CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.34 MB, 44 trang )
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Phƣơng pháp đổi biến số
Quy tắc :
- Đặt ẩn phụ
- Đổi cận, lấy vi phân 2 vế
- Chuyển tích phân cần tính sang tích phân theo biến mới
Dạng I. Đổi biến số dạng 1
Bài 1: Tính tích phân
2
1
0
sin2 3cos
2sin 1
xx
I dx
x
2
2
0
sin2 .cos
1 cos
xx
I dx
x
(ĐHKB – 2005)
6
3
2
0
cos
sin 7sin 10
x
I dx
xx
4
6
4
0
tan
os2
x
I dx
cx
(ĐHKA – 2008)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 6. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 6. Các phương pháp tính tích phân (phần 1) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 6. Các
phương pháp tính tích phân (phần 1), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Phƣơng pháp đổi biến số (tiếp)
Đổi biến số loại I dạng 1
Bài 2: Tính tích phân
1
25
1
0
(3 )I x x dx
1
3 2 2013
2
0
( 1)I x x dx
1
3
3
42
0
32
x
I dx
xx
(ĐHKB – 2012)
4
2
1
ln
(2 ln )
e
x
I dx
xx
(ĐHKB – 2010)
ln5
5
ln3
23
xx
dx
I
ee
(ĐHKB – 2006)
1
6
2
1
21
1
x
I dx
xx
1
2
8
7
0
.1I x xdx
4
8
0
25 3
dx
I
x
6
9
0
2 1 4sin3 . os3I x c xdx
2
10
0
sin2 sin
1 3cos
xx
I dx
x
(ĐHKA – 2005)
Đổi biến số loại I : dạng 2
22
( 0)a x a
Đặt
sin , ;
22
x a t t
Bài tập mẫu: Tính tích phân
2
2
1
2
2
2I x dx
3
22
2
0
9I x x dx
2
2
2
3
2
0
1
x
I dx
x
2
2
4
2
1
4 x
I dx
x
Đổi biến số loại I : dạng 3
22
;0
dx
a
ax
Đặt
a tan , ;
22
x t t
Chú ý:
2
2
1
1 tan
os
t
ct
Bài tập mẫu: Tính tích phân
2
1
2
0
2
dx
I
x
2
2
2
0
4
dx
I
x
1
3
22
1
(1 )
dx
I
x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 7. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 7. Các phương pháp tính tích phân (phần 2) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 7. Các
phương pháp tính tích phân (phần 2), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm -Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Công thức:
bb
b
a
aa
udv uv vdu
Dạng I:
( )ln ( )
b
a
f x f x dx
, đặt
ln ( )
()
f x u
P x dx dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1. (ĐHKD – 2010)
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
2. (ĐHKD – 2008)
2
3
1
ln x
I dx
x
3.
3
2
1
ln
1
x
I dx
x
4. (ĐHKA – 2012)
3
2
1
1 ln( 1)x
I dx
x
Dạng II:
()
()
( ).
fx
b
fx
a
e
P x dx
a
đặt
()
()
()
fx
fx
P x u
e
dx dv
a
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1.
1
1
(2 1)
x
I x e dx
1
22
0
2. (4 2 1)
x
I x x e dx
0
2
3
1
3. 1
x
I x e x dx
1
0
4. .2
x
I x dx
Dạng III:
( ). (sin ,cos )
b
a
P x R x x dx
, đặt
()
(sin ,cos )
P x u
R x x dx dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1. (ĐHKD – 2012)
4
0
(1 sin 2 )I x x dx
2.
2
3
4
cos
sin
xx
I dx
x
3.(ĐHKB – 2011)
3
2
0
1 sin
os
xx
I dx
cx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 8. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 8. Các
phương pháp tính tích phân (phần 3), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
DẠNG 1: Quan sát biểu thức dưới dấu tích phân nhẩm tính xem đặt một bộ phận nào đó bằng t để sau khi
lấy vi phân 2 vế ta chuyển được tích phân cần tính về tích phân cơ bản hoặc đơn giản hơn.
Bài tập có hƣớng dẫn giải
Bài 1: Tính tích phân
1) ĐHKB 2005 I =
2
0
sin2 .cos
1 cos
xx
dx
x
2) I =
4
2
0
sin 4
2 sin
x
dx
x
3) I =
2
2
0
cos
11 7sin os
x
dx
x c x
4) I =
4
2
0
1
(1 1 2 )
x
dx
x
.
5) ĐHKB08: I =
4
0
sin( )
4
sin 2 2(1 sinx cos )
x
dx
xx
6) I =
2
0
cos3
sin 1
x
dx
x
7) ĐHKA2008: I =
4
6
0
tan
cos2
x
dx
x
8) I =
3
4
3
0
sin
cos
x
dx
x
9) I =
2
0
sin 2
cos 1
x
dx
x
10) I =
4
66
0
cos2 (sin cos )x x x dx
BÀI 6. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Các phương pháp tính tích phân (phần 1)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Các phương pháp tính tích phân (phần 1). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
11) I =
4
44
0
sin 4
sin cos
x
dx
xx
.
12) I =
2
0
3
sin( )
24
sin( )
24
x
dx
x
.
13) I =
2
0
sin2
3 4sin cos2
x
dx
xx
.
14) I =
2
0
sin2 3cos
2sin 1
xx
dx
x
Bài 2: Tính tích phân
1) I =
1
5 3 6
0
(1 )x x dx
.
2) ĐHKB 2010: I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
xx
.
3) ĐHKB 2006: I =
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
4) I =
ln2
2
2
0
3
32
xx
xx
ee
dx
ee
5) ĐHKB 2012: I =
1
3
42
0
32
x
dx
xx
.
6) ĐHKD 2011: I =
4
0
41
2 1 2
x
dx
x
.
Bài 3: Tính tích phân
1) I =
3
2
1
2 ln
.ln
e
x
xdx
x
. 2) I =
1
0
1
1
x
dx
x
. 3) I =
3
2
0
sin
cos 3 sin
x
dx
xx
.
4) I =
ln16
x
4
0
e1
1
x
dx
e
. 5) I =
1
32
3
0
. 3 4 1
xx
dx
xx
6) I =
3
0
1
11
x
dx
x
7) I=
ln2
0
1
1
x
dx
e
.
Bài tập học sinh tự giải:
1) I =
3
2
1
ln
ln 1
e
x
dx
xx
. 2) I =
1
2
2
3
0
( 1)
xx
dx
x
.
3) I =
3
0
3
3 1 3
x
dx
xx
. 4) I =
2
1
ln
1 ln
e
x
dx
xx
.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
5) Đề tốt nghiệp PTTH 2011. I =
1
4 5ln
e
x
dx
x
. 6) ĐHKA 2003. I =
23
2
5
4
dx
xx
.
7) ĐHKA 2004. I =
2
1
11
x
dx
x
. 8) ĐHKA 2005 I =
2
0
sin 2 sinx
1 3cos
x
dx
x
.
9) ĐHKA 2006 I =
2
22
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
xx
. 10) ĐHKB 2004 I =
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x
.
11) I =
7
3
3
2
0
1
x
dx
x
. 12) I =
1
53
0
.1x x dx
.
13) I =
2
32
0
.2x x dx
. 14) I =
3
2
1
dx
xx
.
15) I =
3
53
2
0
2
1
xx
dx
x
. 16) I =
2
1
3 ln
1 2ln
e
x
dx
xx
.
17) I =
6
2
2 1 4 1
dx
xx
. 18) I =
10
5
21
dx
xx
.
19) I =
ln8
2
ln3
1.
xx
e e dx
. 20) I =
ln3
0
1
x
dx
e
.
21) I =
ln5
2
ln2
1
x
x
e
dx
e
. 22) I =
7
3
0
2
1
x
dx
x
.
23) I =
1
0
1x x dx
. 24) I =
1
32
0
1x x dx
.
25) I =
ln3
3
0
( 1)
x
x
e
dx
e
. 26) I =
1
ln
1 ln
e
x
dx
xx
.
27) I =
3
1
ln
1 2ln
e
x
dx
xx
. 28) I =
1
2
1
0
2
(2 9) 3 2
x
xx
dx
.
29) I =
ln9
2
3
ln2
1
x
x
e
dx
e
. 30) I =
2
6
53
0
sinx. os . 1 osc x c x dx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
DẠNG 1: Quan sát biểu thức dưới dấu tích phân nhẩm tính xem đặt một bộ phận nào đó bằng t để sau khi
lấy vi phân 2 vế ta chuyển được tích phân cần tính về tích phân cơ bản hoặc đơn giản hơn.
Bài 1: Tính tích phân
1) ĐHKB 2005 I=
2
22
00
sin2 .cos 2 os .sin
1 cos 1 cos
x x c x x
dx dx
xx
Đặt: 1 + cosx = t , - sinxdx = dt.
x
0
2
t
2
1
I = -2
1 2 2
22
2 1 1
( 1) 2 1 1
2 2 ( 2 )
t dt t t
dt t dt
t t t
=2
2
2 2 2
2 ln
1 1 1
2
t
tt
= 2ln2 -1
2) I =
4 4 4
2
0 0 0
sin 4 2.sin 2 . os2 4.sin2 . os2
1 os2
2 sin 3 os2
2
2
x x c x x c x
dx dx dx
cx
x c x
. Đặt 3+ cos2x = t; -2 sin2x dx = dt
x
0
4
t
4
3
I = - 2
34
43
44
( 3) 3
2 (1 ) 2( 3ln )
33
t
dt t t
tt
3) I =
22
22
00
cos cos
11 7sin os sin 7sin 10
xx
dx dx
x c x x x
. Đặt sinx = t; cosxdx = dt
x
0
2
t
0
1
I =
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1 1
()
7 10 ( 5)( 2) 3 ( 5) ( 2)
dt
dt dt
t t t t t t
=
11
1
ln 5 ln 2
00
3
tt
4) I =
4
2
0
1
(1 1 2 )
x
dx
x
.
BÀI 6. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Các phương pháp tính tích phân (phần 1)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Các phương pháp tính tích phân (phần 1). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Đặt
1 1 2xt
, x =
2
2
2
tt
, dx =(t-1)dt.
x
0
4
t
2
4
I =
2
4 4 4
32
2 2 2
2 2 2
2
1
3 4 2 1 4 2 1
2
( 1) 3 2ln 2
24
tt
t t t
t dt dt t dt
t t t t
.
5) ĐHKB08: I =
44
00
2
sin( ) (sin cos )
42
sin2 2(1 sinx cos ) sin2 1 1 2(sinx cos )
x x x
dx dx
x x x x
=
2
2
4
2
0
(sin cos )
(sin cos ) 1 2(sinx cos )
xx
dx
x x x
Đặt sinx + cosx = t; (cosx - sinx)dx = dt
x
0
4
t
1
2
I = -
2 2 2
2
22
1 1 1
2 2 2
( 1) ( 1)
2 1 2 2 ( 1) 2
dt dt
t d t
t t t
=
2 1 2 1 1 4 3 2
2
()
2 1 2 2 4
12
1
t
6) I =
3 2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
cos3 4cos 3cos (4cos 3)cos (1 4sin )cos
sin 1 sin 1 sin 1 sin 1
x x x x x x x
dx dx dx dx
x x x x
Đặt sinx +1= t; cosx dx = dt
x
0
2
t
1
2
I =
2 2 2
22
1 1 1
[1 4( 1) ] 4 8 3 3
( 4 8 )
t dt t t
dt t dt
t t t
=
2
2 2 2
2 8 3ln
1 1 1
t t t
7) ĐHKA2008: I =
4 4 4
6 6 6
2 2 2 2
0 0 0
tan tan tan
cos2 cos sin cos (1 tan )
x x x
dx dx dx
x x x x x
Đặt tanx = t;
2
1
cos
dx dt
x
x
0
6
t
0
1
3
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
I =
11
33
4
2
22
11
1
( 1 )
11
t dt
t dt
tt
=
1
3
3
0
11
1
33
3 (1 )(1 )
00
t
t dt
tt
=
1
3
0
1 1 1 1 1
()
2 1 1
9 3 3
dt
tt
=
11
33
00
10 1 (1 ) (1 )
2 1 1
93
d t d t
tt
=
11
10 1 10 1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
33
22
9 3 9 3 3 3
00
tt
=
10 1 3 1
ln( )
2
9 3 3 1
=
10 1
ln(2 3)
2
93
.
8) I =
32
44
32
00
sin (1 cos ).sin
cos cos
x x x
dx dx
xx
. Đặt cosx = t, -sinxdx = dt
x
0
4
t
1
2
2
I = -
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
22
1 1 1 1
11
(1 )
t
dt dt dt t dt
tt
=
22
1
22
11
t
t
9) I =
22
00
sin2 2.cos .sin
cos 1 cos 1
x x x
dx dx
xx
. Đặt cosx +1 = t.
10) I =
44
6 6 2
00
3
cos2 (sin cos ) cos2 (1 sin 2 )
4
x x x dx x x dx
. Đặt sin2x = t.
11) I =
44
44
2
00
sin 4 2cos2 .sin 2
1
sin cos
1 sin 2
2
x x x
dx dx
xx
x
. Đặt sin2x = t.
12) I =
2
0
3
sin( )
24
sin( )
24
x
dx
x
. Đặt
24
x
t
I =
22
2
44
sin3
2 2 (4sin 3)
sin
t
dt t dt
t
=
2
4
2
( 4cos2 2) ( 2sin 2 2)
4
t dt t
= 2 -
2
.
13) I =
22
2
00
sin2 2.cos .sin
3 4sin cos2 2sin 4sin 2
x x x
dx dx
x x x x
. Đặt sinx = t.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
14) I =
22
00
sin2 3cos (2sin 3)cos
2sin 1 2sin 1
x x x x
dx dx
xx
. Đặt sinx =t
→I =
1 1 1 1
0 0 0 0
1
2 3 (2 1) 4 4 (2 1)
(1 ) 2
0
2 1 2 1 2 1 2 1
t t d t
dt dt dt t
t t t t
=1- 2ln
1
2 1 1 2ln3
0
t
.
Bài 2: Tính tích phân
1) I =
1
5 3 6
0
(1 )x x dx
. Đặt 1-x
3
= t, -3x
2
dx = dt.
x
0
1
t
1
0
I =
1 0 1
78
3 6 3 2 6 6 7
0 1 0
1
1 1 1 1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) ( ) ( )
0
3 3 3 7 8 3 7 8
tt
x x x dx t t dt t t dt
.
2) ĐHKB 2010: I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
xx
. Đặt 2+lnx = t, t: 2→3,
dx
dt
x
.
I =
3 3 3
22
2 2 2
33
( 2) 1 1 2 1 3
2 ) ln ln .
22
32
t dt
dt dt t
t t t t
3) ĐHKB 2006: I =
ln5 ln5 ln5
2
ln3 ln3 ln3
1
2 3 3 2
23
x
x x x x
x
x
dx dx e dx
e e e e
e
e
. Đặt e
x
= t → t: 3→5, e
x
dx = dt.
I =
5 5 5
2
3 3 3
1 1 1
( ) .
3 2 ( 1)( 2) 2 1
dt
dt dt
t t t t t t
=
55
33
ln 2 ln 1 ln3 ln4 ln2 ln ln2 ln .
33
42
tt
4) I =
ln2 ln2
2
22
00
3 ( 3)
3 2 3 2
x x x x
x x x x
e e e e
dx dx
e e e e
. Đặt e
x
= t, e
x
dx = dt.
x
0
ln2
t
1
2
I =
2 2 2
2
1 1 1
22
3 3 2 1
2ln 1 ln 2
11
3 2 ( 1)( 2) 1 2
tt
dt dt dt t t
t t t t t t
5) ĐHKB 2012: I =
1
3
42
0
32
x
dx
xx
. Đặt x
2
= t → 2xdx = dt.
x
0
1
t
0
1
I=
1 1 1
2
22
0 0 0
1 .2 1 1 2 1
2 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 2 1
x x tdt
dx dt
x x t t t t
.
=
1
13
ln 2 ln 1 ln3 ln2
0
22
tt
.
6) ĐHKD 2011: I =
4
0
41
2 1 2
x
dx
x
.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
Đặt
21xt
→ 2x+1=t
2
2x = t
2
-1 4x = 2(t
2
-1), dx = tdt.
x
0
4
t
1
3
I
2
33
2
11
2( 1) 1
10
2 4 5
22
t t dt
t t dt
tt
.
=
3
2
3
2 34 3
2 5 10ln 2 10.ln
1
3 3 5
t
t t t
.
Bài 3: Tính tích phân
1) I =
3
2
1
2 ln
.ln
e
x
xdx
x
. Đặt
3
2
2 ln xt
.
2) I =
1
0
1
1
x
dx
x
. Đặt
xt
→ x = t
2
, dx = 2tdt, t: 0→1.
3) I =
3
2
0
sin
cos 3 sin
x
dx
xx
. Đặt
2
3 sin x
= t → 3 + sin
2
x = t
2
, sinxcosxdx = dt.
x
0
3
t
3
15
2
4) I =
ln16
x
4
0
e1
1
x
dx
e
. Đặt
x
4
e t
→ e
x
= t
4
, e
x
dx = 4t
3
dt.
x
0
ln16
t
1
2
5) I =
11
3 2 3 2
3
3
43
00
. 3 4 1
3 4 1
x x x x
dx dx
xx
xx
.
Đặt
3
43
34x x t
→ 3x
4
- 4x
3
= t
3
, 12(x
3
-x
2
)dx = 3t
2
dt, t: 0→ -1.
6) I =
33
00
1 1.(1 1)
1 ( 1)
11
x x x
dx dx
x
x
.
7) I =
ln2
0
1
1
x
dx
e
. Đặt
x
e1t
.
→I =
ln2 3 3 3
x
2
x
0
2 2 2
33
e 2 2 1 1
ln 1 ln 1
1 ( 1)( 1) 1 1
e1
22
x
dx dt dt dt t t
t t t t t
e
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
DẠNG 2: nếu gặp tích phân, mà biểu thức dưới dấu tích phân chứa
22
ax
, a>0. Thì đặt x = a.sint,
;
22
t
BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Tính tích phân
1) I =
22
2
2
8 x dx
. 2) I =
3
22
0
9x x dx
.
3) I =
1
23
0
(1 )x dx
. 4) I =
2
2
2
2
0
1
x
dx
x
.
5) I =
1
2
2
2
2
1 x
dx
x
. 6) I =
2
2
2
1
4 x
dx
x
.
7) I =
1
2
2
12x x dx
. 8) I =
2
2
0
4
dx
xx
.
9) I =
2
1
1 ln
e
dx
xx
. 10) I=
2
2
0
cos
8 2sin
x
dx
x
.
DẠNG 3: Nếu gặp
22
dx
ax
, a>0;
22
a x dx
, a>0,
22
dx
ax
.
Thì đặt x = a tant, t
,
22
. Lưu ý: 1+ tan
2
t =
2
1
osct
.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính tích phân
<1> I =
2
2
0
2
dx
x
. <2> I =
1
22
1
(1 )
dx
x
.
<3> I =
1
2
0
1
dx
x
<4> I =
2
32
2
0
2 4 9
4
x x x
dx
x
.
<5> I =
6
2
( 2)
dx
xx
<6> I =
3
2
2
0
sin
1 os
x
dx
cx
BÀI 7. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 7. Các phương pháp tính tích phân (phần 2)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 7. Các phương pháp tính tích phân (phần 2). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
<7> I =
ln5
x
xx
0
e
(3 e ). e 1
dx
<8> I =
2
3
2
0
2 x dx
<9> I =
1
2
0
1
dx
x
<10> I =
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
.
<11> I =
2
3
0
8
dx
x
. <12> I =
2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
.
MỞ RỘNG DẠNG 3
Nếu gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân là phân thức đại số. Tử là hằng số, mẫu bậc 2 vô
nghiệm. Hoặc tử bậc nhất, mẫu bậc 2 vô nghiệm. Hoặc tử bậc 2, mẫu trùng phương vô nghiệm. Thì biến
đổi mẫu về dạng u
2
+ a
2
, a>0. Sau đó đặt u = atant,
;
22
t
Bài tập mẫu: Tính tích phân
<1> I =
0
2
3
2
39
dx
xx
. <2> I =
1
2
0
1
1
x
dx
xx
.
<3> I =
0
2
1
24
dx
xx
. <4> I =
15
2
2
42
1
1
1
x
dx
xx
.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
DẠNG 2: nếu gặp tích phân, mà biểu thức dưới dấu tích phân chứa
22
ax
, a>0. Thì đặt x = a.sint,
;
22
t
BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Tính tích phân
1) I =
22
2
2
8 x dx
. 2) I =
3
22
0
9x x dx
. (x = 3sint)
3) I =
1
23
0
(1 )x dx
. (x = sint) 4) I =
2
2
2
2
0
1
x
dx
x
. (x = sint)
5) I =
1
2
2
2
2
1 x
dx
x
. (x = sint) 6) I =
2
2
2
1
4 x
dx
x
. (x = 2sint)
7) I =
1
2
2
12x x dx
. 8) I =
2
2
0
4
dx
xx
.
9) I =
2
1
1 ln
e
dx
xx
. (lnx = t, 2 lần đổi biến) 10) I=
2
2
0
cos
8 2sin
x
dx
x
. (sinx = t)
GIẢI
1) Đặt x =
8 sint
,
;
22
t
→ dx =
8
cost dt
x
2
22
t
4
2
I =
2 2 2
22
4 4 4
1
2
8 8sin . 8.cos 8 cos 4 (1 cos2 ) 4( sin 2 )
2
4
t t dt t dt t dt t t
.
7) I =
1
2
2
2 (1 )x
. Đặt 1+ x =
2 sint
→ dx =
2. osct
dt.
x
-2
-1
t
4
0
BÀI 7. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 7. Các phương pháp tính tích phân (phần 2)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 7. Các phương pháp tính tích phân (phần 2). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
I =
0 0 0
22
4 4 4
0
1
2 2sin . 2.cos 2 cos 4 (1 cos2 ) ( sin2 )
2
4
t tdt t dt t dt t t
.
6) Đặt x = 2 sint → dx = 2cost dt
x
1
2
t
6
2
2
22
22
2 2 2
1
66
4 os 1
22
1 cos 3 .
sin sin 3
66
x c t
I dx dt dt t t
x t t
8) Đặt x = 2sint → dx = 2cost dt
x
0
2
t
0
2
I =
2
2 2 2
22
0 0 0 0
2cos cos cos
sin cos
4 2sin 4 4sin
2 sin( )
4
dx tdt t t
dt dt
tt
x x t t
t
.
Đặt t +
4
= u → dt = du.
t
0
2
u
4
3
4
I =
3 3 3
4 4 4
22
cos( ) cos sin
1 1 1 cos sin
4 2 2
sin sin 2 sin
22
u u u
uu
du du du
u u u
=
3 3 3
4 4 4
1 cos 1 (sin ) 1
3
1 ln sin
2 sin 2 sin 2 3 4
4
u d u
du du u
uu
DẠNG 3: Nếu gặp
22
dx
ax
, a>0;
22
a x dx
, a>0,
22
dx
ax
.
Thì đặt x = a tant, t
,
22
. Lưu ý: 1+tan
2
t =
2
1
osct
.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính tích phân
<1> I =
2
2
0
2
dx
x
. <2> I =
1
22
1
(1 )
dx
x
.
<3> I =
1
2
0
1
dx
x
(x = tant). <4> I =
2
32
2
0
2 4 9
4
x x x
dx
x
.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
<5> I =
6
2
( 2)
dx
xx
(2 lần đổi biến, lần 1 đặt
x
= t). <6> I =
3
2
2
0
sin
1 os
x
dx
cx
(cosx = t).
<7> I =
ln5
x
xx
0
e
(3 e ). e 1
dx
(
x
e1t
). <8> I =
2
3
2
0
2 x dx
(x =
2 tant
).
<9> I =
1
2
0
1
dx
x
(x = tant). <10> I =
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
.
<11> I =
2
3
0
8
dx
x
. <12> I =
2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
.
GIẢI
<1>
Đặt x =
2 tant
,
;
22
t
→ dx =
2
1
2
os
dt
ct
.
x
0
2
t
0
4
I =
4 4 4
22
22
0 0 0
11
22
2 2 2
os os
4
2 2tan 2(1 tan ) 2 2 8
0
c t c t
dt dt dt t
tt
.
<2> Đặt x = tant → dx =
2
1
osct
dt.
x
-1
1
t
4
4
I =
4 4 4
2
2
22
4 4 4
1
1 1 1
4
os
os (1 os2 ) ( sin 2 ).
(1 tan ) 2 2 2
4
ct
dt c t dt c t dt t t
t
.
<4>
I =
22
2
22
00
22
11
( 2 ) 2 6 .
00
4 2 4
x
x dx x dx J
xx
Đặt x = 2tant → dx =
2
1
2
os
dt
ct
.
x
0
2
t
0
4
→ J =
4
2
2
0
2
1
os
4
4(1 tan ) 2 8
0
ct
dt dt
t
→ I = 6+
8
.
<11>
I =
2 2 2 2 2
3 3 2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 1 2 2 1
2 ( 2)( 2 4) 12 2 24 2 4 4 2 4
dx dx x dx
dx dx
x x x x x x x x x
.
=
2
1
ln 2
0
12
x
-
22
2
22
00
1 ( 2 4) 1
24 2 4 4 ( 1) 3
d x x dx
x x x
(đặt x-1=
3 tant
)
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
=
1
ln2
12
12 3
.
<10>
I =
1 1 1
4 4 4 2 2
2 3 2 4 2 2 4 2
0 0 0
1 1 ( 1)
( ) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x x
dx dx dx
x x x x x x x
.
1 1 1 1
2 2 2
2 2 4 2 2 6 2 3 2
0 0 0 0
11
1 ( 1)( 1) 1 1 1 ( ) 1
x x dx x
dx dx dx
x x x x x x x x
1
2
0
1
dx
x
đặt x = tant;
1
2
32
0
( ) 1
x
dx
x
đặt x
3
= tant.
<12>
I =
22
2 2 2 2 2 2
00
3sin 4cos 3sin 4cos
3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos
x x x x
dx dx
x x x x x x
=
2 2 4
12
2 2 2 2
0 0 0
3sin 4cos 3sin 4cos
.
3 cos 4 sin 3 cos 4 sin
x x x x
dx dx dx I I
x x x x
Tính I
1
: Đặt cosx =
3 tant
→ -sinx dx =
2
1
3
cos
dt
t
.
Tính I
2
: I
2
= 4
22
00
1 1 1
(sin ) (sin )
(2 sin )(2 sin ) 2 sin 2 sin
d x d x
x x x x
MỞ RỘNG DẠNG 3
Nếu gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân là phân thức đại số. Tử là hằng số, mẫu bậc 2 vô
nghiệm. Hoặc tử bậc nhất, mẫu bậc 2 vô nghiệm. Hoặc tử bậc 2, mẫu trùng phương vô nghiệm. Thì biến
đổi mẫu về dạng u
2
+ a
2
, a>0. Sau đó đặt u = atant,
;
22
t
Bài tập mẫu: Tính tích phân
<1> I =
0
2
3
2
39
dx
xx
. <2> I =
1
2
0
1
1
x
dx
xx
.
<3> I =
0
2
1
24
dx
xx
. <4> I =
15
2
2
42
1
1
1
x
dx
xx
.
Giải
<1> I =
0
2
3
2
3 27
24
dx
x
. Đặt x +
3
2
=
27
tan
2
t
→ dx =
2
27 1
.
2 os
dt
ct
.
x
3
2
0
t
0
6
I =
66
2
2
00
27 1
.
2
2 os
27
27 9 3
(tan 1)
4
ct
dt dt
t
.
<2>
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
I =
1
2
0
1
13
24
x
dx
x
. Đặt x+
13
tan
22
t
→ dx =
2
31
2 os
dt
ct
x
0
1
t
6
3
I=
3 3 3 3
2
2
6 6 6 6
3 1 3 1
( tan 1). .
sin
2 2 2 cos
tan 3 3
3
cos
(tan 1)
4
t
t
x
dt t dt dt dt
t
t
=
3
6
( os ) 3
3
3 ln cos
cos 6 6
6
d c t
t
t
.
<3> I =
0
2
1
( 1) 3
dx
x
. Đặt x + 1 =
3 tant
→ dx =
2
1
3
os
dt
ct
.
x
-1
0
t
0
6
I =
66
2
2
00
3
1
os
3(tan 1)
3 6 3
ct
dt dt
t
.
<4>
I =
1 5 1 5
22
22
2
2
11
2
11
11
1
1
1
1
xx
dx dx
x
x
x
x
. Đặt x-
1
x
= tant →
22
11
1
os
dx dt
x c t
.
x
1
15
2
t
0
4
I =
44
2
2
00
1
os
tan 1 4
ct
dt dt
t
.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
<2> TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
a. Công thức:
.
bb
aa
b
udv u v vdu
a
b. Các dạng bài tập
DẠNG 1:
( ).ln ( )
b
a
P x f x dx
(P
x
là đa thức)
Cách giải: Đặt
ln ( )
()
f x u
P x dx dv
BÀI TẬP MẪU: Tính tích phân
<1> I =
1
ln
e
x
dx
x
. <2> ĐHKD 2010 I =
1
3
2 .ln .
e
x x dx
x
.
<3> ĐHKB 2009 I =
3
2
1
3 ln
( 1)
x
dx
x
. <4> ĐHKD 2008 I =
2
3
1
ln x
dx
x
<5> ĐHKD 2004 I =
3
2
2
ln( )x x dx
. <6> ĐHKB 2007 I =
32
1
.ln
e
x xdx
.
<7> I =
1
2
2
0
.ln( 1 )
1
x x x
dx
x
. <8> I =
9
4
ln( )xx
dx
x
.
<9> I =
1
2
0
ln( 1)x x x dx
. <10> I =
3
2
2
1
ln 1x
dx
x
.
<11> I =
1
32
2
2
2
21
.ln( 1)
1
e
xx
x dx
x
<12>
2
2
1
ln
e
x
I dx
x
<13> I =
1
42
1
3
ln(3 ) 2ln )x x x dx
. <14>I =
3
2
6
ln(sinx)
os
dx
cx
.
<15> ĐHKA 2012 I =
3
2
1
1 ln( 1)x
dx
x
.
DẠNG 2:
f ( )
f ( )
e
()
a
x
b
x
a
P x dx
BÀI 8. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3) Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Cách giải: Đặt
f ( )
f ( )
()
e
a
x
x
p x u
dx dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1. ĐHKD 2006: I =
1
0
( 2).
x
x e dx
. 2. I =
1
22
0
(4 2 1).
x
x x e dx
.
3. I =
1
2
0
( 2 ).3
x
x x dx
. 4. I =
1
2
0
.
(1 )
x
xe
dx
x
5. I =
1
1 ln
.
e
x
xx
e dx
x
. 6. I =
2
0
(1 sin )
1 os
x
xe
dx
cx
7. I =
4
2
0
sin
x
dx
x
. 8. I =
2
3
2
0
.sin
sin2 . os
xx
dx
x c x
.
9. I =
4
0
21
1 os2
x
dx
cx
. 10. I =
2
0
( 2).sin 2x xdx
.
11. I =
4
0
( 1). osx c xdx
. 12. I =
0
.sin3x xdx
.
13. I =
3
1
os(ln )
e
c x dx
. 14. I =
6
1
sin(ln )
e
x dx
.
DẠNG 3:
( ). (sinx,cos )
b
a
P x R x dx
.
Cách giải: Đặt
()
(sinx,cos )
P x u
R x dx dv
1. I =
2
3
4
. os
sin
x c x
dx
x
. 2. I =
3
2
3
.sin
os
xx
dx
cx
.
3. I =
0
1 sin
x
dx
x
.
4
2
0
4. .tanI x xdx
2
2
0
5. . osI x c xdx
2
2
0
6. (2 1).sinI x xdx
7. ĐHKD 2012
4
0
(1 sin 2 )I x x dx
8. ĐHKB 2011
3
2
0
1 .sin
os
xx
I dx
cx
0
2
3
1
9. ( 1)
x
I x e x dx
3
1
1
10. ln
e
x
I xdx
x
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
2
2
0
11. ( sin )cosI x x xdx
12.
1
0
.ln( 1)
1
e
xx
I dx
x
2
4
2
0
2sin
13.
(sinx os )
xx
I dx
cx
14.
2
0
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
xx
DẠNG 4
f ( )
e . (sinx,cos )
b
x
a
R x dx
Cách giải: Đặt
f ( )
e
(sinx,cos )
x
u
R x dx dv
Tính tích phân
1. I =
2
3
0
.sin5
x
e xdx
. 2. I =
2
cos
0
.sin 2
x
e xdx
3. I =
2
sin
0
sin 2 .
x
x e dx
4. I =
2
2
1
.ln
e
x xdx
.
5. I =
4
0
tan .ln(cos )
os
xx
dx
cx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
<2> TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
a. Công thức:
.
bb
aa
b
udv u v vdu
a
b. Các dạng bài tập
DẠNG 1:
( ).ln ( )
b
a
P x f x dx
(P
x
là đa thức)
Cách giải: Đặt
ln ( )
()
f x u
P x dx dv
BÀI TẬP MẪU: Tính tích phân
<1> I =
1
2
1 1 1
ln ln ln
2
e e e
x x x
dx dx dx
x x x
. Đặt
ln
1
2
xu
dx dv
x
→
1
dx du
x
vx
→ I=
11
11
.ln 2 (2 2) 2
11
ee
ee
x x x dx e dx e x e e e
x
x
.
<2> ĐHKD 2010
I =
1
3
2 .ln .
e
x x dx
x
. Đặt
ln
3
2
xu
x dx dv
x
→
2
1
3ln
dx du
x
v x x
I = (x
2
-3lnx).
ln
1
e
x
-
2
2
1 1 1
3ln
3 3 ln (ln )
e e e
xx
dx e xdx xd x
x
=
2 2 2 2
22
3ln 1 3
3 3 1
11
2 2 2 2 2 2
ee
x x e e
ee
<3> ĐHKB 2009
I =
3
2
1
3 ln
( 1)
x
dx
x
. Đặt
2
3 ln
1
( 1)
xu
dx dv
x
→
1
1
1
dx du
x
v
x
I =
33
11
3 3 3
3 ln 3 3 ln3 1 1 3 ln3
ln ln 1
1 1 1
1 ( 1) 2 4 1 4
x dx
dx x x
x x x x x
=
1 27
3 ln
4 16
.
BÀI 8. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3) Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
<4> ĐHKD 2008 I =
2
3
1
ln x
dx
x
Đặt
3
ln
1
xu
dx dv
x
→
2
1
1
2
dx du
x
v
x
I =
2
2 3 2
1
23
1 1 1 1 1
.ln ln2
11
2 2 8 4
x dx
x x x
<5> ĐHKD 2004 I =
3
2
2
ln( )x x dx
. Đặt
2
ln( )x x u
dx dv
→
2
21x
dx du
xx
vx
I =
3 3 3
2
1 2 2
3
2 1 2( 1) 1 1
.ln( ) 3ln6 2ln2 3ln6 ln4 2
2
1 1 1
xx
x x x dx dx dx
x x x
=
33
3ln6 ln4 2 ln 1
22
xx
.
<6> ĐHKB 2007 I =
32
1
.ln
e
x xdx
. Đặt
2
3
ln xu
x dx dv
→
4
1
2.ln .
4
x dx du
x
x
v
44
23
1
11
.ln .ln
1
4 2 4 2
e
e
xe
I x x xdx J
J
Đặt
3
ln xu
x dx dv
→
4
1
4
dx du
x
x
v
→ J=
4 4 4 4 4 4
3
11
1 1 1 3 1
.ln . .
11
4 4 4 4 4 4 4 16
ee
ee
x x e e x e
x dx x dx
x
4 4 4
1 3 1
4 2 4 32
e e e
IJ
.
<7>
I =
1
2
2
0
.ln( 1 )
1
x x x
dx
x
. Đặt
2
2
ln( 1 )
1
x x u
x
dx dv
x
→
2
2
1
1
dx
du
x
vx
→ I =
1
2 2 2
2
0
11
1 .ln( 1 ) 1 2.ln(1 2) 2.ln(1 2) 1
00
1
dx
x x x x x
x
.
<8>
I =
9
4
ln( )xx
dx
x
. Đặt
ln( )
1
x x u
dx dv
x
→
1
1
2
21
2 ( )
2
x
x
dx du
dx du
xx
x x x
vx
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
99
44
9
2 1 2 1
2 .ln( ) 2 . 6ln6 4ln2
4
2 ( )
xx
I x x x x dx dx
x x x x x
J
Đặt t =
x
→ x = t
2
, dx = 2tdt
x
4
9
t
2
3
J=
3 3 3 3
2
2 2 2 2
2 1 2 1 2( 1) 1 1
.2 2 2 2 2
1 1 1
t t t
t dt dt dt dt
t t t t t
= 2
33
2 ln 1 2(2 ln2) 4 2ln2.
22
tt
Vậy I = 6ln6 - 4ln2 – 4 - 2ln2 = 6ln6 - 6ln2 – 4 = 6ln3- 4.
<9> I =
1
2
0
ln( 1)x x x dx
. Đặt
2
ln( 1)x x u
xdx dv
→
2
2
21
1
2
x
dx du
xx
x
v
I =
11
2 3 2
2
22
00
1
1 2 1 1 1
ln( 1) ln3 2 1
0
2 2 1 2 2 1
x x x x
x x dx x dx
x x x x
I =
11
2 2 2
00
13
(2 1)
1 1 1 1 1 2 1 3
22
ln3 2 1 ln3 2 1 .
2 2 1 2 2 2 1 2( 1)
x
x
x dx x dx
x x x x x x
11
2
2
22
00
1
1 1 1 ( 1) 3 3 3
ln3 ( ) ln3
0
2 2 4 1 4 1 4 4
d x x dx
I x x J
x x x x
J
J =
1
2
2
0
13
22
dx
x
. Đặt x+
2
1 3 3 1
tan , , .
2 2 2 2 2 os
t t dx dt
ct
x
0
1
t
6
3
J =
3
6
2 3 3
39
dx
. Vậy I=
33
ln3
4 12
.
<10>
I =
3
2
2
1
ln 1x
dx
x
. Đặt
2
2
ln 1
1
xu
dx dv
x
→
2
1
1
x
dx du
x
v
x
33
2
22
11
11
3
ln 1 ln 2 ln 2
11
3
1
dx dx
Ix
x x x
J
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Đặt x
2
1
tan , ,
2 2 os
t t dx dt
ct
x
1
3
t
4
3
J =
3
4
3
12
4
dt t
. Vậy I =
1
ln 2 ln 2
12
3
.
<11>
I =
11
32
22
22
22
2 1 2
.ln( 1) 2 1 .ln( 1)
11
ee
x x x
x dx x x dx
xx
=
11
22
2
22
12
2
(2 1).ln( 1) .ln( 1)
1
ee
x
x x dx x dx
x
II
* Tính I
1
: Đặt
2
ln( 1)
(2 1)
xu
x dx dv
→
2
2
2
1
x
dx du
x
v x x
11
22
22
2
22
1
2 ( ) 2
( ).ln( 1) 1 1
11
2
ee
e
x x x x
I x x x dx e e dx
xx
=
1
2
2
1
2
1 1 2 2 1 1 2 2ln 1
1
2
e
e
e e x dx e e x x x
x
=
11
1 2 2 2 2ln
21
e
e
.
Tính I
2
11
2 2 2 2
2
2
22
1
2 1 1
.ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln ( 1)
1 2 2
2
ee
e
x
I x dx x d x x
x
.
Vậy I = I
1
+I
2
=
5 1 1
1 2 2 2ln
2
21
e
e
<12>
2
22
11
ln ln
2
ee
xx
I dx dx
xx
. Đặt
2
ln
1
xu
dx dv
x
→
1
1
dx du
x
v
x
I =
2
1
2 2 2 4
ln 2 2
11
e
ee
dx
x
x x e x e
.
<13> I =
11
4 2 4 2 2
11
33
ln(3 ) 2ln ) ln(3 ) ln )x x x dx x x x dx
.
=
11
42
2
2
11
33
3
ln (3 1)
xx
dx x dx
x
.
<14>
