nguyên hàm tích phân

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




I. Các công thức tính đạo hàm

 
 
 
 
2
2
2
2
1
8. ln '
'
ln '
1
9. log '
ln
'
log '
ln
10.(sin )' cos

(sin )' '.cos
11.(cos )' sin
(cos )' '.sin
1
12.(tan )'
os
'
(tan )'
os
1
13.(cot )'
sin
'
(cot )'
sin
a
a
x
x
u
u
u
x
xa
u
u
ua
xx
u u u
xx

u u u
x
cx
u
u
cu
x
x
u
u
u













14.
 
'
2
''
( )' ' '; ; ' ' '

u u v v u
uv u v uv u v u v
vv


     



II. Nguyên hàm

1. Định nghĩa
Cho hàm số
()fx
xác định trên K. Hàm số
()Fx
được gọi là nguyên hàm của
()fx
trên K nếu với
xK
ta đều có:
'( ) ( )F x f x

2. Ví dụ
3. Họ các nguyên hàm
Nếu
()Fx
là nguyên hàm của
()fx
thì

()Fx
+C cũng là nguyên hàm của
()fx
và
()Fx
+C được gọi là họ
tất cả các nguyên hàm của
()fx

Kí hiệu:
( ) ( )f x dx F x C


Ví dụ: Tính
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê
Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Nguyên hàm, Bạn cần kết hợp
xem tài liệu cùng với bài giảng này.

 
 
 
 
 
 
1
1
'

2
'
2
'
'
'
'
'
'
1.( ') 0
2.( )'
3.( )'
( )' . '
11
4.
1'
1
5.
2
'
2
6.
.'
7. ln
ln . '
xx
uu
xx
uu
C

Cx C
xx
u u u
xx
u
uu
x
x
u
u
u
ee
e e u
a a a
a a a u

























Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


5
2
3
22
1.
1
2. 3
3.
4. os3
5.
sin . os
x
x dx

x dx
x
e dx
c xdx
dx
x c x










2
2
2
3
6. tan
7. sin 2 . os3
8. os
9. sin
2cos
10.
1 sin
xdx
x c xdx
c xdx

xdx
x
dx
x








Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3
2
2
2
2 1 1 1 5

) ) ) 8
5 3 2 2
a y x b y x c y x x
x
     

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 3 3
) ( 3 )( 1) ) ( 3) ) ( 2 )( 1)a y x x x b y x c y x x x       

Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 2 2
42
( 2) ( 1)
))
xx
a dx b dx
xx



Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
 
 
2 2 3
1
) 2 1 ) (2 3 ) 3a x x x x dx b x x x x dx
x




    






Bài 5: Tìm hàm số
()y f x
, biết rằng
2
1
) '( ) 4 à (4) 0 ) '( ) 2 à (1) 2a f x x x v f b f x x v f
x
      

Bài 6: Tìm hàm số
()y f x
nếu biết
2
'( ) , ( 1) 2, (1) 4; '(1) 0
b
f x ax f f f
x
     



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng

Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo
viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó
làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3
2
2
2
2 1 1 1 5
) ) ) 8
5 3 2 2
a y x b y x c y x x
x

     

Giải:
Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản ta có
3
5
3
2
2
21
) ) ) 4
5 9 3
xx
a x C b C c x x C
x
     

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 3 3
) ( 3 )( 1) ) ( 3) ) ( 2 )( 1)a y x x x b y x c y x x x       

Giải:
Nhân các đa thức với nhau
4 3 2 4 5 4 3 2
2 3 ( 3) 2
) ) )
4 3 2 4 5 2 3 2
x x x x x x x x
a C b C c C


       

Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 2 2
42
( 2) ( 1)
))
xx
a dx b dx
xx



Giải:
Khai triển các hằng đẳng thức, áp dụng cách tách:
a b a b
c c c



3
23
1 2 4 1
) ) 2
33
x
a C b x C
x x x x
      

Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
 
 
2 2 3
1
) 2 1 ) (2 3 ) 3a x x x x dx b x x x x dx
x



    






Giải:
Nhân các đa thức với nhau rồi tách ra thành các nguyên hàm
75
3 2 4
22
44
))
3 2 7 5 2
x x x
a x x C b x C     

Bài 5: Tìm hàm số
()y f x

, biết rằng
2
1
) '( ) 4 à (4) 0 ) '( ) 2 à (1) 2a f x x x v f b f x x v f
x
      

Giải:
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo
viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó
làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Trước tiên ta tìm nguyên hàm của các hàm số, sau đó ta thay x để tìm ra C.
22
8 40 1 3
) ) 2
3 2 3 2 2

x x x x
a b x
x
    

Bài 6: Tìm hàm số
()y f x
nếu biết
2
'( ) , ( 1) 2, (1) 4; '(1) 0
b
f x ax f f f
x
     

Giải:
2
()
2
ax b
f x c
x
  

Từ điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình
2
2
5
4 1; 1;
22

0
a
bc
a
b c a b c
ab

  



       









Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn