y =0,
2. y
2m+1
u
xx
+ u
yy
u
x
=0,m Z
+
,
3.
u
xx
+ xu
yy
=0,
4. y
2
u
xx
+2xyu
xy
+ x
2
u
yy
=0,

5. sin
2
xu
xx
+ u
yy
=0.
V. Đặt u = ve
x+y
và chọn các tham số , thích hợp, hãy đơn giản hoá các
phơng trình sau.
1.
u
xx
+ u
yy
+ u
x
+ u
y
+ u =0,
2. u
xx
=
1
a
2
u
y
+ u

x
+ u,
3. u
xy
= u
x
+ u
y
.
VI (

). Phép biến đổi Fourier F của một hàm khả tích u(x, y) đợc cho bởi công
thức
F [u](, )=
1
2
ZZ
R
2
u(x, y)e
i(x+y)
dxdy, (, ) R
2
, (1.69)
Xét phơng trình
au
xx
+ bu
yy
= f(x, y). (1.70)

18 Chơng1.Mởđầu.Phânloại
1. Biến đổi phơng trình trên bằng phép biến đổi Fourier (x, y) (, ).
2. Tìm nghiệm của phơng trình trên từ việc giải phơng trình đã đợc biến đổi
Fourier với giả thiết rằng
u có giá compact, tức là tập
supp u = {(x, y) R
2
,u(x, y) 6=0}
là một tập compact.
3. Xét trờng hợp
a = b =1, a =0, b =1, a =1, b = 1.
19 Phơngtrìnhđạohmriêng
Chơng 2
Phơng trình hyperbolic. Phơng trình truyền sóng trên dây
2.1 Đặt bài toán
Chúng ta nghiên cứu phơng trình truyền sóng trên dây rung, từ đó nghiên cứu tính
chất của các phơng trình hyperbolic
Ôu =

2
u
t
2
a
2

2
u
x
2

=0,u= u(x, t), (x, t) [0,l] ì (0, +), (2.1)
hoặc phơng trình truyền sóng không thuần nhất
Ôu =

2
u
t
2
a
2

2
u
x
2
= f(x, t),u= u(x, t), (x, t) [0,l] ì (0, +), (2.2)
Đối với phơng trình hyperbolic, ngời ta đặt vấn đề nghiên cứu bài toán Cauchy tơng
ứng của chúng. Ta xét bài toán Cauchy của phơng trình truyền sóng
(??) sau

2
u
t
2
= a
2

2
u
x

2
+ f(x, t), (x, t) [0,l] ì (0, +), (2.3)
u(t
0
,x)=g(x),x [0,l], (2.4)
u
t
(t
0
,x)=h(x),x [0,l]. (2.5)
Chú ý rằng đoạn [0,l] có thể đợc thay bằng cả trục thực R.Từchơng ??,tađãnêu
ra cách thiết lập để dẫn đến phơng trình truyền sóng trên dây căng thẳng. Cũng nh
các phơng trình đạo hàm riêng khác, ta đi chứng minh các Định lý tồn tại, duy nhất
nghiệm và Định lý về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện ban đầu. Ta
có các Định lý sau.
Định lý 2.2 (Định lý duy nhất).
Tồn tại không nhiều hơn một nghiệm u C
2
() của
bài toán Cauchy (??), (??), (??).
Chú ý.
Bằng cách co giãn hệ toạ độ, đặt t
0
= at,tacóthểgiảsửhệsốa =1.
Bằng cách tịnh tiến hệ toạ độ, ta có thể coi t
0
=0.
20 Chơng 2. Phơng trình hyperbolic
Để chứng minh Định lý, ta chứng minh rằng hiệu của hai nghiệm bất kỳ của bài
toán đồng nhất bằng 0. Giả sử

u
1
và u
2
là hai nghiệm của bài toán trên, khi đó
hiệu
v(x, t)=u
1
(x, t) u
2
(x, t) thoả mãn

2
v
t
2
=

2
v
x
2
, (x, t) [0,l] ì (0, +), (2.6)
v(0,x)=0,x [0,l], (2.7)
v
t
(0,x)=0,x [0,l]. (2.8)
Khi đó nghiệm u(x, t) của bài toán trên sẽ đồng nhất bằng không.
Ta sẽ sử dụng ký hiệu u
t

và u
x
thay cho các ký hiệu truyền thống
u
t
và
u
x
tơng ứng.
Chứng minh. Giả sử u(x, t) là nghiệm của bài toán Cauchy ở trên, sao cho u khả vi liên
tục cùng với các đạo hàm riêng cấp hai trong
. Xét nón K có mặt đáy là t = t
0
=0,
các mặt bên là các đờng đ ặc trng. Khi đó
u
t
(u
tt
u
xx
)=0,
suy ra
I =
ZZ
K
u
t
(u
tt

u
xx
) dxdt =0,
Lại có
u
t
ã u
tt
=
1
2

t
(u
2
t
), (2.9)
u
t
ã u
xx
=
x
(u
t
ã u
x
)
1
2

t
(u
2
t
). (2.10)
Từ đó suy ra
I =
1
2
ZZ
K
Ă

t
(u
2
x
+ u
2
t
)
x
(2u
x
u
t
)
Â
dxdt =0.

Theo công thức Green,

1
2
Z
K
2u
t
u
x
dt +(u
2
x
+ u
2
t
)dx =0.
Trong đó K đợc tạo bởi các đờng đặc trng của phơng trình (tức là các đờng
x t =0)vàđờng t = t
0
=0,chúýrằngtrênđờng nằm ngang t = t
0
=0ta có
21 Chơng 2. Phơng trình hyperbolic
u
0
=0, tức là tích phân đợclấytrêncácđờng đặc trng mà thôi. Từ công thức của
đờng đặc trngtasuyrahệthức
u
t

= u
x
(vìhệsốgóccủađờng đặc trng là 1). Gọi m là phơng của đờng đặc trng l nào
đó của phơng trình. Khi đó trên đờng đặc trng
l ta có
u
m
= u
x
cos(~m, ~x)+u
t
cos(~m,
~
t)
= u
t
(cos(~m, ~x) cos(~m,
~
t)) = 0.
vì vectơ ~m vuông góc với vectơ pháp tuyến ~n của đờng đặc trng. Vậy ta có u(x, t)=
const = u(x, 0) = 0, với mọi (x, t) K.VìK đợc chọn bất kỳ nên ta suy ra
u(x, t) 0. Điều phải chứng minh.
Nh ta sẽ thấy từ công thức DAlembert trong p hần sau, nghiệm của bài toán Cauchy
sẽphụthuộcvàocácdữkiệnbanđầulàcáchàmdới dấu tích phân: Khi thay đổi
một lợng nhỏ ở các dữ kiện ban đầu
g và h thì nghiệm của bài toán Cauchy sẽ thay
đổi một lợng nhỏ tơng ứng. Vì vậy ta có khẳng định.
Định lý 2.3 (Tính ổn định của nghiệm).
Nghiệm của bài toán Cauchy (??)-(??) phụ
thuộc liên tục vào các dữ kiện ban đầu h và g.

2.2 Phơng trình chuyển dịch
Phần này nhằm bổ trợ cho việc tìm nghiệm của phơng trình truyền sóng bằng công
thức DAlembert. Xét phơng trình
u
t
+ bu
x
=0, (x, t) R ì (0, +). (2.11)
Ta tìm nghiệm của phơng trình trong lớp các hàm số có đạo hàm riêng liên tục. Chú
ý rằng khi xem vế trái của phơng trình
(??) là một hàm theo (x, t; b) thì đạo hàm theo
hớng
(b, 1) triệt tiêu. Khi đó, với mỗi điểm cố định (x, t) R ì (0, +) ta đặt
z(s)=u(x + sb, t + s).
Thế thì
z(s)=bu
x
(x + sb, t + s)+u
t
(x + sb, t + s)=0,
tức là z(s)=const. Từ đó suy ra nếu biết giá trị của u trên các đờng thẳng có vectơ
chỉ phơng là
(b, 1) thì có thể xác định đợc giá trị của u trên toàn miền R ì (0, +).
Xét bài toán Cauchy
u
t
+ bu
x
=0, (x, t) R ì (0, +), (2.12)
u(x, 0) = g(x),x R. (2.13)

22 Chơng 2. Phơng trình hyperbolic
Đờng thẳng đi qua điểm (x, t) có hớng là (b, 1) đợc tham số hóa là (x + sb, t + s).
Vì
u là hằng số trên đờng thẳng đó và u(x tb, 0) = g(x tb) nên suy ra nghiệm của
bài toán là
u(x, t)=g(x tb), (x, t) R ì (0, +).
Khivếphảicủaphơng trình (??) là một hàm f(x, t) không đồng nhất bằng không,
thực hiện tơng tự trên ta suy ra đợc nghiệm của bài t oán Cauchy tơng ứng là
u(x, t)=g(x tb)+
Z
t
0
f(x +(s t)b, s)ds, (x, t) R ì (0, +). (2.14)
Chú ý. Phơng pháp mà ta sử dụng ở mục này dựa trên cơ sở đamộtphơng trình
đạo hàm riêng về phơng trình vi phân thờng tơng ứng. Ngời ta gọi phơng pháp
này là phơng pháp đặc trng.
2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy của phơng trình truyền sóng. Công
thức DAlembert
Xét bài toán Cauchy thuần nhất

2
u
t
2
= a
2

2
u
x

2
, (x, t) R ì (0, +), (2.15)
u(x, 0) = g(x),x R, (2.16)
u
t
(x, 0) = h(x),x R, (2.17)
ở đây các hàm g và h đợc giả thiết là đã biết. Ta cần tìm nghiệm của bài toán đợc
biểu diễn qua
g và h.Chúýrằngphơng trình (??) có thể viết đợc dới dạng
à

t
+ a

x
ảà

t
a

x
ả
u = u
tt
a
2
u
xx
=0. (2.18)
Đặt v(x, t)=

Ă

t
a

x
Â
u(x, t).Khiđóphơng trình (??) trở thành
v
t
(x, t)+av
x
(x, t)=0,x R,t>0. (2.19)
áp dụng nghiệm của phơng trình chuyển dịch ở trên (phơng trình (??))vớib = a ta
tìmnghiệmbàitoán
(??)- ( ??) dới dạng v(x, t)=(x at),trongđó(x):=v(x, 0).
Kết hợp với
(??) ta đợc
u
t
(x, t) au
x
(x, t)=(x at), trong R ì (0, ). (2.20)
áp dụng công thức nghiệm (??) của phơng trình chuyển dịch không thuần nhất với
b = a, f(x, t)=(x at) ta suy ra nghiệm của bài toán là
u(x, t)=(x + at)+
Z
t
0
(x + a(t s) as )ds