phương pháp dạy học tích phân

1
Chương I – HỆ THỐNG LÍ THUYẾT

1. Nguyên hàm
1.1 Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên K, hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên
K nếu F’(x) = f(x)
xK
.
Chú ý: Trong trường hợp K = [a; b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b)
được hiểu là:
xa
F(x) F(a)
lim f(b)
xa





và
xb
F(x) F(b)
lim f(b)
xb







Ví dụ:
1) Hàm số F(x) =
3
x
3
là nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2
trên R vì
3
2
x
( )' x x
3
   R
.
2) Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm số f(x) =
2
1
cos x
trên khoảng
( ; )
22


vì
2
1
(tanx)' x ( ; )

22
cos x

   
.
Định lí:
Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của
hàm f trên K.
b) Với mỗi nguyên hàm G của hàm f trên K thì tồn tại một hằng số C sao
cho G(x) = F(x) + C
xK
.
1.2 Nguyên hàm một số hàm số thường gặp

2
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc
tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp thường được đưa về tìm nguyên
hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là bảng tính nguyên hàm các hàm số
thường gặp.
1
2
1) 0dx C dx 1dx x C
x
2) x dx C ( 1)
1
1
3) dx ln x C
x


   
    


  



4)
Với
k0

kx x
kx x
2
2
coskx sinkx
a) sinkxdx C b) coskxdx C
kk
ea
c) e dx C d) a dx C (0 a 1)
k lna
1
5) a) dx tan x C
cos x
1
b) dx cotx C
sin x
    
     


  






1.3 Một số tính chất của nguyên hàm
Nếu f, g là hai hàm liên tục trên K thì
a)
[f(x) + g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx
  

b) Với mọi số thực
k0
ta có:
kf(x)dx k f(x)dx


2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
Dựa vào các tính chất và bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có thể tìm
được nguyên hàm của khá nhiều hàm số. Tuy vậy, còn có nhiều hàm số chưa tìm

3
được nguyên hàm bởi cách trên. Cần giới thiệu cho học sinh một số phương
pháp tính nguyên hàm hiệu qua hơn.
2.1 Phương pháp xác định nguyên hàm
Một số bài toán chúng ta dùng đến định nghĩa và các phép phân tích cơ bản
để tìm nguyên hàm của hàm số.

Định nghĩa: Giả sử y  f(x) liên tục trên khoảng (a; b), khi đó hàm số y 
F(x) là một nguyên hàm của hàm số y  f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a;b).
Vì (uv)’ = u’v + uv’,
2
u u'v uv'
( )'
v
v


nên ta có thể biến đổi vế phải để tìm
nguyên hàm của các hàm số vê trái.(sau đó lấy vi phân hai vế).
Cũng có thể sử dụng tính chất không đổi sau dấu vi phân của các hàm siêu
việt để phân tích như de
x
= e
x
dx.
Sử dụng các biến đổi cơ bản:
−
           
f x dx F x c F x f x dF x f x dx

     


− Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì:
 
 
 

f x dx f x ;




 
d f(x)dx f(x)dx


− Nếu F(x) có đạo hàm thì:
d(F(x)) F(x) C


2.2 Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lí:
Định lí 2:
a) Nếu
f(x)dx F(x) C

và
u (x)
là các hàm số có đạo hàm thì
f(u)du F(u) C


b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt
x (t)
trong đó
(t)
cùng với đạo

hàm của nó
[ '(t)]
là những hàm số liên tục ta sẽ được
f(x) f[ (t)] '(t)dt  


Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm:
I f(x)dx

.

4
Quy trình:
Bước 1: Chọn
x (t)
, trong đó
(t)
là hàm số ta chọn cho thích hợp.
Bước 2: lấy vi phân dx =
'(t)
dt
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
Bước 4: Tính
I g(t)dt


Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

5

Dấu hiệu
Cách chọn

22
ax



22
xa


22
ax


a x a x
;
a x a x



(x a)(b x)

x a sint ( t )
22
x a cost (0 t )


   



   



a
x (t [ ; ]\{0})
sint 2 2
a
x (t [0; ]\{ })
cost 2


  




  



x a tan t ( t )
22
x a cott (0 t )


   



   




x = acos2t

x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ: Tính nguyên hàm:
23
1
I dx
(1 x )




Giải:
Đặt x = sint;
t
22

  

32
23

2
dx costdt dt
dx costdt; d(tant)
cos t cos t
(1 x )
x
I (tdt) tant C C
1x
    

     



Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2. Tính
I f(x)dx


Quy trình:

6
Bước 1: Chọn
t (x)
, trong đó
(x)
là hàm số được chọn sao cho phù hợp.
Bước 2: Xác định vi phân
dt '(x)dx

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt

Bước 4: Tính
I g(t)dt


Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu
Cách chọn
Hàm số phân thức
Hàm số
f(x, (x))

Hàm số
asinx bcosx
f(x)
csinx dcosx e




Hàm số
1
f(x)
(x a)(x b)



T là mẫu số
t (x)

xx

t tan (cosx 0)
22


t x a x b (x a 0; x b 0)
t x a x b (x a 0; x b 0)

       


         


Ví dụ: Tính
2
x
I dx
1x




Giải:
Đặt
2
t 1 x x 1 t    

2 2 2
42
dx 2tdt

x (1 t )
dx .( 2t)dt 2(t 2t 1)dt
2
1x






     




Khi đó:
4 2 5 3
4 2 2 2
12
I 2 (t 2t 1)dt 2( t t t) C
53
22
(3t 10t 15)t C [3(1 x) 10(1 x) 15)] 1 x C
15 15
        
            


2
2

(3x 4x 8) 1 x C
15
     


7
2.3 Phương pháp tích phân từng phần.
Định lí 3: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) u'(x)v(x)dx


Bài toán: Tính tích phân bất định
I f(x)dx

.
Quy trình:
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12
I f(x)dx f (x).f (x)dx


Bước 2: Đặt
1
2
u f (x)
du
?
dv f (x)dx v











Bước 3: Tính
I uv vdu


Ví dụ: Tính tích phân bất định
2
2
xln(x x 1
I
x1




dx
Giải:
Ta có:
2
2
x
I ln(x x 1). dx
x1

  



Đặt
2
2
22
2
2
1x
u ln(x x 1)
x1
1
du dx
x
x x 1 x 1
dv
x1
v x 1




  



  



  







Khi đó:
2 2 2 2
I x 1.ln(x x 1) dx x 1.ln(x x 1) x C          


Ngoài hai phương pháp chính trên thì để tìm nguyên hàm của một hàm số
còn phải dùng nhiều phương pháp hỗ trợ, sự linh hoạt trong tính toán, phân tích.
Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu sơ bộ về một số phương pháp phụ có nhiều ứng
dụng trong việc giải toán tìm nguyên hàm.

8
2.4 Một số phương pháp khác
2.4.1 Phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác định nguyên hàm của f(x) bằng kĩ
thuật dùng nguyên hàm phụ là tìm kiếm một hàm số g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số
f(x) g(x)
dễ xác định hơn so với hàm số f(x), từ đó suy ra
nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).
Quy trình:
Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số
f(x) g(x)
tức là:
1
2
F(x) G(x) A(x) C
(I)
F(x) G(x) B(x) C
  


  


Bước 3: Từ hệ (I), ta nhận được:
1
F(x) [A(x) + B(x)] + C
2

là họ nguyên
hàm của hàm số f(x).
Ví dụ: Tính tích phân bất định:
sinx
I dx f(x)dx
sinx cosx



.
Giải: Chọn hàm số phụ

cosx
g(x)
sinx cosx


.
Gọi F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x).
Ta có:
sinx cosx
f(x) g(x)
sinx cosx



.
1
2
sinx cosx d(sinx cosx)
F(x) G(x) dx ln sinx cosx C
sinx cosx sinx cosx
sinx cosx
f(x) g(x) 1 F(x) G(x) dx x C
sinx cosx

      


       




Ta có hệ:
1
2
F(x) G(x) ln sinx cosx C
F(x) G(x) x C

   


  




9
1
I F(x) (ln sinx cosx x) C
2
     

2.4.2 Phương pháp biến đổi, phân tích cơ bản.
Quy trình:
Bước 1: Phân tích f(x) về dạng
n
ii
i1
f(x) a f (x)dx




, với f
i
(x) có nguyên hàm
trong bảng các nguyên hàm cơ bản và a
i
là các hằng số.
Bước 2: Tính:
nn
i i i i
i 1 i 1
f(x)dx a f (x)dx a f (x)dx



  

Ví dụ: Tính tích phân bất định
32
I (x 2) dx


Giải:
7
3 2 6 3 4
x
I (x 2) dx (x 4x 4)dx x 4x C
7
        


Việc biến đổi, phân tích các hàm số trong bài toán tìm nguyên hàm là rất
quan trọng, cần thiết. Học sinh cần thông thạo các công thức biến đổi cơ bản và
linh hoạt trong việc biến đổi các hàm số.
Tổng hợp, hệ thống lại lí thuyết nguyên hàm là một trong những hoạt động
quan trọng của dạy học nguyên hàm. Nó giúp học sinh nắm bắt cơ sở lí thuyết để
vận dụng vào làm bài tập.
Tính tích phân bất định (nguyên hàm) là một trong những phần quan trọng
của chương trình toán 12 ở Trung Học Phổ Thông, nó có hệ thống bài tập rất đa
dạng, phong phú. Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp được học để làm
bài tập là một hoạt động quan trọng. Học sinh nhận biết được bài tập, đưa ra các
phương pháp giải phù hợp chính là thành công hay nói đúng hơn là việc dạy học
phần nguyên hàm đạt được mục tiêu đề ra. Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng
giải toán chúng tôi xin đưa ra một số hoạt động dạy học giải bài tập trong phần
tích phân bất định.

10
Chương II – MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA
CÁC BÀI TẬP

Lượng bài tập cũng như số dạng toán trong chủ đề tích phân là rất lớn. Tuy
nhiên trong khuôn khổ phạm vi đề tài, chúng tôi xin đưa ra một số dạng bài tập
cơ bản thường gặp.
2.1. Một số bài toán sử dụng định nghĩa, bảng nguyên hàm cơ bản
* Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa
Ví dụ 1: Xác định họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x
2
+ 3x + 2)e
x

Giáo viên đặt câu hỏi mở:
– Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa nguyên hàm trên một khoảng?
Học sinh: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của f(x) trên K nếu f(x) = F’(x) với mọi x

K.
– Hãy biến đổi f(x) về dạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]e
x
?
Học sinh: f(x) = [(x
2
+ x + 1) + (2x + 1)]e
x
= [(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)’]e
x
.
– Hãy xét hàm số: F(x) = (x
2
+ x + 1)e
x
. Tính F’(x) = ?
Học sinh: F’(x) = [(x
2
+ x + 1) + (2x + 1)]e
x
= (x

2
+ 3x + 2)e
x
= f(x).
Lời giải:
Ta có: f(x) = [(x
2
+ x + 1) + (2x + 1)]e
x
= [(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)’]e
x
.
Xét hàm số: F(x) = (x
2
+ x + 1)e
x
. Ta có:
F’(x) = [(x
2
+ x + 1)e
x
]’ = [(x
2
+ x + 1) + (2x + 1)]e
x
= (x

2
+ 3x + 2)e
x
= f(x).
Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) = (x
2
+ x + 1)e
x
+ C.
Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tính nguyên hàm của hàm số
dạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]e
x
thì ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét hàm số F(x) = f(x)e
x
. Nhận xét rằng:
F’(x) = f(x)e
x
+ f’(x)e
x
= [f(x) + f’(x)]e
x
.
Bước 2: Vậy F(x) = f(x)e
x
+ C là nguyên hàm của hàm số f(x).

11
Ví dụ 2: Xác định họ nguyên hàm của hàm số:
8 3x

f(x) .
2 4 x




Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
– Biến đổi f(x) về dạng: f(x) = u’v + uv’ ?
Học sinh:

8 3x 2(4 x) x 1
f(x) 4 x x
2 4 x 2 4 x 2 4 x
(x)' 4 x ( 4 x)'x

   
    


  

   

– Hãy xét: F(x) =
x 4 x
. Tính F’(x) = ?
Học sinh: F’(x) =
1 8 3x
4 x x f(x).
2 4 x 2 4 x



   





Lời giải:
Ta có:
8 3x 1
f(x) 4 x (x)' 4 x ( 4 x)'x
2 4 x 2 4 x


       




.
Xét: F(x) =
x 4 x
. Ta có:
F’(x) =
1 8 3x
4 x x f(x).
2 4 x 2 4 x



   





Vậy họ nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) =
x 4 x
+ C.
Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số
có dạng f(x) = u’v + uv’ thì ta làm như sau:
Bước 1: Xét hàm số: F(x) = u.v. Ta thấy F’(x) = u’v + uv’.
Bước 2: Vậy F(x) = u.v + C là họ nguyên hàm của hàm số f(x).
Chú ý: Trong một số bài toán thì ta có thể biến đổi hàm số f(x) thành một
trong hai dạng trên, tuy nhiên không phải bài toán nào cũng dễ dàng đưa được về

12
dạng như trên. Ngoài phương pháp tính bằng định nghĩa như trên thì ta còn có
thể sử dụng bảng nguyên hàm để giải một số bài toán tìm nguyên hàm.
* Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm
Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau:
2
1
I x 3x dx
x

  




Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
– Yêu cầu học sinh nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản ?
Học sinh: Nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản.
– Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính I = ?
Học sinh:
Lời giải:
Ta có:
2 3 2
1 1 3
I x 3x dx x x ln x C.
x 3 2

      




Ví dụ 4. Tính nguyên hàm của hàm số sau:
3
x
1xx
)x(f


.
Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
– Với hàm số f(x) như vậy thì ta có thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm cơ
bản hay chưa ?
Học sinh: Chưa.

– Sử dụng các tính chất của lũy thừa để trả lời câu hỏi:
m
n
n
x
?; x ?
x


Học sinh:
1
m
mn
n
n
n
x
x ; x x .
x



– Áp dụng để phân tích f(x) ?
Học sinh: Ta phân tích:
.xxx
x
1
x
x
x

x
)x(f
3
1
6
1
3
2
333



– Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính nguyên hàm của f(x) ?
Học sinh:

13
Lời giải:
Ta có:
.xxx
x
1
x
x
x
x
)x(f
3
1
6
1

3
2
333



Do đó, ta có:
 











.Cx
2
3
x
7
6
x
5
3
dxxxxdx)x(f
3

2
6
7
3
5
3
1
6
1
3
2

Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng có thể sử dụng ngay bảng
nguyên hàm cơ bản được, muốn sử dụng được thì ta phải trải qua một hoặc một
số bước biến đổi, phân tích. Bây giờ ta sẽ xét thêm một số ví dụ sau:
Ví dụ 5: Tính nguyên hàm của hàm số sau:
a)
xcos.xsin
1
)x(f
22

;
b) f(x) = tan
2
x.
Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
a) – Với hàm số này thì ta chưa thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm được,
vậy ta phải biến đổi hàm số f(x) trên như thế nào?
Theo công thức lượng giác đã được học thì sin

2
x + cos
2
x = ? Áp dụng nó
vào bài này như thế nào?
Học sinh: sin
2
x + cos
2
x = 1, do đó ta phân tích
f(x) =
.
xsin
1
xcos
1
xcos.xsin
xcosxsin
2222
22



– Sử dụng bảng nguyên hàm để tính ?
Học sinh:
Lời giải:
Ta có: sin
2
x + cos
2

x = 1, do đó:
f(x) =
.
xsin
1
xcos
1
xcos.xsin
xcosxsin
2222
22




14
Suy ra:
.Cxcotxtan
dx
xsin
1
dx
xcos
1
dx
xsin
1
xcos
1
dx)x(f

2222









   

b) Giáo viên:
– Dựa vào công thức lượng giác hãy cho biết: 1 + tan
2
x = ?
Học sinh:
2
2
1
1 tan x .
cos x


– Ta có thể tính
2
1
dx
cos x


= ?
Học sinh:
2
1
dx tanx C.
cos x



– Vậy làm thế nào để f(x) xuất hiện 1 + tan
2
x ?
Học sinh: Phân tích:
.
xcos
1
1)xtan1(1)x(f
2
2


– Yêu cầu học sinh tính nguyên hàm của f(x)?
Học sinh:
Lời giải:
Ta có:
.
xcos
1
1)xtan1(1)x(f
2

2


Do đó, ta có:
.Cxtanxdx
xcos
1
dxdx
xcos
1
1dx)x(f
22








 

Giáo viên đưa ra một số bài tập tương tự:
Bài 1. Xác định họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
x
f(x) 2cos(x )e
4




;
b)
x
2
(x 1)e
f(x)
x


.

15
Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) =
3
2
2
x
1
x2 
;
b) f(x) = 3cosx – 3
x – 1
;
c) f(x) = cot
2
t;
d) f(x) = tan
4

t.
2.2. Các bài toán sử dụng phương pháp đổi biến số
Ví dụ 1. Tính tích phân bất định sau:

 dx)1x2(I
3
.
Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
– Đây là đa thức bậc ba đơn giản, hãy phân tích (2x + 3)
3
?
Học sinh: (2x + 3)
3
= 8x
3
+ 12x
2
+ 6x + 1
– Yêu cầu học sinh sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính ?
Học sinh:

 Cxx3x4x2dx)1x6x12x8(dx)1x2(I
234233

– Với cách tính này nếu gặp những bài toán có số mũ lớn hơn như (2x + 1)
4
,
(2x + 1)
5
, …., (2x + 1)

n
,… thì việc tính toán sẽ rất khó khăn và phức tạp. Vậy
ngoài cách phân tích như trên thì còn có cách nào ngắn gọn và nhanh hơn để giải
bài toán trên nữa hay không ?
– Nếu ta đặt t = 2x + 1 thì dx = ?
Học sinh: du = 2dx
2
dt
dx 

– Khi đó I = ?
Học sinh: I =
C
2
)1x2(
C
8
t
dt
2
t
dx)1x2(
443
3



 
.
Từ bài toán trên, giáo viên rút ra kết luận: Như vậy, với việc đặt t = 2x +1

thì bài toán trên trở nên đơn giản và dễ dàng hơn. Đây chính là phương pháp đổi
biến số, đó là một phương pháp được sử dụng phổ biến để giải quyết các bài toán

16
tính tích phân. Phương pháp đổi biến số này có hai dạng là: t =
)x(
và x =
)t(
.
Ở bài trên ta đã sử dụng phương pháp đổi biến số dạng t =
)x(
.
* Phương pháp đổi biến số dạng t =
)x(

Bài toán 1: Tính tích phân bất định I =

dx)x(f
bằng phương pháp đổi
biến số dạng: t =
)x(
.
Quy trình giải toán
Bước 1. Chọn t =
)x(
, trong đó
)x(
là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
rồi xác định x =
)t(

(nếu có thể);
Bước 2. Xác định vi phân:
dt)t(dx 
;
Bước 3. Biếu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử, f(x)dx = g(t)dt;
Bước 4. Khi đó:

 dt)t(gI
.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu
Cách chọn
Hàm số phân thức
Hàm số
f(x, (x))

Hàm số
asinx bcosx
f(x)
csinx dcosx e




Hàm số
1
f(x)
(x a)(x b)



T là mẫu số
t (x)

xx
t tan (cosx 0)
22


t x a x b (x a 0; x b 0)
t x a x b (x a 0; x b 0)

       


         



Sau khi hướng dẫn chung về phương pháp đổi biến số dạng: t =
)x(
và
đưa ra một số dấu hiệu, giáo viên đưa ra một số bài tập để học sinh vận dụng
phương pháp một cách thành thạo hơn.
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: I =


dx
x1
x

2

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh:

17
– Ở đây, hàm số
x1
x
2

thuộc dạng nào trong những dạng trên và ta sẽ sử
dụng phương pháp đổi biến số như thế nào ?
Học sinh: Hàm số có dạng:
f(x, (x))
. Ta đặt: t =
x1

– t phải có điều kiện gì ?
Học sinh: Điều kiện: t
0
.
– Khi đó, I = ?
Học sinh:





 dt)1t2t(2dt
t

)t2)(t1(
dx
x1
x
I
24
22

– Để tính tích phân trên thì ta phải làm như thế nào?
Học sinh: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân theo t, sau đó
thì thay t =
x1
vào.
Lời giải:
Đặt t =
x1
với t
0
, suy ra x = 1 – t
2

tdt2dx 
.
Khi đó:
 
.C8x4x3
15
x12
C)15t10t(
15

t2
C)t
3
t2
5
t
(2dt)1t2t(2dt
t
)t2)(t1(
dx
x1
x
I
224
35
24
22










Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau:




)2x()1x(
dx
I

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
– Hàm số trong dấu tích phân có dạng như thế nào ? Ta sẽ sử dụng phương
pháp đổi biến số như thế nào ?
Học sinh:
1
f(x)
(x a)(x b)




18
Ta xét 2 trường hợp sau:
+ Với x > – 1 thì ta đặt t =
2x1x 
. Khi đó:
dt =
dx
2x2
1
1x2
1













+ Với x < – 2 thì ta đặt t =
)2x()1x( 
. Khi đó:
dt =
dx
)2x(2
1
)1x(2
1













– Yêu cầu học sinh tính tích phân bất định trên ?
Học sinh:
Lời giải:
Ta xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1:
1x
02x
01x






.
Đặt t =
2x1x 

Suy ra: dt =
dx
2x2
1
1x2
1












=
dx
2x
1
1x
1
2
1













dt
t
2

)2x()1x(
dx




Khi đó, ta có:

 C2x1xln2
t
dt
2I
.
* Trường hợp 2:
2x
02x
01x






.
Đặt t =
)2x()1x( 

Suy ra:

19

dt =
dx
)2x(2
1
)1x(2
1












=
dx
)2x(
1
)1x(
1
2
1















dt
t
2
)2x()1x(
dx



.
Khi đó, ta có:

 C)2x()1x(ln2
t
dt
2I
.
Ví dụ 4: Tính tích phân bất định sau:


 dx

x1
1
I
2
.
Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
– Đối với bài toán này thì ta có thể áp dụng dấu hiệu nào ở trên không ?
Học sinh: Không.
– Nếu đặt
2
x1xt 
thì x = ?
Học sinh: Ta có:
t2
1t
x1txt2
x1)tx(x1txx1xt
2
2
2222




– Khi đó dx = ?
Học sinh: dx =
dt
t2
1t
2

2

.
– Tính I = ?
Học sinh:
Cx1xlnCtlndt
t
1
I
2



Lời giải:
Đặt:
2
x1xt 

222
x1)tx(x1tx 


t2
1t
x1txt2
2
2


.

20
Suy ra: dx =
dt
t2
1t
2
2

. Khi đó, ta có:
Cx1xlnCtlndt
t
1
dt
t2)1t(
)1t(t2
I
2
22
2





.
Giáo viên đưa ra kết luận: Khi gặp những bài toán có dạng
dx)xa;x(RI
2



thì ta có thể đặt t =
2
xax 
.
Ngoài cách làm trên thì ta còn có thể có cách nào khác để giải bài toán trên
hay không ? Hãy liên tưởng một cách đặt ẩn phụ khác cho bài này.
– Nếu như đặt x = tant với








2
;
2
t
thì dx = ? Bài toán sẽ trở thành thế
nào?
Học sinh:
dt
tcos
1
dx
2

. Khi đó:

 


 dt
tcos
tcos
dt
tcos
1
ttan1
1
I
22
2

– Với








2
;
2
t
thì
?tcos 

Học sinh:
tcostcos 
vì với








2
;
2
t
thì cosx > 0.
– Khi đó: I = ?
Học sinh:
2 2 2
cost cost d(sint) 1 1 sint
I dx dx ln C
2 1 sint
cos t 1 sin t 1 sin t

    


  
.

– Ta có: x = tant

1 + x
2
= 1 + tan
2
t
2
2
1
1x
cos t
  
.
– Từ đó, suy ra sint = ?
Học sinh:
1x
x
1x
1
1tsin
2
2




.

21

– Yêu cầu học sinh tính I = ?
Lời giải:
Đặt: x = tant với








2
;
2
t
suy ra
dt
tcos
1
dx
2

. Do đó:
 


 dt
tcos
tcos
dt

tcos
1
ttan1
1
I
22
2

Ta có:
tcostcos 
vì với








2
;
2
t
thì cosx > 0 nên:
2 2 2
cost cost d(sint)
I dx dx
cos t 1 sin t 1 sin t
1 1 sin t 1 1 sint
ln C ln C

2 1 sint 2 1 sin t
  


    

  

Ta có: x = tant

1 + x
2
= 1 + tan
2
t
2
2
x1
tcos
1


Suy ra:
2
2
1x
sint 1
x1
x1
  



.
Khi đó:
22
2
2
2 2 2
x
1
x 1 x 1 x
11
I ln C ln C
x
22
x 1 x
1
x1
1
ln ( x 1 x) C ln x 1 x C
2

  
     



         

Ngoài phương pháp đổi biến số dạng: t =

)x(
như trên thì ta có thêm
phương pháp đổi biến số dạng: x =
)t(
.
Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm:
I f(x)dx

.

22
Quy trình giải toán:
Bước 1: Chọn
x (t)
, trong đó
(t)
là hàm số ta chọn cho thích hợp;
Bước 2: Lấy vi phân dx =
'(t)
dt;
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt;
Bước 4: Tính
I g(t)dt

.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu
Cách chọn

22

ax



22
xa


22
ax


a x a x
;
a x a x



(x a)(b x)

x a sint ( t )
22
x a cost (0 t )


   


   




a
x (t [ ; ]\{0})
sint 2 2
a
x (t [0; ] \{ })
cost 2


  




  



x a tant ( t )
22
x a cott (0 t )


   


   



x = acos2t

x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ 5: Tính tích phân bất định sau:

 dxx1I
2
.
Giáo viên đặt câu hỏi :
– Có dấu hiệu gì để nhận biết bài toán trên hay không ?
Học sinh: Hàm số trong dấu tích phân có dạng
22
ax
nên ta sẽ đặt x = sint
– Với cách đặt như vậy thì t phải có điều kiện gì?

23
Học sinh: Điều kiện:









2
;
2
t

– Hãy tính dx = ? Từ đó, suy ra I = ?
Học sinh: dx = costdt, nên ta có:

 tdtcostdtcostcostdtcostcostdtcostsin1I
222

(do cost








2
;
2
t,0
)
– Phân tích: cos
2
t = ?
Học sinh: cos

2
t =
2
t2cos1

– Yêu cầu học sinh tính I = ?
Lời giải:
Đặt: x = sint với








2
;
2
t

Suy ra: dx = costdt . Do đó:

 tdtcostdtcostcostdtcostcostdtcostsin1I
222

(do cost









2
;
2
t,0
)
=
 
Ctcostsint
2
1
C
2
t2sin
t
2
1
dt
2
t2cos1











.
=


Cx1xxsinacr
2
1
2

(vì
22
x1tsin1tcos 
).
Trên đây là một số dạng toán cơ bản và khá phổ biến, với mỗi dạng toán thì
có mỗi cách đổi biến khác nhau. Tuy nhiên, trong thực tế thì có nhiều bài toán
khi nhìn qua thì ta chưa thể nhìn ngay ra dạng nào và muốn giải được thì ta phải
trải qua một số bước biến đổi, phân tích để đưa bài toán về một trong các dạng
trên. Và việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân để lựa chọn phép đặt ẩn phụ

24
thích hợp là một công việc hết sức quan trọng trong việc giải các bài toán. Bây
giờ ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 6: Tính tích phân bất định:





3x2x3x2x
dx)1x2(
I
234
.
Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:
– Tích phân bất định trên có thuộc một trong những dạng trên hay không ?
Học sinh: Không.
– Tính (x
2
+ x + 1)’ = ?
Học sinh: (x
2
+ x + 1)’ = 2x + 1
– Như vậy tử số có dạng là đạo hàm của hàm số (x
2
+ x + 1). Thử phân tích
mẫu số về dạng:


 
a1xx
2


?
Học sinh:
     
     

4 3 2 4 3 2 3 2 2
2
2 2 2 2 2
x 2x 3x 2x 3 x x x x x x x x 1 4
x x x 1 x x x 1 (x x 1) 4 x x 1 4.
             
             

– Khi đó ta sẽ đổi biến số như thế nào?
Học sinh: Ta đặt: t = x
2
+ x + 1 vì dt = (2x + 1)dx.
– Yêu cầu học sinh tính I = ?
Học sinh:
2
22
dt 1 1 1 1 t 2 1 x x 1
I dt ln C ln C.
t 4 4 t 2 t 2 4 t 2 4 x x 3

  
      

     



Lời giải:
Biến đổi I về dạng:
 





41xx
dx)1x2(
I
2
2

Đặt: t = x
2
+ x + 1

dt = (2x + 1)dx. Khi đó:
2
22
dt 1 1 1 1 t 2 1 x x 1
I dt ln C ln C.
t 4 4 t 2 t 2 4 t 2 4 x x 3

  
      

     




25

Ví dụ 7: Tính: I =

4
53
xcosxsin
dx

Giáo viên hướng dẫn:
– Bây giờ ta sẽ phân tích biểu thức ở mẫu:
4
35
sin xcos x
. Hãy đưa hàm
cosx hoặc sinx ra ngoài căn bậc bốn?
Học sinh:
8
44
3 5 3 2 3
4
3
cos x
sin xcos x sin x. cos x tan x
cos x


– Như vậy:
44
3 5 2 3
dx dx
I

sin xcos x cos x tan x


. Ta sẽ sử dụng phương
pháp đổi biến số như thế nào?
Học sinh: Ta đặt: t = tanx vì dt =
dx
xcos
1
2
.
– Khi đó I = ?
Học sinh: I =
44
4
3
xtan4Ct4
t
dt


.
Lời giải:
Biến đổi:
 

4
32
4
83

4
53
xtanxcos
dx
xcosxtan
dx
xcosxsin
dx
I
.
Ta đặt: t = tanx

dt =
dx
xcos
1
2
.
Khi đó: I =
44
4
3
xtan4Ct4
t
dt


+ C.
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định sau:
dx

2x
2x
I
2
2




.
Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh:
– Phân tích: Làm thế nào để đưa biểu thức ở tử ra khỏi dấu căn? Nếu nhân
cả tử, cả mẫu với
2x
2

ta được điều gì? Từ đó phân tích hàm số dưới dấu căn.