Bài giảng: Phương trình vi phân ppt

- GVHD : Lê Ngọc Cường

- Lớp HP : 1016FMAT0211
Mục lục:

Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ.
•
Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li.
•
Phương trình vi phân có dạng y’= f(x).
•
Phương trình đẳng cấp cấp 1.
•
Phương trình tuyến tính cấp 1.
•
Phương trình Bernoulli.

Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ.
•
Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được.
•
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
•
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số
hằng.

Ứng dụng của phương trình vi phân.
•
Mô hình ô nhiễm môi trường.
Các khái niệm cơ bản:

•
Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên hệ
giữa biến độc lập (hay các biến độc lập) hàm chưa biết và đạo
hàm của hàm số đó.
•
Cấp của phương trình vi phân: là cấp cao nhất của đạo
hàm của hàm số có mặt trong phuong trình đó.
-
Dạng tổng quát của PTVP cấp n với biến độc lập x, biến phụ
thuộc y là trong đó không được
khuyết .
•
Nghiệm của phưng trình vi phân:
Cho một PTVP cấp n, mọi hàm số, khả biến đến cấp n mà khi
thay vào phương trình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi là
nghiệm của PTVP đó.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
1.Định nghĩa:
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng :
+ Dạng tổng quát F(x, y, y’) =0
+ Dạng chính tắc y’= f(x)
2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm :
- Cho PTVP cấp 1:y’=f(x,y) nếu f(x,y) liên tục trên miền
mở D với Mo(xo,yo) D tồn tại nghiệm y=f(x) Thỏa mãn
yo=y(xo). Nếu f(x)liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất

3.Điều kiện ban đầu của PTVP:
∈
Nếu gọi là điều kiện ban đầu

∫∫
+= cdxxfdyyg )()(
2.2 Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li:
a. Dạng: f(x)dx = g(y)dy
b. PP: tích phân 2 vế ta được
0=+ ydyxdx
vd:
∫∫
=+ cydyxdx
c
y
x
=+⇒
22
2
2
cyx 2
22
=+⇒
là nghiệm của phương trình.
tích phân 2 vế ta được
2.1 Phương trình có dạng y’= f (x)
Phương pháp giải: tích phân 2 vế ta được

2.Các loại phương trình vi phân cấp 1
2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 1:
a.Dạng
cách làm:

Đặt

''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
Thay y’ vào phương trình (1) ta được
0)2( =−+ xdydxyx
vd: gpt
)0:(21 ≠+=⇒ xĐK
x
y
dx
dy
''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
Đặt
(1)
x
y
u =
)1( −= cxxy
0=x
Thay ta có:
Trường hợp là nghiệm của (1)
.
xcucxu .1ln1ln =+⇒+=+⇒
)01:(
1
≠+=

+
⇒ uĐK
x
dx
u
du
Thay y’ vào phương trình ta được
uxuu 21' +=+
b.Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp
- Dạng
-
Cách giải:
+ Xét định thức + Đặt:
Khi đó ta có
Đặt .Ta giải  giải PT đẳng cấp
+ Nếu định thức thì
Đặt đưa về PT vế phải không chứa








+
+
=
eYdX
bYaX

f
dX
dY
Ví dụ: GPT
Ta có: Đặt:
Khi đó ta có: (*)
Đặt:
)()(' xQyxPy =+
0)( =xQ
0)(' =+ yxPy
0)( ≠xQ
2.4 Phương trình tuyến tính cấp 1
•
Nếu thì phương trình
thì phương trình (*)
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất.
a. Dạng:
(*)
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
•
Nếu
]).([
)()(
∫
+=
∫∫
−
cdxexQey
dxxPdxxP

b. Cách giải:
Nghiệm tổng quát của phương trình
tuyến tính cấp 1 (*) có dạng:
Cách giải:
Bước 1: giải pt thuần nhất:
( y=0 không phải nghiệm của phương trình đã cho)

Bước 2: Coi D=D(x)

thay y’ vào PT: được:

0)(' =+ yxPy


)()(' xQyxPy =+
]).()(
)(
∫
+
∫
= cdxexQxD
dxxP
⇒
⇒
Ví dụ: GPT
(*)
Xét phương trình thuần nhất:
Coi D=D(x)

Thay y’ vào (*) ta được:

(1)
α
yxQyxPy ).()(' =+
2.5 Phương trình Bernouli
α
−
=
1
yz
b)Cách giải:
a) Dạng
chia cả 2 vế
(*) là pt tuyến tính cấp 1
[ ]
0)()(' =−+ yxQxPy
0=
α
1=
α
Đây là pt tuyến tính cấp 1 thuần nhất
(*)
(*) có dạng

1,0#
α

+
+,
+,
Đặt

α
y
)()( xQ
y
y
xP
y
y
=
′
+
′
αα
(*) có dạng
α
α
y
y
z
′
−=
′
⇒ )1(
(*)
)()(
1
xQzxP
z
=+
−

′
α
)()1()()1( xQxzPzz
α
−=−+
′
⇒
+,y=0 là nghiệm của pt
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
1.Định nghĩa
•
Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng:
0)",',,( =yyyxF
hay
)',,(" yyxfy =
•
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2
là hàm
),,(
21
ccxy
ϕ
=
Tìm nghiệm phương trình vi phân cấp 2:
)',,(" yyxfy =



=
=

bxy
axy
)('
)(
0
0
x, a, b các số cho trước
mãn điều kiện đầu: thỏa
)',(" yxfy =
- Cách giải:
')( yxz =
2. Các dạng toán của phương trình vi phân cấp2:
a. Dạng
- Cách giải :tích phân 2 lần
b- Dạng:
Hạ bậc bằng cách đặt
)(" xfy =
3. Phương trình dạng:
b- Cách giải:
')( yyz =
zz
dy
dz
z
dx
dy
dy
dz
dx
dz

y '." =⋅=⋅==⇒
a- Dạng:
Hạ bậc bằng cách đặt
-Vd:
)',(" yyfy =
Vd: giải pt:
0'".
2
=−yyy
')( yyz =
Đặt
z
dy
dz
y ⋅=⇒ "
0
2
=−⋅ zz
dy
dz
y
(1)
(1)
)0,0:(; ≠≠=⇒ zyĐK
z
dz
y
dy
zcy lnln
1

=+⇒
ycz
1
=⇒
Vậỵ phương trình có nghiệm
ycz
1
=
4.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
)('" xfbyayy =++
các hằng số
ba,
Phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng tổng quát là
a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ
số hằng số:
(*)
Phương trình
0
2
=++ ba
λλ
được gọi là
phương trình đặc trưng của phương trình (*).
0'" =++ byayy
21
,
λλ
xx
ececxy
21

21
)(
λλ
+=
Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt
Nghiệm tổng quát của ptrinh (*) là:
∗
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép
21
λλ
=
Nghiệm tổng quát của p trình (*) là:
x
exccxy
1
)()(
21
λ
+=
∗
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức



−=
+=
βαλ
βαλ
i
i

2
1
∗

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
)cossin()(
21
xcxcexy
x
ββ
α
+=
b)Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
với hệ số hằng số:
)('" xfbyayy =++
là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất:
là nghiệm riêng của phương trình
không thuần nhất:
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
Với
0'" =++ byayy
)('" xfbyayy =++








)(
ˆ
)(
xy
xy
)(
ˆ
)()( xyxyxy +=
Cách tìm nghiệm riêng
Trường hợp
)()( xPexf
n
x
α
=

Nếu α không phải là nghiệm của phương trình
đặc trưng:
0
2
=++ ba
λλ

Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng:
0
2
=++ ba
λλ
Lúc này:
)( )(

ˆ
2
xQexxy
n
x
α
=
)(.)(
ˆ
xQexy
n
x
α
=
)(
ˆ
xy

Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng:
Khi đó:
)( )(
ˆ
xQexxy
n
x
α
=
vd: tìm nghiệm tổng quát
x
xeyyy

2
'2" =+−
Nghiệm tổng quát của pt có dạng:
)(
ˆ
)()( xyxyxy +=
Bước 1: Tìm
)(xy
Phương trình đặc trưng
012
2
=+− kk
có
x
exccxykk )()(1
2121
+=⇒==
nghiệm kép
Bước 2:
Tìm
Ta có:
xexf
x2
)( =
α=2 là ko là nghiệm của phương trình đặc trưng
(1)
Lấy thế vào
2,1 −== BA
(1)
xx

exexccxy
2
21
).2()()( −++=
Vậy nghiệm TQ là:
là nghiệm riêng của (1)
).()(
ˆ
2
BAxexy
x
+=
)(
ˆ
xy
(1)
•
Trường hợp
]cos).()(sin([)( xxQxxPexf
mn
x
ββ
α
+=
xxKxxHexy
ll
x
]cos)(sin)([)(
ˆ
ββ

α
+=
]cos)(sin)([.)(
ˆ
xxKxxHexxy
ll
x
ββ
α
+=

Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương
trình đặc trưng thì
},max{ nml =

Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc
trưng thì
},max{ nml =
VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
xyy 2cos4" =+
Bước 1: Tìm
)(xy
04
2
=+k
ikik 2,2
21
−==
Bước 2: Tìm
)(

ˆ
xy
)2sin.02cos.1()( xxxf +=
)2sin2cos()(
21
xcxcexy
ox
+=⇒
)0,0,2,0( ==== nm
βα
Phương trình đặc trưng
có nghiệm
phức là:
Ta có:
ii 2±=±
βα
là nghiệm của phương trình
)2sin2cos()(
ˆ
xBxAxexy
ox
+=
Lấy
)(
ˆ
xy
thế vào phương trình đầu ta tính được
4
1
,0 == BA

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là:
)(
ˆ
)()( xyxyxy +=
đặc trưng nên
xxxcxc 2sin
4
1
)2sin2cos(
21
++=